Fuerzas distribuidas. 2. Momento de inercia

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José Carlos Serrano Lagos
hace 7 años
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1 Dpto. Físca y Mecánca Fuerzas dstrbudas d Centro de gravedad centro de masas. Centro de gravedad, centro de masas. Momento de nerca

2 ntroduccón. Fuerzas dstrbudas Cálculo de centrodes y centros de gravedad Momento de nerca. Propedades. Cálculo Producto de nerca respecto a dos rectas. Momento de nerca respecto a una recta R Teorema de Stener Momentos y dreccones prncpales de nerca Círculo de Mohr Cuádrca de nerca

3 En el tratamento de las fuerzas dstrbudas no es muy dfícl encontrar la resultante de estas fuerzas dstrbudas. Para que la resultante tenga el msmo efecto que las fuerzas dstrbudas, ésta debe actuar en un punto denomnado centrode del sstema

4 El centrode de un sstema es un punto en el que puede consderarse que está concentrado un sstema de fuerzas dstrbudas, con el msmo efecto exactamente. Este concepto se encuentra en el análss de esfuerzos y deformacones de vgas y árboles, y es conocdo comúnmente con el nombre de prmer momento.

5 Centrode de un sstema materal dscreto Z mx mx mx... mx n n = xc = = m(x, y, z ) m m... mn M n n z my my... my n n = yc = =... n Y m m m M x n y mz mz... mz n n = zc = =... X m m... mn M my mz

6 Centrode de un sstema materal contnuo Z V x C = V xdm M z y C = V ydm M y x Y z C = V zdm M X

7 Momento de nerca respecto a un eje ω v = r ω r m E mv m r mr n n n C = = ω = ω = = = E C n = = ω eje eje = m r

8 Momentos de nerca respecto puntos, ejes y planos n n = = O = = mr m ( x y z ) Z n YOX mz = = m (x, y, z ) n YOZ = mx = r z Y n = XOZ m y = X y x

9 Momentos de nerca respecto puntos, ejes y planos n OX = m ( y z ) = XOY XOZ = n OY = ( ) = XOY YOZ = m x z n OZ = ( ) = XOZ YOZ = m x y = ( ) = O OX OY OZ XOY XOZ YOZ

10 El momento de nerca respecto a un punto es la suma de los momentos de nerca respecto a tres planos perpendculares entre sí que se corten en dcho punto = O XOY XOZ YOZ El momento de nerca respecto a un punto es la semsuma de los momentos de nerca respecto a tres ejes perpendculares entre sí que se corten en dcho punto = ( ) O OX OY OZ

11 El momento de nerca respecto a un punto es la suma del momento de nerca respecto a un eje y el momento de nerca respecto a un plan perpendcular a él que se corten en dcho punto = = = O OZ XOY OY XOZ OX YOZ El momento de nerca respecto auneje es la suma de los momentos de nerca respecto a los dos planos perpendculares entre sí que se corten en dcho eje = YOZ OX XOY XOZ OY XOY YOZ = OZ = XOZ YOZ

12 Teorema de Stener Z El momento de nerca respecto a un punto O es la suma del momento de nerca respecto al centro de G gravedad G y de la masa total del sstema por el cuadrado de la dstanca que separa los puntos G y O d O Y X = Md O G

13 Teorema de Stener X Z O d G El momento de nerca respecto a un ejecualquera(oz)eslasumadel momento de nerca respecto a un eje paralelo que pase por el centro de gravedad G (Eje CZ) y la masa total del sstema por el cuadrado de la dstanca que separa los dos ejes Y = Md OZ GZ

14 Teorema de Stener El momento de nerca respecto Z a un plano cualquera (XOY) es la suma del momento de nerca G respecto a un plano paralelo que pase por el centro de gravedad G (Plano XGY) y la masa total d 3 O Y del sstema por el cuadrado de la dstanca que separa los dos X = Md XOY XGY planos 3

15 Teorema de Stener El momento de nerca respecto a un punto, eje o plano es gual al momento de nerca respecto a un punto, eje o plano paralelo al anteror y que pase por el centro de gravedad, mas la masa total del sstema por el cuadrado de la dstanca que separa ambos puntos, ejes o planos

16 Producto de nerca respecto a dos rectas Y Respecto a las rectas OX, OY P m = n = mx y XY y x X

17 Producto de nerca respecto a dos rectas A y B Respecto a las rectas OX, OY Y a A n P = mxy XY = A b B Respecto a las rectas A, B α x β y X P n = Aab AB ==

18 Producto de nerca respecto a dos rectas A y B Y A a m D α CD = x senα O x C O a D E α = x CD m y C CE X E α a α cosα = xsen y CE = cos C α y y

19 Producto de nerca respecto a dos rectas A y B Y F F m b B FC = y cos β β y G y C x β O C b = FC CG X GC = x senβ β O x b = y cos β xsen β G C

20 Producto de nerca respecto a dos rectas A y B P AB n = m = ab m = n = ( x senα y cosα)( y cos β x senβ ) = P AB = sen( α β ) P XY cosα cos β OX senα sen β OY

21 Teorema de Stener para productos de nerca El producto de nerca respecto a dos rectas cualesquera es gual a la suma al producto de nerca respecto a dos rectas paralelas a las anterores que pasen por el centrode yel producto del área de la fgura por las dstancas entre las rectas

22 Momento de nerca respecto a una recta R Z A P(x,y,z) d R R n = = Ad X ϕ OP = x yj zk d = OP senϕ = OP u R Y u = cosα cos β j cosγk R

23 d = cos α( y z ) cos β( x z ) cos γ( x y ) xy cosαcos β xz cosαcosγ yz cos β cosγ = cos α cos β cos γ R OX OY OZ P cosα cos β P cosα cosγ P cos β cosγ XY XZ YZ

24 = cos α cos β cos γ R OX OY OZ P cosα cos β P cosα cosγ P cos β cosγ XY XZ YZ En el plano Y α β P α β R = OX cos OY cos XY cos cos R β α X α α P α R= OXcos OY sen XYsen

25 Dreccones y momentos prncpales de nerca De todas las posbles orentacones hay algunas que proporconan valores máxmo y mínmo del momento de nerca

26 Método de los multplcadores l de Lagrange Espaco trdmensonal Espaco bdmensonal Método del círculo de Mohr (gráfco). Bdmensonal

27 Método de los multplcadores de Lagrange. Trdmensonal = cos α cos β cos γ R OX OY OZ P cosα cos β P cosα cosγ P cos β cosγ XY XZ YZ f αβγ α β γ (,, ) = 0 cos cos cos = 0 = α β γ = α β γ R R R d R d d d 0 () Máxmo o mínmo f f f df = d α d β d γ = 0 () α β γ ()-λ()=0() Método de los multplcadores l de Lagrange

28 ( λ)cos) α P cos β P cos γ = 0 OX XY XZ ( ) P cosα λ cos β P cos γ = 0 XY OY YZ ( ) P cosα P cos β λ cosγ = 0 XZ YZ OZ OX λ P XY P XZ P XY OY λ P YZ = 0 P XZ P YZ OZ λ

29 A λ 3 B λ C λ D =,, 3 0 λ λ λ ( λ)cos) α P cos β P cosγ = 0 OX XY XZ ( ) P cos α λ cos β P cos γ = 0 XY OY YZ ( ) P cos α P cos β λ cos γ = 0 XZ YZ OZ λ α, β, λ recta λ α, β, λ recta λ 3 α3 β3, 3 R R, λ recta R 3

30 = cos α R Método de los multplcadores de Lagrange. Bdmensonal OX OY cos β P XY cos α cos β f αβ α β (, ) = 0 cos cos = 0 = β = α β R R d R dα d 0 () Máxmo o mínmo f f df = dα dβ = α β 0 () ()-λ()=0 Método de los multplcadores de Lagrange

31 ( λ )cos) α P cos β = 0 OX XY ( ) P cosα λ cos β = 0 XY OY OX λ P XY P XY OY λ = 0 ( ) P = 0 ( ) λ λ ( ) P = 0 OX OY OX OY XY

32 ( ) P = 0 ( ) λ λ ( ) P = 0 OX OY OX OY XY λ = OX OY ± ( ) 4( P ) OX OY OX OY XY ( λ )cos) α P cos β = 0 OX XY P cosα λ cos β = 0 XY ( ) OY λ λ α, β recta R α, β recta R

33 ( ) 4( ) ( ) ± OX OY OX OY OX OY XY OX OY OX OY P λ = == ± ( OX OY PXY ) = OX OY OX OY OX OY OX OX OX OY OX OY XY P = ± ( OX OY PXY ) = ± = 4 OX OY OX OX OX OY OX OY OX OY P = ± XY = ± 4 P XY OX OY OX OY λ = ± P XY

34 Círculo de Mohr OX > OY P XY >0 A ( OX, P XY ) R mn D C E max B ( OY, -P XY )

35 OX R D C mn ϕ OX OY P XY E max -P XY OY OX OY R = PXY

36 OX OY OX OY mn = ox CE R= ox R= R OX OY OX OY R R R max = mn = = R OX OY OX OY OX OY max,mn = ± R = ± PXY = λ

37 Cuádrca: Es una superfce en el espaco n-dmensonal representada por una ecuacón de segundo grado en sus varables Ax By Cz Dxy Exz Fyz G =

38 Cuádrca de nerca Recta R P(x,y,z) Es el lugar geométrco de los puntos del espaco que cumplen que el módulo del vector que une el orgen de coordenadas y un punto P de una recta R, es la nversa de la raíz cuadrada del momento de nerca respecto a dcha recta

39 = cos α cos β cos γ R OX OY OZ P cosα cos β P cosα cosγ P cos β cosγ XY XZ YZ OP = x yj zk = OP (cosα cos βj cosγk ) x y cosα = = x cos β = = y R R OP OP z cosγ = = OP z R = OX OY OZ XY XZ YZ x y z P xy P xz P yz

40 = OX OY OZ PXY PXZ PYZ x y z P xy P xz P yz R = OX x cosα = = OP x OX P(x,0,0) y cos β = = y OY = 0 OP z cosγ = = z OX = 0 OP

41 S las dreccones son prncpales los productos de nerca son nulos = OX x OY y OZ z Ecuacón de un elpsode de semejes a, b, c x y z = a b c a = OX b = OY c = OZ Elpsode de nerca

42 En el plano, la ecuacón corresponde a una elpse S las dreccones son prncpales los productos de nerca son nulos b = OX x OY y y a x = a Ecuacón de una elpse de semejes a, b a = b = OX OY y b

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