Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice

Transcripción

1 Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice 1. ECUACIONES Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuación de segundo grado completa Ecuaciones de segundo grado incompletas Propiedades de las soluciones de las ecuaciones de segundo grado Ecuaciones bicuadradas Ecuaciones racionales Ecuaciones irracionales Ecuaciones de grado superior a dos Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logarítmicas SISTEMAS DE ECUACIONES Sistemas de ecuaciones lineales de 3 incógnitas. Método de Gauss Sistemas de ecuaciones no lineales Sistemas de ecuaciones exponenciales Caso 1. Potencias con la misma base Caso 2. Potencias de distinta base Sistemas de ecuaciones logarítmicas INECUACIONES Resolución de inecuaciones de primer grado Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Inecuaciones de segundo grado Inecuaciones racionales Sistemas de inecuaciones con una incógnita Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Deka Centro de Ensino Matemáticas I

2 1. ECUACIONES 1.1. Ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. (Lo que está sumando pasa restando y lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa) 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. Ejemplo: 2 (2x-3) = 6 + x 1º Quitamos paréntesis: 4x 6 = 6 + x 2º Agrupamos términos y sumamos: 4x x = x = 12 3º Despejamos la incógnita: x = x = 4 Ejemplo: 1 1º Quitamos denominadores, para ello hallamos el mínimo común múltiplo. m.c.m. (6, 2) = 6 x -1-3 (x - 3) = -6 2º Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes: x 1 3x + 9 = -6 x - 3x = x =-14 3º Despejamos la incógnita: x = x = 7 Ejemplo: 2-2 x1 3x 1º Quitamos corchete: 2-2x2 3x 2º Quitamos paréntesis: 2 +2x x 3º Quitamos denominadores: m.c.m. (2, 3, 12) = x (x-3) = 8x (5x-3) + 36x = 4º Quitamos paréntesis: 24+24x +24+6x - 18 = 8x 5x x 5º Agrupamos términos: 24x + 6x - 8x +5x 36 x = x = -27 6º Despejamos la incógnita: x = x = 3 2 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

3 1.2. Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma ax 2 + bx + c = 0, donde no se anula a (a 0). Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado se dice completa si a, b y c son todos no nulos. Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula: x = Ejemplo: x 2 5x + 6 =0 x =! = x 1 = x 2 = 2 Llamamos discriminante =, en función del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de la ecuación, así: 3 Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución. Si el discriminante es 0 hay una solución. Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones Ecuaciones de segundo grado incompletas Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b = 0: Si b = 0 la ecuación queda ax 2 + c = 0, despejando se llega: ax 2 = -c x 2 = " # x = $ " # Ejemplos: 5x 2 45 = 0 x 2 = 4x = 0 x 2 = && x = 9 3 x = 25 Sin solución Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c = 0: Si c = 0 la ecuación queda ax 2 + bx=0. Sacando factor común se tiene que x(ax+b) = 0 de donde se deduce que x = 0 ó ax+b = 0 por lo que ax = -b ; x= ( ). Las soluciones son x 1 = 0 y x 2 = ( ). Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x = 0 Ejemplo: x 2 2x = 0 x (x-2) =0 x 1 =0 y x 2 = 2 3 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

4 Propiedades de las soluciones de las ecuaciones de segundo grado La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como: S = x 1 + x 2 = P = x 1 x 2 = * x 2 Sx + P Siendo: S = x 1 + x 2 P = x 1 x 2 Ejemplo: Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: 3 y 2. S = 3 2 = 1 P = 3 ( 2) = 6 x 2 x 6 = Ecuaciones bicuadradas Una ecuación bicuadrada tiene la siguiente estructura ax 4 + bx 2 + c = 0. Para su resolución se realiza el cambio de variable y = x 2 quedando la ecuación ay 2 + by + c = 0 Se resuelve la ecuación de segundo grado obteniéndose dos soluciones y 1 e y 2, luego deshacemos el cambio y = x 2 para determinar las soluciones de x. Ejemplo: x 4 5x =0 cambio de variable y = x 2 y 2 5y + 4 = 0 y 2 5y + 4 = 0 y =! = y 1 = + y 2 = 1 Deshacemos el cambio x 2 = y 1 x 2 = 4 x = 4 = 2 x 2 = y 2 x 2 = 1 4 x = 1 = 1 ** Nota: las ecuaciones en las que el primer término este elevado al doble del segundo (ax 2n + bx n + c = 0) se resuelven siguiendo este criterio Ejemplos: x 6 + 3x =0 x 8-7x = Ecuaciones racionales Una ecuación racional es aquella en la que tenemos la incógnita en el denominador. Son ecuaciones del tipo: -./ Donde x es la incógnita y a, b, c, d, e y f números reales. Para resolver este tipo de ecuaciones seguiremos los siguientes pasos: 1º Calculamos el m.c.m. de los denominadores y operamos en los numeradores 2º Eliminamos el denominador quedándonos solo con los numeradores de manera que ya tenemos una ecuación (de primer grado, segundo grado, bicuadrada ) que ya sabemos resolver. Ejemplo:! 0 4 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

5 1º Calculamos el m.c.m de los denominadores m.c.m = x 2 -x 2º Aplicamos el nuevo denominador 5 5! 5 5! 5 0 3º Eliminamos los denominadores y resolvemos la ecuación: 1 x = 0 x = -1 **Nota: Debemos comprobar que la solución no anula los denominadores, en cuyo caso no será solución de la ecuación 1.5. Ecuaciones irracionales Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. 6. Para resolver este tipo de ecuaciones seguiremos los siguientes pasos: 1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2º Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3º Se resuelve la ecuación obtenida. 4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. 5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos. Ejemplo: 2x3 x 1 1º Aislamos el radical: 2x3 1 + x 2º Elevamos al cuadrado los dos miembros: 7 2x38 1x 2x 3 = 1 2x + x 2 3º Resolvemos la ecuación: x 2 4x + 4 = 0 x = 2 4º Comprobamos: = Ecuaciones de grado superior a dos Es una ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes. Ejemplo: 2x 4 + x 3 8x 2 x + 6 = 0 Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. P(x) = 2x 4 + x 3 8x 2 x + 6 Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3. 5 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

6 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta. P(1) = = = 0 Dividimos por Ruffini Por ser la división exacta, D = d c (x 1) (2x 3 + 3x 2 5x 6) = 0 Una raíz es x = 1. Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. P(1) = x 6 0 P( 1) = 2 ( 1) ( 1) 2 5 ( 1) 6= = (x 1) (x +1) (2x 2 +x 6) = 0 Otra raíz es x = -1. Los otros factores lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado, o continuando utilizando ruffini 2x 2 + x 6 = 0 x =! = 1.7. Ecuaciones exponenciales = = x 1 = x 2 = 1 Solución: x = 1, x = 1, x = 2 y x = 3/2 Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta las propiedades de las potencias a > 0 a : 9 5! < < Ejemplos: a) 2 2x 1 = 4 2 2x 1 = 2 2 2x 1 = 2 x =!=>: b) 3 5 = 27 3 =>@!=>: 5 5 x = c) 2 x x + 2 x-1 = 28 2 x x + = = 28 2x ( ) = 28 2x = 2 3 x = 3 d) 2 x x + 1 = 0 2 x x + 1 = 0 En este caso como no tenemos la misma base realizamos un cambio de variable 2 x = t 2t 2 3t + 1 = 0 t 1 = t 2 =1; 2 x = x 1 = -1 2 x = 1 x 2 = 0 6 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

7 Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia. Ejemplo: 10 x+2 = 5 log 10 x+2 = log 5 (x + 2) log 10 = log 5 (x + 2) = log 5 x = log 5-2 x= -1, Ecuaciones logarítmicas Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta las propiedades de los logaritmos. Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos. Ejemplo: a) log 2 +log (11 x 2 ) = 2log (5 x) log (2 (11 x 2 ) = log (5 x) 2 (2 (11 x 2 ) = (5 x) 2 3x 2-10x + 3 = 0 x 1 = 3 x 2 = b) 2 logx = 3 + log 5 & 2 log x = 3 + log x log 10 log x = 3 1 log x= 2 x = 100 c) log x + log (x +3) = 2 log (x + 1) log (x (x + 3)) = log (x + 1) 2 x 2 + 3x = x 2 + 2x + 1 x = 1 2. SISTEMAS DE ECUACIONES 2.1. Sistemas de ecuaciones lineales de 3 incógnitas. Método de Gauss El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Ejemplo 1: 3x +2y + z = 1 5x +3y +4z = 2 x + y - z = 1 Colocamos las x en una columna, las y en otra columna y las z en otra, por ultimo colocamos los términos independientes en la última columna B C D EF A H f f 1 I J f 2-3f 1 I J f 3-5f I J f 3-2f 2 I J y al final nos queda el siguiente sistema de ecuaciones z =1 x + y - z = 1 -y +4z = -2 z = 1 y = 4z + 2 y = y = 6 x = 1 y + z x = x = -4 7 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

8 2.2. Sistemas de ecuaciones no lineales Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. Ejemplo: x 2 + y 2 = 25 x + y = 7 La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. y = 7 x 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. x 2 + (7 x) 2 = 25 3º Se resuelve la ecuación resultante. x x + x 2 = 25 2x 2 14x + 24 = 0 x 2 7x + 12 = 0 x 1 = + 4 x = + x 2 = 3 4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. x = 3 y = 7 3 y = 4 x = 4 y = 7 4 y = Sistemas de ecuaciones exponenciales Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que las incógnitas aparecen en los exponentes. Tenemos dos formas para resolverlos: Caso 1. Potencias con la misma base Igualar los exponentes si los dos miembros tienen potencias con la misma base. 3 2x+y = x 2y = 3 Igualamos exponentes y resolvemos el sistema. 2x + y = 7 x =3 y = 1 x 2y = 1 8 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

9 Caso 2. Potencias de distinta base Realizar un cambio de variable. 2 x + 5 y = 9 2 x y+1 = 9 En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes. 2 x + 5 y = 9 2 x y = 9 Posteriormente realizamos el cambio de variable: u = 2 x v = 5 y Resolvemos el sistema. u + v = 9 u = 8 v = 1 u + 5v = 9 Deshacemos el cambio de variable 2 x = 8 x = 3 5 y = 1 y = Sistemas de ecuaciones logarítmicas Para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas actuaremos de modo similar a como lo hicimos con las ecuaciones logarítmicas, es decir basándonos en la definición y las propiedades de los logaritmos y teniendo en cuenta que la función logarítmica es inyectiva. Veamos dos casos de resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas. x 2 y 2 = 11 log x log y = 1 En la segunda ecuación aplicamos la propiedad del cociente de un logaritmo, en el primer miembro y en segundo tenemos en cuenta que el logaritmo decimal de 10 es 1. Log ( 5 ) = log 10 K Resolvemos el sistema por sustitución y al final comprobamos las soluciones, un solo par de soluciones es válida. 5 K 10 x = 10 y 100 y 2 y 2 = 11 y 2 = y = $ y = x = & 9 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

10 La solución y = - No da un resultado válido Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el método de reducción. log x + log y = 3 log x log y = 1 2 log x = 4 log x= 2 x = INECUACIONES 2 + log y = 3 y = 10 Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos: < menor que 2x 1 < 7 menor o igual que 2x 1 7 > mayor que 2x 1 > 7 mayor o igual que 2x 1 7 La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación. Podemos expresar la solución de la inecuación mediante: a) Una representación gráfica. b) Un intervalo. 2x 1 < 7 2x < 8 x < 4 2x 1 7 2x 8 x 4 (-, 4) 2x 1 > 7 2x > 8 x > 4 (-, 4] 2x 1 7 2x 8 x 4 (4, ) [4, ) 10 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

11 Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada. 3x + 4 < 5 3x < 5 4 3x < 1 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. 2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada. x < 5 ( x) ( 1) > 5 ( 1) x > Resolución de inecuaciones de primer grado Consideremos la inecuación: 2-2 < x La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1. Quitar corchetes. 2-2< x 2. Quitar paréntesis. 2-2< x 3. Quitar denominadores x (x-3) 8x (5x-3) + 36x 4. Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 24 x + 6x 8x + 5x -36 x Efectuar las operaciones - 9x Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. 9x Despejamos la incógnita. x 3 8. Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica: Como un intervalo: [3, + ) Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad. 2x + y 3 11 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

12 1. Transformamos la desigualdad en igualdad. 2x + y = 3 2. Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos. x = 0; y = 3; y = 3; (0, 3) x = 1; y = 3; y = 1; (1, 1) 3. Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta. 4. Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano. 2x + y Sí 2x + y > > 3 0 > 3 No En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución Inecuaciones de segundo grado Consideremos la inecuación: x2 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1. Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. x 2 6x + 8 = 0 x 2 6x + 8 =0 x =! + 2. x 1 = + = x 2 = 2 2. Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: 4 12 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

13 P(0) = > 0 P(3) = = < 0 P(5) = = > 0 3. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio Inecuaciones racionales S = (-, 2) (4, ) Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. 5 5 M0 1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador. x 2 = 0 x = 2 x 4 = 0 x = 4 2. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. 3. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: 5 5 M0 x 4 x = 0 x = 3 x = 0 & & N0 O0 N0 4. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica. S = (-, 2] (4, ) 3.4. Sistemas de inecuaciones con una incógnita Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones. 13 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

14 2x x x x 1 3 2x -2 x -1 -x x x -3 x 3 2x x + 2 < -1 Solución [ 1, 3] 2x x 1 3 2x -2 x -1 -x + 2 < -1 -x < x < -3 x > 3 2x + 3 < 1 -x + 6 < 3 Solución (3, ) 2x + 3 < 1 2x < 1 3 2x < -2 x < -1 -x + 6 < 3 -x < -3 x > 3 No tiene solución Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas La solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada inecuación. 2x + y 3 x + y 1 1. Representamos la región solución de la primera inecuación. Transformamos la desigualdad en igualdad. 2x + y = 3 Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos. x = 0; y = 3; y = 3; (0, 3) x = 1; y = 3; y = 1; (1, 1) 14 Deka Centro de Ensino Matemáticas I

15 Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta. Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano. 2x + y Sí 2. Representamos la región solución de la segunda inecuación. (Igual que para la primera) x + y = 1 x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1) x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0) x + y No 3. La solución es la intersección de las regiones soluciones. Y se deja así 15 Deka Centro de Ensino Matemáticas I