Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero"

Transcripción

1 Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero 11 de Diciembre de 2008

2 2 B.G.O Determina si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial correspondiente son subvariedades afines: 1. En K 4, L 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) K 4 x 2 = x 4 = 1, x 1 + x 3 = 1}. 2. En K n, L 2 = {(x 1,..., x n ) K n x x x 2 n = 1}. 3. En Mat 2 2 (R), L 3 = {A Mat 2 2 (R) A + 2A t = Id 2 }. 4. En Mat 2 3 (R), L 4 = {A = (a ij ) Mat 2 3 (R) a 11 a 22 = 0, a 13 a 23 = 1}. 5. En R 2 [x], L 5 = {p(x) R 2 [x] p(x) (1 + x x 2 ) = 2 4x + 16x 3 }. 6. En R 2 [x], L 6 = {p(x) grado de p(x) es exactamente 1}. 7. En R n [x], L 7 = {p(x) coeficiente de p(x) de grado n es 1}. 8. En F (R, R), L 8 = {f F (R, R) f(2) = 3}. 9. En F (R, R), L 9 = {f F (R, R) f(x) = sen x + ax, donde a R}. Solución. 1. Pasando de las ecuaciones implícitas de L 1 a las paramétricas resulta x 1 = 1 λ x 2 = 1 x 3 = λ x 4 = 1 luego L 1 = ( 1, 1, 0, 1) + ( 1, 0, 1, 0). 2. Si L 2 fuese una subvariedad afín, la variedad L 2 P, con P = (p 1,..., p n ), sería un subespacio vectorial. Pero ello implicaría que las ecuaciones implícitas de esta última deberían ser x x x 2 n = 0 para que el elemento neutro de K n perteneciese al subespacio vectorial. Pero esto significa que el subespacio de direcciones es el subespacio nulo y P + (0,..., 0) no es L 2. Absurdo. a b 3. De las ecuaciones de L 3 del enunciado se obtiene que si A =, entonces c d ( A + 2A t a b a c = + 2 = c d b d si y sólo si ) 3a b + 2c = Id 2 c + 2b 3d a = 1/3 = d b = c. 1/3 b Luego A =, que es la subvariedad afín de Mat 2 2 (R) definida por el b 1/3 punto A = 1/ y el subespacio de direcciones 0 1/ De ser L 4 una subvariedad afín, el subespacio de direcciones debería ser a 11 a 22 = 0, a 13 a 23 = 0, que no es subespacio vectorial. Por tanto no es subvariedad afín. 5. Si p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, entonces las condiciones para estar en L 5 son L 5 = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 / (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) (1 + x x 2 ) = a 0 + (a 1 + a 0 )x + ( a 0 + a 1 + a 2 )x 2 + ( a 1 + a 2 )x 3 a 2 x 4 = 2 4x + 16x 3 }

3 I.T.I.S USAL 3 y esto ocurre si y sólo si a 0 = 2, a 0 + a 1 = 4, a 0 + a 1 + a 2 = 0, a 1 + a 2 = 16 y a 2 = 0, si y sólo si a 0 = 2, a 1 = 6, a 2 = 6, a 1 + a 2 = 12 16, a 2 = 0. que es imposible. Luego L 5 = { } que no es subvariedad afín ni subespacio vectorial. 6. En R 2 [x], L 6 = {p(x) grado de p(x) es exactamente 1}. Si L 6 fuese una subvariedad afín, la resta de dos polinomios de él pertenecería a un subespacio vectorial. Pero como 2x y 2x 1 tienen ambos grado uno y su resta grado cero, y 2x y x tienen resta con grado 1, este subespacio vectorial debe contener tanto a los polinomios de grado cero como los grado uno y ello implica que sea todo R 1 [x]. Pero esto no puede ser ya que L 6 no lo puede contener sea quien sea el punto por el que pase. 7. L 7 {x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 / a i R}. Como este subconjunto de polinomios es el punto p(x) = x n más el subespacio de direcciones R n 1 [x], que sí es un subespacio vectorial de R n [x], la respuesta es sí. 8. El subconjunto L 8 es una subvariedad afín porque es la suma de la función real constante f(x) = 3 más el subespacio vectorial de las funciones de F (R, R) que tienen imagen en el dos igual a cero; es decir {f F (R, R) f(2) = 0}. 9. El subconjunto de F (R, R), L 9 = {f F (R, R) f(x) = sen x + ax, donde a R} es la suma de la función sen x más el subespacio vectorial generado por la función real con variable real x Halla las ecuaciones de la subvariedad afín de R 4 que pasa por el punto (1, 0, 0, 0) y cuyo subespacio director es el núcleo del endomorfismo T : R 4 R 4 cuya matriz en la base canónica es: Solución. Utilizando la matriz, las ecuaciones del núcleo de la aplicación lineal son Ker(T ) = {(x, y, z, t) R 4 x y +2z = 0, x+z +t = 0, 3x 2y +5z +t = 0, y +z t = 0}. Luego la subvariedad tiene por ecuaciones a (1, 0, 0, 0) + Ker(T ) = {(x, y, z, t) R 4 x y + 2z = 1 x + z + t = 1 3x 2y + 5z + t = 3 y + z t = 0, que resulta de sustituir el punto (1, 0, 0, 0) en las ecuaciones implícitas del núcleo (porque deben verificar las ecuaciones de las subvariedad que lo contiene) y calcular los términos independientes para que esto ocurra Determina las ecuaciones paramétricas de la variedad lineal H = {(x, y, z, t) R 4 2x+y t = 1, x y + 3z = 2}. Solución. Para determinarlas basta resolver las ecuaciones poniendo unas variables en función de otras. Además, como la variedad está definida por dos ecuaciones que forman las ecuaciones implícitas, quiere decir que el incidente de su parte vectorial tiene dimensión dos

4 4 B.G.O. y por tanto la variedad tiene dimensión igual a 4 2 = 2. Luego las ecuaciones paramétricas dependerán dos parámetros. Despejando, por ejemplo, las variables t y x, se tiene que x = λ H = {(x, y, z, t) R 4 y = µ. z = 2/3 1/3λ + 1/3µ t = 1 + 2λ µ En R 3 [x] considera las variedades lineales: H = {p(x) p(1) = 0, p (0) = 1} y L = x 3 + 1, x, x 2. Determina las ecuaciones implícitas de H, L y H L. Indica la dimensión de cada uno de ellos. Solución. Las ecuaciones implícitas de H vienen en el enunciado puesto que si p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 entonces p(0) = a 0 = 0 y p (0) = a 1 = 1. Por tanto, H = {p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 a 0 = 0, a 1 = 1} y sus ecuaciones paramétrica son H = x + x 2, x 3 y su dimensión 2. Para L = x 3 + 1, x, x 2 = {p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 + a 3 x 3 = {p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 + a 3 x 3 a = 0}. y su dimensión es 3. Ahora, las ecuaciones implícitas de a 0 a 1 a 2 a = 0} = H L = {p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 a 0 = 0, a 1 = 1, a 3 = 1}, que pasando a las paramétricas se obtiene H L = x + x 3 + x 2, y la dimensión es Halla la mínima subvariedad de R 4, indicando sus dimensiones, que contiene a las subvariedades: 2x y = 0 x + y = 3 1. r 1 x + z = 0 y r 2 2x z = 1. 3x t = 0 t = 0 6x 5y + 3t = 1 2. π 1 y r 3 (1, 3, 1, 2) + (1, 2, 1, 0). 3x + 2y + 3z = 4 6x 3y + t = 1 3. π 1 y π 2. x y + z + t = 1 Solución.

5 I.T.I.S USAL 5 1. Para calcular la mínima subvariedad que contiene a r 1 y a r 2, la manera más fácil es calcular un punto que pase por la subvariedad y los vectores que forma una base del espacio de direcciones. Esto es, un punto de la subvariedad es por ejemplo P = (0, 0, 0, 0) que pertenece a r 1. Por otro lado, pasando de las ecuaciones implícitas de las rectas ( son rectas por que su incidente tiene en ambos casos dimensión 3 por que el número de ecuaciones de sus ecuaciones implícitas es tres) a las ecuaciones paramétricas se tienen los espacios de direcciones de cada uno de ellos. Así, como y = 2x, z = x, t = 3x, entonces r 1 = (1, 2, 1, 3) y como y = 3 x, z = 1 + 2x, t = 0 entonces r 2 = (0, 3, 2, 0) + (1, 1, 2, 0). Con estas ecuaciones paramétricas, el mínima subvariedad que contiene a r 1 y a r 2 es la que pasa por (0, 0, 0, 0) y tiene por subespacio de direcciones a (0, 3, 1, 0), (1, 2, 1, 3), (1, 1, 2, 0) (se debe añadir el vector P Q = (0, 3, 1, 0) (0, 0, 0, 0); es decir, H = x y z t {(x, y, z, t) R = 0} = {(x, y, z, t) R 4 7x y + 3z + 4t = 0} 6x 5y + 3t = 1 2. π 1 3x + 2y + 3z = 4 y r 3 (1, 3, 1, 2) + (1, 2, 1, 0). Análogamente al ejercicio anterior, se busca un punto, que en este caso puede ser el de la recta r 3 que ya viene dado, P = (1, 3, 1, 2) y un subespacio de direcciones. Este es (3, 9, 1, 5), (1, 0, 1, 2), (0, 3, 2, 5), (1, 2, 1, 0), por que de las ecuaciones implícitas del plano π 1 se pueden calcular las ecuaciones paramétricas despejando unas variables en función de otras. Esto es, t = 1/3 2x+5/3y y z = 4/3 + x 2/3y y entonces π 1 = (0, 0, 4/3, 1/3) + (1, 0, 1, 2), (0, 3, 2, 5) y además se debe añadir el vector P Q = (3, 9, 1, 5) definido por los dos puntos P y Q = (0, 0, 4/3, 1/3). Sin embargo, como el determinante de es cero, el vector P Q dependiente linealmente de los otros. Entonces x 1 y 3 z + 1 t 2 H = {(x, y, z, t) R = 0} Igual En Mat 2 2 (R) considera las subvariedades: r = +,, s = + { A Mat 2 2 (R) A t = A }. 1 0 Obtén las ecuaciones de la mínima subvariedad que las contiene y también de la máxima subvariedad que está contenida en ambas indicando además las dimensiones. Determina si los puntos P = ( y Q = 0 4 ) 2 9 pertenece a alguna de las subvariedades obtenidas.

6 6 B.G.O. Solución. Para calcular las ecuaciones implícitas de r basta observar que tomando la base canónica C = { }, x y,,, la matriz se identifica con z t el vector de (x, y, z, t) de R 4, y así x 1 y 1 z 2 t + 1 r {(x, y, z, t) rg = 2} = = {(x, y, z, t) z = 2 x + 3y + t = 3 }. Para la subvariedad s, como {A Mat 2 2 ((R) A t ) = A} ( se identifica ) con ( el conjunto de ) las matrices cuadradas de orden 2 tales que a b a c a b = c = = c d b d c = b d resulta que s x y 1 z + 1 t + 9 {(x, y, z, t) = 0} = = {(x, y, z, t) y z = 2}. Una vez que se tiene las ecuaciones implícitas de cada una de las subvariedades, es fácil calcular tanto la mínima subvariedad que las contiene como la máxima subvariedad contenida en ellas. Claramente, como ambas son subvariedades afines, la máxima subvariedad que está contenida en cada una de ellas, es en cada caso cada una de ellas. Por tanto, la última pregunta ya ha sido contestada y sus ecuaciones implícitas son las dadas más arriba. En cuanto a la mínima subvariedad que las contiene, puesto que (1, 0, 0 1), (2, 1, 0, 1) y (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0) son bases del espacio de direcciones tanto de r como de s, el espacio de direcciones de la mínima subvariedad está generado por (1, 0, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0). Como la dimensión del conjunto de las matrices cuadradas dos por dos con coeficiente en R es 4, la dimensión máxima que puede tener el espacio de direcciones de la mínima subvariedad H que contiene a r y a s, es también cuatro. Además, como , el rango es exactamente cuatro. Por tanto, H = Mat 2 2 (R). Por último, para saber si las matrices P y Q son matrices de alguna de las subvariedades obtenidas, basta observar que las coordenadas de estas matrices verifican las ecuaciones de r y por tanto son puntos de r. En consecuencia también los son de la mínima subvariedad que contiene a r y a s Sea R 2 [x] el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 2. Sea E el plano de los polinomios de grado menor o igual que 1. Sea ω : E R la forma lineal definida por ω(p(x)) = 1 0 x p(x) dx. Considerando la base {1, x, x2 }, calcular las ecuaciones de la recta que pasa por 1 + x 2 y es paralela a la recta intersección del plano ω 1 (2) con E. Solución. Primero calculemos las coordenadas de las forma lineal ω respecto de la base dual de la base {1, x, x 2 } de R 2 [x]. Sea B = {ω 1, ω 2, ω 3 } esta base dual, entones las coordenadas

7 I.T.I.S USAL 7 de ω = (α 1, α 2, α 3 ) se calculan sabiendo que α 1 = ω(1) = 1 0 x dx = 1/2, α 2 = ω(x) = 1 0 x2 dx = 1/3 y α 3 = ω(x 2 ) = 1 0 x3 dx = 1/4. Ahora (respecto de la base B = {1, x, x 2 }) la recta a calcular pasa por el punto 1 + x 2 = (1, 0, 1) B y su espacio de direcciones es igual al espacio de direcciones de la intersección de dos planos. Calculemos las ecuaciones de los planos. El plano ω 1 (2) = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 R 2 [x] 2 = 1/2(a 0 ) + 1/3(a 1 ) + 1/4(a 2 )} y el plano E = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 R 2 [x] a 2 = 0} se intersecan en ω 1 (2) E = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 R 2 [x] 2 = 1/2(a 0 ) + 1/3(a 1 ) + 1/4(a 2 ) y a 2 = 0} = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 R 2 [x] 12 = 3a 0 + 2a 1 y a 2 = 0} = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 R 2 [x] a 0 = 4 2/3λ, a 1 = λ, a 2 = 0} = (4, 0, 0) + ( 2, 3, 0). Finalmente, para dar las ecuaciones de la recta pedida, basta escribir la recta que pasa por el punto (1, 0, 1) y tiene por espacio de direcciones a ( 2, 3, 0), luego ( ) r {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 a 0 1 a 1 a 2 1 R 2 [x] rg = 1} = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 R 2 [x] 3a 0 + 2a 1 3 = a 2 1 = 0} Calcular el plano que contiene a la recta s x = y = z = t + 1 y corta a las rectas: x + y = 0 r 1 y + 2z = 0 z + 3t = 1 y r 2 x 2 2 = y = z 1 = t + 1. Solución. Las ecuaciones implícitas del plano pedido las forman cada una de las ecuaciones de los dos hiperplanos H 1 y H 2 (en este caso, subvariedades afines de dimensión tres) que contienen las rectas s y r 1 y s y r 2, respectivamente. Es decir, pasando a las ecuaciones paramétricas x = 2 + 2λ y = λ r 2, z = λ t = 1 + λ s (0, 0, 0, 1) + (1, 1, 1, 1) y r 1 (0, 0, 0, 1/3) + ( 1, 1, 1/2, 1/6). Por tanto, H 1 contiene a s (0, 0, 0, 1)+ (1, 1, 1, 1) y a r 1 (0, 0, 0, 1/3)+ ( 1, 1, 1/2, 1/6) y es H 1 (0, 0, 0, 1) + (1, 1, 1, 1), ( 1, 1 1/2, 1/6), (0, 0, 0, 1) x y z t + 1 {(x, y, z, t) R = 0}

8 8 B.G.O. Para H 2, como contiene a s y a r 2 se tiene que H 2 (0, 0, 0, 1) + (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1), ( 2, 0, 0, 0) x y z t + 1 {(x, y, z, t) R = 0} Ahora el plano pedido es la intersección de H 1 y H 2.

Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 3. Beatriz Graña Otero

Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 3. Beatriz Graña Otero Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja. Beatriz Graña Otero 5 de Diciembre de 8 B.G.O. 47.- Sobre el R-espacio vectorial E de dimensión 4, sea la métrica cuya matriz asociada a la base B = {e, e, e, e 4

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que

Más detalles

TEMA V. Espacios vectoriales

TEMA V. Espacios vectoriales TEMA V. Espacios vectoriales 1 1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales: a El conjunto (R 2, +,, R. b El conjunto (R 3,

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5

ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5 ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5 Espacios vectoriales (Curso 2014 2015) 1. En el espacio vectorial real IR 2 consideramos los siguientes subconjuntos: (a) A = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 = 1}. (b) B = {(x y) IR 2

Más detalles

Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1, 2, 1) y

Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1, 2, 1) y Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y 2. 1. El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A

Más detalles

Ejercicios de Rectas y planos.

Ejercicios de Rectas y planos. Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios Rectas, planos. Pág 1/9 Ejercicios de Rectas y planos. 1. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas

Más detalles

2 Espacios vectoriales

2 Espacios vectoriales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 2 Espacios vectoriales 2.1 Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V sobre el que hay

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Departamento de Matemática Aplicada II E.E.I. ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA Boletín n o (010-011 ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES 1. En el espacio vectorial ordinario R 4 estudiar cuáles de los siguientes

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales

1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Sea k un cuerpo. 1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Definición 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial

Más detalles

SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN - Espacios Vectoriales.

SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN - Espacios Vectoriales. SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN - Espacios Vectoriales. A) Soluciones a las Cuestiones C-1) a) Sí, por ejemplo el eje X, formado por los vectores de la forma (λ, 0), que se identificarían con el número

Más detalles

Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales

Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales (1) Sea n N. Mostrar que el conjunto de polinomios sobre R de grado menor que n es un subespacio vectorial de R[x]. Este

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1: 6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Tema 2: Espacios vectoriales

Tema 2: Espacios vectoriales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 2: Espacios vectoriales Ejercicios 1. En R 2 se definen las siguientes operaciones: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 +

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

Apellidos: Nombre: NIF:

Apellidos: Nombre: NIF: Universidad de Oviedo EPS de ingeniería de Gijón Dpto. Matemáticas Algebra Lineal 7/06/008 Segunda parte Apellidos: Nombre: NIF: Ejercicio 1 Sea f : R 3 R [x] una aplicación lineal definida en las bases

Más detalles

EJERCICIO 1. Trazar por el punto P una recta p perpendicular a. Hallar el punto I de intersección de ambos. P" =I''=p''

EJERCICIO 1. Trazar por el punto P una recta p perpendicular a. Hallar el punto I de intersección de ambos. P =I''=p'' EJERCICIO 1 Trazar por el punto P una recta p perpendicular a. Hallar el punto I de intersección de ambos. P" =I''=p'' p' I' P EJERCICIO 1 Trazar por el punto P = (5,3,2) una recta perpendicular al plano

Más detalles

TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera

TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas

Más detalles

CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS

CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Sea E un R-espacio vectorial de dimensión. Sean E = e 1, e un plano vectorial de E y e 0 un

Más detalles

Cuestiones de Álgebra Lineal

Cuestiones de Álgebra Lineal Cuestiones de Álgebra Lineal Algunas de las cuestiones que aparecen en esta relación están pensadas para ser introducidas en un plataforma interactiva de aprendizaje de modo que los parámetros a, b que

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 4: Aplicaciones lineales Ejercicios 1 Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R R 3, definida por f(x, y) =

Más detalles

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un

Más detalles

Rectas y Planos en el Espacio

Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Verónica Briceño V. septiembre 2012 Verónica Briceño V. () Rectas y Planos en el Espacio septiembre 2012 1 / 20 En esta Presentación... En esta

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

A d) Estudiar la diagonalización del endomorfismo T. Es posible encontrar una base de vectores propios de R 2 [x]? Razonar la respuesta.

A d) Estudiar la diagonalización del endomorfismo T. Es posible encontrar una base de vectores propios de R 2 [x]? Razonar la respuesta. Universidad de Oviedo Ejercicio.5 puntos Se consideran las aplicaciones lineales T : R [x] R y T : R R [x] de las que se conoce la matriz A asociada a T en las bases canónicas de R [x] y R y la matriz

Más detalles

Rectas y Planos en el Espacio

Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Verónica Briceño V. octubre 2013 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Rectas En esta Presentación... En esta Presentación veremos:

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso

PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso - - Consideremos el conjunto R formado por todas las parejas () de números reales Se define en R la operación interna ()( )( ) una de las operaciones eternas

Más detalles

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición

Más detalles

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades: CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse

Más detalles

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.

Más detalles

Matrices. Operaciones con matrices.

Matrices. Operaciones con matrices. Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =

Más detalles

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. 2.1. Definiciones y propiedades Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición

Más detalles

Espacios vectoriales.

Espacios vectoriales. Unidad docente de Matemáticas Matemáticas (CC. Químicas) Espacios vectoriales. Si detectas cualquier error o errata por favor, comunicaselo al profesor de la asignatura. El subíndice can significa canónica/o..

Más detalles

Ecuaciones de la recta en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que

Más detalles

1. DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CANÓNICAS

1. DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CANÓNICAS 1 1. DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CANÓNICAS 1. Se considera la matriz: A = ( 2 3 4 13 con coeficientes en R. Hallar los valores propios, los vectores propios y una matriz P que permita la diagonalización de

Más detalles

Definición 1.28 (Determinación de una recta) Una recta en el plano viene determinada por un punto y un vector libre, no nulo, r (P; u )

Definición 1.28 (Determinación de una recta) Una recta en el plano viene determinada por un punto y un vector libre, no nulo, r (P; u ) 1.3. La recta en el plano afín La recta está formada por puntos del plano en una dirección dada. La ecuación de la recta es la condición necesaria y suficiente que deben cumplir las coordenadas de un punto

Más detalles

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA Diplomatura en Ciencia y Tecnología ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA SEGUNDO CUATRIMESTRE DE 009 Profesora Mariana Suarez PRACTICA N 8: RECTA EN EL ESPACIO PLANO ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA - Segundo cuatrimestre

Más detalles

Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12. Espacios vectoriales. Bases...

Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12. Espacios vectoriales. Bases... Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12 Espacios vectoriales. Bases 61) Dados los vectores v 1,v 2,...,v n linealmente independientes, probar que también lo son los vectores u 1 = v 1 u 2 = v 1 + v 2... u

Más detalles

Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales.

Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Ejercicio 2: Determine si los siguientes conjuntos

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma

Más detalles

El haz de planos paralelos queda determinado por un vector normal, n A, B,

El haz de planos paralelos queda determinado por un vector normal, n A, B, HAZ DE PLANOS HAZ DE PLANOS PARALELOS Dado un plano, por ejemplo, π :3x4y2z1 cuyo vector normal es n 3, 4, 2, cualquier otro plano que tenga el mismo vector normal será un plano paralelo a. El plano π

Más detalles

ÍNDICE. Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos... 13

ÍNDICE. Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos... 13 00_Principios 10/8/10 09:47 Página 7 ÍNDICE Prólogo... 9 Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES... 11 Conceptos Teóricos... 11 Ejercicios y Problemas resueltos... 13 Capítulo 2. MATRICES Y DETERMINANTES... 21

Más detalles

Subspacios Vectoriales

Subspacios Vectoriales Subspacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Subspacios Vectoriales 1 / 25 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si un subconjunto es

Más detalles

= λ + 1 y el punto A(0, 7, 5)

= λ + 1 y el punto A(0, 7, 5) 94 GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO en las PAU de Asturias Dados los puntos A(1, 0, 1), B(l, 1, 1) y C(l, 6, a), se pide: a) hallar para qué valores del parámetro a están alineados b) hallar si existen

Más detalles

UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 21/05/2013. Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:...

UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 21/05/2013. Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:... UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 1/05/01 Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:... La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios.

Más detalles

Tema 1: Espacios vectoriales

Tema 1: Espacios vectoriales PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Parte I: Álgebra Primero de Ingeniería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha Tema 1: Espacios vectoriales 1 Determina

Más detalles

MATEMÁTICAS: EBAU 2017 MODELO CASTILLA Y LEÓN

MATEMÁTICAS: EBAU 2017 MODELO CASTILLA Y LEÓN MATEMÁTICAS: EBAU 207 MODELO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A x y + z = Dado el sistema de ecuaciones lineales { 3x + λy =, se pide: 4x + λz = 2 a) Discutir el sistema (existencia y número de soluciones)

Más detalles

Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I

Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I Hoja de diagonalización MATEMÁTICAS I 8-9.- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax así como los subespacios vectoriales

Más detalles

Las variedades lineales en un K-espacio vectorial V pueden definirse como sigue a partir de los subespacios de V.

Las variedades lineales en un K-espacio vectorial V pueden definirse como sigue a partir de los subespacios de V. Capítulo 9 Variedades lineales Al considerar los subespacios de R 2, vimos que éstos son el conjunto {(0, 0)}, el espacio R 2 y las rectas que pasan por el origen. Ahora, en algunos contextos, por ejemplo

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,

Más detalles

Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas (Curso )

Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas (Curso ) ÁLGEBRA Práctica 8 Aplicaciones bilineales y formas cuadráticas (Curso 2008 2009) 1. Comprobar si las siguientes aplicaciones son o no bilineales y en las que resulten serlo, dar la matriz que las representa

Más detalles

MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias

MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Ángulos

Más detalles

Geometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 4

Geometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 4 Geometría afín y proyectiva, 2016 SEMANA 4 Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM September 30, 2016 Geometría afín y proyectiva 1. Álgebra Lineal 2. Geometría afín y eucĺıdea 3. Cónicas y cuádricas Álgebra

Más detalles

Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z

Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z Unidad 4 Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z de transición Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Conocerá la deinición de base de un espacio vectorial Identiicará bases canónicas para algunos

Más detalles

Intersección y suma de subespacios

Intersección y suma de subespacios Intersección y suma de subespacios Objetivos Demostrar que la intersección y la suma de dos subespacios de un espacio vectorial también son sus subespaicios Requisitos Espacio vectorial, subespacio vectorial

Más detalles

TEMA 6. Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos

TEMA 6. Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 88 Ángulos entre rectas y planos TEMA 6 Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos Dadas las rectas r y s

Más detalles

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder

Más detalles

Geometría del plano y el espacio

Geometría del plano y el espacio Geometría del plano y el espacio AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Geometría del plano y el espacio 1 / 21 Objetivos Al final de este tema tendréis que Conocer

Más detalles

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,

Más detalles

es el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no

es el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód. 145-15 P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos.

Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos. Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada

Más detalles

f(x, y, z, t) = (x + y t, x + 2y z 3t, 3x + 5y 2z 7t).

f(x, y, z, t) = (x + y t, x + 2y z 3t, 3x + 5y 2z 7t). Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Álgebra Convocatoria de enero de 20 de enero de 20 (2.5 p.) ) Se considera la aplicación lineal f : R 4 R definida por: f(x y

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio

Más detalles

Rectas y planos en el espacio

Rectas y planos en el espacio Rectas y planos en el espacio 1. 2. 3. Discute el siguiente sistema según el valor del parámetro a: ax 4y z 1 y az a x 14y 2az 8 Dada la recta x 4 y z 1, 5 2 averigua si el punto P(6, 2, 2) está contenido

Más detalles

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN BANCO DE PREGUNTAS CURSO: ALGEBRA LINEAL LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Mendoza Otoño

Más detalles

El espacio proyectivo. Sistemas de referencia. Dualidad.

El espacio proyectivo. Sistemas de referencia. Dualidad. Capítulo 1 El espacio proyectivo Sistemas de referencia Dualidad En todo lo que sigue k designará un cuerpo arbitrario 11 Espacio afín como subespacio del proyectivo Definición 111 Sea un entero n 0 El

Más detalles

Lista de problemas de álgebra, 2016

Lista de problemas de álgebra, 2016 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas Posgrado en Ciencias Físicomatemáticas Línea de Matemáticas Lista de problemas de álgebra 2016 Egor Maximenko: En mi opinión cualquier

Más detalles

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS DE

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS DE E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA BOLETÍN DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL para las titulaciones de INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN 1. Matrices y determinantes Ejercicio 1.1 Demostrar

Más detalles

102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D.

102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. 102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. Tema 1. Espacios Vectoriales. 1. Dar la definición de cuerpo. Dar tres ejemplos de cuerpos. Dar un ejemplo de un cuerpo finito 2. Defina

Más detalles

1. ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS

1. ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS . ESPACIO EUCLÍDEO. ISOMETRÍAS. En el espacio euclídeo usual R 4 se consideran los subespacios vectoriales y W = {(x, y, z, t R 4 : x y =, z + t = } Hallar: W 2 = L{(,, 2, 2, (,,, } a Las ecuaciones de

Más detalles

Planos y Rectas. 19 de Marzo de 2012

Planos y Rectas. 19 de Marzo de 2012 el Geometría en el Planos y Rectas Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa 19 de Marzo de 2012 el Anteriormente vimos que es posible encontrar un número infinito de vectores, no paralelos

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Ejercicios 1.- Determinar el rango de la siguiente matriz: 0 1 3 4 1 3 5. Solución. 0 1 3 4 1 3 5 AT 1( 1) AT 1 ( 1)T 14 ( 1 )

Más detalles

TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EJERCICIO 1 : Halla el volumen del tetraedro determinado por los ejes

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: { x ay = 2 se pide: ax y = a + 1 a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la

Más detalles

TEMA 12: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO.

TEMA 12: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO. TEMA 12: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO. 1. Distancia entre dos puntos: Si A= (a 1, a 2, a 3 ) y B= (b 1, b 2, b 3 ), entonces: 2.Ángulo entre elementos del espacio: Ángulo entre dos rectas: d (A, B)

Más detalles

Tema 3. GEOMETRIA ANALITICA.

Tema 3. GEOMETRIA ANALITICA. Álgebra lineal. Curso 087-009. Tema. Hoja 1 Tema. GEOMETRIA ANALITICA. 1. Hallar la ecuación de la recta: a) que pase por ( 4, ) y tenga pendiente 1. b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente. c) que pase

Más detalles

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.

Más detalles

190. Dado el paralelepípedo OADBFCEG en el espacio afín ordinario, se considera el sistema de referencia afín R = ( O, OA, OB, OC ).

190. Dado el paralelepípedo OADBFCEG en el espacio afín ordinario, se considera el sistema de referencia afín R = ( O, OA, OB, OC ). Hoja de Problemas Geometría VIII 90. Dado el paralelepípedo OADBFCEG en el espacio afín ordinario, se considera el sistema de referencia afín R O, Sean: OA, OB, OC ). OG la recta determinada por los puntos

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 22 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio

Más detalles

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo. GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de

Más detalles

CONJUNTO R n. = (5, 2, 10) de 3, son linealmente. = (2,1,3) y v 3. = (0,1, 1) y u 3. = (2,0,3, 1), u 3. = (1,1, 0,m), v 2

CONJUNTO R n. = (5, 2, 10) de 3, son linealmente. = (2,1,3) y v 3. = (0,1, 1) y u 3. = (2,0,3, 1), u 3. = (1,1, 0,m), v 2 CONJUNTO R n.- Considerar los vectores u = (, -3, ) y v = (, -, ) de 3 : a) Escribir, si es posible, los vectores (, 7, -4) y (, -5, 4) como combinación lineal de u y v. b) Para qué valores de x es el

Más detalles

Distancia entre dos rectas que se cruzan Perpendicular común

Distancia entre dos rectas que se cruzan Perpendicular común Perpendicular común En un espacio de tres dimensiones dos rectas se cruzan cuando no tienen ningún punto en común y no están contenidas en el mismo plano. Si no tienen ningún punto en común pero sí que

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión.

Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Algebra I I Relación de problemas 3. Espacios vectoriales. 1.-Estudiar si los siguientes conjuntos forman o

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando

Más detalles

Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución

Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución Respuestas a la versión 1: (La versión 1 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Un sistema lineal de m ecuaciones

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,

Más detalles

Ejercicios de Ampliación de Geometría. Hoja 2

Ejercicios de Ampliación de Geometría. Hoja 2 Ejercicios de Ampliación de Geometría Licenciatura en Ciencias Matemáticas, 2 Curso 27 de Octubre de 2008 Hoja 2 Dualidad y radiaciones. 1. Formular y resolver en el espacio proyectivo dual los siguientes

Más detalles

Ecuación Vectorial de la Recta

Ecuación Vectorial de la Recta Ecuación Vectorial de la Recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene

Más detalles

Tema 6 La recta Índice

Tema 6 La recta Índice Tema 6 La recta Índice 1. Ecuación vectorial de la recta... 2 2. Ecuaciones paramétricas de la recta... 2 3. Ecuación continua de la recta... 2 4. Ecuación general de la recta... 3 5. Ecuación en forma

Más detalles

Problemas de Geometría Analítica del Espacio

Problemas de Geometría Analítica del Espacio 1) Dados los vectores u(4, 4, 8), v( 2,, 5), w(3, 5, 8) y a(22,, 11). Hallar los valores de x, y, z que verifican la combinación lineal a = x u + y v + z w. 2) Dados los vectores a( 5, 19, n) y b( h, 3,

Más detalles