CURSO DE ECONOMETRIA BÁSICA

Transcripción

1 CURSO DE ECONOMETRIA BÁSICA D. Fracsco Parra Rodríguez. Jefe de Servco de Esadíscas Ecoómcas y Socodemografcas. Isuo Caabro de Esadísca. ICANE,

2 ÍNDICE Tema. Regresó y correlacó leal smple Tema. Regresó y correlacó leal múlple Tema 3. Números Ídces Tema 4. Seres Temporales Tema 5. Uldades esadíscas de la hoja de cálculo ECEL.

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4 . MODELO DE REGRESIÓN LINEAL..- El Méodo de los Mímos Cuadrados Ordaros. La regresó leal es ua de las éccas más ulzadas e el rabajo ecoomérco. Medae dcha écca raamos de deermar relacoes de depedeca de po leal ere ua varable depedee o edógea, Y, respeco de ua o varas varables explcavas o edógeas,. E ese epígrafe comezaremos el esudo del caso de ua úca ecuacó de po leal co ua varable depedee y ua depedee, dejado para el próxmo epígrafe la geeralzacó del modelo al caso de mulples varables exógeas. Se raa de esudar ua ecuacó o u modelo del sguee po: Y a + b + e Nuesra labor cosse e esmar los parámeros a y b de la ecuacó aeror a parr de los daos muesrales de los que dspoemos. Para ello ulzaremos el méodo de los Mímos Cuadrados Ordaros (MCO), pero aes de ver e que cosse ese méodo debemos hacer ceras hpóess sobre el comporameo de las varables que egra el modelo. A la varable e la deomamos érmo de perurbacó o error, y es ua varable que recoge odos aquellos facores que puede flur a la hora de explcar el comporameo de la varable Y y que, s embargo, o esá reflejados e la varable explcava. Esos facores debe ser poco mporaes, es decr, o puede exsr gua varable explcava relevae omda e el modelo de regresó. De ser así, esaríamos curredo e lo que se cooce como u error de especfcacó del modelo. El érmo de perurbacó ambé recoge los posbles errores de medda de la varable depedee, Y. De lo aeror se desprede que, a la hora de esmar los parámeros del modelo, resulará de val mporaca que dcho érmo de error o ejerza gua flueca deermae e la explcacó del comporameo de la varable depedee. Por ello, cuado se aplca el méodo de mímos cuadrados ordaros, se realza las sguees hpóess de comporameo sobre el érmo de error:. La esperaza maemáca de e es cero, al que E(e ). Es decr, el comporameo del érmo de error o presea u sesgo ssemáco e gua dreccó deermada. Por ejemplo, s esamos realzado u expermeo e el cual eemos que medr la logud de u deermado objeo, a veces al medr dcha logud comeeremos u error de medda por exceso y oras por defeco, pero e meda los errores esará compesados.. La covaraza ere e y e j es ula para j al que E(e e j ). Ello quere decr que el error comedo e u momeo deermado,, o debe esar correlacoado co el error comedo e oro momeo del empo, j, o dcho de oro modo, los errores o ejerce flueca uos sobre oros. E caso de exsr correlacó, os ecoraríamos ae el problema de la auocorrelacó e los resduos, el cual mpde realzar ua esmacó por mímos cuadrados válda.

5 3. La marz de varazas y covarazas del érmo de error debe ser escalar al que Var(e ) σ I,,,, dode I es la marz udad. Dado que sempre que medmos ua varable, se produce u cero error, resula deseable que los errores que comeamos e momeos dferees del empo sea smlares e cuaía. Esa codcó es lo que se cooce como supueso de homocedascdad que, e caso de o verfcarse, mpedría u uso legímo de la esmacó leal por mímos cuadrados. Esas hpóess mplca que los errores sgue ua dsrbucó Normal de meda cero y varaza cosae por lo que, dado su carácer aleaoro, hace que los errores sea por auraleza mpredecbles. Asmsmo, las varables cludas e el modelo debe verfcar que:. El comporameo de la varable depedee Y se ajusa al modelo leal durae odo el perodo muesral, es decr, o se produce u cambo mporae e la esrucura de comporameo de Y a lo largo de la muesra cosderada.. Las varables explcavas,, so o esocáscas, es decr, so cosderadas fjas e muesreos repedos. 3. El úmero de varables explcavas, k, sempre debe ser meor que el amaño muesral,. Es decr, sempre debemos dspoer de más observacoes que parámeros haya e el modelo. Veamos a couacó, supoedo que se verfca los supuesos aerores, como se realza la esmacó de los parámeros a y b. Gráfcamee, el resulado que obedremos al esmar dchos parámeros será ua reca que se ajuse lo máxmo posble a la ube de puos defda por odos los pares de valores muesrales (,Y ), al y como se puede aprecar e el gráfco.. Gráfco.. Nube de puos o gráfco de dspersó co varables relacoadas lealmee El érmo de error, e, puede ser eeddo, a la vsa del gráfco aeror, como la dsaca que exse ere el valor observado, Y, y el correspodee valor esmado, que sería la mage de e el eje de ordeadas. El objevo de la esmacó por Mímos Cuadrados

6 Ordaros es, precsamee, mmzar el sumaoro de odas esas dsacas al cuadrado; es decr : b a Y Y Y e M ) ˆ ˆ ( ) ˆ ( Dervado esa expresó respeco a los coefcees a y b e gualado a cero obeemos el sguees ssema de ecuacoes: b a Y b a Y ˆ ˆ b a Y ˆ ˆ dode represea el amaño muesral y e Y represea las medas de dchas varables. Resolvedo dcho ssema de ecuacoes obeemos la solucó para los parámeros a y b: b Y a Y Y b ) ( ) )( ( Ejemplo.. Supogamos que el drecor de ua empresa pesa que la demada de u produco que él comercalza depede úcamee del preco de vea al públco. Para esudar la demada de ese produco preede esmar el sguee modelo: e b a Y + + dode Y es la cadad vedda aualmee del be Y e el año, y es el preco medo al cual se vedó el be Y durae el año. Se dspoe de los sguees daos muesrales: Los parámeros y varables que lleva ecma u símbolo de aceo crcuflejo (^) dca que so esmadas por lo que o se correspode co el valor real de la varable so que co el calculado por osoros.

7 Año Y A parr de esos daos cales podemos calcular la sguee abla: Y ( Y Y ) ( ) ( Y Y ) ( ) ( ) ( Y Y ) 9-6,4 4, -6,4 6,8 4,96 8-4,4 3, -3,64 9,6 9, ,4, -3,74,, ,4, -,4, 5, ,4, -,4,,96 7 4,6 -,9 -,54,8,36 4 3,6 -,9-3,4,8,96 3 4,6 -,9-8,74 3,6,6 5,6 -,9-6,4 8,4 3,36 3 3,6 -,9-6,84 3,6,96 Toal ,6 44,9 58,4 Meda 6,4 4,9

8 Aplcado las formulas vsas aerormee: b ( )( Y Y ) ( ) a Y b 6.4 ( ) 4.8 de dode la ecuacó de la reca esmada será Y e Falmee, susuyedo e la expresó aeror los valores de, podemos obeer los valores de Yˆ y el valor de los érmos de error, e: Yˆ e Y Yˆ

9 .. Bodad de Ajuse Como ya hemos comeado aerormee, el modelo de regresó leal se plaea para explcar el comporameo de la varable depedee Y. Por ello, e dcho esudo será eresae aalzar la varacó que expermea esa varable y, dero de esa varacó, esudar qué pare esá sedo explcada por el modelo de regresó y qué pare es debda a los errores o resduos. Para ello, a parr de los érmos de error, se puede obeer la expresó: Y ' Y Yˆ' Yˆ + e' e E el caso de que exsa érmo depedee e el modelo, la descomposcó aeror quedaría como: SCT SCE + SCR dode: SCT: es la Suma de Cuadrados Toales y represea ua medda de la varacó de la varable depedee. SCE es la Suma de Cuadrados Explcados por el modelo de regresó. SCR es la Suma de Cuadrados de los Errores Cada ua de esas sumas vee dada por las sguees expresoes: SCT Y ' Y Y Y Y SCE β ' ' Y Y SCR e Y ' Y β ' ' Y SCT SCE A parr de las expresoes aerores es posble obeer ua medda esadísca acerca de la bodad de ajuse del modelo medae lo que se cooce como coefcee de deermacó (R ), que se defe como: R SCR SCT, R y e el caso parcular de modelo co érmo depedee, como:

10 SCE R, R SCT Medae ese coefcee es posble seleccoar el mejor modelo de ere varos que ega el msmo úmero de varables exógeas, ya que la capacdad explcava de u modelo es mayor cuao más elevado sea el valor que ome ese coefcee. S embargo, hay que eer cero cudado a la hora de rabajar co modelos que presee u R muy cercao a pues, auque podría parecer que esamos ae el modelo perfeco, e realdad esaría ecubredo ceros problemas de ídole esadísca como la mulcolealdad que veremos más adelae. Por ora pare, el valor del coefcee de deermacó aumea co el úmero de varables exógeas del modelo por lo que, s los modelos que se compara ee dso úmero de varables exógeas, o puede esablecerse comparacó ere sus R. E ese caso debe emplearse el coefcee de deermacó corregdo R, el cual depura el cremeo que expermea el coefcee de deermacó cuado el úmero de varables exógeas es mayor. La expresó aalíca de la versó corregda es: R ( ) SCR k SCT k R cuyo valor ambé oscla ere y.3. Ifereca acerca de los Esmadores Hasa el momeo hemos vso como la esmacó por Mímos Cuadrados Ordaros perme obeer esmacoes puuales de los parámeros del modelo. La fereca acerca de los msmos perme complear dcha esmacó puual, medae la esmacó por ervalos y los corases de hpóess. Los prmeros posbla la obecó de u ervalo dero del cual, co u deermado vel de cofaza, osclará el verdadero valor de u parámero, meras que los segudos os permrá exraer cosecuecas del modelo, averguado s exse o o, evdeca acerca de ua sere de cojeuras que puede plaearse sobre sus parámeros. Dado que la fereca esadísca ya fue esudada e el ema 6 del Maser, os lmamos smplemee a recordar la expresó aalíca de la esmacó por ervalos y las reglas a segur para realzar u corase de hpóess. Iervalos De Cofaza a) Iervalo de cofaza para el parámero βˆ Su cálculo se realza medae la sguee expresó: IC ( ˆ β : β ± S β k dode ) S β es la desvacó ípca esmada para el coefcee, que se obee de la marz de varazas y covarazas de los esmadores expresada como: βˆ

11 Σ K K K K K β β β β β β β β β β β β β β β ββ σ σ σ σ σ σ σ σ σ cuyos esmadores será: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ K K K K K S S S S S S S S S S β β β β β β β β β β β β β β β ββ obedos a parr de la expresó ( ) ˆ ˆ ' S S e β β, dode k e S e es la esmacó de la varaza del érmo de error y la versa de la marz de producos cruzados de los regresores ulzados (ver Tema ). ( ) ' b) Iervalo de cofaza para la varaza del érmo de error La expresó del ervalo de cofaza para la varaza del érmo de error es: ; ) ( ; ) ( : α α α α χ χ χ χ σ SCR SCR k S k S IC e e e dode α represea el vel de sgfcacó del corase y geeralmee se ulza u 5% de sgfcacó. Corases de Hpóess a) Corase dvdual sobre u parámero Formulacó de la hpóess: * : j j H β β * : j j H β β Esadísco expermeal: j S j j β β β ˆ * exp ˆ Esadísco eórco: ) / (α k co Regla de decsó: S co > exp se rechaza la hpóess ula b) Corase de sgfcacó dvdual

12 Formulacó de la hpóess: H : β Esadísco expermeal: j H : β j exp ˆ β j S Esadísco eórco: (α / ) ˆ j β co k Regla de decsó: S exp > co se rechaza la hpóess ula c) Corases para u cojuo de hpóess leales Formulacó de la hpóess: o aleravamee: Esadísco expermeal: H r β + r H : Rβ r : r β + r β +... r β + r β q F exp q β r + r k k + r qk β r K β r K β r ( R ˆ β r) [ R ( ' ) R' ] ( R ˆ β r) K SCR q k q dode q represea el úmero de ecuacoes de la hpóess ula Esadísco eórco: F( q, k,α ) F co Regla de decsó: S F > se rechaza la hpóess ula exp F co d) Corase de sgfcacó global Formulacó de la hpóess: H β β... β : 3 K Esadísco expermeal: F SCE k SCR k R k ( R ) exp k Esadísco eórco: F ( k, k,α ) F co Regla de decsó: S F > se rechaza la hpóess ula exp F co

13 .4. Predccó e el Modelo de Regresó Ua vez esmado y valdado el modelo, ua de sus aplcacoes más mporaes cosse e poder realzar predccoes acerca del valor que omaría la varable edógea e el fuuro o para ua udad exramuesral. Esa predccó se puede realzar ao para u valor dvdual como para u valor medo, o esperado, de la varable edógea, sedo posble efecuar ua predccó puual o por ervalos. Su cálculo se realza medae las expresoes que fgura a couacó: a) Predccó dvdual: se raa de hallar el valor esmado para la varable Y u perodo haca delae. E ese caso basa co susur el valor de las varables exógeas e el modelo e el sguee perodo y calcular el uevo valor de Y. b) Iervalo de predccó. Para hallar u ervalo de predccó debe ulzarse la sguee expresó: IC ' ( ' ) ; Ŷ + S ( ) ' Yˆ k S k + : + + ' + c) Iervalos de predccó para u valor medo o esperado. La expresó a ulzar e ese caso será: IC E ˆ ' ' ( Y ): Y+ k S + ( ' ) + ;Ŷ + + k S + ( ' ) Volacó de los Supuesos del Modelo Leal de Regresó Como veíamos e aerores epígrafes, el modelo de regresó leal requere que se cumpla las sguees hpóess sobre los érmos de error: Meda cero : E(e ),, Varaza cosae : Var(e ) σ I,, Resduos correlacoados : Cov(e,e j ) El cumplmeo de algua de dchas hpóess, mplca la o aleaoredad de los resduos y, por ao, la exseca de algua esrucura o relacó de depedeca e los resduos que puede ser esmada, debedo ser cosderada e la especfcacó cal del modelo. Los prcpales problemas asocados al cumplmeo de las hpóess de ormaldad de los resduos so, por u lado, la heeroscedascdad, cuado la varaza de los msmos o es cosae, y la auocorrelacó o exseca de correlacó ere los dferees resduos, lo que volaría el supueso de érmos de error correlacoados. S se cosruye ua gráfca de los resulados de ua esmacó mímo cuadráca (e abcsas) free al valor absoluo de los resduos (e ordeadas), cuado ésos úlmos presea ua dsrbucó Normal de meda cero y varaza cosae, N (, σ ), el resulado obedo (gráfco 6..) muesra que el amaño del error es depedee del amaño de la varable esmada, ya que errores co valor elevado se correspode co valores bajos y alos de la varable depedee esmada; s embargo, ua dsrbucó de resduos co problemas de heeroscedascdad da lugar a ua fgura como la que puede observarse e el gráfco 6.3., e dode se mafesa ua clara relacó de depedeca ere la varable esmada y el amaño del

14 error. E ese caso los errores de mayor amaño se correspode co los valores más alos de la varable esmada. Resduos aleaoros de meda cero y varaza cosae V arab le e sm a d a Resduos valor absoluo (e) Gráfco.. Resduos Homocedáscos

15 Resduos co heerocedascdad 35 Varable esmada Resduos valor absoluo (e) Gráfco.3. Resduos Heeroscedáscos La represeacó gráfca de los errores e forma de sere emporal, es decr, poedo e el eje de abcsas los errores y e ordeadas el perodo emporal e que esá daados, perme aprecar la auseca o preseca de correlacó ya que a los resduos o correlacoados (gráfco 6.4.) le correspode ua represeacó gráfca e la que o se apreca paua emporal algua, sucedédose de forma mpredecble o aleaora, meras que e los resduos co problemas de auocorrelacó, la paua emporal es evdee, evdecádose que cada resduo puede ser predcho e fucó de la sucesó de los errores correspodees a perodos emporales pasados (gráfco 6.5.) Resduos aleaoros co meda cero y varaza cosae Gráfco.4. Resduos s Auocorrelacó

16 Resduos co problema de auocorrelacó Gráfco.5. Resduos co Auocorrelacó Esos problemas asocados a los errores puede deecarse co es esadíscos dseñados para ello. A couacó se descrbe dchos es y la forma e que debe procederse para esmar modelos e dode la esmacó mímo-cuadráca presea problemas de ese po asocados a los resduos. Heeroscedascdad Decmos que el érmo de error de ua esmacó mímo-cuadráca presea heeroscedascdad cuado la varaza del msmo es dferee para las dsas observacoes que egra la muesra, lo que mplca que la varabldad de los errores mímo-cuadrácos obedos esá relacoados de algua maera co los daos ulzados e el modelo, ya sea por esar relacoados co la escala emporal de los daos recogdos o por presear algua relacó de depedeca co algua de las varables exógeas ulzadas. Las cosecuecas para la esmacó mímo-cuadráca so que los esmadores de los coefcees segurá sedo sesgados y leales pero ya o será de míma varaza o efcees. La deeccó de la heeroscedascdad se realza a ravés de dversos corases paramércos, ere los que cabe desacar el corase de Barle (Mood, 95), el cosrase de Goldfeld- Quad (965) y el corase de Whe (98), los cuales pasamos a ver a couacó. Tes de Barle El es de Barle se basa e de que la suposcó de que las observacoes de los daos de la varable a esmar por el modelo puede agruparse e G grupos (g,,..., G), cada uo de los cuales se caracerza por eer u dso po de observacoes asocadas a la varable explcava, de al maera que sería el úmero de observacoes correspodees al prmer grupo, el úmero de observacoes asocadas al segudo grupo y, e geeral, G es el úmero de observacoes asocadas al grupo g-ésmo. A cada grupo le correspode u valor medo de la varable depedee y ua varaza para ese valor medo. El es corasa s dcha varaza es gual o o ere los dsos grupos que se ha cosrudo para la varable depedee, admédose la hpóess de exseca de heeroscedascdad s la varaza es sgfcavamee dferee ere los grupos formados.

17 Los pasos a segur e la prácca para realzar el es de Barle so los sguees:. Se esma la varaza ( ) de cada grupo de observacoes, g,,..., G medae la sguee expresó: s g s g g g ( y y ) g g. Se calcula el esadísco S: G G g log sg g logs g g S G + 3( G ) g g g Bajo el supueso de homocedascdad, S se dsrbuye como ua ch-cuadrado (χ ) co G grados de lberad. Por lo ao, se rechazará la hpóess de gual varaza e odos los grupos s S es mayor que el valor críco de la dsrbucó ch-cuadrado al vel de sgfcacó esadísca fjado. Corase de Goldfeld-Qua El corase de Goldfeld-Qua se ulza para corasar la homocedascdad cuado la forma de la heeroscedascdad o es coocda, auque se uye que la varaza guarda ua relacó moóoa crecee o decrecee respeco a algua varable exógea (que deomaremos varable z). La operava de ese es es la sguee:. Ordear odas las observacoes de las varables del modelo, de meor a mayor, e fucó de la varable z.. Elmar c observacoes cerales de la ordeacó aeror, de al forma que quede dos submuesras de (-c)/ observacoes cada ua. Al seleccoar c, debe hacerse de al forma que (-c)/ sea susacalmee mayor que el úmero de parámeros del modelo. 3. Esmar dos veces el modelo orgal medae Mímos Cuadrados Ordaros, ulzado e cada esmacó ua de las submuesras. 4. Deomado SR y SR a las sumas de los cuadrados de los resduos de ambas submuesras (de maera que el subídce correspoda a la submuesra co la meor suma) se defe el esadísco F: SR F SR La dea que subyace bajo ese corase es la sguee: s exse heeroscedascdad eoces, co la ordeacó de la muesra, la varaza del érmo de error será mayor haca el fal de la muesra que al prcpo de la msma. Como el cuadrado de los resduos esá asocado co la varaza de los msmos, eoces SR debería ser sesblemee mayor que SR. Por ello, se rechazara la hpóess ula de

18 homocedascdad sempre que el valor del esadísco F excede el valor e ablas de la dsrbucó F (-c-k)/, (-c-k)/, acepádose la exseca de heeroscedascdad e caso coraro. Corase de Whe El corase de Whe se desarrolló ambé para evar la ecesdad de cosderar ua forma específca para la heeroscedascdad. El corase se basa e que, bajo la hpóess ula de homocedascdad, la marz de varazas y covarazas de los esmadores MCO de β es: σ ( ' ) Por el coraro, s exse heeroscedascdad, la marz de varazas y covarazas vee dada por: ( ' ) ' Ω ( ' ), Ω dag( σ, σ,..., σ ) Por ao, s omamos la dfereca ere ambas queda: ( ' ) ' Ω ( ' ) σ ( ' ) Por ello, basa co corasar la hpóess ula de que odas esas dferecas so guales a cero, lo que equvale a corasar que o hay heeroscedascdad. Los pasos a segur para realzar el corase de Whe so los sguees:. Esmar el modelo orgal y obeer la sere de resduos esmados. Realzar ua regresó del cuadrado de la sere de resduos obedos e el paso aeror sobre ua cosae, las varables exógeas del modelo orgal, sus cuadrados y los producos cruzados de segudo orde (los producos resulaes de mulplcar cada varable exógea por cada ua de las resaes hasa complear. Es decr, se raa de esmar por MCO la relacó: ˆ e α+ ϕ ϕk k + η ηk k + ω ωk k + ν νkk ρ k 3. Al aumear el amaño muesral, el produco R (dode es el úmero de observacoes y R es el coefcee de deermacó de la úlma regresó) sgue ua dsrbucó Ch-cuadrado co p grados de lberad, dode p es el úmero de varables exógeas ulzadas e la seguda regresó. Se acepará la hpóess de exseca de heeroscedascdad cuado el valor del esadísco supere el valor críco de la dsrbucó Ch-cuadrado al vel de sgfcacó esadísca fjado. k Correccó de la heeroscedascdad Los problemas de heeroscedascdad se resuelve ulzado ua écca de esmacó leal que recbe el ombre de Mímos Cuadrados Geeralzados (MCG). El uso de Mímos Cuadrados Geeralzados equvale a redefr las varables ulzadas e el modelo orgal de regresó al que odas ellas queda dvddas por la desvacó ípca de los resduos: Y * Y, σ e * j j, j,..., k, e σ e * e σ e Poserormee se realza la regresó mímo cuadráca co el modelo rasformado:

19 * Y β + β * + β 3 * β k * k + e * La rasformacó descra del modelo orgal requere del coocmeo prevo de ua esmacó de la varaza de los resduos. S o se dspoe de ua esmacó preva de dcha varaza, ésa puede esmarse medae la sguee expresó: σ MCG eˆ T k Auocorrelacó Decmos que exse auocorrelacó cuado el érmo de error de u modelo ecoomérco esá correlacoado cosgo msmo a ravés del empo al que E(e, e j ). Ello o sgfca que la correlacó ere los errores se dé e odos los perodos so que puede darse a sólo ere alguos de ellos. E preseca de auocorrelacó, los esmadores mímo-cuadrácos sgue sedo sesgados pero o posee míma varaza, debédose ulzar e su lugar el méodo de Mímos Cuadrados Geeralzados. La exseca de auocorrelacó e los resduos es fáclmee defcable obeedo las fucoes de auocorrelacó (acf) y auocorrelacó parcal (acp) de los errores mímocuadrácos obedos e la esmacó. S dchas fucoes correspode a u rudo blaco, se cosaará la auseca de correlacó ere los resduos. S embargo, el mero exame vsual de las fucoes aerores puede resular cofuso y poco objevo, por lo que e la prácca ecoomérca se ulza dversos corases para la auocorrelacó, sedo el más ulzado el de Durb-Waso (95), que pasamos a ver segudamee. Corase de Durb-Waso S se sospecha que el érmo de error del modelo ecoomérco ee ua esrucura como la sguee: e ˆ ρ ˆ + u e eoces el corase de Durb-Waso perme corasar la hpóess ula de auseca de auocorrelacó. Dcho corase se basa e el cálculo del esadísco d, ulzado para ello los errores mímo-cuadrácos resulaes de la esmacó: d ( eˆ eˆ eˆ ) El valor del esadísco d oscla ere y 4, sedo los valores cercaos a los ídcavos de auseca de auocorrelacó de prmer orde. La erpreacó exaca del es resula compleja, ya que los valores crícos apropados para corasar la hpóess ula de o auocorrelacó requere del coocmeo de la dsrbucó de probabldad bajo el supueso de cumplmeo de dcha hpóess ula, y dcha dsrbucó depede a su vez de los valores de las varables explcavas, por lo que habría que calcularla e cada aplcacó. Para faclar la erpreacó del es Durb y Waso dervaro dos dsrbucoes: d y d s, que o depede de las varables

20 explcavas y ere las cuales se ecuera la verdadera dsrbucó de d, de forma que a parr de u deermado vel de sgfcacó, se adopa la sguee regla de decsó: S d d rechazamos la hpóess ula de o auocorrelacó free a la hpóess alerava de auocorrelacó posva. S d 4 d rechazamos la hpóess ula de o auocorrelacó free a la hpóess alerava de auocorrelacó egava. S d s d 4- d s acepamos la hpóess ula de o auocorrelacó. E la sguee pága preseamos la abla co la dsrbucó desarrollada por Durb y Waso para los valores de d y d s Ejemplo.. E el sguee ejercco plaeamos ua regresó leal ere el cosumo de eergía elécrca e España y el PIB a precos de mercado valorado e moeda cosae (mlloes de euros). Cosumo de Eergía Elécrca (mles de TEP) PIB (mlloes de euros) Fuee: INE y OCDE Co los daos de la abla aeror la esmacó MCO ere el cosumo de eergía elécrca y el PIB sería la sguee: Y ε Sedo Y el cosumo de eergía elécrca y el PIB e moeda cosae. Los resulados de la esmacó se presea a couacó: Esadíscas de la regresó

21 Coefcee de correlacó múlple Coefcee de deermacó R R ajusado Error ípco Observacoes 6 Coefcees Error ípco Esadísco Probabldad Iercepcó PIB-$ Como vemos las esadíscas de la regresó realzada so bueas, se obee u R muy elevado, y los parámeros so esadíscamee sgfcavos, ya que el valor eórco de la - Sude es.5 al 95% de probabldad. No obsae, la represeacó gráfca de los errores apua a la posbldad de u problema de auocorrelacó ere los resduos: Grafco de los resduos 6, 5, 4, 3,,,, -, , -3, -4, Para verfcarlo calculamos el esadísco de Durb-Waso: Y* e e e -e - (e -e - )

22 Toal d (ˆ e eˆ eˆ ) 479,8.7 7,79, Los valores eórcos del esadísco para 6 observacoes y k varables explcavas, so d D.98 y d U.4. Dado.667 <.98 o podemos rechazar la hpóess de la exseca de auocorrelacó posva.

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24 . Regresó Leal Múlple..- Iroduccó. Pasamos a couacó a geeralzar el modelo aeror al caso de u modelo co varas varables exógeas, de al forma que se raa de deermar la relacó que exse ere la varable edógea Y y varables exógeas,,,, k. Dcho modelo se puede formular marcalmee de la sguee maera: Y β + β + e β + β k k e,,,, dode: Y Y Y es el vecor de observacoes de la varable edógea... Y... k... k [... k ] es la marz de observacoes de las varables... k exógeas β β β es el vecor de coefcees que preedemos esmar... β K e e e es el vecor de érmos de error... e S e la expresó aeror se cosderara que exse érmo depedee, α, la marz quedaría como: k k... k [... ] 3 k y el modelo quedaría así: Y α + β... β + + β + + k k u,,...,

25 Supoedo que se verfca las hpóess que veíamos aes, el problema a resolver uevamee es la mmzacó de la suma de los cuadrados de los érmos de error al que: Y Y Y e M ) ( ) ˆ ( β Desarrollado dcho cuadrado y dervado respeco a cada β obeemos el sguee ssema de ecuacoes expresado e oacó marcal: Y ' ' β e dode basa co despejar β premulplcado ambos membros por la versa de la marz para obeer la esmacó de los parámeros del modelo al que: ) ' ( Y ' ) ' ( ˆ β dode: k k k k k ' k Y Y Y Y... ` S e el modelo exsera érmo depedee, α, las marces aerores sería: k k k k k ' k Y Y Y Y... ` El resulado de mulplcar dchas marces coduce a la obecó de la esmacó de los parámeros β del modelo: k k k k k k Y Y Y Y β β β β ˆ... ˆ ˆ ' ) ' ( ˆ k

26 Cada uo de los coefcees esmados, βˆ, so ua esmacó sesgada del verdadero parámero del modelo y represea la varacó que expermea la varable depedee Y cuado ua varable depedee varía e ua udad y odas las demás permaece cosaes (supueso ceers parbus). Dchos coefcees posee propedades esadíscas muy eresaes ya que, s se verfca los supuesos aes comeados, so sesgados, efcees y ópmos. Ejemplo.. El drecor de ua ageca de vajes quere esudar el secor urísco e España. Para ello dspoe de formacó relava al grado de ocupacó hoelera (Y), úmero medo de ursas ( ), meddo e mles de ursas, y esaca meda ( ), medda e días. Los daos dspobles so de core rasversal y pereece a cada ua de las 7 Comudades Auóomas. El modelo eórco a esmar co la formacó dspoble es el sguee: Y β + β + e del que se cooce los sguees resulados: ( ' ) ( 'Y ) Vamos a esmar el modelo propueso por Mímos Cuadrados Ordaros. Para ello, basa co mulplcar las marces al que: ˆ β ( ' ) ' Y Por lo que el modelo queda como sgue: Ŷ dode βˆ 5.77 dca el efeco, sobre el grado de ocupacó hoelera, de las varacoes uaras del úmero medo de ursas y βˆ 3.3 mde la varacó que se producría e el grado de ocupacó hoelera s la esaca meda aumeara e ua udad... Defcecas Muesrales: Mulcolealdad y Errores de Medda Mulcolealdad El feómeo de la mulcolealdad aparece cuado las varables exógeas de u modelo ecoomérco esá correlacoadas ere sí, lo que ee cosecuecas egavas para la esmacó por Mímos Cuadrados Ordaros pues, e ese caso, e la expresó: ˆ β ( ' ) ' Y

27 la marz ( ' ) o será verble por lo que resulará mposble hallar la esmacó de los parámeros del modelo y la varaza de los msmos. Eso es lo que se cooce por el ombre de mulcolealdad exaca. S embargo, e la prácca o os ecoraremos co u caso a exremo como el que acabamos de expoer, so que geeralmee os ecoraremos ae mulcolealdad aproxmada, sedo ua de las columas de la marz ( ' ), aproxmadamee, ua combacó leal del reso por lo que será ua marz aproxmadamee sgular. Al o ser el deermae de ( ' ) gual a cero, exsrá versa y podrá esmarse los parámeros pero co las sguees cosecuecas: Por u lado, pequeñas varacoes muesrales producdas al corporar o susraer u úmero reducdo de observacoes muesrales podría geerar mporaes cambos e los parámeros esmados. ( ) Por oro lado, la marz de covarazas del esmador MCO, S S ', al ser u múlplo de ( ' ), será muy grade por ser el deermae de ( ' ) muy pequeño por lo que la esmacó realzada será muy poco precsa al ser la desvacó ípca de cada parámero muy elevada. ˆ ββˆ e Las solucoes propuesas para resolver el problema de la mulcolealdad so varados, s be e geeral resula poco sasfacoros: Ua posbldad, sugerda por Johso (984) cosse e exclur aquella varable exógea que puede esar muy correlacoada co el reso y poserormee esmar el coefcee asocado a dcha varable medae oro procedmeo para clurlo e el modelo. També se ha sugerdo la posbldad de reformular el modelo, covrédolo e u modelo de varas ecuacoes. Errores de medda Cuado hablamos de errores e las varables os refermos a los errores de medcó de las msmas. Como el alumo ya debería coocer, al medr las relacoes exsees e Ecoomía recurrmos a varables obedas, la mayoría de las veces por medo de esmacoes muesrales, eso es, a ravés de u muesreo represeavo de las udades que las geera (cosumo eror de u país, produccó, ec.) o dervadas de ésas (Produco Ieror Bruo, ec.). Esas esmacoes de las varables macroecoómcas va asocadas a u error de muesreo. Las varables cuafcadas a ravés de muesreos represeavos, o sólo se da al rabajar co macromagudes, ecorádoselas ambé el vesgador e odas las dscplas (Markeg, Coabldad, ec.) Es mporae, por ao, que al efecuar cualquer po de vesgacó y aálss, se coozca la fuee y orge de los daos, así como sus caraceríscas báscas (error de muesreo, vel de

28 cofaza, po de muesreo, amaños muesrales, uverso de refereca, flueca o sesgo de la o respuesa, ec.). El hecho de que los errores e las varables a medr exsa, ha producdo ua coroversa a lo largo del empo ere los ecoómeras, exsedo pardaros de su raameo así como pardaros de o eerlos e cuea. A esos errores se les propuso como los causaes de las dscrepacas e los valores observados y la regresó, fudameádose e la dfereca exsee ere las varables eórcas y las varables empírcas. La acepacó de la exseca de errores e la medcó de las varables produce u problema de acepacó de cosseca e las esmacoes mímo cuadrácas debdo a que, evdeemee, s ua varable esa medda co error ése se reflejará e la perurbacó aleaora, producédose ua correlacó ere ambos compoees de la ecuacó. E esos casos se ulza la defcó de varable laee, como la varable real, que o sempre cocdrá co la varable empírca u observada. La varable laee se descrbe como la varable observada más el érmo de error. Llevado el problema a u modelo cocreo, se puede observar como susuyedo las varables a aalzar (sempre se supoe que se desea rabajar co varables reales laees ) por las varables observadas más el error de medda, se llega al problema descro. Ese problema dfere e su magud segú s el error se da e las varables explcavas o e las varables edógeas. Así, s sólo exse errores e la varable edógea, los esmadores mímo cuadrácos será sesgados y cossees, pero preseará u problema de efceca (se cremea la varaza del error). S, por el coraro, los errores de medcó se ecuera e las varables explcavas del modelo, los esmadores mímo cuadrácos será sesgados e cossees. Oro hecho a eer e cuea es que habualmee o se cooce el valor real de la varable, o coocédose, por ao, el error comedo e su medcó (esmacó), debedo el vesgador rabajar co la varable observada, lo que coduce a la ecesdad de rabajar co esmadores cossees. Acualmee exse ua líea de vesgacó e la cual se rabaja co errores e las varables, coocda como el aálss de ecuacoes esrucurales los cuales, paredo del hecho de que o se mde perfecamee las varables laees medae la formacó dspoble, corpora dero de su mplemeacó los errores de medda. Dero de esa líea de vesgacó cabe desacar los sguees méodos: Méodo de Agrupacó de las Observacoes, que cosse e la dvsó de los valores muesrales e grupos o submuesras a parr de los cuales, ua vez ordeados de meor a mayor los valores de la varable explcava, se calcula las medas armécas, obeédose de esa maera ao la pedee como el érmo depedee. Los esmadores así obedos so cossees, pero o efcees. Méodo de Varables Isrumeales (VI), cosse e ecorar u srumeo o varable que, o esado cluda e el modelo, esé correlacoada co el érmo de error y correlacoada co la varable explcava para la que acúa de srumeo y que posee errores de medda. El esmador obedo de esa maera será u esmador cossee, s be el méodo plaea ceras dfculades, ya que es dfícl ecorar e la prácca srumeos de ua varable medda co error que o esé correlacoados co el érmo de error.

29 Méodo de la Regresó Poderada, e la que se da ua poderacó gual a los errores de y de Y. Poserormee, y ua vez fjada la relacó ere las varazas de los errores, se procede a esmar e fucó de Y, y de Y e fucó de, debedo ecorarse la regresó verdadera ere ambas esmacoes..3. Modelo co varables cuaavas y cualavas como regresores. E u modelo ecoomérco, se eede por varable al cocepo ecoómco que queremos aalzar. Normalmee ulzaremos varables cuaavas, es decr, aquellas cuyos valores vee expresados de forma umérca. S embargo, ambé exse la posbldad de clur e el modelo ecoomérco formacó cualava, sempre que la formacó cualava pueda expresarse de forma cuaava. Dero de ese po de varables se dsgue:: Varables proxes: so varables aproxmadas a la varables objeo de aálss. Por ejemplo, s quero ulzar ua varable que mda el vel culural de u país (varable cualava) puedo ulzar como varable proxy el úmero de bbloecas exsees e u país, que s be o recoge el cocepo exaco que yo quero medr, s se aproxma al msmo. Varables fccas o dummy: esas varables oma úcamee (e prcpo) dos valores arbraros segú se de o o cera cualdad e u feómeo. Habualmee a la varable fcca se le asga el valor s ocurre u deermado feómeo y e caso coraro. Esas varables, a su vez, puede ser de dos pos: Fcca de ervalo: Por ejemplo s esoy aalzado la varable exporacoes e España desde 97 hasa el año, hay u hecho mporae que es la erada de España e la Uó Ecoómca que debo recoger a ravés de la ulzacó de la varable fcca. Fcca de escaló: Por ejemplo s esá aalzado el crecmeo ecoómco de u país e el que e u año deermado hubo u acoecmeo meeorológco que uvo ua repercusó egava sobre la ecoomía, al raarse ése u dao casual (y o equlbrado co el reso de valores que oma la sere) debo roducr e el modelo ese po de formacó para que la ega e cuea e la esmacó y comea u meor error. Varables defdas por su pereeca o o a u grupo: s yo ego ua varable cualava que me defe la pereeca o o de u país a u grupo (por ejemplo rea ala, meda y baja) podré roducr esa varable cualava e el modelo codfcádola, es decr expresado sus valores e úmeros de al forma que puedo asocar cada vel de rea co u valor úmero arbraro (por ejemplo : rea baja; : rea meda; y 3: rea ala).se eede por daos, los dferees valores que oma ua varable. Los daos puede correspoder a los valores de ua varable e el empo (sere emporal), o avalores para dferees sujeos e u momeo dado (daos de core rasversal). A couacó vamos a plaear el ejercco de la clusó de ua varables cualava dcoómcas ó dummy e u modelo de regresó leal. Supogamos que eemos el sguee modelo:

30 Y β +β +ε () sedo,.,t, T + T E el perodo T sabemos de la exseca de u suceso exraordaro que afeca a la evolucó de la varable depedee, y queremos lógcamee saber el efeco que causa dcho suceso exraordaro sobre la ecuacó a esmar. Por ello habremos de defr las sguees varables dummy: D s s T > T D ( D ) s T s > T La esrucura de ambas varables sería la sguee:.... D. D... D ee aos como observacoes hay hasa T y D ee aos como observacoes hay ere T y T. Aalzar el efeco del suceso exraordaro sobre la regresó, puede realzarse de forma separada para cada perodo de a T y T a T o cojuamee para odo el perodo, be sobre el ermo cosae B o sobre la pedee B. Para el aálss del érmo cosae edremos que plaear los sguees modelos de regresó: Y β +α D +β +ε () Y β +α D +β +ε (3) Y α D +α D +β +ε (4) E ese caso : S se ulza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : α S se ulza la especfcacó del modelo (3) el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : α S se ulza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : α α S queremos aalzar la pedee del modelo, plaearemos las sguees ecuacoes de regresó: Para el aálss del érmo cosae edremos que plaear los sguees modelos de regresó:

31 Y β +β +δ (D )+ε (5) Y β +β +δ (D )+ε (6) Y β +δ (D )+ +δ (D )+ε (7) E cuyo caso: S se ulza la especfcacó del modelo (5) el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : δ S se ulza la especfcacó del modelo (6) el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : δ S se ulza la especfcacó del modelo (7) el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : δ δ Las varables dummy ambé puede ser ulzadas para modelzar varables defdas por su pereeca o o a u grupo. Supogamos ahora que esamos modelzado la relacó que exse ere la rea dspoble y las prmas de seguro coraadas por u grupo N de dvduos, a parr de daos del mpore de las prmas de seguro coraadas por cada dvduo Y, y la rea o los gresos que declara cada uo de ellos R : Y β +β R +ε (8), sedo..n De ese grupo de dvduos coocemos alguas oras caraceríscas que puede ser rascedees a la hora de uesro aálss, por ejemplo el vel de esudos. E cocreo dspoemos de formacó sobre el vel de esudos que ha compleado: s esudos, prmaros, secudaros o uversaros. Ulzado dcha formacó creamos las sguees varables dummy: D s ee esudos uversaros s o ee esudos uversaros D s o ee esudos uversaros ( D ) s ee esudos uversaros S por ejemplo la muesra de dvduos que eemos es de (N), de los cuales res de ello ee esudos uversaros, las varables dummy edría la sguee esrucura: D D Al gual que e el ejemplo aeror el vesgador puede esar eresado e aalzar el efeco que ee el vel de formacó e el gaso e prmas de seguros de los dferees dvduos. Al gual que e el ejemplo aeror podemos corasar el efeco que ee el vel de esudos e el

32 ermo depedee (α), o e el coefcee (β) que relacoa el vel de rea co el mpore pagado e prmas. El plaeameo del problema para el aálss del érmo cosae sería eoces: Y β +α D +β R +ε (9) Y β +α D +β R +ε () Y α D +α D +β R +ε () E ese caso: S se ulza la especfcacó del modelo (9) el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : α S se ulza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : α S se ulza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : α α Para el aálss de la pedee edremos que plaear los sguees modelos de regresó: Y β +β R +δ (D R )+ε () Y β +β R +δ (D R )+ε (3) Y β +δ (D R )+ +δ (D R )+ε (4) E cuyo caso: S se ulza la especfcacó del modelo () el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : δ S se ulza la especfcacó del modelo (3) el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : δ S se ulza la especfcacó del modelo (4) el aálss de la varabldad de β exge corasar la hpóess ula H : δ δ.4. El empleo de varables cualavas para el raameo de la esacoaldad E Ecoomía se suele rabajar co daos auales, pero e muchos casos y dervado del carácer predcvo del modelo o be de la objeva ulzacó del msmo, se hace ecesaro rabajar co seres de daos daras, mesuales o rmesrales, y muchas seres e ecoomía geeralmee adolece del carácer esacoal de las msmas (cosumos bajos e los meses de verao, cosumos uríscos alos e ese perodo, dsmucó de las veas e domgos y lues, ec.) Las varables dummy puede ulzarse para recoger el efeco de la esacoaldad e el modelo ecoomérco que esmamos. Las varables dummy para ajuse esacoal so varables arfcales que asume valores dscreos, geeralmee de y. Esas fuero orgalmee aplcadas por Lovell a cos de los años 6 y srve para "explcar" la esacoaldad e las seres de empo, la cual, como se señalo e el aparado 8.3, es u paró de comporameo regular de ua sere a lo largo de

33 cada año, que puede obedecer a facores ales como cosumbres, días fesvos decreados, vacacoes de verao, época de avdad y oros facores smlares que ocasoa cremeos o dsmucoes e las magudes de ceras varables, como por ejemplo la produccó, las veas, ec. S se rabaja co daos rmesrales, cabría pesar e ulzar ua varables arfcal para cada rmesre, que defdas como: q, q, q 3 y q 4 ; su represeacó marcal para dos años cualesquera sería: x x x x x x x x No obsae hay que eer presee que las columas correspodees a las varables esacoales daría lugar a ua combacó leal exaca co la cosae, lo cual producría que el deermae de la marz ' fuera gual a cero y, por ao, sgular (o verble), lo que mpde esmar los coefcees del modelo de regresó. Para evar ese coveee se ulza úcamee res de las cuaro varables dummy y por supueso la cosae. Así, s se excluye la varable q 4 e la marz, el efeco esadísco de la varable omda esaría mplícamee recogdo co la columa de la cosae. E defva, la marz de varables exógeas esaría deermada por las res dummy: q, q, q 3 y la cosae, y las varables exógeas cuaavas co lo cual la marz sería: x x x x x x x x Ora forma muy ulzada cosse e expresar las varables arfcales esacoales como desvacoes co respeco a la que correspode al cuaro rmesre. Esas uevas varables, que podría deomarse S, S y S 3, correspodería a las sguees dferecas vecorales: S q - q 4 S q - q 4

34 S 3 q 3 - q 4 Ua vez efecuadas las operacoes aerores e corporado el vecor de la cosae, la ueva marz queda defda de la sguee maera:... x x x 3 x4 x 5 x6 x 7 x8. Como se observa e la marz aeror, los vecores de las varables dummy esacoales ha sdo defdos de forma al que su suma sea cero e cada año, por lo que ese ssema perme que el efeco esacoal se aule e el año y que se obve el problema de sgulardad de la marz. A maera de ejemplo, cosdérese u modelo de regresó co cfras rmesrales, e dode la varable Y depede de la varable y e el que se corpora res varables dummy rmesrales (S, para odo,, 3) y u érmo de error (ε). Ese modelo esaría represeado de la sguee maera: Y β + β + δ S + δ S + δ 3 S 3 + ε La esmacó se llevaría a cabo co las res varables dummy rmesrales S, S y S 3. Los coefcees de las res varables dummy defca las dferecas co respeco al cuaro rmesre. Es mporae mecoar que e el caso de varables co perodcdad mesual, se crearía úcamee oce varables esacoales, e forma equvalee a lo explcado e esa seccó. S embargo, e ese caso se presea el coveee de que se requere gra cadad de observacoes. No obsae hay que eer presee que el uso de las varables esacoales presea problemas cuado la esacoaldad de la sere Y es móvl, es decr, cuado varía año co año. E ese caso, es dfícl que modelos de ese po capure de ua forma adecuada la esacoaldad de la varable depedee. Ejemplo.. Se dspoe de daos rmesrales correspodees a los ejerccos 996-3, relavos al cosumo de elecrcdad e GWh e España (Y ) y al PIB a precos de mercado e mlloes de euros cosaes de 995. Año Q Demada de Elecrcdad (GWh) PIB (mlloes de euros)

35 Fuee: Msero de Ecoomía E la fgura. se apreca el carácer esacoal de la demada de eergía elécrca:

36 Cosumo de Elecrcdad (GWh) Fg... Cosumo Trmesral de Elecrcdad Los rmesres de mayor cosumo so los erceros y cuaros (ooño e vero) y los de meor, el segudo y ercero (prmavera y verao). Para evar la mulcolealdad esmamos co las cualavas de los res prmeros rmesres: Y -4,75.+3,87.Q -996.Q +,66.Q e co los sguees resulados: Esadíscas de la regresó Coefcee de correlacó múlple Coefcee de deermacó R R ajusado Error ípco Observacoes 3 Coefcees Error ípco Esadísco Iercepcó PIB Q Q Q Para cosderar la hpóess H : β, hay que eer presee que el valor eórco de la -Sude correspodee a ua dsrbucó co (3-5) grados de lberad es.69 para α.5/ (95% de cofaza). Se comprueba, por ao, que odos los coefcees so sgfcavamee dsos de cero.

37 .5. El modelo probablísco leal El modelo de probabldad leal se caracerza por eer la varable edógea y dcoómca o bara, es decr oma el valor y s u deermado suceso ocurre y el valor y e caso coraro. Esos modelos so gra ulzacó e aálss esadísco e las cecas socales, pero ecuera ua dfícl aplcacó e el aálss esadísco e ecoomía debdo a las dfculades de erpreacó ecoómca de los resulados que ofrece ese po de vesgacoes. A ese respeco, hay que cosderar que esos modelos lo que realmee vesga es la probabldad de que se de ua opcó (deermada por la varable edógea) o o se de (valores y o y). A pesar del carácer dcoómco de la varable edógea, el modelo de probabldad leal se especfca de la forma habual, eedo presee que las varables exógeas o so dcoómcas so couas: Y β +β +ε () sedo, N De acuerdo co la expresó () el hecho de que la varable edógea ome valores dscreos ( ó ), el érmo de perurbacó ε, úcamee puede omar dos valores: S Y ε -β - β co probabldad p. S Y ε -β - β co probabldad (-p). Dado que la esperaza del érmo de error ha de ser ula E(ε ), eoces se demuesra que p -β -β y (-p) β +β, lo que perme evaluar la probabldad de que la varable edógea ome el valor correspodee: Prob (Y ) Prob (ε -β - β ) p -β - β. Prob (Y ) Prob (ε -β - β ) (-p) β + β. A su vez la varaza del érmo de perurbacó, se calcularía a parr de p: Var(ε ) (-β -β )( β +β )p*(-p) Ua problemáca heree a los esmadores MCO de esos modelos, so los sguees: La perurbacó aleaora (ε ) o sgue ua dsrbucó ormal. Es secllo observar ese hecho ya que el carácer baro ( o ) de la varable edógea afeca a la dsrbucó de la perurbacó, eedo esa ua dsrbucó Bomal. Ese problema

38 se amora cuado se ulza amaños de muesra (N) grades e dode la dsrbucó Bomal es suscepble de aproxmarse a u Normal. La perurbacó aleaora o ee ua varaza cosae (es heeroscedásca), lo cual supoe ua fala de efceca. Para solucoarlo habría que realzar rasformacoes que os dese ua perurbacó homocedásca, esa rasformacó cosse e mulplcar odas las varables por ua cera cadad que elme el problema de la heeroscedascdad. Dcha cadad puede ser: ) ) ( β + β ) )( β ) β sedo β los esmacoes MCO del modelo. ) El mayor problema que plaea esos modelos es o obsae que las predccoes realzadas sobre la varable edógea o sempre se ecuera e el ervalo [,], ya que puede ser mayores que cero y meores que. Ese problema ee dos solucoes, ua es omar como valor odas las esmacoes de la varable edógea co valores egavos, y cuado esas resule mayores que. La seguda, solucó es ulzar fucoes de dsrbucó que esé acoadas ere cero y uo. Segú sea esa dsrbucó edremos las dsas versoes de los modelos co varable depedee dcoómca. Las más ulzadas so los modelos Prob y Log.

39 3. NUMEROS INDICES 3..- Iroduccó El úmero ídce es u valor expresado como porceaje de ua cfra que se oma como udad base. Por ejemplo, cuado decmos que el ídce de precos de cosumo (base meda de 99) correspodee al mes de dcembre de 997 es,9, esamos señalado que los precos e dcembre de 997 era u,9 más elevados que los que esaba e vgor a lo largo de 99. Los úmeros ídces o ee udades y puede referrse ao a precos (ídce de precos de cosumo, ídce de precos percbdos por los agrculores, ídce de precos dusrales) como a cadades (ídce de produccó dusral). El úmero ídce es u recurso esadísco para medr dferecas ere grupos de daos. U úmero ídce se puede cosrur de muchas formas dsas. La forma de cada ídce e parcular depederá del uso que se le quera dar. Los úmeros ídces se elabora ao co precos (p) como co cadades (q). El año e que se ca el cálculo de u úmero ídce se deoma año base y se ombra por p o q segú raemos de precos o de cadades, a los precos o las cadades de los años sucesvos los dcamos por p o q. S rabajamos co dferees pos de mercacías ulzamos los subídces () para referros a u po de mercacía, de modo que ulzamos los símbolos p o q para señalar el preco o la cadad de la mercacía e el período. S hubese N mercacías el valor oal de la cesa de producos durae el perodo se expresa : Valor oal durae el perodo N p q Los úmeros ídces se clasfca e poderados y o poderados, los úmeros ídces o poderados so los más secllos de calcular, pero debe de ulzarse co especal cudado. Los úmeros ídces poderados requere que defamos prevamee a su cosruccó los creros de poderacó o de peso. Ua vez defda ua poderacó debe de respearse e los sucesvos períodos. E ese aparado esudaremos los ídces poderados que so de aplcacó comú. A la hora de elaborar u úmero ídce hay que eer presee ua sere de propedades que el ídce debe de cumplr. Dchas propedades so: a) Exseca: Todo úmero ídce ha de eer u valor fo dso de cero. b) Idedad: S se hace cocdr el período base y el período acual el valor del ídce ee que ser gual a la udad (o s se elabora e porceajes). c) Iversó: El valor del ídce ha de ser verble al ercambar los períodos ere sí. Es o decr : I el ídce del año o calculado co la base del año, ha de ser gual al verso del Io ídce del año calculado e base del año o.

40 d) Proporcoaldad: S e el período acual odas las magudes expermea ua varacó proporcoal, el úmero ídce ee que expermear ambé dcha varacó. e) Homogeedad: U úmero ídce o puede esar afecado por los cambos que se realce e las udades de medda Ídces smples y complejos Cosderado u período deermado (por ejemplo, eero de 99) como período base del ídce, se elabora el ídce smple a parr de la razó de precos (precos relavos) o cadades (cadades relavas) respeco al valor de aquéllos e el período base mulplcados por : I x x o E el sguee período el ídce smple sería I ( + ) x ( + ) x o Al comparar los úmeros ídce I e I (+) se ve el cremeo del preco de dcho produco e cuesó. Los ídces smples puede agregarse de dferees formas, a dchas agregacoes se les cooce como ídces complejos. S supoemos que eemos N dferees producos, obedríamos operado los sguees ídces complejos: a) ídce meda arméca de ídces smples cuado operamos del sguee modo : I I I I I N N N N b) ídce meda geomérca de ídces smples cuado operamos del sguee modo : I N I. I... I N I N N c) ídce meda armóca de ídces smples cuado operamos del sguee modo : I N N N I I I I N d) ídce meda agregava de ídces smples cuado operamos del sguee modo :

41 I x + x x N N x o + xo xno N x x o Ídces poderados. Ua poderacó w es u valor de refereca para cada produco que deerma su mporaca relava e el ídce oal. Al ser el poderador u valor relavo lo ormal es que se presee calculado e ao por uo, por ceo ó por ml, expresado así el porceaje que represea dcho produco e la cesa de producos que cubre el ídce: W pq pq Ua vez obedos los poderadores (w ) se calcula el ídce meda arméca poderada de ídces smples cuado operamos del sguee modo : I Iw + Iw INw w + w w N N N N I. w w Ejemplo 3.. E la abla 8. aparece la formacó que dspoemos sobre ua cesa de producos: Producos Preco vea Udades Preco vea Udades Preco vea Udades M 3, 4,4 55 M,5 4,5 3,6 45 M3 5 5,4 M4 4 4,5 5 4,5 Calculamos los ídces smples de precos para los producos de la cesa: Producos M, 4, M, 6,67 M3,, M4,5,5 Los ídces smples para la cesa de producos será: Idces smples Meda arméca 8,3 9,79

42 Meda geomérca Meda armóca Meda agregava 7,79 9,6 7,46 8,55 8,3 9,79 El poderador sería ao por uo el valor del produco, es decr el preco por la cadad vedda, e el oal veddo: M, ,885,68968 M,7777,37767,5878 M3,7773,375969, M4, ,36658, Y el ídce meda armeca poderado resulará ser los sguees: Idce poderado Meda arméca 8,57 9, Ídces de precos. Los ídces de precos se elabora usualmee ulzado ídces complejos poderados sedo los más ulzados los deomados ídces de Laspeyres, Paasche y Fsher. a) Ídce de Laspeyres El ídce de Laspeyres es ua meda arméca poderada de ídces smples, cuyo crero de poderacó es w p o.q o. La fórmula que defe el ídce de Laspeyres es la sguee: Lp N N Iw I N N pq p q o o o Se suele ulzar ese ídce a la hora de elaborar los ídces de precos por cuesoes práccas ya que úcamee requere vesgar e el año base el valor de los poderadores, que es la pare mas cososa de la elaboracó del ídce, (égase e cuea que e el IPC se realza ua ecuesa de presupuesos famlares e los años base que requere ua muesra de. hogares). Ua vez deermados los poderadores el ídce de Laspeyres úcamee requere que se vesgue e los sucesvos períodos la evolucó de los precos. b) Ídce de Paasche També es ua meda arméca poderada de los ídces smples, pero ulzado como coefcee poderador w p o.q ; por ao su defcó queda como:

43 Pp N N Iw I N N pq p q o La dfereca ere el ídce Paasche y el ídce Laspeyres es que exge calcular las poderacoes para cada perodo corree, hacedo su cálculo esadísco más laboroso, y preseado el coveee de que sólo perme comparar la evolucó del preco de cada año co el año base, dado que las poderacoes varía de período e período. Ambas razoes ha deermado que ese ídce sea más usual que el aeror. c) Ídce de Fsher. decr : Ep El ídce de Fsher es la meda geomérca de los ídces de Laspeyres y Paasche, es Lp. Pp Como los ídces de precos de cosdera u año deermado para calcular el poderador be sea a parr de q.p, o de q.p, ulza la deomacó de año base para referrse al año a parr del que se calcula el poderador w Elaces y cambos de base. Uo de los problemas que ee los ídces poderados como el ídce de Laspeyres es que perde represeavdad a medda que los daos se aleja del perodo base. Tégase presee que, por ejemplo, el IPC que el INE calculó e 99 ulzó los poderadores obedos e la Ecuesa de Presupuesos Famlares de 983 que, a su vez, reflejaba la esrucura meda de cosumo de los españoles e aquel año. El empo rascurrdo ere 983 y 99 era lo sufceemee dlaado para que se hubera producdo cambos e los hábos de cosumo y e cosecueca el INE procedó a elaborar ua ueva Ecuesa de Presupueso Famlares (la de 99), cuya esrucura de cosumo ó cesa de compra es la que acualmee se ulza como base para obeer el IPC. La decsó que omó el INE de realzar u uevo IPC co la esrucura de cosumo resulae de la Ecuesa de Presupuesos Famlares de 99 es lo que provoca el Cambo de Base del IPC. Al ser los poderadores dsos los ulzados ere 983 y 99 y los acuales, los ídces de precos so esecalmee dsos, y por lo ao o se puede comparar a pror ere sí. El procedmeo a ravés del cual hacemos comparables úmeros ídces obedos co bases dsas es lo que se deoma Elace. El elace de ídces se basa e la propedad de versó de los úmeros ídces. Supogamos que queremos efecuar u cambo de base desde u ídce cosrudo co base 983, a oro e base 98. Sea I 83 el ídce cosrudo e base 983 e I 9 el ídce cosrudo co la base99, eoces: I I I 9 I I I 83 I

44 E el caso del IPC español el INE publca el valor del cocee I 9 I que deoma coefcee legal de elace. El valor del coefcee legal de elace el la sere del IPC base 9 y el cosrudo co la base 983 e el ídce geeral de España es,5456 y e el ídce geeral de Caslla y Leó es, Cuado se dspoe de los coefcees legales de elace, como ocurre e el caso del IPC, la operava arméca se smplfca basae, ya que elazar la sere co base de 983 a la sere de base 99 úcamee requere el que mulplquemos la prmera por el coefcee legal de elace (e caso coraro habría que dvdr). El elace del IPC base del IPC, es smlar auque hay que eer presee que ere ese IPC y los aerores hay ua ovedades meodológcas que o se resuelve aplcado los coefcees legales de elace, ese es el caso de la roduccó de las rebajas e el calculo del IPC. El coefcee de elace legal se obee como cocee ere el ídce de dcembre de, e base y, el ídce para el msmo período e base 99. Las seres elazadas se calcula mulplcado cada uo de los ídces e base 99 por ese coefcee. Co esas seres se puede obeer las asas de varacó mesual publcadas, pero o sucede lo msmo co las asas de varacó aual del año, ya que por ellas se ulza los ídces del año, e base. Los coefcees de elace se ha obedo de forma depedee para cada ua de las seres de ídces que ee coudad e la ueva base, lo cual mplca que cualquer ídce agregado de ua sere elazada o es el resulado de la meda poderada de los ídces elemeales que lo compoe. Por úlmo, es precso puualzar que, s be el uevo Ssema ee como base la meda de los ídces del año e base gual a, los ídces que se publcaro e ese año era ídces calculados e base 99 y, por ao, las seres elazadas puede o eer meda e el año. Ejemplo 3. A couacó vamos ha realzar u ejercco de elace de dferees bases del ídce de precos percbdos por los agrculores. E la Tabla º 8. eemos ua abla co las seres del Ídce de Precos Percbdos por la Agrculores e Caslla y Leó, base 985; y la sere de dcho ídce e base 99. El elace de la sere a la base 99 se realza coforme a la regla aes expuesa: Tabla º8. Idce de precos percbdos por los agrculores de Caslla y Leó Base 985 Base 99 Base 985 Base , ,83 9,83 3,8 987,9,9 96,9

45 988 3,6 3,6 97, 989,5,5 4, ,34 6,34, 99 99,84 6,7 99, ,85,93 95, ,84 6,7 99,84 994,8 7,7, ,36,55 3, Deflacacó de seres ecoómcas. La uldad más mporae que ee los ídces de precos, a pare de descrbr el comporameo de los precos durae u período cocreo, es la de deflacar seres croológcas o emporales valoradas e peseas. Deflacar es elmar el compoee de subda de precos que es heree a oda sere emporal que vee referda a u valor moearo (veas de ua empresa, los depósos y crédos bacaros, el PIB, ec...). Las veas de ua empresa, por ejemplo, se cremea de u año a oro (ó de u mes a oro), be por haber aumeado el úmero de peddos que realza los clees o be por que la empresa o el mercado haya decddo ua subda e los precos de los arículos peddos. S osoros valoramos el úmero de peddos del año acual ulzado los precos vgees el ejercco pasado dspodríamos de u elemeo comparavo co respeco al ejercco aeror que os señalaría de maera equívoca s uesro volume de egoco se ha cremeado co depedeca de lo ocurrdo co los precos E cosecueca, cuado obeemos el valor de la sere ulzado como refereca para su valoracó el preco que rge e u período deermado (u año e cocreo), realzamos ua valoracó a precos cosaes e ao que dcha sere valorada a los precos vgees e cada período os da su valor a precos correes. E la prácca, para pasar de ua sere e peseas correes a peseas cosaes se realza dvdedo la prmera por u ídce de precos adecuado. Ese procedmeo recbe el ombre de deflacacó y al ídce de precos elegdo se le deoma deflacor. No obsae, hay que señalar que, cuado ulzamos como deflacor u ídce de Laspeyres: v lp Σp. q Σpo. q Σp. qo Σp o. qo o Σp. q Σp. q o No pasamos exacamee valores correes a cosae, cosa que s ocurre co el Idce de Paasche cuado es ulzado como del v lp Σp. q Σpo. q Σp. q Σp o. q o E el gráfco sguee se ha deflacado la sere de Efecos de comerco devuelos por mpagados e Caslla y Leó durae 99 a 993 ulzado el Ídce Geeral de Precos al Cosumo de Caslla y Leó de 99 a 993 e base 993: Gráfco º 3.

46 . EFECTOS DE COMERCIO DEVUELTOS POR IMPAGOS EN CASTILLA Y LEÓN (mll. de ps) Peseas correes Peseas cosaes de Prcpales ídces de precos españoles. A couacó expoemos las prcpales caráceríscas de los ídces de precos españoles: Ídce de Precos al Cosumo (IPC) El IPC es ua medda esadísca de la evolucó del cojuo de precos de los bees y servcos que cosume la poblacó resdee e vvedas famlares e España. El cosumo se defe e el IPC a ravés de odos los gasos que los hogares dedca al cosumo; se excluye, por ao, las versoes que realza los hogares. Además, sólo se ee e cuea los gasos reales que realza la poblacó, lo que mplca la exclusó de cualquer operacó de gaso mpuada (auocosumo, auosumsro, alquler mpuado, salaro e espece o cosumos subvecoados, como los saaros o educacoales). La cesa de la compra para elaborar el IPC se obeía de ua ecuesa de gasos de cosumo de los hogares. Tradcoalmee, el IPC cambaba de base cada ocho o ueve años; eso era así porque la fuee ulzada para la elaboracó de las poderacoes y de la cesa de la compra era la Ecuesa Básca de Presupuesos Famlares (EBPF), cuya perodcdad marcaba la de los cambos de base del IPC. De hecho hasa 997 covvía dos ecuesas de presupuesos famlares: ua coua, co perodcdad rmesral, y ua básca, que se realzaba cada ocho o ueve años. A parr de ese año ambas ecuesas fuero susudas por ua sola, cuya perodcdad es rmesral y la formacó que proporcoa esá más cercaa a la ecuesa básca, e cuao al vel de desagregacó. Esa ueva ecuesa, deomada Ecuesa Coua de Presupuesos Famlares (ECPF), proporcoa la formacó ecesara para realzar u cambo de ssema del IPC, la acualzacó de las poderacoes así como la reovacó de la composcó de la cesa de la

47 compra. Pero, además, posbla la acualzacó permaee de dchas poderacoes así como la revsó de la cesa de la compra. Para calcular el IPC e las bases aerores al correspodee al período se ulza el ídce de Laspeyres. La poderacó de u arículo (wpo.qo) represea la proporcó del gaso efecuado e ese arículo respeco al gaso oal efecuado por los hogares. La esrucura de poderacoes permaecía fja durae el período de vgeca del Ssema de Ídces de Precos de Cosumo. La ueva fórmula de cálculo del IPC Base se deoma Laspeyres ecadeado, el período de refereca de los precos varía cada año. Durae el año cocde co el año base y para años poserores al será el mes de dcembre del año medaamee aeror al cosderado. El prcpal coveee de esos ídces es la fala de advdad, o perme obeer el dce medo a parr de la suma poderada de los dces que lo compoe. El ídce geeral o se puede obeer como meda poderada de los doce grupos. El úmero oal de arículos que compoe la cesa de la compra del IPC base es 484. La esrucura fucoal del IPC cosa de grupos, 37 subgrupos, 8 clases y 7 subclases. També, a dfereca de las bases aerores, los precos medos ulzados e el cálculo del ídce se obee a parr de medas geomércas. La erada e vgor del Ssema supuso ambé ua rupura e las seres de ídces debdo a la clusó de los precos rebajados. Esa rupura afeca al cálculo de las asas de varacó cuado los ídces de los períodos de empo seleccoados esá meddos e bases dferees; cuado eso ocurre, la fórmula geeral para calcular las asas de varacó debe ser modfcada. El IPC que elabora el INE se armoza a escala europea e el IPCA, ese es u dcador esadísco cuyo objevo es proporcoar ua medda comú de la flacó que perma realzar comparacoes eracoales y examar, así, el cumplmeo que e esa maera exge el Traado de Maasrch para la erada e la Uó Moeara Europea. La base legal del proceso de armozacó del IPC es el Reglameo del Cosejo º 494/95 de 3 de ocubre de 995 que esablece las drecrces para la obecó de ídces comparables, así como u caledaro de oblgado cumplmeo para odos los países de la Uó Europea. La prcpal dfereca ere el IPC y el IPCA es que ese excluye los Servcos médcos y la Eseñaza reglada. Dferecas meores se da e la poderacó de los Seguros, para los que sólo se cosdera los gasos lgados a las prmas eas, los Auomóvles, de los cuales se elma los gasos correspodees a veas ere cosumdores, o los Medcameos y producos farmacéucos, que sólo cluye los o subvecoados. El IPCA esá formado por doce grades grupos. Para defr esos grupos se ha ulzado la COICOP. Ídce de Precos Idusrales (IPRI) El IPRI es u dcador coyuural que mde la evolucó mesual de los precos de los producos dusrales fabrcados y veddos e el mercado eror, e el prmer paso de su comercalzacó, es decr, mde la produccó a precos de vea a salda de fábrca obedos por los esablecmeos dusrales e las rasaccoes que esos efecúa, excluyedo los gasos de raspore y comercalzacó y el IVA facurado.

48 Se elabora a parr de ua ecuesa de perodcdad mesual, que vesga más de 8. esablecmeos dusrales. La coberura del ídce se exede a odos los secores dusrales excluda la cosruccó. El IPRI vesga los precos de las ramas de acvdad dusrañes al vel de 4 dígos de la CNAE (subgrupos). Cada ua de esas ramas de acvdad aparece represeada por ua cesa de producos. Esos producos, a su vez, se desagrega e varedades (desagregacó de producos co caraceríscas físcas sufceemee homogéeas) y subvaredades (modelos cocreos de ua varedad que fabrca u esablecmeo deermado). E oal se seleccoa.5 varedades y alrededor de 6. daos elemeales o daos prmaros de precos.

49 Se calcula como u Ídce de Laspeyres, que se podera de acuerdo a la mporaca de las ramas de acvdad y de los producos e, segú la formacó que sumsra la Ecuesa Idusral, de la sguee forma: Al vel de rama de acvdad (dvsó, agrupacó, grupo y subgrupo de la CNAE) segú el valor de la cfra de egocos. Al vel de producos, segú el valor de la produccó. E el uevo ssema del ídce de precos dusrales ofrecer formacó para las dsas Comudades Auóomas. Ídce de Cose de la Cosruccó. El Ídce de Cose de la Cosruccó ó Ídce de Cosumos ermedos de la cosruccó se elabora a parr de daos procedees de la Ecuesa de la Esrucura de la Cosruccó, y del IPRI. El Ídce de Cose de la Cosruccó ee como base el año 99. Es u ídce de Laspeyres que aplca la esrucura de poderacoes de maerales y cosumos dversos" obeda a parr de la Ecuesa de Esrucura de la Cosruccó a la evolucó de los precos dusrales del IPRI, base 99. El Ídce de Cose a la Cosruccó se desagrega e res ídces de precos de los cosumos de cosruccó segú la pología de las obras. Ídces de precos percbdos por el agrculor. El Msero de Agrculura y Pesca elabora desde 953 la esadísca Ídce de Precos Percbdos por el agrculor, que co perodcdad mesual sumsra formacó sobre los precos medos acoales de los producos agraros, e ídces de precos agregados para la oaldad de los producos agraros y para los grupos más sgfcavos. Los ídces de precos agregados so ídces de Laspeyres que ecesa de poderadores referdos a u año base para formar los úmeros ídces compuesos de dferees especfcacoes de producos. La base acual co la que se elabora el ídce es la de 99, oros cambos de base uvero lugar e 965, 976 y 985. La meodología de elaboracó del Ídce de precos percbdos por el agrculor se apoya e u aálss de la esrucura producva y comercal de la produccó agrara e el año base, que da lugar a ua defcó de las especfcacoes de producos a cosderar, la dsrbucó geográfca (áreas errorales) y frecueca mesual de las omas de daos ecesaros. Ello orga ua esrucura de poderacoes para cada área geográfca que se ulza para la elaboracó de los precos mesuales, y ua poderacó para cada especfcacó que se ulza para elaborar los Ídces agregados. E defva, para cada año base se cofeccoa ua marz e dode fgura las cadades comercalzadas e el período base e cada área erroral (provca) y mes, que ee e cuea la esacoaldad de la produccó y la dversdad agroómca de las áreas. De dcha marz se obee el caledaro de precos que es vesgado mes a mes por las udades provcales.

50 El preco percbdo se defe como el preco de mercado, s clur gasos de raspore, adecuacó del produco, mpuesos drecos o asas. E cojuo se vesga 5555 precos e el cojuo de las áreas, lo que da lugar a especfcacoes de producos. Ídces de precos hoeleros. El Idce de Precos Hoeleros (IPH) es ua medda esadísca de la evolucó mesual del cojuo de las prcpales arfas de precos que los empresaros aplca a sus clees. Para su obecó se ulza la Ecuesa de Ocupacó e Alojameos Turíscos: Esablecmeos Hoeleros (EOH) co la formacó que se obee, mesualmee, de uos 8.5 esablecmeos a los que se les evía u cuesoaro. A parr de esa ecuesa se obee formacó sobre la ocupacó hoelera (vajeros erados, perocacoes, grado de ocupacó ec.), su esrucura (plazas, persoal, ec.) y demás varables de erés, co ua ampla desagregacó geográfca y por caegorías de los esablecmeos. E el cuesoaro, se les pde, ere oras varables, los precos aplcados a dsos pos de clees por ua habacó doble co baño. Esos precos se desglosa e las sguees arfas: Tarfa ormal. Tarfa f de semaa. Tarfa especal a our-operador. Tarfa especal a empresas. Tarfa especal a grupos. El ídce de precos se calcula a parr de: 5 st st I I w ST st M dode y, I y w M 5 M M B B que represea el porceaje de gresos percbdos por los hoeleros por las habacoes ocupadas e ua arfa cocrea sobre los gresos obedos por el oal de arfas; y sedo, M st : preco de la habacó doble co baño (s clur IVA desayuo) e la arfa, e el mes s del año T. B : úmero oal de habacoes ocupadas a las que se les aplcó la arfa e el año base. M : preco medo, e el año base, de la habacó doble co baño (s clur IVA desayuo) e la arfa. E la ecuesa se solca a los hoeleros que dque el porceaje de aplcacó de cada ua de las arfas sobre el oal de habacoes ocupadas. De ahí se exrae la formacó para calcular el oal de habacoes ocupadas e cada arfa para odos los meses del año base. La suma de esa varable a lo largo de los doce meses del año (B ) es la que se ulza e el cálculo de las poderacoes (W ). Las poderacoes se calcula a vel de provca, caegoría del esablecmeo y arfa, y poserormee se agrega por arfas, caegorías o comudades auóomas segú el ídce agregado que se quera obeer. Dchas poderacoes permaece fjas hasa que se acualza la base, lo cual esá prevso realzar aualmee A dfereca del Ídce de Precos de Cosumo, el IPH es u dcador desde la ópca de la ofera, ya que mde la evolucó de los precos que efecvamee percbe los hoeleros e aplcacó de las dsas arfas por las que facura. Por ao, o mde la evolucó de los precos que paga los hogares la arfa ofcal que aplca los hoeleros, so el

51 comporameo de los precos facurados por los hoeleros a dso po de clees (hogares, empresas, agecas de vaje y our-operadores). Se calcula y dfude ídces para las decsee comudades auóomas, Ceua y Mellla; además, ambé se publca ídces para las dsas arfas a vel acoal. Ídces de coses laborales. El Idce de Coses Laborales es ua operacó esadísca coua, de carácer coyuural y perodcdad rmesral, que ee por objevos proporcoar formacó sobre: - El Cose Laboral medo por rabajador y mes. - El Cose Laboral medo por hora efecva de rabajo. - El empo rabajado y o rabajado. Se obee resulados acoales y por comudades auóomas. La ecuesa se exede al cojuo de la dusra, la cosruccó y los servcos, e cocreo se vesga a aquellas cueas de cozacó co acvdades ecoómcas compreddas e las seccoes de la C a la K y de la M a la O de la Clasfcacó Nacoal de Acvdades Ecoómcas 993 (CNAE-93). E oal se vesga 54 dvsoes de la CNAE-93. Queda excludas, la Admsracó Públca, Defesa y Segurdad Socal Oblgaora (Seccó L de la CNAE-93), el servco domésco (Seccó P) y los orgasmos exraerrorales (Seccó Q). Los rabajadores objeo de ecuesa so odos los rabajadores asocados a la cuea de cozacó por los que haya exsdo oblgacó de cozar durae al meos u día e el mes de refereca. A efecos del cálculo del cose laboral por rabajador, aquellos que ha esado de ala e la cuea de cozacó durae u perodo de empo feror al mes se coablza como la pare proporcoal al empo que ha esado de ala e dcha cuea. Para los resulados obedos de cose salaral y jorada laboral, los rabajadores se clasfca segú su po de jorada e rabajadores a empo compleo y a empo parcal. Se cosdera rabajadores a empo compleo aquellos que realza la jorada habual de la empresa e la acvdad de que se rae. So rabajadores a empo parcal, y así debe quedar reflejado e su corao, aquellos que realce ua jorada feror a la jorada cosderada como habual de la empresa e la acvdad de que se rae o, e caso de o exsr ésa, feror a la máxma legal esablecda. E la ecuesa se defe como el cose oal e que curre el empleador por la ulzacó de facor rabajo. Icluye el Cose Salaral más los Oros Coses. El cose salaral comprede odas las remueracoes, ao e meálco como e espece, realzadas a los rabajadores por la presacó profesoal de sus servcos laborales por cuea ajea, ya rerbuya el rabajo efecvo, cualquera que sea la forma de remueracó, o los perodos de descaso compuables como de rabajo. El Cose Salaral cluye por ao el salaro base, complemeos salarales, pagos por horas exraordaras, pagos exraordaros y pagos arasados. Los Oros Coses cluye las Percepcoes o Salarales (las rerbucoes percbdas por el rabajador o por el desarrollo de su acvdad laboral so como compesacó de gasos ocasoados por la ejecucó del rabajo o para cubrr ecesdades o suacoes de acvdad o mpuables al rabajador) y las Cozacoes Oblgaoras a la Segurdad Socal. La Jorada Laboral se defe como el úmero de horas que cada rabajador dedca a desempeñar su acvdad laboral. Se dsgue los sguees cocepos:

52 - Horas pacadas: So las horas legalmee esablecdas por acuerdo verbal, corao dvdual o coveo colecvo ere el rabajador y la empresa. - Horas efecvas: So las horas realmee rabajadas ao e perodos ormales de rabajo como e jorada exraordara, cluyedo las horas perddas e lugar de rabajo, que ee la cosderacó de empo efecvo e vrud de la ormava vgee.se obee como la suma de las horas pacadas más las horas exras y/o complemearas meos las horas o rabajadas excepo las horas perddas e el lugar de rabajo. - Horas o rabajadas: So las horas o rabajadas durae la jorada laboral por cualquer movo (vacacoes y fesas, capacdad emporal, maerdad, adopcó y movos persoales, descasos como compesacó por horas exraordaras, horas de represeacó sdcal, cumplmeo de u deber excusable, asseca a exámees y vsas médcas, días u horas o rabajadas por razoes éccas, orgazavas o de produccó, horas perddas e el lugar de rabajo, coflcvdad laboral, absesmo, guarda legal, cerre paroal, ). E la Ecuesa de Cose Laboral se calcula ídces smples de varacó de los Coses Laborales medos. Para ello, se oma como período base el año, de forma que los Idces de Coses de se hace. U ídce cualquera se calcula medae la fórmula: C I Co Dode C es el cose medo e el período base y C es el cose medo e el rmesre acual.

53 4. SERIES TEMPORALES 4.. Iroduccó a las seres emporales El presee epígrafe preede ser ua breve roduccó al esudo de las seres emporales, las cuales posee ua gra mporaca e el campo de la Ecoomía dada la abudaca de ese po de observacoes; de hecho, las seres emporales cosuye la mayor pare del maeral esadísco co el que rabaja los ecoomsas. Pero, qué es ua sere emporal? Por defcó, ua sere emporal es ua sucesó de observacoes de ua varable realzadas a ervalos regulares de empo. Segú realcemos la medda de la varable cosderada podemos dsgur dsos pos de seres emporales: Dscreas o Couas, e base al ervalo de empo cosderado para su medcó. Flujo o Sock. E Ecoomía, se dce que ua sere de daos es de po flujo s esá referda a u período deermado de empo (u día, u mes, u año, ec.). Por su pare, se dce que ua sere de daos es de po sock s esá referda a ua fecha deermada (por ejemplo, el 3 de Dcembre de cada año). U ejemplo de daos de po flujo sería las veas de ua empresa ya que ésas edrá u valor dso s se obee el dao al cabo de ua semaa, u mes ó u año; por su pare, la cozacó de cerre de las accoes de esa msma empresa sería ua varable de po sock, ya que sólo puede ser regsrado a ua fecha y hora deermadas. Obsérvese que exse relacó ere ambos pos de varables, pues la cozacó al cerre de las accoes o es más que el preco de cerre del día aeror más, o meos, el flujo de precos de la sesó cosderada. Depededo de la udad de medda, podemos ecorar seres emporales e peseas o e dversas magudes físcas (klogramos, lros, mllas, ec.) E base a la perodcdad de los daos, podemos dsgur seres emporales de daos daros, semaales, mesuales, rmesrales, auales, ec. Aes de profudzar e el aálss de las seres emporales es ecesaro señalar que, para llevarlo a cabo, hay que eer e cuea los sguees supuesos: Se cosdera que exse ua cera esabldad e la esrucura del feómeo esudado. Para que se cumpla ese supueso será ecesaro esudar períodos lo más homogéeos posbles. Los daos debe ser homogéeos e el empo, o, lo que es lo msmo, se debe maeer la defcó y la medcó de la magud objeo de esudo. Ese supueso o se da e muchas de las seres ecoómcas, ya que es frecuee que las esadíscas se perfeccoe co el paso del empo, producédose salos e la sere debdos a u cambo e la medcó de la magud esudada. U caso parcularmee frecuee es el cambo de base e los ídces de precos, de produccó, ec. Tales cambos de base mplca cambos e los producos y las poderacoes que era e la elaboracó del ídce que repercue cosderablemee e la comparabldad de la sere e el empo.

54 El objevo fudameal del esudo de las seres emporales es el coocmeo del comporameo de ua varable a ravés del empo para, a parr de dcho coocmeo, y bajo el supueso de que o va a producrse cambos esrucurales, poder realzar predccoes, es decr, deermar qué valor omará la varable objeo de esudo e uo o más períodos de empo suados e el fuuro, medae la aplcacó de u deermado modelo calculado prevamee. Dado que e la mayor pare de los problemas ecoómcos, los agees se efrea a ua oma de decsoes bajo u coexo de cerdumbre, la predccó de ua varable revse ua mporaca oora pues supoe, para el agee que la realza, ua reduccó de la cerdumbre y, por ede, ua mejora de sus resulados. Las éccas de predccó basadas e seres emporales se puede agrupar e dos grades bloques: Méodos cualavos, e los que el pasado o proporcoa ua formacó dreca sobre el feómeo cosderado, como ocurre co la aparcó de uevos producos e el mercado. Así, por ejemplo, s se preede efecuar u esudo del comporameo de ua accó e Bolsa, y la socedad acaba de salr a cozar al mercado, o se puede acudr a la formacó del pasado ya que ésa o exse. Méodos cuaavos, e los que se exrae oda la formacó posble coeda e los daos y, e base al paró de coduca seguda e el pasado, realzar predccoes sobre el fuuro. Idudablemee, la caldad de las prevsoes realzadas depederá, e buea medda, del proceso geerador de la sere: así, s la varable observada sgue algú po de esquema o paró de comporameo más o meos fjo (sere deermsa) seguramee obegamos predccoes más o meos fables, co u grado de error bajo. Por el coraro, s la sere o sgue gú paró de comporameo específco (sere aleaora), seguramee uesras predccoes carecerá de valdez por compleo. Geeralmee, e el caso de las seres ecoómcas o exse varables deermsas o aleaoras puras, so que coee ambos pos de elemeos. El objeo de los méodos de prevsó cuaavos es coocer los compoees subyacees de ua sere y su forma de egracó, co objeo de realzar de su evolucó fuura. Dero de los méodos de predccó cuaavos, se puede dsgur dos grades efoques aleravos: Por u lado, el aálss uvarae de seres emporales medae el cual se ea realzar prevsoes de valores fuuros de ua varable, ulzado como formacó la coeda e los valores pasados de la propa sere emporal. Dero de esa meodología se cluye los méodos de descomposcó y la famla de modelos ARIMA uvaraes que veremos más adelae. El oro gra bloque dero de los méodos cuaavos esaría egrado por el aálss mulvarae o de po causal, deomado así porque e la explcacó de la varable o varables objeo de esudo ervee oras adcoales de ella o ellas msmas. E el raameo de seres emporales que vamos a abordar, úcamee se cosderará la formacó presee y pasada de la varable vesgada. S la varable vesgada es Y y se dspoe de los valores que oma dcha varable desde el momeo hasa T, el cojuo de formacó dspoble vedrá dado por:

55 Y, Y, Y 3,, Y T-, Y T Dada esa formacó, la predccó de la varable Y para el período T+ la podemos expresar como: Y ˆ T + / T Co esa oacó queremos dcar que la predccó para el perodo T+ se hace codcoada a la formacó dspoble e el momeo T. El aceo crcuflejo sobre la Y os dca que esa predccó se ha obedo a parr de u modelo esmado. Covee ambé hacer oar que T+ sgfca que se esá hacedo la predccó para u período haca delae, es decr, co la formacó dspoble e hacemos ua predccó para el período sguee. Aálogamee, la predccó para el período T+ y para el período T+m, co la formacó dspoble e T, vedrá dada, respecvamee, por: ˆ ; ˆ Y T + / T YT + m / T que será predccoes de y m períodos haca adelae. S, geércamee, para el período se efecúa ua predccó co la formacó dspoble e, y a la que desgamos por ˆ, para el período podemos hacer ua comparacó de ese Y / valor co el que realmee observemos (Y ). La dfereca ere ambos valores será el error de predccó de u período haca adelae y vedrá dado por: e / Y Y / ˆ Cuado u feómeo es deermsa y se cooce la ley que lo deerma, las predccoes so exacas, verfcádose que e /. Por el coraro, s el feómeo es poco ssemáco o el modelo es adecuado, eoces los errores de predccó que se vaya obeedo será grades. Para cuafcar globalmee los errores de predccó se ulza los sguees esadíscos: la Raíz del Error Cuadráco Medo (RECM) y el Error Absoluo Medo (EAM). E el caso de que se dspoga de T observacoes y se haya hecho predccoes a parr de la observacó, las fórmulas para la obecó de la raíz del Error Cuadráco Medo y el Error Absoluo Medo so las sguees:

56 RECM T / e T T ( Y Yˆ T / ) EAM T e / T T Y Yˆ T / De forma aáloga se puede aplcar la RECM y el EAM e predccoes de, 3,, m períodos haca adelae. E el aálss de seres emporales se aplca, e geeral, méodos aleravos a uos msmos daos, seleccoado aquel modelo o aquel méodo que, e la predccó de períodos presees y pasados, arroja errores de predccó meores, es decr, arroja ua RECM o u EAM meor. 4.. Compoees de ua Sere Temporal Tradcoalmee, e los méodos de descomposcó de seres emporales, se pare de la dea de que la sere emporal se puede descompoer e odos o alguos de los sguees compoees: Tedeca (T), que represea la evolucó de la sere e el largo plazo Flucuacó cíclca (C), que refleja las flucuacoes de carácer peródco, pero o ecesaramee regular, a medo plazo e oro a la edeca. Ese compoee es frecuee hallarlo e las seres ecoómcas, y se debe a los cambos e la acvdad ecoómca. Para la obecó de la edeca es ecesaro dspoer de ua sere larga y de u úmero de cclos compleo, para que ésa o se vea fluda por la fase del cclo e que falza la sere, por lo que, a veces, resula dfícl separar ambos compoees. E esos casos resula úl eglobar ambos compoees e uo solo, deomado ccloedeca o edeca geeralzada. Varacó Esacoal (S): recoge aquellos comporameos de po regular y repevo que se da a lo largo de u período de empo, geeralmee gual o feror a u año, y que so producdos por facores ales como las varacoes clmaológcas, las vacacoes, las fesas, ec. Movmeos Irregulares (I), que puede ser aleaoros, la cual recoge los pequeños efecos accdeales, o errácos, como resulado de hechos o prevsbles, pero defcables a poseror (huelgas, caásrofes, ec.) E ese puo, cabe señalar que e ua sere cocrea o ee por qué darse los cuaro compoees. Así, por ejemplo, ua sere co perodcdad aual carece de esacoaldad. La asocacó de esos cuaro compoees e ua sere emporal, Y, puede respoder a dsos esquemas; así, puede ser de po advo: YT+C+S+I També puede eer ua forma mulplcava:

57 YTCSI O be ser ua combacó de ambos, por ejemplo: YTCS+I Ua forma seclla para ver como esá asocadas las compoees de ua sere emporal es represear gráfcamee la sere que esamos aalzado. S al realzar la represeacó gráfca se observa que las flucuacoes so más o meos regulares a lo largo de la sere, s verse afecadas por la edeca (véase Fg. 9.), se puede emplear el esquema advo. Fgura 9.. Esquema advo S, por el coraro, se observa que la magud de las flucuacoes varía co la edeca, sedo más alas cuado ésa es crecee y más bajas cuado es decrecee (véase Fg. 9.), se debe adopar eoces el esquema mulplcavo. Fgura 9.. Esquema mulplcavo.

58 4.3. Aálss de la edeca Como decíamos e el aparado aeror, la edeca es el compoee de la sere emporal que represea la evolucó a largo plazo de la sere. La edeca se asoca al movmeo uforme o regular observado e la sere durae u período de empo exeso. La edeca es la formacó más relevae de la sere emporal ya que os forma de s dero de cco, dez o quce años edrá u vel mayor, meor o smlar al que la sere ee hoy día. El aálss de la edeca se realza fudamealmee co dos objevos: por u lado, para coocer cuáles so las pauas de comporameo a lo largo del empo, de la varable objeo de esudo, y por oro, para predecr sus valores fuuros. Las edecas suele represearse medae fucoes de empo couas y dferecables. Las fucoes de edeca más ulzadas so:. Leal.. Polómca. 3. Expoecal. 4. Modelo auorregresvo 5. Fucó 6. Curva de Gomperz 7. Modelo logarímco recíproco S ua sere emporal se ajusa a ua edeca leal, la fucó de empo que se plaea es la sguee: α+β,,, Ua edeca polómca de grado p se ajusará a ua fucó del sguee po: f() α+β + β + +β p p S la edeca sgue ua ley expoecal, eoces la fucó de ajuse será: f() ae r dode a y r so cosaes. U modelo auorregresvo ajusa la edeca de la forma sguee: γ +γ x - + u sedo γ> La curva logísca se represea medae la fucó: T T () be r dode, b y r so cosaes posvas. La curva de Gomperz respode a la sguee ecuacó: f () T b e-r dode T, r, b so parámeros posvos.

59 Falmee, el modelo logarímco recíproco, vee defdo por la relacó: f() a + b / B< Para calcular las fucoes de edeca, lo habual es lealzar las formas de las fucoes o leales y proceder a su esmacó como s fuera ua fucó de edeca leal. Ua vez esablecdo u modelo eórco para la edeca, se debe proceder a la deermacó o cálculo de los parámeros que descoocemos medae dversos procedmeos esadíscos, que pasamos a descrbr a couacó. Méodo de los sempromedos El méodo de los sempromedos es la forma más rápda de esmar ua líea de edeca reca. El méodo requere dvdr la sere de daos e dos mades y calcular el promedo de cada mad que se cera e el puo medo. La reca que ua ambas medas (o sempromedos) será la líea de edeca esmada. Ejemplo 9.. Ulzado la sere croológca de veas de gasola e Caslla y Leó sobre la que vamos a realzar u ajuse de ua edeca basada e el méodo de sempromedos: Tabla 4.. EVOLUCIÓN DE LAS VENTAS DE GASOLINA EN CASTILLA Y LEON. AÑOS (Mles de Tm.). AÑOS Tm Fuee: Coyuura Ecoómca de Caslla y Leó Dvdmos la sere e dos mades, cada ua de cco años, y calculamos los promedos de cada mad. Los promedos los ceramos e las observacoes cerales, las correspodees a 987 y 99:

60 Promedo cerado e Promedo cerado e La ecuacó de la líea de edeca será: Y * a + b dode Y * es el valor de la edeca esmada de las veas de gasola. El valor de a se obee al hacer, y se hace correspoder co el valor del prmer promedo: * a Y El coefcee de la pedee de la reca b represearía el cremeo aual de la edeca, y se calcula a parr de los dos promedos: b Nóese que al ser cco los años que hay de dfereca ere 99 y 987, años e los que hemos cerado los promedos, el deomador que ulzamos para calcular el cremeo aual es gual a 5. La ecuacó Y * os srve para obeer la edeca ua vez coocdos los valores o del regresor, que ha de eer ecesaramee valor cero e 987. Los valores de se elabora a parr de ua sucesó de puuacoes cosecuvas que va desde u mímo de - de 985 hasa u máxmo de 7 e 994: Tm. Sempromedo Tedeca Tabla 8... Tedeca de la evolucó de las veas de gasola e Caslla y Leó. Años (mles de m.).méodo de sempromedos. Represeamos e el gráfco 4. la edeca:

61 Tedeca de las veas de gasola Tm. Tedeca Gráfco 4.. Méodo de mímos cuadrados El méodo de mímos cuadrados es el que más se ulza para ajusar edecas. Ese méodo da los msmos resulados que el méodo aeror cuado es ulzado para obeer edecas leales. S realzamos secllas rasformacoes armécas de los daos puede ambé ser ulzado para represear fucoes de edecas o leales. Esmar ua edeca leal por el méodo de MCO equvale a esmar la sguee fucó: Y * a + b ulzado como varable explcava u vecor de úmeros secuecales {,,3,,} represeavos del perodo. S se quere obeer ua edeca expoecal, debemos lealzar la fucó lo que requere su rasformacó e logarmos: Y be r eoces: l Y l b + r

62 Ua vez esmada la edeca leal por mímos cuadrados, calculamos la expoecal del logarmo para devolver la edeca a la escala de los daos orgales. Ejemplo 4. Veamos u ejemplo: cosderemos la sguee abla e la que se muesra la evolucó de las veas de gasola e Caslla y Leó. Co dchos daos vamos a esmar ua edeca expoecal medae el méodo de mímos cuadrados. Tm.(Y) Logarmo Tedeca Tedeca (Y) logarímca Tabla 8... Tedeca de la evolucó de las veas de gasola e Caslla y Leó. Años (mles de m.).méodo de mímos cuadrados. Veamos la represeacó de dchos daos e el gráfco 4.3.; e él comprobamos cómo se ajusa a los daos de vea de gasola e Caslla y Leó: 65. Tedeca de las veas de gasola Tm. Tedeca T.Expoecal Gráfco 4.3.

63 Para aalzar la caldad del ajuse realzado hay que cosderar los esadíscos de la regresó mímo cuadrada : Esadíscas de la regresó Coefcee de correlacó múlple, Coefcee de deermacó R, R ajusado, Error ípco, Observacoes El coefcee R es ua medda de que la magud de los errores co respeco al amaño de la varable Y; errores muy pequeños e relacó al amaño de Y deerma que el coefcee R se aproxme a ; por el coraro errores muy alos e relacó al amaño de la varable Y, dará lugar a valores de R más alejados de y más cercaos a cero. E el ejercco que hemos realzado la magud del coefcee de deermacó (R,9687) sería dcavo de u acepable ajuse. Oros esadíscos que debemos cosderar so los que hace refereca al grado de sgfcacó de los coefcees b y m: Coefcees Error ípco Esadísco Probabldad Iferor 95% Superor 95% Iferor 95,% Superor 95,% Iercepcó E Varable E La ercepcó e el orge es el coefcee a, y la Varable es el coefcee b. La abla da el abaco de valores más probables para ambos coefcees al vel de cofaza del 95%, esos valores so los que fgura e las casllas Iferor y Superor. E el caso del coefcee a, el ajuse mímo-cuadrado da como resulado que lo más probable es que se ecuere ere el ervalo que va desde el valor,9 hasa el,98, sedo su valor medo,94; e ao que el coefcee b esará e el ervalo que va desde,35 hasa,47, resulado ser su valor medo,4. Como ere esos ervalos o fgura el valor cero, señalamos que los coefcees esmados so esadíscamee sgfcavos. E el ejemplo la fucó leal esmada sería: Y *,94 +,4 que e forma expoecal quedaría: Y 48,6.e,4 Medas móvles E el aálss de seres emporales, el méodo de medas móvles ee dversas aplcacoes: así, ese méodo puede seros úl s queremos calcular la edeca de ua sere emporal s eer que ajusaros a ua fucó preva, ofrecedo así ua vsó suavzada o alsada de ua sere, ya que promedado varos valores se elma pare de los movmeos rregulares de la El capíulo 8.4 dedcado a la regresó mmo-cuadrada esuda los fudameos de dcha écca y los esadíscos que se mecoa.

64 sere; ambé puede servros para realzar predccoes cuado la edeca de la sere ee ua meda cosae. Veamos qué es ua meda móvl: se raa, secllamee de ua meda arméca que se caracerza porque oma u valor para cada momeo del empo y porque e su cálculo o era odas las observacoes de la muesra dspoble. Ere los dsos pos de medas móvles que se puede cosrur os vamos a referr a dos pos: medas móvles ceradas y medas móvles asmércas. El prmer po se ulza para la represeacó de la edeca, meras que el segudo lo aplcaremos para la predccó e modelos co meda cosae. Las medas móvles ceradas se caracerza porque el úmero de observacoes que era e su cálculo es mpar, asgádose cada meda móvl a la observacó ceral. Así, ua meda móvl cerada e de logud + vee dada por la sguee expresó: Y + Y Y Y+ + Y MM ( ) Y Como puede observarse, el subídce asgado a la meda móvl,, es el msmo que el de la observacó ceral, Y. Obsérvese ambé que, por cosruccó, o se puede calcular las medas móvles correspodees a las prmeras y a las úlmas observacoes. Por su pare, e el caso de las medas móvles asmércas se asga cada meda móvl al período correspodee a la observacó más adelaada de odas las que ervee e su cálculo. Así la meda móvl asmérca de puos asocada a la observacó edrá la sguee expresó: MMA( ) Y + Y Y Y Y Ese po de medas móvles se emplea e la predccó de seres cuya edeca muesra ua meda cosae e el empo, ulzádose la sguee ecuacó: MMA ) T + Y MMA( ) YT + YT ( + T + T + T + Es decr, para predecr el valor de la sere e el período sguee se suma a la meda móvl, la meda arméca de los úlmos períodos, sedo la logud de la meda móvl. La ulzacó de medas móvles mplca la eleccó arbrara de su logud u orde, es decr, del úmero de observacoes que ervee e el cálculo de cada meda móvl. Cuao mayor sea la logud, mejor se elmará las rregulardades de la sere, ya que al erver más observacoes e su cálculo se compesará las flucuacoes de ese po, pero por el coraro, el cose formavo será mayor. Por el coraro, cuado la logud es pequeña, la meda móvl refleja co mayor rapdez los cambos que pueda producrse e la evolucó de la sere. Es coveee, pues, sopesar esos facores al decdr la logud de la meda móvl.

65 Ejemplo 4.3 Veamos a couacó u ejemplo, couado co la sere de veas de gasola, opamos por calcular ua meda móvl real que ofrece los sguees resulados: Tm. Meda móvl real Tabla 9.3. Tedeca de la evolucó de las veas de gasola e Caslla y Leó. Años (mles de m.).meda móvl real El valor de la meda móvl real asgado a 986 se calcula así: A su vez, el valor de la meda móvl real asgado a 987 se calcula así: Tedeca e medas móvles reales de las veas de gasola Tm. Meda movl real Gráfco 4.4. Como se apreca e el gráfco 9.3., el coveee que ee la meda móvl es que perdemos formacó de la edeca e los ejerccos cal y fal. E ese sedo, volvemos a resalar que las medas móvles, comparadas co méodos basados e ajuses armécos, ee u cose formavo. Alsado Expoecal Smple

66 El méodo del alsado expoecal smple cosse, al gual que e el caso de las medas móvles, e ua rasformacó de la varable orgal. S ua varable Y es someda a u proceso de alsado expoecal smple se obee como resulado la varable alsada S. Teórcamee, la varable alsada S se obedría segú la expresó: S ( w) Y + ( w) wy - + (-w) w Y - + ( w) w3 Y -3 + () dode w es u parámero que oma valores compreddos ere y, y los puos suspesvos dca que el úmero de érmos de la varable alsada puede ser fo. La expresó aeror e realdad o es más que ua meda arméca poderada 3 de fos valores de Y. Se deoma alsada ya que suavza o alsa las osclacoes que ee la sere, al obeerse como ua meda poderada de dsos valores. Por ora pare, el calfcavo de expoecal se debe a que la poderacó o peso de las observacoes decrece expoecalmee a medda que os alejamos del momeo acual. Eso quere decr que las observacoes que esá alejadas ee muy poca cdeca e el valor que oma S. Falmee, el calfcavo de smple se aplca para dsgurla de oros casos e que, como veremos más adelae, ua varable se somee a ua doble operacó de alsado. Ua vez que se ha vso esos aspecos cocepuales, vamos a proceder a la obecó operava de la varable alsada, ya que la expresó o es drecamee aplcable, por coeer fos érmos. Reardado u período e la expresó aeror se ee que: S - ( w) Y - + ( w) wy - + (-w) w Y -3 + () Mulplcado ambos membros por w se obee: ws - ( w) wy - + ( w) w Y - + ( w) w3 Y -3 + (3) Resado (3) de () membro a membro y ordeado los érmos se ee que: O ambé: S ( - w) Y + ws - dode α w. S αy + ( - α) S - Ahora ya sólo os fala calcular los valores de α y S, parámeros a parr de los cuales resula secllo hallar los valores de la varable alsada de forma maera recursva, al que: S αy + ( - α) S S αy + ( - α) S S 3 αy 3 + ( - α) S Al asgar u valor a α hay que eer e cuea que u valor pequeño de α sgfca que esamos dado mucho peso a las observacoes pasadas a ravés del érmo S -. Por el coraro, cuado α es grade se da más mporaca a la observacó acual de la varable Y. E geeral, parece que u valor de α gual a. es apropado e la mayor pare de los casos. Aleravamee, se 3 Para que pueda aceparse que es ua meda arméca poderada debe verfcarse que las poderacoes, sume. La demosracó, que excede las preesoes de ese exo, se basa e el cálculo de la suma de fos érmos de ua progresó geomérca covergee.

67 puede seleccoar aquel valor de α para el que se obega ua Raíz del Error Cuadráco Medo meor e la predccó del período muesral. Respeco a la asgacó de valor a S se suele hacer esos supuesos: cuado la sere ee muchas osclacoes se oma S Y ; por el coraro, cuado la sere ee ua cera esabldad se hace S Y. Alsado Expoecal Doble Ua varae más avazada del méodo aeror es el Alsado Expoecal Doble, ambé coocdo como méodo de Brow. Báscamee, lo que se hace medae ese méodo es someer a la varable a ua doble operacó de alsado: e la prmera operacó se alsa drecamee la varable objeo de esudo, meras que e la seguda operacó se procede a alsar la varable alsada prevamee obeda. Así pues, las fórmulas del Alsado Expoecal Doble so las sguees: Prmer alsado: S αy + ( α) S - Segudo alsado: S αs + ( α) S - Obsérvese que e los dos alsados se ulza el msmo coefcee α. A parr de las dos varables alsadas se esma los coefcees de la reca para ulzarlos e la predccó. Las fórmulas que perme pasar de los coefcees de alsado a los coefcees de la reca so las sguees: b b S ' S '' α ( S α ' S '' ) Falmee, s co la formacó dspoble e, deseamos realzar ua predccó de la varable para el momeo +m, aplcaremos la sguee fórmula: Y ˆ b + b + m m Asmsmo, al gual que e el caso del Alsado Expoecal Smple, para poder obeer S ' y S es ecesaro coocer los valores cales, que e ese caso sería dos, S y S. Para deermarlos se ulza las sguees relacoes que perme obeer b y b, auque e sedo verso. Realzado u ajuse de la reca por mímos cuadrados co oda la formacó dspoble se obedrá las esmacoes ˆ y ˆ. b b

68 Hacedo que: b bˆ y b bˆ y omado, se obee: S S ' '' b b α b α α b α A parr de esos valores se ca la recursó ya señalada. E lo que respeca al valor de α, es váldo lo que se djo e el caso del Alsado Expoecal Smple, sedo acosejable omar α. o, aleravamee, seleccoar aquel valor de α que haga míma la Raíz del Error Cuadráco Medo cuado realcemos predccoes Aálss de la esacoaldad E ese aparado pasamos a examar el aálss de la esacoaldad de las seres emporales, eedédose por al, aquellos cclos regulares cuya duracó es feror al año. Las varacoes o cclos esacoales so muy frecuees e las seres emporales, sea cual sea su auraleza, y puede presear u esquema horaro, daro, semaal, mesual, rmesral o cluso semesral, o sedo ecesaro que ega algua relacó co las esacoes del año. Lo verdaderamee mporae de los cclos esacoales es su emporaldad o repecó regular. Alguos ejemplos de cclos esacoales sería: El aumeo de vajeros e los auobuses urbaos e deermadas horas del día. Las veas daras de u supermercado que suele presear ere semaa u esquema basae regular. El movmeo de vajeros e los esablecmeos hoeleros que se cocera e deermados meses del año. El cosumo de eergía elécrca que suele ser mayor los meses de vero. El movo prcpal que duce a esudar los cclos esacoales es que, de o eerse e cuea esas varacoes, se obee basaes dsorsoes a la hora de aalzar la evolucó de las seres, acuado muchas veces el facor esacoal como ua máscara que mpde capar adecuadamee la evolucó del feómeo objeo de esudo. U ejemplo de esas dsorsoes ocurre, por ejemplo, cuado se compara el cosumo de elecrcdad e el prmer y segudo rmesre del año, ya que el cclo esacoal al delmar u aumeo del cosumo e los meses de vero, mpde ua erpreacó correca sobre el uso subyacee de la eergía de dcho período. Por ello, será coveee elmar el flujo de los cclos esacoales e la sere, a f de poder realzar comparacoes ere dos esacoes sucesvas y predecr correcamee el comporameo fuuro de la varable.

69 Para ello, exse dferees procedmeos: ulzacó de flros leales, -ARIMA, SEATS (Sgal Exraco ARIMA Tme Seres), ec., cuya solucó requere de u cálculo maemáco relavamee complejo; aquí úcamee esudaremos los procedmeos de desesacoalzacó más secllos: el méodo de porceaje promedo y el méodo del porceaje promedo móvl. Asmsmo, cabe señalar que, co carácer prevo a la desesacoalzacó, a meudo hay que realzar ua sere de ajuses e la sere emporal para eer e cuea hechos o eveos que puede afecar al cclo esacoal que raamos de aalzar. Esos eveos que suele ser fesvdades, errupcoes del rabajo debdo a huelgas, paros, regulacoes de empleo, ec., o sempre so elmados por los promedos dero del mes o rmesre e que se produce, de ahí que sea ecesaro corregr prevamee los daos cales. Ua forma de compesar esas varacoes es mulplcar la sere de daos orgíales por la sguee razó: Número de días efecvos de u mes e u promedode años (ó e u caledaro laboral) Número de días efecvos del mes dado e la que la defcó de los días efecvos depederá de la sere croológca que os eresa y de los movos por los que realzamos el ajuse. Falmee, para saber s ua sere emporal presea varacoes esacoales de relevaca, se suele hacer u aálss de la varaza del compoee esacoal-rregular de la sere, ulzado como facor de varacó la refereca emporal de la sere (semaal, mesual, rmesral, ec. ). Dcho aálss proporcoa como esadísco la F de Sedecor, cuyo valor comparado co el que fgura e las ablas del Aexo, os perme deermar s ee sgfcacó el facor emporal para explcar la varaza de la sere; de admrse dcha posbldad, quedaría demosrado que los movmeos esacoales de la sere so lo sufceemee deermaes como para proceder a su desesacoalzacó poseror. Ejemplo 4.5 Veamos a couacó u ejemplo: vamos a realzar u es de preseca de esacoaldad a la sere mesual de veas de gasola e Caslla y Leó durae el período VENTAS DE GASOLINA EN CASTILLA Y LEÓN Años Meses TOTAL

70 Tabla 4.5. Veas de Gasola e Caslla y Leó Para ello, obeemos la compoee esacoal-rregular de la sere como dfereca ere la sere orgal y ua edeca que calculamos medae ua meda móvl cerada de érmos. VENTAS DE GASOLINA EN CASTILLA Y LEÓN. COMPONENTE ESTACIONAL-IRREGULAR Años Meses Tabla 4.6. Veas de Gasola e Caslla y Leó. Compoee Esacoal-Irregular Para realzar u es de preseca de esacoaldad ulzamos la écca de Aálss de Varaza de u facor, ulzado como facor la agrupacó por meses de los daos de veas de gasola. El aálss de varaza ofrece e ese caso los sguees resulados: Aálss de la varaza de la sere de veas de gasola e CYL Orge de las varacoes Suma de cuadrados Grados de lberad Promedo de cuadrados F Probabldad Valor críco para F Ere grupos E Dero de los grupos Toal Como se puede aprecar, el valor de la F es lo sufceemee grade para admr la hpóess H de que el facor emporal mesual explca ua pare de la varaza que ee oda la sere. Como vemos e dcha salda ambé aparece el valor críco de la F por debajo del cual rechazamos la hpóess H. Méodo del porceaje promedo El méodo del porceaje promedo es u procedmeo rápdo y smple para elaborar u ídce esacoal. El prmer paso cosse e expresar la formacó de cada mes (o rmesre) como u promedo para el año; e u segudo paso se obee porceajes de los promedos auales; y, falmee, e u ercer paso, dchos porceajes se promeda e cada mes, obeédose como resulado el ídce esacoal.

71 Ejemplo 4.6. Para lusrar el méodo del porceaje promedo ulzamos el aeror ejemplo de las veas mesuales de gasola e Caslla y Leó para el período E prmer lugar obeemos el promedo mesual de las veas auales: Años Meses TOTAL MEDIA Tabla 4.7. Después calculamos e cada año el porceaje del promedo, que es la relacó que se da ere las veas de cada mes y su promedo aual. Años Meses % 79.5% 73.% 74.89% 8.4% 83.8% 7.66% 75.3% 69.% 78.95% 67.44% 65.8% 7.97% 78.8% 74.4% 78.6% 6.86% 74.47% 77.3% 77.7% % 94.9% 86.65% 93.5%.8% 89.7% 93.4% 86.4% 89.3%.6% % 9.84% 4.39% 95.9% 8.39% 3.6% 96.59% 98.9% 7.88% 95.7% % 95.74% 88.9% 88.8%.8% 95.95% 95.8% 93.88% 9.7% 93.46% % 94.38%.54% 96.4% 97.33% 96.3% 9.78% 95.44% 98.6%.93% % 8.65% 8.8%.7% 4.63%.43% 6.5% 5.5% 9.37% 5.93% 8.3% 54.76% 56.7% 59.69% 54.37% 5.3% 53.8% 55.46% 47.8% 46.4% % 9.34% 4.9% 9.44% 6.4% 3.35%.45% 7.3% 3.78% 3.96% 93.54% 99.8% 99.5% 97.% 9.4% 98.9%.98% 98.88% 97.3% 97.75% 78.59% 8.4% 86.39% 87.% 83.58% 88.5% 89.3% 86.48% 86.47% 83.59% 89.46% 4.7%.54% 99.3%.7% 9.5% 5.43%.54%.5% 4.5% Tabla 4.8.

72 El ídce esacoal sería el promedo para cada mes de los dez daos auales: Años Meses Ídce esacoal 7% 79% 73% 75% 8% 83% 7% 75% 69% 79% 76% 67% 66% 7% 78% 74% 79% 63% 74% 77% 77% 73% 3 8% 95% 87% 93% 3% 9% 93% 86% 89% % 9% 4 96% 9% 4% 96% 8% 3% 97% 98% 8% 95% 97% 5 87% 96% 88% 88% % 96% 95% 94% 9% 93% 93% 6 84% 94% % 96% 97% 96% 93% 95% 98% 3% 96% 7 54% 9% 9% % 5% % 7% 6% 9% 6% 8% 8 % 55% 56% 6% 54% 5% 54% 55% 48% 46% 58% 9 97% 9% 5% 9% 6% 3% % 7% 4% 4% 6% 94% % % 97% 9% 98% % 99% 97% 98% 98% 79% 8% 86% 87% 84% 89% 89% 86% 86% 84% 85% 89% 4% % 99% % 9% 5% 3% 3% 5% % % Tabla 4.9. El ídce os señala que e el período esudado las veas de eero ha esado u 75.7% por debajo de las veas mesuales promedo de cada año, y que e el mes de agoso el vel de veas fue u 58.7% superor al vel de vea mesuales promedo aual. Dado que el valor medo mesual del ídce ha de ser gual a, la suma de los daos de que cosa el ídce mesual debe ser gual a. Para obeer ua sere de las veas ajusadas esacoalmee, eso es, descoado el efeco que provoca el cclo esacoal, se dvdría las veas de cada mes por el correspodee ídce esacoal y se mulplcaría por : Años Meses Tabla 4.. Méodo del porceaje del promedo móvl El méodo del porceaje del promedo móvl es uo de los méodos más usados para la medcó de la varacó esacoal. Su cálculo es ambé basae secllo: e prmer lugar se

73 obee u promedo móvl de meses de la sere de daos orgales (o de 4 rmesres s se ulza los daos rmesrales) al que: MM ( L) +.5 L / + ( L / ) + L Y, L, L L +,..., N Luego se recurre a u promedo móvl de meses para cerar coveeemee el promedo aeror, al que se le deoma promedo móvl cerado de doce meses; es decr: MM ( L x ) MM ( L) + MM ( L), L L +, +,..., N L Falmee se obee el ídce dvdedo los daos orgales por el promedo móvl cerado, MM(L x ) : EI Y MM ( L x ) es decr, ua esmacó cojua del compoee esacoal y del compoee rregular. A los valores obedos medae la expresó aeror se los deoma ídces bruos de varacó esacoal. S dspoemos de formacó para K años compleos, el úmero oal de observacoes es N y la logud del período esacoal es L, se verfcará que K L N. Bajo esos supuesos, para cada esacó se dspoe de K ídces bruos de varacó esacoal, ya que se perde L/ daos al prcpo y L/ daos al fal, es decr, se perde u dao e cada esacó. Para cada esacó se puede calcular ua meda de odos los ídces bruos dspobles. Así, para la esacó h, la meda se obedrá sumado odos los ídces bruos de varacó esacoal correspodees a esa esacó y dvdedo por K, que es el úmero de daos dspobles e cada caso; es decr: EI * Eh, h,,..., L K Al haber realzado u promedo de K daos, el compoee rregular queda elmado s K es sufceemee grade. E odo caso, al promedar sempre se aeuará el efeco del compoee rregular. Por ello, el resulado obedo es u ídce de varacó esacoal e el que se supoe que el compoee rregular ha desaparecdo compleamee. S embargo, esos ídces o va a ser los defvos, ya que se raa de ídces o ormalzados. S exse esacoaldad, ésa o debe afecar al vel de la sere, por lo que es razoable exgr a los coefcees de esacoaldad el requso de que su meda sea, ó, aleravamee, que su suma sea L. Cuado los ídces de esacoaldad cumple ese requso se dce que esá ormalzados. Los ídces de varacó esacoal ormalzados se puede calcular fáclmee aplcado ua proporcó. Así, s ulzamos el símbolo Ê h para desgar el ídce de varacó esacoal de la esacó h, su expresó vedrá dada por

74 E ˆ h ˆ E * h L L h E * h Falmee, la sere desesacoalzada se obedrá dvdedo cada valor de la sere orgal por el ídce de varacó esacoal correspodee. Así, e el caso de que el período pereezca a la esacó h, eoces el valor de la sere desesacoalzada, al que desgaremos por D, vedrá dado por: D Y Eˆ h Ejemplo 4.7. Veamos a couacó u ejemplo, ulzado de uevo la sere de veas de gasola de Caslla y Leó para obeer dcho ídce esacoal. Tabla 4.. Años Meses Veas Meda móvl meses El prmer promedo móvl se cera e el 6º mes (Juo), lo que mplca dejar s valores ses meses al fal de la sere. El segudo promedo, que es ua meda móvl de dos meses, se realza para cerar coveeemee el promedo móvl aeror, el prmer valor que aparece es el valor promedo de y 3733, y se cera e el 7º mes (Julo), quedado así ambos exremos de la sere resulae co ses meses de auseca de daos: Años Meses Veas Meda móvl meses Promedo móvl cerado

75 Tabla 4.. Falmee se calcula el ídce dvdedo los daos orgales por el promedo móvl cerado y mulplcado por ce: Años Meses Veas Meda móvl meses Promedo móvl cerado Ídce esacoal % % % % % % % % % % % Tabla 4. La sere desesacoalzada de las veas de gasola e Caslla y Leó sería el promedo móvl cerado de meses:

76 Desesacoalzacó de las veas de gasola por meda móvl de meses Veas Meda movl meses 86 Ee. Ju. Nov. Abr. Sep. Feb. Jul. Dc. May Oc. Mar. Ago. 9 Ee. Ju. Nov. Abr. Sep. Feb. Jul. Dc. May. Oc. Mar. Ago. Gráfco 4.5. Predccó co esacoaldad esable Los coefcees de esacoaldad calculados e el epígrafe aeror puede ser ulzados para realzar predccoes de la varable. Para ello, vamos a cosderar el supueso de que dspoemos de ua muesra de amaño T y deseamos realzar predccoes para los L períodos sguees (por ejemplo, s los daos so rmesrales y la muesra comprede años compleos, se raaría de predecr los valores que oma la varable e los rmesres del prmer año posmuesral). Bajo el supueso de esacoaldad esable, el predcor vedrá dado por la sguee expresó: Yˆ ˆ ˆ + h / T TT + heh, h,,, L dode T ˆ T + h es la predccó obeda de la edeca medae el ajuse de ua fucó a los daos desesacoalzados. Desesacoalzacó co Esacoaldad Cambae Hasa ahora hemos cosderado el supueso de que los coefcees de esacoaldad era esables, es decr, que se repeía año ras año. S embargo, e muchas ocasoes ese supueso o es realsa, pudedo ocurrr que esos coefcees esé afecados por ua edeca. Bajo el supueso de esacoaldad cambae, las fases para la aplcacó del méodo de la razó a la meda móvl so las sguees:. Obecó de uas medas móvles de orde esacoal.. Obecó de uas medas móvles ceradas. 3. Obecó de los ídces bruos de varacó esacoal. 4. Obecó de los ídces de varacó esacoal s ormalzar.

77 Las res prmeras fases so las msmas que se aplcaba bajo el supueso de esacoaldad esable. Ua vez obedos los ídces bruos de varacó esacoal, se debe proceder a la represeacó de ese dcador para cada esacó por separado. A la vsa de esa represeacó se omará la decsó de cuál es la fucó maemáca adecuada para represear la edeca de la esacoaldad. Recuérdese que los ídces bruos de varacó esacoal so ua esmacó cojua del compoee esacoal y del compoee rregular. Por ello, al realzar el ajuse de modelos que recoja la edeca de la esacoaldad, lo que esamos hacedo e realdad es separar esos dos compoees. Así, adopado el supueso de que esá egrados de forma adva, se edrá la sguee descomposcó: EI E * + I, h,,, L * dode E so los valores esmados al ajusar ua fucó del empo e la que la varable depedee es EI. E la mayor pare de las ocasoes es adecuado el ajuse de ua reca para al faldad. S ése es el caso resula: E * h ˆh aˆ + a r, h,,, L dode r es el año e que se ecuera el período. Teedo e cuea que al calcular los ídces bruos de varacó esacoal se perde L/ daos al prcpo y L/ al fal y supoedo que se dspoe de formacó sobre K años compleos, eoces r varará, segú los casos, ere y K o ere y K. Después de realzado el ajuse se procederá a la predccó de los coefcees de esacoaldad de cada uo de los años que egra la muesra. De esa forma se obee uos ídces de varacó esacoal s ormalzar, auque dsos para cada año. Segudamee, la obecó de los ídces de varacó esacoal ormalzados se realzará hacedo ua lgera modfcacó e la fórmula ya esudada. Cocreamee, la fórmula a aplcar será la sguee: E ˆ ˆ E L * m E * m, m,,, r Como puede verse e la fórmula aeror, la ormalzacó se realza año a año. Por ello, el facor de ormalzacó es gual a L dvddo por la suma de los ídces de varacó esacoal correspodees al msmo año (r) e que se ecuera el período. Falmee, la sere desesacoalzada, al gual que aes, se obee dvdedo la sere orgal por el ídce de varacó esacoal correspodee, es decr, D Y Eˆ Obsérvese que, bajo el supueso de esacoaldad cambae, a cada dao de la varable le correspode u ídce de varacó esacoal dso, a dfereca de lo que ocurría bajo el supueso de esacoaldad cosae, dode el ídce de varacó esacoal permaecía fjo dero de cada esacó.

78 Desesacoalzacó y Predccó co Esacoaldad Cambae Bajo el supueso de esacoaldad cambae, el predcor vedrá dado por la sguee expresó: Yˆ ˆ ˆ + h / T TT + heh, h,,, L dode T ˆ T + h es la predccó obeda de la edeca medae el ajuse de ua fucó a los daos desesacoalzados y E es la predccó de la esacoaldad para el período T+h, obeda a parr de u ajuse y su poseror ormalzacó.

79 5. Uldades esadíscas de la hoja de cálculo ECEL. 5.. La macro herrameas para aálss para el raameo esadísco Los prcpales desarrollos esadíscos que coee la hoja de cálculo de Excel 5. se ecuera e el módulo de Herrameas para aálss. Las posbldades de ese módulo so muy amplas. Se accede a ése desde el meú Herrameas, aparado Aálss de daos. E caso de o ecorar esa opcó acvada e uesro ordeador eoces edremos que cargar la macro Herrameas para aálss desde el aparado Complemeos, al como se muesra e la fgura sguee. Ua vez cargada la macro las posbldades de efecuar aálss y operacoes esadíscas so umerosas. Muchas de esas posbldades que se rá desarrollado a lo largo del curso.

80 A couacó ofrecemos ua breve descrpcó de los compoees de la macro Aálss de Daos, esa es la que aparece e la opcó ayuda que corpora la hoja de cálculo ECEL: a) Aálss de varaza de u facor Realza u aálss smple de varaza para comprobar la hpóess segú la cual dos o más muesras so guales (exraídas de poblacoes co la msma meda). Esa écca profudza e las pruebas para dos medas, por ejemplo, la prueba. b)aálss de varaza de dos facores co varas muesras de grupo Realza ua exesó del aálss de varaza de u facor co más de ua muesra por cada grupo de daos. c) Aálss de varaza de dos facores co ua sola muesra por grupo Realza u aálss de dos facores co ua sola muesra por grupo que comprueba la hpóess segú la cual las medas de dos o más muesras so guales (exraídas de poblacoes co la msma meda). Esa écca profudza e las pruebas para dos meddas como, por ejemplo, la prueba. d) Coefcee de correlacó

81 Mde la relacó ere dos cojuos de daos que ha sdo calculados e escala para ser depedees de la udad de medda. El cálculo de la correlacó de poblacó devuelve la covaraza de dos cojuos de daos dvdda por el produco de sus desvacoes esádar. Podrá ulzar la herramea Coefcee de correlacó para deermar s dos cojuos de daos varía cojuamee, es decr, s los valores alos de u cojuo esá asocados co los valores alos del oro (correlacó posva), s los valores bajos de u cojuo esá asocados co los valores bajos del oro (correlacó egava) o s los valores de ambos cojuos o esá relacoados (correlacó ede a cero). Covaraza Devuelve el promedo del produco de desvacoes de puos de daos paredo de las medas respecvas. La covaraza es ua medda de la relacó ere dos ragos de daos. Podrá ulzar la herramea Covaraza para deermar s dos ragos de daos varía cojuamee, es decr, s los valores alos de u cojuo esá asocados co los valores alos del oro (correlacó posva), s los valores bajos de u cojuo esá asocados co los valores bajos del oro (correlacó egava) o s los valores de ambos cojuos o esá relacoados (correlacó ede a cero). Esadísca descrpva Geera u forme de esadíscas de ua sola varable para daos del rago de erada, y proporcoa formacó acerca de la edeca ceral y dspersó de los daos. Suavzacó expoecal Predce u valor basádose e el proósco correspodee al período aeror, ajusado al error de dcho proósco. Ulza la cosae de suavzacó a, cuya magud deerma la exacud co la que los proóscos respode a errores del proósco aeror. Prueba F para varazas de dos muesras Realza ua prueba F de dos muesras para comparar las varazas de dos poblacoes. Por ejemplo, puede ulzar ua prueba F para deermar s los empos de ua carrera de alesmo dfere e la varaza de las muesras de dos corredores. Aálss de Fourer Resuelve problemas de ssemas de líeas y aalza daos peródcos, rasformádolos medae el méodo Fas Fourer Trasform (FFT). Esa herramea ambé realza rasformacoes versas, e las que el verso de los daos rasformados devuelve los daos orgales.

82 Hsograma Calcula las frecuecas dvduales y acumulavas de ragos de celdas de daos y de clases de daos. Geera daos acerca del úmero de aparcoes de u valor e u cojuo de daos. Por ejemplo, e ua clase co alumos se desea obeer la dsrbucó de calfcacoes medae ua caegoría de puuacó por leras. Ua abla de hsograma preseará los límes de las calfcacoes por leras así como el úmero de calfcacoes que hay ere el líme más bajo y el acual. La calfcacó más frecuee es la moda de los daos.. Meda móvl Proyeca valores e el período prooscado, basádose e el valor promedo de la varable calculada durae u úmero específco de períodos aerores. Ua meda móvl proporcoa formacó de edecas que quedaría emascarada por ua smple meda de odos los daos hsórcos. Ulce esa herramea para prooscar veas, vearos u oras edecas. Geeracó de úmeros aleaoros Llea u rago co úmeros aleaoros depedees exraídos de uo de varas dsrbucoes. Podrá ulzar esa herramea para caracerzar a los sujeos de ua poblacó co ua dsrbucó de probabldades. Por ejemplo, puede ulzar ua dsrbucó ormal para caracerzar la poblacó de esaura de las persoas, o ulzar ua dsrbucó de Beroull co dos resulados posbles para caracerzar la poblacó de resulados cuado se laza ua moeda al are. Jerarquía y percel Crea ua abla que coee los ragos ordales y porceuales de cada valor de u cojuo de daos. Podrá ulzar ese procedmeo para aalzar la mporaca relava de los valores e u cojuo de daos. Regresó Realza u aálss de regresó leal ulzado el méodo de mímos cuadrados para ajusar ua líea a u cojuo de observacoes. Podrá ulzar esa herramea para aalzar la forma e que ua sola varable depedee se ve afecada por los valores de ua o más varables depedees, por ejemplo, varos facores cde e el redmeo de u alea, ere ellos la edad, la alura y el peso. Basádose e u cojuo de daos acerca del redmeo, la regresó deerma la pare de cada uo de los facores e las meddas de redmeo. Los resulados de la regresó podrá ulzarse eoces para predecr el redmeo de u alea uevo o somedo a prueba. Muesra Crea ua muesra de la poblacó omado los daos del rago de erada como poblacó. Es posble ulzar ua muesra e lugar de oda la poblacó cuado ésa sea

83 demasado grade para procesarla o para presearla gráfcamee. Además, s cree que los daos de erada so peródcos, puede crear ua muesra que coega sólo los valores de ua pare deermada de u cclo. Por ejemplo, s el rago de erada coee cfras de veas rmesrales, la muesra realzada co ua asa peródca de 4 permrá colocar los valores del msmo rmesre e la abla de resulados. Prueba para medas de dos muesras emparejadas Realza ua prueba de Sude e dos muesras emparejadas para deermar s las medas de ua muesra so dsas. E ese po de prueba o se supoe que las varazas de ambas poblacoes sea guales. Puede ulzar la prueba emparejada cuado exsa u par de observacoes de las muesras, por ejemplo, cuado u grupo de muesra se somee dos veces a prueba, aes y después de u expermeo. Prueba para dos muesras supoedo varazas guales Realza ua prueba de Sude e dos muesras. E ese po de prueba se supoe que las varazas de ambos ragos so guales, y se cooce co el ombre de prueba homoscedásca. Se emplea para deermar s las medas de dos muesras so guales. Prueba para dos muesras supoedo varazas desguales Realza ua prueba de Sude e dos muesras. E ese po de prueba se supoe que las varazas de ambos ragos so desguales, y se cooce co el ombre de prueba heeroscedásca. Ulícela para deermar s las medas de dos muesras so guales y a parr de qué momeo se dfereca los grupos somedos a esudo. Ulce ua prueba emparejada cuado exsa u grupo aes del raameo y después de él. Prueba z para medas de dos muesras Realza ua prueba z e las medas de dos muesras co varazas coocdas. Esa herramea se emplea para comprobar las hpóess acerca de la dfereca exsee ere las medas de dos poblacoes, por ejemplo, puede ulzarla para esudar las dferecas e el redmeo de dos modelos de vehículos. 5.. Esmacó de u Modelo de Regresó Leal co Excel A couacó, vamos a esmar los parámeros de u deermado modelo por Mímos Cuadrados Ordaros ulzado Mcrosof Excel, programa que smplfca oablemee los cálculos a realzar cuado dspoemos de muchas observacoes y/o varables exógeas. Supogamos que la cadad demadada de mazaas vee deermada e fucó de su preco, y queremos cuafcar dcha relacó. Parmos de la sguee abla de daos: Cadad (Kg.) Preco (u.m. / Kg.)

84 S realzamos u dagrama de dspersó medae la opcó Gráfco dero del meú Iserar de Excel obedremos u gráfco como el e el que puede comprobarse la relacó que apareemee exse ere cadades demadadas de mazaas y su preco. Curva de Demada Gráfco.. Relacó ere la demada de mazaas y su preco Pasamos a couacó a esmar la reca de regresó por Mímos Cuadrados Ordaros. Para ello, el alumo debe verfcar que ee salada la opcó Herrameas para el Aálss dero la opcó Complemeos del meú Herrameas, al y como puede observarse e la sguee fgura:

85 E caso de o eer dcha opcó salada e uesro ordeador, deberemos marcar las casllas que se ve e la fgura, serado segudamee el CD-Rom de Mcrosof Offce para proceder a su salacó. Ua vez saladas esas opcoes, dspodremos de ua ueva opcó e el meú Herrameas llamada Aálss de Daos. S pchamos e ella, os aparecerá ua veaa smlar a la sguee, e la que seleccoaremos la opcó Regresó: Al seleccoar dcha opcó os aparecerá u cuadro de dálogo como el sguee:

86 E ese cuadro de dálogo podemos seleccoar el rago de uesra hoja de cálculo que coee los daos referdos a la varable edógea (Rago Y de erada) y a las varables exógeas (Rago ). Asmsmo, se cluye oras opcoes sumamee úles ales como elmar el érmo depedee del modelo (Cosae gual a cero), deermar el vel de cofaza al cual se realzará los ess de sgfcacó de los parámeros, la posbldad de obeer ua abla co los érmos de error del modelo (Resduos) y su gráfco (Grafco de Resduales), ec. Ua vez roducdos los ragos de las varables y seleccoado las opcoes que deseemos (o debemos olvdar dcar e qué Hoja, Rago o Lbro deseamos que os aparezca los resulados), pulsamos e Acepar y os aparecerá ua veaa smlar a ésa: