Ejercicios de álgebra (Resueltos)

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1 Ejercicios de álgebra (Resueltos) 1. Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetro recorrido. Un cliente pagó 160 euros por 3 días y 400 km. Otro cliente pagó 175 euros por 5 días y 300 km. Cuánto cobra la empresa por día y kilómetro? Incógnitas: x=cantidad que se cobra por día, y=cantidad que se cobra por kilómetro = = =75 = =160 =0 Solución: Se cobran 0 euros por día más 0 5 euros por kilómetro. En un examen tipo test se obtienen 5 puntos por cada acierto y se restan 3 puntos por cada fallo. Una persona que respondió a 0 preguntas obtuvo una puntuación de 1. Cuántas fueron sus respuestas acertadas? Incógnitas: x=número de respuestas acertadas, y=número de respuestas falladas. 5 3=1 +=0 ó =0 50 3= =1 =11 =0 =0 11=9 Solución: Acertó 9 preguntas y falló Un trabajador eventual gana 85 al día cuando trabaja en turno diurno y 10 cuando lo hace en turno nocturno. Sabiendo que en una semana (cinco días) ha ganado 495, qué turnos hizo? Incógnitas: x=nº de días que trabaja en turno diurno, y= nº de días que trabaja en turno nocturno =495 +=5 ó = = =495 = =5 =5 =3 Solución: Trabajó dos noches y tres días. 4. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y 3 kg de pintura blanca pagamos 69 euros. Cual es el precio del kilo de pintura blanca y de pintura verde, sabiendo que, si las mezclamos a partes iguales, el precio de la mezcla es de 7 5 euros por kilo. Incógnitas: x=precio del kilo de pintura verde, y= precio del kilo de pintura blanca. 5+3=69 +=15 ó = = =69 =3

2 =15 =15 3=1 Solución: La pintura verde cuesta 1 /k y la blanca cuesta 3 /k 5. Un cateto de un triángulo rectángulo mide 8 cm y la hipotenusa 14 cm menos que la suma de ambos catetos. Calcula la medida otro cateto. Incógnita: x=lo que mide el cateto desconocido. Teorema de Pitágoras. +8 = = =196+8 =1 6. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 metros más que el mayor cateto, y la suma de ambos catetos es 35 m. Cuánto mide cada uno de los tres lados? Incógnita: x=lo que mide el cateto mayor. Teorema de Pitágoras. = ± +35 = = = ± = ± =0 = ± = =60 =0 La primera solución se descarta, no es válida porque si un cateto mide 60 m, la suma de los dos catetos no puede ser 35 m. Solución: Los catetos miden 15 m y 0 m, respectivamente, y la hipotenusa mide 5 m. x x 35-x x+5 8+x-14 8 cm 7. Un grupo de amigos alquila una furgoneta por 490 euros para hacer un viaje. A última hora se apuntan dos más y así devuelven 8 euros a cada uno de los otros. Cuántos amigos fueron de excursión y cuánto pagó cada uno? Incógnitas: x=nº de amigos que fueron finalmente a la excursión, y= precio que pago cada uno de ellos. =490 +8=490 Quitando paréntesis en la segunda ecuación resulta: +8 56=490 Sustituyendo por 490 y despejando y en la ecuación resultante, queda: =14 8 Sustituyendo y en la primera ecuación, queda: 14 8= =0 Ecuación de segundo grado. Para que sea más sencilla, antes de resolverla la dividimos por 14 35=0 = ± = ± = ± = ± = = 5 La primera solución se descarta, ya que al ser negativa no es válida para el problema planteado. Solución: A la excursión fueron 7 amigos, cada uno de ellos pagó 70 =7 8. Un comerciante quiere vender por euros una partida de ordenadores que tiene en su almacén. Pero, al descubrir que dos de ellos están rotos, decide subir 50 euros el precio de los restantes, para obtener los mismos ingresos. Cuántos ordenadores tenía y cuál era su precio?

3 Incógnitas: x=nº de ordenadores que tenía al principio, y= precio inicial de cada uno de ellos. = = Quitando paréntesis en la segunda ecuación resulta: = Sustituyendo por y despejando y en la ecuación resultante, queda: =5 50 Sustituyendo y en la primera ecuación, queda: 5 50= =0 Ecuación de segundo grado. Para que sea más sencilla, antes de resolverla la dividimos por 5 400=0 = ± = ± = ± = ± = = 48 =50 La primera solución se descarta, ya que al ser negativa no es válida para el problema planteado. Solución: Tenía 50 ordenadores, cada uno de los cuales costaba Halla las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 34 m y cuya área es 60 m Incógnitas: x e y, dimensiones del rectángulo. +=34 =60 Despejando x en la primera ecuación se tiene =17, que se sustituye en la segunda: = ± 17 = =0 = ± = ± = ± = = x = =1 y =17 1=5 =5 y =17 5=1 Aunque hay dos soluciones =1, =5 =5, =1 Las dos corresponden al mismo rectángulo, por lo que son equivalentes. Solución: Las dimensiones del rectángulo son 1 m y 5 m 10. Si el lado de un cuadrado aumenta en 5 cm. su área se multiplica por 4. Cuál era el lado inicial del cuadrado? Incógnita: x = lado inicial del cuadrado. +5 = = =0 = 10+0 =5 6 Solución: El lado del cuadrado era 5 cm 11. Las edades de dos hermanos suman 6 años. Halla sus edades actuales, sabiendo que dentro de dos años la edad de uno será el doble de la del otro. Incógnita: x = Edad actual del mayor. Como suman 6 años, sus edades actuales serán y 6, dentro de dos años, las edades serán dos unidades más, es decir: + y 8 +=8 +=56

4 3=54 = 54 3 =18 Solución: La edad del mayor es 18 años y la del menor es 8 años 1. Calcula cuántos litros de vino hay en dos toneles, sabiendo que los 3/ 4 de la capacidad del primer tonel es igual a la capacidad del segundo, y los 3/ de la capacidad del segundo contienen 50 litros más que el primero. 3 4 = 3 = = =+50 9=8+400 =400 = =300 Solución: En el primer tonel hay 400 l y en el segundo 300 l. 13. Averigua las edades de dos hermanos que suman 4 años, sabiendo que duplicando la edad del menor, el resultado excede en 1 años a la edad del mayor. Incógnita: x = Edad del menor. Como suman 4 años, sus edades seránx y 4 =1+4 3=54 =18 Solución: La edad del menor es 18 años y la del mayor es 4 años 14. Halla dos números tales que si se multiplica por 3 el primero y por el segundo, la suma de tales productos es 150, mientras que si se divide el primero entre 3 y el segundo entre la suma de los cocientes es = =30 3+=150 +3= = = 540 5= 40 = =150 = =118 3 Solución: El primer número es 18 y el segundo Una caja llena de manzanas pesa 15 kg. Quitando un tercio de las manzanas el peso se reduce a 11 kg. Cuánto pesan la caja y las manzanas que contiene? Incógnita: x = peso de la caja, y=peso de las manzanas que contiene.

5 += = =4 =1 +1=15 =3 Solución: Las manzanas pesan 1 kg y la caja 3 kg. 16. Un estudiante quiere alquilar una habitación durante 9 meses. Pero se da cuenta de que por el mismo dinero puede alquilar otra habitación 50 euros más barata durante 1 meses. Cuánto cuesta el alquiler mensual de cada habitación? Incógnita: x = precio de la primera habitación. 9=1 50 9=1 600 =00 Solución: El alquiler de la primera habitación es 00 mensuales y el de la segunda 150 mensuales. 17. Para llenar un depósito de 0 litros que ya contiene 11 litros, echo 17 cubos y aún faltan 5 litros para acabar de llenarlo. Cuántos litros de agua caben en el cubo? =0 = 0 16 =1 Solución: En el cubo caben 1 l. 18. Cuántos adoquines de 5 cm y de 30 cm se necesitan para construir una acera de 3 5 m de largo, si en total usamos 13 adoquines? = =350 = =8 Solución: Se usan 8 adoquines de 5 cm y 5 adoquines de 30 cm. 19. Varios pintores deben realizar un trabajo de pintura. El presupuesto, repartido a partes iguales da un sueldo de 150 euros a cada pintor. Pero uno de ellos abandona el proyecto, con lo que ahora cada pintor toca a euros. Cuál era el presupuesto total de la pintura y cuántos pintores la llevaron a cabo? Incógnita: x = numero de pintores que intervenían inicialmente. El presupuesto total será = = =5 Solución: Intervienen 4 pintores y el presupuesto total es En un restaurante preparan las mesas para una celebración. Al darse cuenta de que disponen de dos mesas menos de las previstas, necesitan colocar a 10 personas por mesa, en lugar de 8 como estaba previsto inicialmente. Cuántas personas asistirán a la celebración? Incógnita: x = número de mesas disponibles inicialmente. El total de asistentes será 8 8= = 0 =10 Solución: Asisten 80 personas

6 1. En un restaurante se compran barras de pan de cuarto kilo a 0 75 euros y de medio kilo a 1 5 euros. En total se han gastado 5 5 euros, comprando 4 barras más de las pequeñas. Cuántas barras se han comprado de cada clase? Incógnita: x = número de barras de 0 5 kg. El número de barras de 0 5 kg será x =5 5 = =14 Solución: Se compran 14 barras de 50gr y 10 barras de 500 gr.. En una fiesta de disfraces se venden entradas a 3 5 euros para los que no vayan disfrazados y a euros para los que vayan disfrazados. Se recaudan 805 euros. Sabiendo que había 10 personas más sin disfraz que con disfraz, cuántas personas llevaban disfraz? Incógnita: x = número de personas disfrazadas. El número de personas sin disfraz será x =805 = =140 Solución: 140 personas llevaban disfraz. 3. Un tren llega a una estación. Bajan de él 3 personas. Y suben tantas como las que había antes de bajarse los 3. Ahora quedan en el tren 80 personas, cuántas personas iban en el tren antes de que llegase a la estación? Incógnita: x = número de personas que iban en el tren antes de llegar a la estación. 3+=80 =56 Solución: 56 Personas iban en el tren PROBLEMAS DE EXÁMENES 4. (Aragón 003) Los amigos de una peña van a disfrazarse con pelucas. Las pelucas son de pelo rubio, moreno o castaño. En total hay 03 pelucas. Entre las de pelo moreno y las de pelo castaño hay 17 pelucas y hay 105 pelucas contando las de pelo rubio y castaño. Cuántas pelucas que hay de cada tipo? Incógnitas: x = nº de pelucas rubias,.y = nº de pelucas morenas, z = nº de pelucas castañas ++=03 +=17 =17 +=105 = z+17 z+z=03 z=9 x=105 9=76 y=17 6=98 Solución: Tienen: 76 pelucas rubias, 98 pelucas morenas y 9 pelucas castañas 5. (Aragón 008) En la empresa Plásticos Plasta se producen tres tipos de productos: botellas, garrafas y bidones. Se utilizan como materia prima 10 kg de granza de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos de granza, para cada garrafa 100

7 gramos y para cada bidón 1 kg. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo en las máquinas, se producen en total 5 productos cada hora. Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora? Incógnitas: x = nº de botellas,.y = nº de garrafas, z = nº de bidones =10000 = ++=5 y+y+z=5 z=5 3y 50 y+100y +1000(5 3y)= y+100y y= y=4000 =15 == 15=30 z=5 3y=5-3 15=7 Solución: Se producen cada hora 30 botellas, 15 garrafas y 7 bidones. 6. (Asturias 003) Se tiene un lote de baldosas cuadradas. Si se forma con ellas el cuadrado mayor posible, sobran 87 baldosas. Para formar el cuadrado con una baldosa más por cada lado, faltarían 40 baldosas. Cuántas baldosas hay en el lote? Incógnitas: x = Nº de baldosas, y=nº de baldosas en cada lado del mayor cuadrado que podemos formar En el primer cuadrado el número de baldosas es y en el segundo +1 = +87 =+1 Por igualación: = = =+1 40 =63 =63 +87=4056 Solución: El lote tiene 4056 baldosas 7. (Castilla y León, Septiembre 009) Un jardín rectangular tiene un área de 900 m y está rodeado por un paseo de 5 m de ancho cuya área es de 850 m. Cuáles son las dimensiones del jardín? Incógnitas: x e y = dimensiones del jardín. = =1750 Quitando paréntesis en la segunda ecuación resulta: =1750 Sustituyendo por 900 y despejando y en la ecuación resultante, queda: = =75 Sustituyendo y en la primera ecuación, queda: 75 = =0 Ecuación de segundo grado.

8 = ± = ± = ± = = = =15 =75 15=60 =60 =75 60=15 Aunque aparecen dos soluciones, en esencia las dos corresponden al mismo rectángulo, de dimensiones 60 x 15 metros. 8. (Castilla la Mancha 00) Con una plancha rectangular de acero queremos hacer una lata de horno de 9 dm 3 de capacidad. Para ello cortamos un cuadrado de 5 cm de lado en cada esquina y doblamos la plancha por dichos cortes. Halle la dimensión de la plancha si es 14 cm más larga que ancha Incógnitas: x e y, dimensiones de la plancha. Las dimensiones de la lata serán: (x-10),(y-10) y 5 cm. La capacidad de la lata es el volumen del prisma resultante, =9000 cm 3 (Antes hemos tenido que pasar de dm 3 a cm 3 para tener todas las medidas en la misma unidad) y como la plancha es 14 cm más larga que ancha: =14 Sistema de ecuaciones: =9000 =14 Despejando y en la segunda ecuación = 14, y sustituyéndola en la primera tenemos una ecuación de segundo grado: = = = = =0 = ± = ± = ± = = = =60 =60 14=46 = 6 La segunda solución, por ser negativa, no tiene sentido para este problema, por lo que la única válida es la primera. Solución: Las dimensiones de la lata son: 46 cm y 60 cm. 9. (Aragón 000) Un número de tres cifras es tal que la suma de sus cifras es 11. Si el orden de las cifras se invierte, el número que resulta es 99 unidades mayor que el número que buscamos y la cifra de las decenas es el doble que la cifra de las unidades. Halle el número. Incógnitas: Las tres cifras del número buscado N, serán: centenas (x) decenas (y) unidades (z) = El número resultante al invertir las cifras es = N N= = =99 =1 Las cifras suman 11: ++=11 La cifra de las decenas es el doble de la de las unidades: =

9 Resultando un sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas: =1 ++=11 = La ya está despejada en la tercera ecuación, podemos despejar en la primera ecuación y queda: = 1 Sustituyendo en la segunda, resulta: 1+z+=11 z=3 = 3=6 =3 1= Solución: el número buscado es: N= (Castilla la Mancha 003) Con un listón de madera quiero construir un marco rectangular en el que los lados estén en proporción de tres a cuatro. Si el listón mide 3 metros, Cuánto medirán los lados del marco? Incógnitas: x e y, las dimensiones del marco. La primera ecuación sale de la expresión de la proporción entre los lados y la segunda sale de sumar los 4 trozos que forman el marco 3 = 4 +=3 para resolverlo despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la primera: = +=3 6+8=1 14=1 = = 0 86 x= = = 0 64 Solución: las dimensiones del marco son 0 86 m y 0 64 m 31. (Castilla la Mancha 003) Un producto se ha comprado en el mercado por 16'0. El comerciante lo había vendido un 30 % más caro de como lo compró y, a su vez, el distribuidor había hecho lo mismo en un 10 %. El importador, por su parte, le cargó un 5 % después de haberle añadido 0'0 por gastos de transporte. Sabiendo que el fabricante sólo ha ganado en dicho producto, cuál es su coste? Qué incremento porcentual total ha sufrido el producto en todo el proceso? Solución si es el precio de fabricación del producto: a. el fabricante le carga euros: + b. Tras el transporte se le suman 0'0 : + 0 c. El importador le carga un 5%: d. El distribuidor le carga un 10%: e. El comerciante le carga un 30%: f. De lo cual resulta el precio final, que es: 16'0, por lo que se tiene la ecuación: g = ,3033=16 0 = =8, El incremento porcentual sufrido a lo largo de todo el proceso es: 100%= %

10 3. (Castilla la Mancha 005) Para montar un negocio, tres amigos A, B y C han de reunir A pone el doble que B y este la tercera parte que C Cuánto pone cada uno? Incógnitas: A, B, y C, lo que pone cada amigo para montar el negocio. ++=30000 = = C=3B;B+B+3B= B=30000 B=5000 A=10000;C=15000 Solución: A pone 10000, B pone 5000 y C pone (Castilla la Mancha 006) Un financiero invirtió en bolsa en acciones de tres empresas, A, B y C, y obtuvo un beneficio de 975. Si sabemos que invirtió en A tanto como en B y C juntas y que los beneficios de las empresas fueron de un 5 % en A, un 4 % en B y un 10 % en C, cuánto invirtió en cada una? ++=18000 = = A=18000 A=9000 B=9000 C =975 = =750 = =650 Solución: En la primera pone 9000, en la segunda 650 y en la tercera (Castilla la Mancha 007) En una exposición canina hay 90 perros de tres razas distintas: caniche, pastor alemán y labrador. El doble del número de caniches menos el número de pastores alemanes es igual a 40. El 30 % de la diferencia entre el número de labradores y caniches excede en 7 a la cuarta parte del número de pastores alemanes. Calcule cuántos perros hay de cada raza. Incógnitas: x= nº de caniches, y=nº de pastores alemanes, z=nº de labradores. ++=90 = = 4 +7 Para eliminar los denominadores en la tercera ecuación, simplificamos y multiplicamos ambos miembros por 0, que es el mcm, resultando: 6 =5+140 El sistema más simplificado es: ++ =90 = =140 Lo resolvemos por sustitución: ++ =90 = 40 =40 3+= = = z= =140 = = 60 =60 = 60 40=80

11 = =150 Solución: En la exposición hay 60 caniches, 80 pastores alemanes y 150 labradores. 35. (Castilla la Mancha 008) La madre, el padre y el hijo de una familia suman 80 años de edad en la actualidad. Dentro de años, la edad del hijo será la mitad de la edad que tendrá la madre, que a su vez tiene un año menos que el padre. Determine la edad actual de cada uno. Incógnitas: x= edad del padre, y =edad de la madre, z=edad del hijo Dentro de años estas edades serán +, + +. La edad del hijo será la mitad de la edad de la madre: +=+ La madre tiene un año menos que el padre: =+1 Las edades suman 80: ++=80 ++=80 +=+ =+1 +=+ +=+ =+ =+1=++1= =80 5=80 3 =7 = 7+3=37= 7+=36 Solución: La edad del padre es 37, la de la madre 36 y la del hijo 7 años. 36. (Castilla la Mancha 008) En unas elecciones municipales con dos candidatos se emitieron un total de 7500 votos, de los cuales fueron declarados no válidos 80 votos. El candidato ganador superó a su adversario en 0 votos. Qué cantidad de votos recibió cada candidato? Incógnitas: x= nº de votos del candidato ganador, y=nº de votos del otro candidato. += =0+ 0++=740 =700 =3600 x=0+3600=380 El ganador obtuvo 380 votos y el perdedor 3600 votos. 37. (Castilla la Mancha 008) Tres socios invierten juntos en bolsa las cantidades de 10000, 1000 y respectivamente para repartirse los beneficios de forma directamente proporcional a las cantidades invertidas. Establezca las cantidades correspondientes a cada uno si al cabo de 6 meses han obtenido un beneficio de = 1000 = = =0 35 Socio 1: = =3500 Socio : = =400 Socio 3: = = (Castilla la Mancha, Junio 009) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 16'5 por 10 litros de leche, 7 kg de jamón y 15 litros de aceite. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que un kg de jamón cuesta igual que tres litros de aceite más un litro de leche. Incógnitas: x= precio del litro de leche, y = precio del kg de jamón, z= precio de un litro de aceite =16 5 =3 =3+ =33+= =16 5

12 15x=16 5 = =1 3 =10 1 3=13 =3 1 3=3 9 Solución: Leche: 1'3 por litro. Jamón: 13 por kg. Aceite: 3'9 por litro. 39. (Asturias 010) Necesitamos enviar un total de 10 paquetes de dos tipos, unos pesan 50 gramos y otros 500 gramos. Todos los paquetes se colocan dentro de una única caja que pesa en total 49 kilogramos. Cuántos paquetes de cada tipo se han enviado? Incógnitas: x=nº de paquetes de 50 gr. y= Nº de paquetes de 500 gr = =196 +=196 +=10 =76 =10 76=44 Solución: 76 paquetes de 500 gr y 44 paquetes de 50 gr. 40. (Castilla la Mancha, Sept. 009) Queremos invertir millones de Euros en bonos, fondos y acciones. La rentabilidad media de cada caso es el 6 % para los bonos, del 10% para los fondos y del1 % para las acciones. El inversor quiere que un 30 % del total del capital se invierta en acciones y que la rentabilidad total final sea del 9 %. Cuánto debemos invertir en cada producto? Incógnitas: x=cantidad invertida en bonos, y=cantidad invertida en fondos, z=cantidad invertida en acciones. = = = = = = = = +=1 4 = =10 8 4=3 =0 8 =1 4 = =0 6 Solución: Invertir 0 8 millones en bonos, 0 6 millones en fondos y 0 6 millones en acciones. 41. (Extremadura 004) Hicimos una compra de 3 clases de marisco, cuyos precios eran 10, 1 y 15 /kg., respectivamente. La suma total a pagar fue de 116 euros. Por otra parte, el peso total de la compra fue de 9 kg. Además compramos un kg. más del marisco de 15 euros que del de 1 euros. Averigüe cuantos kg hemos comprado de cada clase de marisco =116 ++=9 +1= x+y+y+1=9 x+y=8 x=8 y 10(8 y)+1y+15(y+1)= y+1y+15y+15=116 7y=1 y=3 x=8 y x=8 3= z=y+1 z=3+1=4 Solución: Del primer tipo compra kg, de segundo 3 kg y del tercero 4 kg. 4. (Extremadura 004) Un conductor parte del punto A hacia el punto B a las 9 de la mañana con una velocidad de 100 km/h, debiendo realizar una parada para recoger un paquete a 40 km del punto de partida. Como olvida la parada que tenía que hacer, a las 10 de la mañana otro conductor sale en su persecución del kilómetro 40 a una velocidad constante de 10 km/h.

13 a. A qué hora alcanzará el segundo al primer conductor? b. Qué espacio han recorrido ambos? A 40 Km +40 B Incógnita: =Distancia que recorre el segundo conductor hasta que alcanza al primero. = Tiempo que tarda el segundo conductor en alcanzar al primero (en horas). Como su velocidad es 10, los kilómetros que recorre son =10 El tiempo durante el que circula el primer conductor es +1 ya que salió una hora antes. Como su velocidad es 100 el espacio que recorre hasta ser alcanzado es En total, la distancia recorrida por el primer conductor hasta ser alcanzado es 40 km más que la recorrida por el segundo, ya que salió 40 km más atrás. De aquí la ecuación: = = = 60 =3 Solución: El segundo conductor tarda tres horas en alcanzar al primero y la distancia que ha recorrido son 10 3 = 360 km. Mientras que el primero ha recorrido 400 km. 43. (Castilla la Mancha, Junio 009) Una persona compró cierto número de objetos por 450 euros. Con este mismo dinero podría haber comprado 5 objetos más, si cada uno hubiese costado 3 euros menos. Cuántos objetos compró? Cuánto costó cada objeto? = = =450 = = = = =0 5± = 5±55 = =5 =18 30 Solución: Compró 5 objetos y le costaron 18 euros cada uno. 44. (Extremadura junio 008) Una empresa ha gastado 1500 en comprar un móvil a cada uno de sus 5 empleados. Su compañía telefónica ofertó dos modelos diferentes, uno a 75 y otro a 50. Cuántos móviles de cada modelo compró? += = =1500 = =10;=5 = Solución: Compró 10 teléfonos del primer modelo y 15 del segundo. 45. (Madrid 009) Unos amigos fueron dos días a un bar, donde hicieron consumiciones que pagaron con un fondo común. Ahora quieren saber el gasto que hizo cada uno, pero no recuerdan los precios de los artículos. Recuerdan que el primer día pagaron 1' 60 por 5

14 bocadillos y 8 bebidas, y que el segundo día pagaron 13'0 por 3 bocadillos y 5 bebidas. Todos los bocadillos tenían el mismo precio, al igual que todas las bebidas. a. Plantee un sistema de ecuaciones que permita determinar los precios que buscamos. b. Calcule el precio de cada bocadillo y de cada bebida. Incógnitas: x= precio de cada bocadillo, y= precio de cada bebida. 5+8= = = =13 0 = 1 = =1 60 = 4 Solución: El precio de los bocadillos es 40 y el de las bebidas es (C. Valenciana 001) Una persona tiene euros en dos cuentas que producen interés del 5 % y del 7, % anual, respectivamente. Si los intereses totales de un año son 676 euros, cuál es el saldo en cada cuenta? += = =67600 = =000 Solución: El saldo en la primera cuenta es 000 y en la segunda (C. Valenciana 003) Una autoescuela tiene abiertas tres sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 35, pero los matriculados en la tercera son tan sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera. a. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. b. Resuélvelo. ++=35 = 4 = =4 4++=35 4 = +5=35 += 7=350 = 350 =50; =4 50=00;= =10 7 Solución: hay 00, 10 y 50 matriculados respectivamente. 48. (C. Valenciana 004) Al ordenar mi habitación observo que el número de libros, revistas y CDs es 60. El triple del número de CDs es igual a la suma del número de libros y el doble del número de revistas. El cuádruple del número de CDs es igual a la suma del número de libros y el triple del número de revistas. Cuántos, CDs, libros y revistas tengo en mi habitación?

15 ++=60 3=+ 4=+3 Resolución: Si restamos la segunda ecuación de la tercera, nos queda =, con lo cual podemos sustituir por en la segunda ecuación, con lo que nos queda =, Sustituyendo en la primera nos queda: 3=60, luego ===0 Solución: hay 0 CDs, 0 libros y 0 revistas. 49. (C. Valenciana 009) Una empresa de transportes dispone de camiones y furgonetas para distribuir mercancía. El coste de usar cada camión es de 145 al día, mientras que el de cada furgoneta es de 85. Si un cliente dispone de 000 para realizar una distribución, indica el modelo matemático que permite saber cuántos camiones y cuántas furgonetas podrá utilizar. Cuántos vehículos de cada clase necesitará para gastarse exactamente el dinero disponible? x=número de camiones, y= número de furgonetas = =400 Como sólo tenemos una ecuación no se puede resolver como un sistema, ya que el número de soluciones es infinito. Pero de estas soluciones sólo son válidas las que sean enteras y positivas, y la única posible es =5, =15. Veremos esto en el tema de la recta. Solución: 5 camiones y 15 furgonetas. (Extremadura 009 junio) En un almacén hay botellas de aceite de 5 litros y litros. En total hay 1000 litros de aceite y 33 botellas. Se pide: a. Plantear un sistema de ecuaciones que nos permita calcular el número de botellas de cada tipo. b. Calcular el número de botellas de 5 litros y de litros. +=33 5+=1000 = = =1000 3=354 =118 =33 118=05 Solución: 118 botellas de cinco litros y 05 de dos litros. 50. (Navarra 009) Un grupo de personas contrata un autobús por 900 para realizar una excursión. En el último momento, cinco personas cayeron enfermas con la gripe y no pudieron llevarla a cabo, por lo que cada uno de los demás tuvo que poner más. Cuántas personas fueron a la excursión? Incógnitas: x= número de personas que fueron a la excursión, y= cantidad que paga cada una. =900 5+= = =0 = = = =0 +38 =18 = =50 = ± = ±38 = 38 = 0

16 La segunda solución no es válida por ser negativa. Solución: Fueron 45 personas a la excursión (las 50 iniciales menos cinco que se pusieron enfermas) 51. (Navarra 009) Alberto compró 3 bolígrafos y cuadernos, pagando un total de 9. Una semana después, los bolígrafos tenían un 0 % de descuento y los cuadernos, un 15 %. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habría tenido que pagar,4. Cuánto le costó a Alberto cada bolígrafo y cuánto cada cuaderno? Incógnitas: x=precio de cada bolígrafo, y=precio de cada cuaderno. 3+= = 4 3+= =4 803+= =4 =1 10= = 9 =0 3 Solución: Cada cuaderno le costó un euro y cada bolígrafo 0 30 euros. 5. (País Vasco 009) Andoni le dice a Koldo: el dinero que yo tengo es el doble del que tú tienes, y Koldo le responde: si me das 6 euros los dos tendremos la misma cantidad. Cuánto dinero tenía cada uno al principio? = 6=+6 6=+6 =1 = 1=4 Solución: Antonio tiene 4 euros y Luis tiene (Canarias 008) Se repartió una herencia de 16 millones y medio de euros entre una viuda, su hijo y su hija, de modo que el hijo recibió la mitad de lo que recibió su hermana, y ésta el triple de lo que recibió su madre. Cuánto recibió cada uno? ++=16 5 = = = =33 =3 Solución: La madre recibe 3 millones de euros. La hija recibe 9 millones y el hijo recibe (Castilla La Mancha Junio 010) Un grupo de alumnos ha comprado todos los ingredientes para hacer unas migas con un coste total de 60. En el momento de empezar a hacerlas, aparecen 4 alumnos más, y esto hace que cada uno de los anteriores pague 50 céntimos menos. Hallar el número de alumnos que participó en las migas y lo que pagó cada uno.

17 Incógnitas: x= número de amigos, y=cantidad (euros) que debe pagar cada uno. = = = =0 8 4=0 = =60 8 4=60 15=0 1 = 1± 1+10 = 1±11 = 4 =3 =8 3 4= = 5 Solución: Participaron 4 alumnos y cada uno tuvo que pagar 5 euros 55. (Madrid Junio 010) En una tienda de alimentación han vendido paquetes de queso a 9 euros la unidad y sobres de salmón ahumado. Un sobre de salmón cuesta 6 euros más que un paquete de queso. Han vendido el doble de paquetes de queso que de sobres de salmón y han obtenido por la venta de estos productos 858 euros. Averigüe cuántas unidades de cada producto han vendido. Incógnitas: x=número de paquetes de queso, y=número de sobres de salmón. 9+15=858 = 9 +15=858 33=858 =6 = 6=5 Solución: Vendieron 6 paquetes de queso y 5 sobres de salmón. 56. (Madrid Junio 010) La habitación 400 de un hotel tiene forma rectangular; mide el doble de largo que de ancho. La habitación 401 también es rectangular; mide de ancho lo mismo que la habitación 400 y de largo un metro más que de ancho. El área de la habitación 401 es 6 m menor que la de la habitación 400. Calcule las dimensiones de la habitación =6 =6 6=0 = ± 4 = 1± 1+4 = 1±5 = 3 Solución: Las dimensiones de la habitación 400 son 3 m de ancho y 6 m de largo 57. (Extremadura Junio 010) En una cartera tenemos billetes de 5, de 10 y de 0 euros. Sabiendo que hay un total de 18 billetes, que de 0 tenemos el doble que de 10 y que en total importan 65 euros, Hallar cuántos billetes de cada valor hay. Incógnitas: x,y,z= número de billetes de 5, 10 y 15 respectivamente ++= =65 = ++=18 ++=18 +3= = = =65 +10=53 +3=18 +10=53

18 : 7=35 =5 +3 5=18 +15=18 =3 = 5=10 Solución: Hay 3 billetes de 5, 5 billetes de 10 y 10 billetes de (Extremadura Septiembre 010) Se dispone de 187 litros de aceite en envases de 5 litros y de litros llenos totalmente. Se sabe que el número de envases de 5 litros es el triple del de litros. Se pide: a. Escribir un sistema de ecuaciones que permita calcular el número de envases de cada tipo que se tiene. b. Mediante la resolución del sistema obtener el número de envases de cada tipo que se tiene. c. Cuántos litros de aceite hay en total en los envases de 5 litros? Incógnitas: x, y=número de botellas de 5 y litros respectivamente. 5+=187 =3 5 3+=187 17=187 =11 =3 11=33 Solución: Hay 33 envases de 5 litros y 11 de litros. En los envases de 5 litros hay 165 litros de aceite en total. 59. (Madrid 011) Un comerciante ha comprado un ordenador y una impresora y ha pagado en total por ambos artículos 470. Después los ha vendido aumentando el precio del ordenador en un 0 % y el precio de la impresora en un 30 %. De esta forma, ha obtenido por la venta de los dos artículos un total de 570. Averigüe cuánto pagó el comerciante por cada uno de los artículos. Incógnitas: x=precio del ordenador, y=precio de la impresora += =570 = = = =6 = =60 =470 60=410 Solución: Pagó 410 euros por el ordenador y 60 euros por la impresora. 60. (Castilla la Mancha Junio 011) Para un concierto se vendieron tres tipos de entradas: A, B y C cuyos precios son 5, 10 y 0 euros respectivamente. La recaudación ha sido de euros. Sabemos que de la clase A se han vendido tantas como de la B y la C juntas y que de la B se vendieron el doble que de la C. Cuántas entradas de cada tipo se vendieron para ese concierto? Incógnitas: A, B y C, número de entradas vendidas de cada tipo =1100 =+ = sustitución: =+ = = = =1100 =0 =3 0=60; = 0=40

19 Solución: Se vendieron 60 entradas de tipo A, 40 de tipo B y 0 de tipo C. 61. (Castilla la Mancha Junio 011) En una confitería envasan los bombones en cajas de 50 g, 500 g y 1 Kg. Cierto día envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más del tamaño pequeño que del mediano. Sabiendo que el precio del kilo de bombones es de 4 y que el importe de los bombones envasados ese día fue de 750. Cuántas cajas se envasaron de cada tamaño? Método de Gauss: Incógnitas: x=nº de cajas de 50g, y=nº de cajas de 500g, z= número de cajas de 1kg Los precios de las cajas son: 6, 1 y 4 respetivamente. = 75 5 = = =15 : ++=60 =+5 ++4=15 ++=60 =5 ++4=15 15= 55 = =60 = 55 +3=65 =0 ++=60 = 55 5= =60 =5 Solución: Se vendieron 5 cajas de 50 g, 0 cajas de 500 g y 15 cajas de 1 kg. 6. (Cantabria 010) Tres amigos van a un centro comercial. El primero adquiere un libro, un CD y un DVD y paga 37 euros. El segundo compra tres libros, dos CD y un DVD y paga 7 euros. Por último, el tercero compra un libro, tres CD y dos DVD y paga 79 euros. Cuál es el precio de cada libro, CD y DVD? Resuelve el sistema por el método de Gauss. (Se supone que todos los libros tienen el mismo precio, todos los CD tienen el mismo precio y todos los DVD también). Incógnitas: x=precio del libro, y=precio del CD, z=precio del DVD ++=37 3++=7 +3+=79 ++=37 3++=7 +3+=79 3= 36 =1 ++=37 = 39 +=4 ++=37 = 39 3= 36 1= 39 = 39+4= =37 =10 Solución: 10 el libro, 15 el CD y 1 el DVD 63. (Valencia junio 01) Resuelve la siguiente ecuación = = =

20 = ± =0 15=0 +8 = ±8 =5 = 8 = (Valencia sept 01) El propietario de un solar decide dividirlo en tres parcelas. La primera ocupa los 3/8 del solar, la segunda la mitad del resto y la tercera tiene una superficie de 45 m. Calcula: a. La superficie del solar. b. La superficie de cada una de las parcelas. Incógnita: x=superficie del solar = = = 390 5= 390 = =784 El solar mide 784. La primera parcela mide: 784 =94 La segunda parcela mide: 784= (Valencia sept 011) Una fábrica de automóviles produce al año 4504 coches de un determinado modelo con tres niveles de acabado: básico, sport y lujo. Los coches fabricados con el acabado básico son el triple que los del acabado de lujo y los fabricados con el acabado sport son tantos como los del acabado básico y los del acabado lujo juntos. Cuántos coches se fabricaron de cada uno de los tres acabados? Incógnitas: x,y,z=nº de coches producidos con acabado básico, sport y lujo respectivamente. ++=4504 =3 =+ =3+=4 3+4+=4504 8=4504 =563 =4 563=49 =3 563=1686 Solución: Se producen 1686 de básico, 49 de sport y 563 de lujo. 66. (Valencia sept 011) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: =0 +3= =0 +5=6 + = = : 7=11 =

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