Tema 1 Los números reales Índice

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1 Tema 1 Los números reales Índice 1. Números reales. La recta real Números naturales Representación de los números naturales Números enteros Valor absoluto de un número entero Representación de los números enteros Números racionales Representación de números racionales Números irracionales Números Reales La recta real Representación de los números reales Intervalos Errores Potencias Propiedades de la potencias de números naturales Signo de una potencia Potencias de exponente negativo Potencias de números racionales Potencias de números reales (raíces) Radicales Reducción de radicales a índice común Extraer e introducir factores en el radical Operaciones con radicales Racionalización Logaritmos Propiedades de los logaritmos Notación científica Operaciones con notación científica Deka Centro de Ensino Matemáticas I

2 1. Números reales. La recta real 1.1. Números naturales El conjunto de los números naturales está formado por: N = {, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Representación de los números naturales Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, Números enteros El conjunto de los números enteros está formado por: Z= {... 5, 4, 3, 2, 1,, 1, 2, 3, 4, 5...} Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero. Z = Z Z Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros. N Z Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales. 5 = 5 5 = 5 El valor absoluto de un número real a, es el propio número si es positivo o su opuesto (-a) si es negativo. a si a a = - a si a < Representación de los números enteros 1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero. 2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: 1, 2, 2 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

3 1.3. Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por. = ( a, b Z ; b Representación de números racionales Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros. Para representar con precisión los números racionales: 1º Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo. 2º Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes. 3º Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar. En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos Números irracionales Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es π (3, ), que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Otros números irracionales son: El número e ( ) aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. El número áureo, Φ (1, ), utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras. 3 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

4 1.5. Números Reales El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R. Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero La recta real A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real Representación de los números reales Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta. 5= Intervalos Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Intervalo abierto: Intervalo cerrado Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x R / a < x < b} Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x R / a < x < b} 4 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

5 Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la derecha Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos. 3. Errores El error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado, en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo. E ab =!"#$ $%!"&'!"#$!($#)*+!,# El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. E r = 4. Potencias -!. '!"#$ $%!" Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales = 6 5 Base de una potencia: La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6. Exponente de una potencia: El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el Propiedades de la potencias de números naturales Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x R / a < x < b} Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b [a, b) = {x R / a < x < b} 1. Un número elevado a es igual a 1. a = 1 5 = 1 2. Un número elevado a 1 es igual a sí mismo. a 1 = a 5 1 = 5 3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. a m a n = a m+n = = División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. a m : a n = a m n 2 5 : 2 2 = = Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (a m ) n = a m n (2 5 ) 3 = Deka Centro de Ensino Matemáticas I

6 6. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. a n b n = (a b) n = Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a n : b n = (a : b) n 6 3 : 3 3 = Signo de una potencia Para determinar el signo de la potencia de un número entero tendremos en cuenta que: Las potencias de exponente par son siempre positivas. ( + ) par = = 64 ( - ) par = + ( 2) 6 = 64 Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base. ( + ) impar = = 8 ( - ) impar = - ( 2)3 = Potencias de exponente negativo La potencia de un número entero con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo. a -n = /! si a 2-3 = / 1 2 = / Potencias de números racionales si a y b /19 3 Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. 4!. 7! 4.5. Potencias de números reales (raíces) Potencias de exponente racional : 1: /; 2 : 3/! +! + Potencias de exponente racional y negativo 1 / < 1 1! + / 1 / <! + 1 / 1 6 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

7 5. Radicales Un radical es una expresión de la forma!, en la que n N ; y a R; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar ;:M3 &;: R &3 &1 Radicales equivalentes: Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:! +! = + =! + =! = + Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se ; obtiene otro radical equivalente. 19; ; : Simplificación de radicales: Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o : los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. 2; 5.1. Reducción de radicales a índice común 1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice : ; 2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes 2, 2, 2 m.c.m (2,3,4) 12 2 E, 2 H, 2 I 5.2. Extraer e introducir factores en el radical Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores y a continuación si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando I Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. 2 7 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

8 Ejemplos: 48 2 H O = Introducción de factores dentro del signo radical Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical. a.!. Ejemplos: : ; 5.3. Operaciones con radicales Suma de radicales : 1 1 : 2 2 : 1 2 : 1 P 2 /2 Solamente pueden sumarse (o restar) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando. a = + b = + c = a + b + c = Ejemplos: = ( ) 2 = = I & 2 E = = Producto de radicales Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.!.!. 2 6 = 12 = Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible. Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se multiplican m.c.m 2,3, E 3 H 3 I I 3 E 3 S 3 T 3 I 3 3 UU Cociente de radicales Radicales del mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.! V!.. US V US UE UE V W 2 I Radicales de distinto índice 8 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

9 Primero se reducen a índice común y luego se dividen. H VHG 2 Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible Potencias de radicales Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice. X! Y +! + X 18Y = H Raíz de un radical La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices. + V! +! G@ Racionalización La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos: Racionalización del tipo!. Z Se multiplica el numerador y el denominador por Z X 1Y Racionalización del tipo! Se multiplica numerador y denominador por [ \].. Z + ^ = : = Racionalización del tipo con al menos un radical. denominador.!.m Z, y en general cuando el denominador sea un binomio Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado: a + b a b -a + b -a b a b a + b 9 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

10 -a b -a + b Tenemos que tener en cuenta: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados". (a + b) (b a) = a 2 b :1 1 1 :1 1 1 :1 1 :1 1 :1 1 :1 1 : /;: 1 =1 :1 1 3 :1 1 : 6. Logaritmos El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. _`a 5 bc 5 c b ae ; a 1 Siendo a la base, x el número e y el logaritmo. Ejemplos: Log 1 2 i 1 Log Calcular por la definición de logaritmo el valor de y LogF,25y 4 U G 7k,25 4 U 7k 4 U 7 y2 Log O 125y X 5Y k F G k 5 I y6 log,1y 1 k,1 1 k 1 I y&3 Logaritmos decimales: Los logaritmos decimales son los que tienen base 1. Se representan por log(x). Logaritmos neperianos o logaritmos naturales: Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x). De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa. "#v! ) No existe el logaritmo de un número negativo. "#v! &) No existe el logaritmo de cero. "#v! w El logaritmo de 1 es cero. "#v! /w El logaritmo en base a de a es uno. "#v!!/ El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. "#v!! 6.1. Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. _`a 5 b c _`a 5 b _`a 5 c Log 4 8 Log 4 Log Deka Centro de Ensino Matemáticas I

11 2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. x#v! y ) z { x#v!) & x#v! z Log 4 S H 7 Log 8 & Log 4 3&21 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. x#v! ) x#v! ) }~ 8 H 4 }~ El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz. x#v! V ) / }~ 8 U H }~ 8 U H 3I H 5. Cambio de base: }~ 4 H U F 2 G x#v! ) x#v.) x#v.! 7. Notación científica Es la empleada en todas las investigaciones y publicaciones científicas y consiste en usar los números reales acompañados con una potencia de 1. Distinguiremos dos casos: Potencias de 1 con exponente positivo: Se coloca como unidad la primera cifra del número y como decimales las restantes cifras del mismo y se multiplica por diez elevado a un exponente positivo igual al número total de cifras enteras disminuido en uno ( o lo que es lo mismo el número de cifras decimales, si no hay suficientes se añaden ceros) Ejemplos: = 3,5682 x = 5,893 x 1 3 2, x 1 7 = ,2 2,53 x 1 5 = 253 Potencias de 1 con exponente negativo: Se coloca como unidad la primera cifra del número distinto de y como decimales las restantes cifras del mismo y se multiplica por diez elevado a un exponente negativo igual al número de ceros situados delante la primera cifra diferente de cero, incluido el de la coma Ejemplos:,322 = 3,22 x 1-4,24 = 2,4 x 1-2 2,93 x 1-5 =,293 2,53 x 1-3 =, Deka Centro de Ensino Matemáticas I

12 Los números escritos en notación científica cumplen todas las propiedades de las potencias, es decir, podemos operar, teniendo la misma base (1 elevado al mismo exponente) o elevar un exponente a otro exponente 7.1. Operaciones con notación científica Suma y resta Siempre que las potencias de 1 sean las mismas se suman o restan los números sin la parte de base de 1, es decir se opera con las cifras que hay antes de la potencia de diez y se deja la potencia de 1. Ejemplos: 5 x x 1 6 = (5+2) x 1 6 = 7 x 1 6 2,53 x ,28 x 1-3 = (2,53-5,28) x 1-3 = x 1-3 Si no tenemos la misma potencia de 1, sacamos factor común a una de las potencias de 1, para ello transformaremos todos los números en notación científica a la misma base de 1. Ejemplos: 4,3 x ,67 x 1 13 = 4,3 x x 1 9 = (4, ) x 1 9 = 36.74,3 x 1 9 = 3,6743 x ,2 x 1 2 3,25 x 1-3 = 1,2 x 1 2,325 x1 2 = (1,2-,325) x1 2 = 1, x Producto Se multiplican los números decimales y se aplican las propiedades de las potencias a la base 1. Se ajusta el número a la nueva potencia de 1 si es necesario Ejemplos: 3,12 x 1 3 8,2 x 1 5 = (3,12 8,2) x = 25,584 x 1 8 = 2,5584 x Cociente Se dividen los números decimales y se aplican las propiedades de las potencias a la base 1. Se ajusta el número a la nueva potencia de 1 si es necesario Ejemplos: S, Ui H,U S, H,U x 16-4 = 2 x Deka Centro de Ensino Matemáticas I