Programación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN

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1 Programación y Métodos Numéricos Errores de de redondeo en en la la representación de de números reales: INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN Carlos Conde LázaroL Arturo Hidalgo LópezL Alfredo López L Benito Febrero, 7 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

2 FUENTES DE ERROR EN LOS MÉTODOS M NUMÉRICOS Error del método: Debido a la aproximación de las ecuaciones, funciones,... para evaluarlas mediante operaciones aritméticas elementales (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones). 3 n i x x x x x Ejemplo: e = + x = 3! n! i! (Método Numérico) Error del método: x x x x 3 n n i x e = + x = 3! n! i= i! i (n+ ) x x ξ R(x) e = = ie i= n+ i! (n+ )! i= (Método Exacto) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

3 FUENTES DE ERROR EN LOS MÉTODOS M NUMÉRICOS () Error de representación de los números reales: Debido a la imposibilidad de manejar infinitos decimales y a la necesidad de aproximar los números por otros con un número finito de cifras. Ejemplo: x = = x = (Truncando a 6 decimales) x = (Redondeando a 6 decimales) NOTA: Se denominarán errores de redondeo Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 3

4 Otras fuentes de error: Errores en la medición de los datos. Errores en el modelo matemático de partida. Errores en la programación de los algoritmos.... Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 4

5 OBJETIVOS DEL TEMA º. Conocer cómo se originan los errores de redondeo. º. Analizar cómo se propagan los errores de redondeo. 3º. Conocer y aplicar estrategias que minimicen el efecto de los errores de redondeo en el diseño de algoritmos numéricos. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 5

6 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN e π º. Calcular mediante los (n+) primeros términos de su desarrollo en serie de Taylor en torno a. Elegir n de forma que se anule el error del método al trabajar con 4 decimales. i (n+ ) Solución: π π π ξ R π e e = = i ξ, i= n+ i! (n+ )! (n+ ) π (.58) (n+ )! (n+ )! (n+ ) π π.58 Re ie ie Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 6

7 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (/7 ) Para asegurar que, trabajando con 4 decimales, no influye el error del método basta con obligar a que: ( ) (n +.58 ).58 4 π Re e i < n = (n+ )! CONCLUSIÓN: El algoritmo numérico dado por la fórmula i π π e i= i! proporcionaría el valor exacto de los cuatro primeros decimales de e π /... SI NO FUESE POR LA EXISTENCIA DE ERRORES DE REDONDEO!! Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 7

8 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (3/7 ) π = a =.577 π 4 (Truncando) Δ / a O( π = ) ( π ) = a = (Truncando) a =.335 ( π ) a a a = =.335 = ! 3! 3 3! =.6458 (Truncando)... Hay errores del orden O( -4 ) en todos los sumandos... Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 8

9 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (4/7 ) n a i / i! (π/) i / i! Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 9

10 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (5/7 ) Valor exacto: Valor aproximado: π / e = π / e OBSERVACIÓN: Tres de los cuatro decimales calculados son incorrectos. Ejercicio propuesto: Repetir el ejercicio redondeando los números reales (en Lugar de truncarlos) a 4 decimales. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

11 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (6/ 7) º. Calcular = n I x isin(x) idxpara distintos valores de n n con decimales significativos. Solución: I = x sin(x) idx = ] = x cos(x) + cos(x) dx = cos() + sin() I = A = Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

12 I EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (7/7 ) = x sin(x) idx = ] = x cos( x ) + x cos( x ) dx = cos() + sin() I = A = Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

13 Cálculo exacto de las integrales posteriores: I n EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (8/ 7) = n x sin(x) dx = n n x) dx = I n x cos(x) + n (n ) x sin( cos() + n (n ) Ej: I 3 = -cos()+ 3 I = I 4 = -cos()+ 4 3 I = Cálculo aproximado de las integrales posteriores: A n = -cos() + n sin() - n (n-) A n- = = n n (n-) A n- redondeado a decimales Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 3

14 n Valor exacto (I n ) Valor aproximado (A n ) I n A n Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 4

15 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (/ 7) Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 5

16 Análisis de la evolución del error de redondeo I = A + Δ I EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (/7 )) I = A + Δ = cos() + 3 sin() 3! ii = cos() + 3 sin() 3! i(a +Δ ) = 3 A!iΔ = 3 3 4! 4! I4 = cos() + 4 sin() I = cos() + 4 sin() ( A + Δ ) = = A4 4! Δ A 4... (n )/ ( ) n! sinesimpar I n = A n +αn Δ con α ^n = (n+ )/ n! ( ) sinesimpar Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 6 A 3

17 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (/ 7) Análisis de la evolución del error de redondeo Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 7

18 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (3/ 7) Ejercicio propuesto: Otra forma de calcular consiste en actuar en retroceso. Para ello se tiene que: I = cos() + n sin() n (n ) I I = n n n cos() + n sin() I n (n ) con lo que, partiendo de un valor aproximado A n y A n- se calculará: cos() + n sin() Ai Ai = (i = n, n-, n-,..., 3) i (i ) Sabiendo () que < I n < /(n+), para n suficientemente Alto puede tomarse A n y A n- () ver gráficas de la proyección siguiente n Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 8

19 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (4/ 7) Representación gráfica en [, ] de x n sen(x) para n =, n =, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6 y n =. SE PIDE: a) Toma A 5 = A 4 = y calcula los valores de A 3, A,..., A. b) Analiza la evolución del error. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 9

20 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (5/ 7) 3º. Resolver, trabajando con 3 decimales, el sistema: 98ix iy = ix +.iy =. Solución: 3 3 Las soluciones exactas del sistema exacto son x = e y = -. Sistema aproximado (redondeando a la 3ª cifra decimal): 98.ix iy = ix +.iy =. 343 Las soluciones exactas del sistema aproximado son x = e y = PERO RESOLVÁMOSLO REDONDEANDO A 3 DECIMALES Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

21 EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (6/ 7) 98.ix iy = ix +.iy =. 343 Ecuación E Ecuación E (E) (E) - (.667 / 98.).(E) 98.ix iy = i93.97 y = i i Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

22 Luego: de donde: EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (7/ 7) 98.ix iy = iy =.9.9 y = = iy x = = = = que no tienen nada que ver con las soluciones exactas! Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

23 Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 3