Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:

Transcripción

1 POTENCIAS. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS U poteci es u for revid de escriir u producto de fctores igules E ls potecis, el fctor repetido se ll se, y el úero de veces que se repite, expoete. Al utilizr ls potecis te e cuet que Culquier úero puede expresrse edite u poteci de expoete. Por ejeplo, 7 7,... Pr efectur u poteci dees ultiplicr l se por sí is tts veces coo idique el expoete. No cofuds co Ejeplo. Expresr e for de poteci (-) (-) (-) (-) Ejeplo. Clculr Ejeplo. (+) (+) (+) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mteátics º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

2 E ls sucesivs potecis de u úero egtivo oteeos, ltertivete, resultdos positivos y egtivos ( ) ( ) +9 ( ) 7 ( ) +8 Al elevr u úero egtivo u poteci Si el expoete es pr, el resultdo es positivo. ( es u úero positivo) Si el expoete es ipr, el resultdo es egtivo. ( es u úero positivo) ( ) (pr) positivo ( ) (ipr) egtivo Te cuiddo co ls potecis y el sigo de l se. (-) L se es -, el expoete es y dejo de él hy u prétesis que ecierr l se -. (-) (-) (-)9 - No es u poteci, se trt de u operció coid, u producto y u poteci. - (-) (-) 9-9 L poteci es, luego l se es y el expoete es. Tié podeos decir que - es el opuesto de, coo 9 su opuesto es -9, luego - 9 Ejeplo. (-) - - (-) (-) Cudo l se de u poteci queros que se egtiv dee ir etre prétesis... PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Poteci de expoete cero Ejeplo. (- ) (- 7) Ejeplo Por qué o es? Porque se trt de u operció coid, u producto y u poteci. - (-) (-) (-) 7 (-) - - (-) (-) - Mteátics º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

3 Poteci de u producto ( ) Ejeplo 7. ( ) 8 7 ( 7) Ejeplo 8. Clculr, por el cio ás secillo,. ( ) Poteci de u cociete ( ) Ejeplo 9. ( ).. OPERACIONES CON POTENCIAS Producto de potecis de l is se + Al ultiplicr dos potecis del iso úero, se otiee otr poteci de dicho úero. Oserv que el expoete del producto fil es l su de los expoetes de los fctores. Pr ultiplicr dos potecis de l is se, se dej l se y se su los expoetes. Por ejeplo + Ejeplo. Reduce u sol poteci ( ) Cociete de potecis de l is se Al dividir dos potecis del iso úero, se otiee otr poteci de dicho úero. Mteátics º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

4 / / / 7 / / / Oserv que el expoete del cociete es l difereci etre los expoetes del dividedo y del divisor. Pr dividir dos potecis de l is se, se dej l se y se rest los expoetes. Por ejeplo 8 8 Ejeplo. 9 9 Poteci de otr poteci ( ) Al elevr u poteci otr poteci, se otiee u uev poteci de l is se. ( ) + + Oserv que el expoete fil es el producto de los expoetes de l expresió iicil. Pr elevr u poteci otr poteci, se dej l se y se ultiplic los expoetes. Por ejeplo ( ) 8 Ejeplo. [( ) ] ( ) Ejeplo. ( 8 ) ( ) ( 8 + ) ( ) 7 [( ) ] ( ) 7 [( ) ] ( ) 7 [( ) ] ( ) 7 ( ).. POTENCIAS DE BASE. NOTACIÓN CIENTÍFICA. Y hs oservdo que el tño de u úero co uchos ceros se percie ejor si se expres co u poteci de se Ahor vos provechr este recurso pr fcilitr l expresió y l copresió de úeros uy grdes. Ejeplo. U ño luz equivle, proxidete, 9 kilóetros. Oserv ls trsforcioes que propoeos pr hcer es ctidd ás ejle Descoposició e producto por l uidd seguid de ceros. 9 Mteátics º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

5 Trsforció del segudo fctor e poteci de se. 9 Direos, etoces, que u ño luz equivle 9 kilóetros. Est ctidd es ás fácil de leer, de escriir y de recordr. L otció cietífic es u recurso teático epledo pr siplificr cálculos y represetr e for cocis úeros uy grdes o uy pequeños. Pr hcerlo se us potecis de diez. Básicete, l otció cietífic cosiste e represetr u úero etero o decil coo poteci de diez. E el siste decil, culquier úero rel puede expresrse edite l deoid otció cietífic. Pr expresr u úero e otció cietífic idetificos l co decil (si l hy) y l desplzos hci l izquierd si el úero covertir es yor que, e cio, si el úero es eor que (epiez co cero co) l desplzos hci l derech ttos lugres coo se ecesrio pr que (e os csos) el úico dígito que quede l izquierd de l co esté etre y 9 y que todos los otros dígitos prezc l derech de l co decil. Es ás fácil eteder co ejeplos 7 7,, 7, - 7, 7, 7, (ovios l co decil lugres hci l izquierd),,,, (ovios l co decil lugres hci l derech). Fíjte l ctidd de lugres que ovios l co (y se izquierd o derech) os idic el expoete que tedrá l se (si l co l oveos dos lugres el expoete es, si lo hceos por lugres, el expoete es, y sí sucesivete. Siepre que oveos l co decil hci l izquierd el expoete de l poteci de será positivo. Siepre que oveos l co decil hci l derech el expoete de l poteci de será egtivo. Ejeplo. Represetr e otció cietífic 7.8,. Se desplz l co decil hci l izquierd, de tl er que tes de ell sólo quede u dígito etero diferete de cero (etre y 9), e este cso el 7. 7,8 L co se desplzó lugres. Mteátics º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

6 . El úero de cifrs desplzd idic el expoete de l poteci de diez; coo ls cifrs desplzds so, l poteci es de.. El sigo del expoete es positivo si l co decil se desplz l izquierd, y es egtivo si se desplz l derech. Recuerd que el sigo positivo e el cso de los expoetes o se ot; se soreetiede. Por lo tto, l otció cietífic de l ctidd 7.8, es 7,8. POTENCIAS DE FRACCIONES NÚMEROS FRACCIONARIOS Ls propieddes que hs estudido pr ls potecis de úeros eteros se coserv co los úeros frcciorios. Ests propieddes se trduce e regls de uso práctico; pero o te liites eorizrls, si copredes su justificció, ls usrás co yor seguridd y eficci. Poteci de u frcció L poteci de u úero frcciorio se clcul de l is for que l poteci de u etero. Pr elevr u frcció u poteci, se elev el uerdor y el deoidor dich poteci. Ejeplo. ( ) 9 Oserv que pr que l se de u poteci se u frcció ést tiee que ir etre prétesis. Ejeplo 7. Poteci de u producto de frccioes L poteci de u producto es igul l producto de ls potecis de los d c d c Mteátics º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

7 fctores. Ejeplo 8. Poteci de u cociete de frccioes L poteci de u cociete es igul l cociete de ls potecis del dividedo y del divisor. Ejeplo 9. 8 Producto de potecis de l is se Pr ultiplicr dos potecis de l is se, se su los expoetes. Ejeplo. + Cociete de potecis de l is se Pr dividir dos potecis de l is se, se rest los expoetes. Ejeplo. Potecis de expoete cero ( ) El cociete de dos úeros igules es igul l uidd. Pr dividir dos potecis de igul se, restos los expoetes. Etoces Y de l is for + d c d c Mteátics º E.S.P.A. Pág.7 C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

8 L poteci de expoete cero vle siepre uo (pr culquier se distit Ejeplo. ( ) 7 Cuiddo! Poteci de otr poteci Pr elevr u poteci otr poteci, se ultiplic los expoetes. Ejeplo. 79. RAíCES CUADRADAS. CUADRADOS PERFECTOS Clculr l ríz cudrd es hcer l operció ivers de elevr l cudrdo. ± Ejeplo. es de cudrd ríz L ) ( ± ± Mteátics º E.S.P.A. Pág.8 C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

9 ± ( ) L ríz cudrd de es ± Si oservs l defiició de ríz cudrd quizá te hys ddo cuet que o existe l ríz cudrd de úeros egtivos. Si etoces el úero deerí de cuplir que -, lo cul es iposile, porque l elevr u úero dos se otiee otro úero siepre positivo. Si <, o existe.. RAÍCES EXACTAS Los úeros cuy ríz es exct se ll cudrdos perfectos. Por ejeplo, so cudrdos perfectos, ó. ± ( ) ± ( ) ± ( ).. RAÍCES ENTERAS Pr l yorí de los úeros, l ríz o coicide co u ctidd exct de uiddes eters. Busqueos, por ejeplo, l ríz de < > < < L ríz cudrd de está copredid etre y. Al úero turl que ás se proxi, por dejo, l ríz, lo llos ríz eter. L ríz eter de es. Ejeplo. 89 ± L ( 7) 89 ríz cudrd de 89 es ± 7 Mteátics º E.S.P.A. Pág.9 C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño

10 ± ( ) L ríz cudrd de es ± Lo ás hitul el que o os sepos los cudrdos perfectos. Cóo podeos clculr sus ríces? Fctorizdo el úero coo puedes ver e los siguietes ejeplos. Ejeplo. 9 7 Ejeplo 7. ± ( 7) ( ) ± 7 ± ( ) ± ± Ríz exct 8 9 Ríz eter ± ± Teiedo e cuet los dtos del cudro, clculr, y 8 7 Ríz eter ± Mteátics º E.S.P.A. Pág. C.E.P.A. Plus Ultr. Logroño