Modelo fuzzy de programación lineal entera-mixta para el cálculo de stocks objetivos

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1 5 th nternatonal Conference on ndustral Engneerng and ndustral Management XV Congreso de ngenería de Organzacón Cartagena, 7 a 9 de Septembre de 2011 Modelo fuzzy de programacón lneal entera-mxta para el cálculo de stocks objetvos Jaro R. Coronado-Hernández 1,2, José P. Garca-Sabater 2 Julen Maheut 2 1 GPC. Unversdad Tecnológca de Bolívar. Parque Tecnológco Carlos Vélez Pombo. Cartagena de ndas-colomba. 2 ROGLE. Dpto. de Organzacón de Empresas. Unversdad Polécnca de Valenca. Camno de Vera s/n, Valenca-España. coronado@unecnologca.edu.co, jpgarca@doe.upv.es, juma2@ets.upv.es. Palabras clave: planfcacón de la produccón, stocks objetvos, Fuzzy Set. 1. ntroduccón Este trabajo presenta un modelo matemátco de programacón entera fuzzy para el cálculo de stock objetvos con el fn de dar vsón de largo plazo a modelos de planfcacón en el corto plazo. La aplcacón de este modelo se enmarca en sstemas con múltples productos con demanda estaconal e ncerta, múltples perodos de tempo, capacdad lmada en el sstema de produccón y almacenes. La problemátca es extraída de una empresa objeto de estudo, especalzada en fabrcar marcas de dstrbucón y co-packng. En ese sentdo los stocks objetvos se determnan a través de un modelo de planfcacón fuzzy, bajo el supuesto fundamental que exste ncertdumbre en los parámetros de demanda y de la funcón de costes. Este modelo hace el papel de un modelo de planfcacón agregada de la produccón los cuales son los más apropados para problemas con estaconaldad (Buxey, 2003). Con el modelo que se propone, se realza una planfcacón semestral desde una perspectva tradconal de la planfcacón agregada de la produccón (aunque no se agregan los productos, sno los perodos) con el propóso de calcular los stocks objetvos semanales que serán entradas a modelos de planfcacón en el corto plazo. Una de las ventajas prncpales de este modelo es que no se requere una estmacón precsa de la demanda del mercado. 2. Programacón lneal Fuzzy La programacón lneal es la técnca de optmzacón que con más frecuenca se aplca para la formulacón de modelos de planfcacón de la produccón. Sn embargo en el mundo real, los datos o parámetros de entrada, son mprecsos/dfusos porque la nformacón es ncompleta o no obtenble en el horzonte medo de tempo (Wang & Lang, 2004). En 1965, Zadeh propone la teoría de los conjuntos dfusos (Fuzzy Set) proveyendo un medo efectvo para tratar con nformacón mprecsa. En ese sentdo, la teoría de conjuntos Fuzzy aparece de forma deal como un acercamento para formular modelos de programacón lneal cuando exste mprecsón en los parámetros (Guu & Wu, 1999). En (Bellman & Zadeh, 1970) se descrbe que las decsones naturales son tomadas exstendo un ambente dfuso en la funcón 876

2 objetvo, las restrccones y en las varables de decsón, porque muchas veces no es posble defnrlas con total precsón. En (Zmmermann, 1976) se ntroduce por prmera vez la teoría de los conjuntos dfusos a problemas de programacón lneal. En (Zmmermann, 1978) se presenta una aplcacón de los conjuntos dfusos a problemas de programacón lneal con varas funcones objetvos utlzando el operador mn; de este modo se hace una conversón equvalente de un modelo de programacón lneal Fuzzy a un modelo de programacón lneal tradconal con múltples objetvos. En (Narasmhan, 1980) se ntroduce una aplcacón de los conjuntos dfusos al concepto de programacón por meta en un ambente dfuso. En (Mula, Poler, García-Sabater et al., 2006) se presenta una revsón de modelos para planfcacón de la produccón bajo ncertdumbre en donde se muestra el uso de la teoría de conjuntos Fuzzy como un método de modelado para abordar este tpo de problema. En (Lang, 2007) ntroduce una aproxmacón nteractva de programacón lneal posblsta para resolver el problema de planfcacón agregada de la produccón con múltples productos y múltples perodos de tempo, con objetvos y coefcentes mprecsos que sguen una dstrbucón trangular en un ambente ncerto. En (Torab, Ebadan, & Tanha, 2010) se ntroduce la teoría de conjuntos dfusos a un problema de planfcacón jerárquca de la produccón (HPP) con dos nveles de decsón aplcado a un problema real ndustral; se presentan dos modelos: en el prmer nvel, un modelo de planfcacón agregada por famla de producto, y el segundo nvel un modelo Fuzzy de desagregacón. En (Mula, Poler, & Garca, 2006) se presenta el modelado de un sstema MRP utlzando programacón flexble para soluconar un modelos de programacón Fuzzy. En la leratura, la programacón lneal Fuzzy se puede clasfcar en dferentes categorías. S los parámetros son mprecsos se modeladan sguendo una dstrbucón posblsta. De lo contraro se basan en una funcón de pertenenca que modela las preferencas subjetvas (La & Hwang, 1992). En general, esta clasfcacón se da en dos clases mayores (Torab, Ebadan, & Tanha, 2010): Programacón matemátca flexble Programacón matemátca posblsta En los modelos de programacón matemátca flexble, las funcones de pertenenca de los objetvos y las restrccones son generalmente basadas y determnadas por las preferencas subjetvas de los decsores. En contraste, la programacón matemátca posblsta está basada sobre dstrbucones posblstas que son determnadas objetvamente de nformacón hstórca. 3. Modelo de programacón Fuzzy propuesto En esta seccón se presenta un modelo de programacón entera Fuzzy para resolver el problema de calcular los stocks objetvos a partr de un modelo de planfcacón de la produccón. En este problema, los nveles de aspracón de los costes totales de la funcón objetvo y la demanda del mercado, se consderan datos mprecsos (Fuzzy). La demanda del mercado se compone de los peddos en frme y las prevsones de ventas. Los peddos en frme se conocen al prncpo de cada horzonte de planfcacón mentras que la demanda 877

3 prevsta se basa en estmacones de modelos de pronóstco y en el peor de los casos en supuestos ncrementales basados en la experenca. Estos factores hacen que la restrccón asocada a la demanda se pueda modelar como Fuzzy dado que hay una mprecsón en la msma. El decsor no quere realmente maxmzar o mnmzar una funcón objetvo sno que quere consegur un nvel de aspracón. Una restrccón por ejemplo de tpo es estrcta (Crsp) matemátcamente hablando, pero en fuzzy puede ser volada con alguna sensbldad. Se asume que el planfcador establece el nvel de aspracón para el efecto del objetvo que se quere lograr, o utlzar la metodología propuesta en (Mula, 2004) utlzando la aproxmacón de (Werners, 1987) en donde el objetvo Fuzzy se construye a partr la generacón de dos modelos lneales basada en la toleranca de las restrccones. El modelo Fuzzy se plantea a partr de las restrccones (1) a (15). åå tî T Î ( H x + ( He - H) xe) åå + - ( ( ) ) f PEN tu tu CT w Z tî T kî K f '1' '1' '1' - N + x - p = - D " (2) f x ( t- 1) - x + p = D ", > 1 (3) p = å y ", (4) kî K å y TPk ( DASt z + w ) k, Î + - z zk, t- 1 tu tu y z w (1) " (5) - = - " k, > 1 (6) MY ", " k, (7) k LZ " k, (8) LW " k, (9) ut = u + uet (10) u = x - ue (11) å t t Î ue = å xe t t Î åå Cr y = mtrt t, kî K Î " (12) " " r (13) y, p, x, xe, u, u, ue, l, mt ³ 0 ", " k, " r, (14) t t t rt + - ( z, w, tu, tu) Î " k, (15) 878

4 f El símbolo es la versón Fuzzy de y puede nterpretarse como: en prncpo menor o gual que. Dentro del marco de la programacón flexble, se han propuesto dversos enfoques de modelado como se muestra en (Zmmermann, 1978) y (Luhandjula, 1982). Para el modelado se toma el enfoque propuesto por (Bellman & Zadeh, 1970), en donde la funcón objetvo y las restrccones Fuzzy se descrben como desgualdades especfcadas por su funcón de pertenenca. En la Tabla 1, se presentan los Índces, parámetros y varables del modelo. Tabla 1. Índces, parámetros y varables Índces Î Índce del número de productos que pertenece al conjunto kî K Índce de la línea de fabrcacón del conjunto K tî T Índce de perodos del conjunto T rî R Índce de materas prmas del conjunto R Parámetros D H He TP k Demanda del producto en el perodo t (Pallet/semanas) Coste de Almacenamento nterno del producto en el perodo t (Pallet/semana) Coste de Almacenamento externo del producto en el perodo t (Pallet/semana) Rmo de Fabrcacón del la línea de fabrcacón k (Pallet/turno) Y k N PEN LZ Matrz de asgnacón bnara del producto en la línea de fabrcacón k Stock ncal del producto (Pallet) Penaldad por cambo del número de turnos de un perodo a otro Numero de turnos normales máxmos en la línea k en el perodo t (Turnos/Días) Capacdad máxma de almacenamento nterno de producto termnado (Pallet) Numero de turnos fjos de la línea k en el período t (Turnos) Numero de turnos extras máxmos LW UMAX en la línea k en el perodo t (Turnos/Semana) DASt Número de días que tene la TU semana t (Días) C r Consumo de matera prma del producto de la matera prma r (Undades/pallet) y x u t z tu + mtrt Numero de pallet producdos del producto en la línea k en el perodo t (Pallet) Stock total del producto en el perodo t (Pallet) Varables p xe Numero de pallet producdos del producto en el perodo t (Pallet) Stock a envar a almacenamento externo del producto en el perodo t (Pallet) Stock a almacenar nternamente en el perodo t (Pallet) Stock a almacenar externamente ue t en el perodo t (Pallet) Turnos normales a asgnar en un día para la línea k en el perodo t w Turnos extras a asgnar para la línea k para el perodo t (Turnos) (Turnos) Turnos de más que se añaden a tu - Turnos de menos que se quan a una línea k en t respecto a t-1 una línea k en t respecto a t-1 Requermento de matera prma r para el perodo t (Undades) 879

5 De este modelo Fuzzy se generan un modelo Crsp equvalente asumendo que se desea obtener una solucón óptma precsa. En ese sentdo, se procede a maxmzar solucón de manera que se maxmce el grado de satsfaccón en (16) y (17). ( x) mn ( x) D î (16) max mn ( x ) max ( x ) î x0 x0 (17) D Utlzando la aproxmacón descra en (Werners, 1987) y (Mula, 2004), se construye una funcón de pertenenca asumendo un ncremento lneal sobre el ntervalo de toleranca para las restrccones. Estas funcones de pertenecía se muestran en (18) y (19). 1 s Bx d Bx d ( x) 1 s d Bx d p 1,, m1 p 0 s Bx d p (18) 1 s Bx d d Bx ( x) 1 s d p Bx d 1,, m1 p 0 s Bx d p (19) De esta manera el modelo matemátco equvalente en Crsp se muestra de (20) a (25). El modelo fue mplementado en AMPL sobre en Java utlzando como optmzador LpSolve (Berkelaar, Ekland, & Notebaert, 2005). Maxmzar a (20) Sujeto a: + ( - ) åå tî T Î ( H x He H xe) tî T kî K + - ( ( ) ) 0 (1 a ) åå (21) + PEN tu + tu + CT w Z + - VZ N - x + p D + (1- a ) VD '1' '1' '1' '1' - N + x - p - D + (1- a ) VD '1' '1' '1' '1' " (22) " (23) 880

6 x ( t- 1) - x + p D + (1- a ) VD ", > 1 - x ( t- 1) + x - p - D + (1- a ) VD ", > 1 (25) Este modelo está sujeto a las restrccones (4) a (15). El valor Z 0 es un valor estmado correspondente al líme nferor del ntervalo de toleranca para el nvel deseado de costes totales generado por el plan de produccón. Por otro lado, VZ representa la máxma extensón de Z0 en el ntervalo de toleranca de los costes totales. El valor D corresponde al líme nferor en el ntervalo de toleranca para la demanda del producto en el perodo t; Por otro lado, VD representa la máxma extensón de la demanda en su ntervalo de toleranca. 4. Caso de aplcacón La aplcacón se realzo en una empresa dedca a la fabrcacón marcas de dstrbucón y copackng, especalzada en dferentes tpos de cerveza, agua y una ampla varedad de refrescos con y sn gas. La empresa maneja aproxmadamente 140 referencas, sete líneas de fabrcacón y un horzonte de planfcacón de 52 semandas. Las materas prmas requerdas para la fabrcacón de los productos son comunes dependendo del tpo producto. Exsten dferentes líneas de fabrcacón en las que uno o más productos pueden ser procesados dependendo del grado de compatbldad producto-línea y de la compatbldad productoproducto para mnmzar los tempos de alstamento de las líneas. Cada una de estas líneas de fabrcacón tene una capacdad lmada la cual depende de su operatvdad dara en funcón del número de turnos de trabajos. Cada turno de trabajo comprende una jornada de ocho horas y como máxmo en cada día son posbles 3 turnos de trabajos dentro de las jornadas laborales normales en el número de días hábles del calendaro laboral. Como exste capacdad de produccón lmada y exste un almacén de producto termnado lmado, en épocas de preparacón preva para enfrentar la alta demanda, se recurre a almacenar los productos en almacenes externos dado que la capacdad nterna ha llegado a su líme, lo cual ncurre en mayores costes por alqules de espaco y en transporte de los productos a los operadores externos. Al utlzar el modelo se calculan las coberturas objetvos utlzando con un modelo de aproxmadamente varables x restrccones. Una vez calculadas las coberturas se re-planfca cada semana en un horzonte de ocho semanas tenendo como guía las coberturas objetvos que dan vsón de largo plazo a los planfcadores. De este modo es posble enfrentarse a la estaconaldad e ncertdumbre de la demanda sguendo el patrón de las coberturas objetvos prevamente calculada, y adaptándose a la demanda real que va ocurrendo semana a semana. (24) 5. Conclusones En este trabajo se presentó un modelo de programacón matemátca Fuzzy de planfcacón de la produccón y almacenes. El objetvo del modelo es calcular los stocks objetvos semanales que serán entradas para modelos de planfcacón en el corto plazo, con el propóso de dar vsón de largo plazo a modelos del corto plazo. Con el modelo se realza una analogía a la planfcacón agregada de la produccón con el fn de moldear la estaconaldad de la demanda y a su vez manejar de forma parcal la ncertdumbre a través de la programacón flexble. El 881

7 modelo de programacón matemátca Fuzzy fue convertdo a Crsp utlzando el operador mn y utlzando una funcón de pertenenca asumendo un ncremento lneal. Referencas Bellman, R.E. & Zadeh, L.A Decson-makng n a fuzzy envronment. Management Scence, 17, (4) Berkelaar, M., Ekland, K., & Notebaert, P. lpsolve: Open source (mxed-nteger) lnear programmng system, verson Buxey, G Strategy not tactcs drves aggregate plannng. nternatonal Journal of Producton Economcs, 85, (3) Guu, S.M. & Wu, Y.K Two-phase approach for solvng the fuzzy lnear programmng problems. Fuzzy Sets and Systems, 107, (2) Jmenez, M., Arenas, M., Blbao, A., & Rodrguez, M.V Lnear programmng wh fuzzy parameters: An nteractve method resoluton. European Journal of Operatonal Research, 177, (3) La, Y.J. & Hwang, C.L Fuzzy mathematcal programmng:(methods and applcatons) Sprnger. Lang, T.F Applcaton of nteractve possblstc lnear programmng to aggregate producton plannng wh multple mprecse objectves. Producton Plannng & Control, 18, (7) Luhandjula, M.K Compensatory operators n fuzzy lnear programmng wh multple objectves. Fuzzy Sets and Systems, 8, (3) Mula, J Modelos para la planfcacón de la produccón bajo ncertdumbre, aplcacón en una empresa del sector del automóvl. Edoral de la Unversdad Polécnca de Valenca. Mula, J., Poler, R., & Garca, J.P MRP wh flexble constrants: A fuzzy mathematcal programmng approach. Fuzzy Sets and Systems, 157, (1) Mula, J., Poler, R., Garca-Sabater, J.P., & Laro, F.C Models for producton plannng under uncertanty: A revew. nternatonal Journal of Producton Economcs, 103, (1) Narasmhan, R Goal programmng n a fuzzy envronment. Decson Scences, 11, (2) Torab, S.A., Ebadan, M., & Tanha, R Fuzzy herarchcal producton plannng (wh a case study). Fuzzy Sets and Systems, 161, (11) Wang, R.C. & Lang, T.F Applcaton of fuzzy mult-objectve lnear programmng to aggregate producton plannng. Computers & ndustral Engneerng, 46, (1) Werners, B nteractve multple objectve programmng subject to flexble constrants. European Journal of Operatonal Research, 31, (3) Zadeh, L.A Fuzzy sets*. nformaton and control, 8, (3)

8 Zmmermann, H.-J Descrpton and Optmzaton of Fuzzy Systems. nternatonal Journal of General Systems 2, 2, Zmmermann, H.-J Fuzzy programmng and lnear programmng wh several objectve functons. Fuzzy Sets and Systems, 1, (1)