Reglas g-golomb. Carlos A. Martos O. Nidia Y. Caicedo. Universidad del Cauca - Universidad del Valle

Transcripción

1 Reglas g-golomb Carlos A. Martos O. Nidia Y. Caicedo Universidad del Cauca - Universidad del Valle ALGEBRA, TEORÍA DE NÚMEROS, COMBINATORIA Y APLICACIONES ALTENCOA-6 San Juan de Pasto Colombia Agosto 2014

2 Qué es una regla Golomb?

3 Qué es una regla Golomb? Una regla Golomb es un conjunto de enteros no negativos, llamados marcas, con la propiedad que todas las diferencias no nulas de dos elementos del conjunto son distintas.

4 Qué es una regla Golomb? Una regla Golomb es un conjunto de enteros no negativos, llamados marcas, con la propiedad que todas las diferencias no nulas de dos elementos del conjunto son distintas.

5 Definición Formal Definición Una regla Golomb es un conjunto de enteros A = {a 1, a 2,, a m }, con la propiedad que para cada entero positivo d existe a lo más una solución de la ecuación d = a i a j, con i > j.

6 Definición Formal Definición Una regla Golomb es un conjunto de enteros A = {a 1, a 2,, a m }, con la propiedad que para cada entero positivo d existe a lo más una solución de la ecuación d = a i a j, con i > j. Ejemplo:

7 Definición Formal Definición Una regla Golomb es un conjunto de enteros A = {a 1, a 2,, a m }, con la propiedad que para cada entero positivo d existe a lo más una solución de la ecuación d = a i a j, con i > j. Ejemplo: El conjunto A = {0, 2, 6, 24, 29, 40, 43, 55, 68, 75, 76, 85} es una regla Golomb.

8 Observaciones Dada una regla Golomb A, 1. El número de marcas de la regla se denomina el orden.

9 Observaciones Dada una regla Golomb A, 1. El número de marcas de la regla se denomina el orden. 2. La mayor distancia entre dos de sus marcas se llama longitud de la regla y se denota por l(a).

10 Observaciones Dada una regla Golomb A, 1. El número de marcas de la regla se denomina el orden. 2. La mayor distancia entre dos de sus marcas se llama longitud de la regla y se denota por l(a). l(a) = máx A mín A = a m a 1

11 Propiedades 1. Si A es una regla Golomb y x un entero, entonces

12 Propiedades 1. Si A es una regla Golomb y x un entero, entonces es una regla Golomb. A + x = {a i + x : a i A},

13 Propiedades 1. Si A es una regla Golomb y x un entero, entonces es una regla Golomb. A + x = {a i + x : a i A}, 2. Si A es una regla Golomb y x un número entero, entonces es una regla Golomb. xa = {xa i : a i A},

14 Problema Fundamental El problema fundamental en el estudio de las reglas Golomb, consiste en determinar la regla más corta para un número determinado de marcas. Estas se llaman reglas Golomb óptimas.

15 Problema Fundamental El problema fundamental en el estudio de las reglas Golomb, consiste en determinar la regla más corta para un número determinado de marcas. Estas se llaman reglas Golomb óptimas

16 Función G(m)

17 Función G(m) Definición Se define la función G(m) como la mínima longitud de una regla Golomb con m marcas, es decir, G(m): = mín {l (A) : A es una regla Golomb, A = m}.

18 Cotas Inferiores G(m) m(m 1) 2 ( Cota trivial).

19 Cotas Inferiores G(m) m(m 1) 2 ( Cota trivial). G(m) m 2 2m m, (M. D. Atkinson, N. Santoro y J. Urrutia [14] ).

20 Cotas Inferiores G(m) m(m 1) 2 ( Cota trivial). G(m) m 2 2m m, (M. D. Atkinson, N. Santoro y J. Urrutia [14] ). G(m) m 2 2m m + m 2, (A. Dimitromanolakis [1]).

21 Reglas g-golomb

22 Reglas g-golomb Definición Sean G un grupo abeliano aditivo, A, B subconjuntos de G, la función de representación con dominio el grupo G y codominio los enteros no negativos, se define por: R A B (x) := {(a, b) A B : a b = x} = A (x + B), R A+B (x) := {(a, b) A B : a + b = x} = A (x B), para todo x G.

23 Reglas g-golomb Definición Sean G un grupo abeliano aditivo, A, B subconjuntos de G, la función de representación con dominio el grupo G y codominio los enteros no negativos, se define por: R A B (x) := {(a, b) A B : a b = x} = A (x + B), R A+B (x) := {(a, b) A B : a + b = x} = A (x B), para todo x G. Note que x G R A+B (x) = x G R A B (x) = A B.

24 Definición (Regla g-golomb) Una regla g-golomb o conjunto B2 enteros tal que [g] es un conjunto A de R A A (x) g, para todo x entero distinto de cero.

25 Definición (Regla g-golomb) Una regla g-golomb o conjunto B2 enteros tal que [g] es un conjunto A de R A A (x) g, para todo x entero distinto de cero. Ejemplo: El conjunto A 1 = {0, 1, 4, 6, 8, 9} es una regla 2-Golomb.

26 Problema fundamental Problema 1. Reglas g-golomb óptimamente Cortas

27 Problema fundamental Problema 1. Problema 2. Reglas g-golomb óptimamente Cortas Reglas g-golomb óptimamente Densas

28 Función G(g, m) Definición Se define la función G(g, m) como la mínima longitud de una regla g-golomb con m marcas, es decir,

29 Función G(g, m) Definición Se define la función G(g, m) como la mínima longitud de una regla g-golomb con m marcas, es decir, G(g, m): = mín {l (A) : A es una regla g-golomb, A = m}.

30 Definición F 2 (g, n) Definición Se define la función F2 (g, n) como

31 Definición F 2 (g, n) Definición Se define la función F 2 (g, n) como F 2 (g, n): = máx { A : A [1, n], A es una regla g-golomb}, donde [1, n] := {1, 2,..., n}.

32 Definición (Energía Aditiva) Sea G un grupo abeliano aditivo, A, B subconjuntos de G,se define la energía aditiva, E(A, B),entre A y B como, E(A, B) := {(a, a, b, b ) A A B B : a + b = a + b }.

33 Definición (Energía Aditiva) Sea G un grupo abeliano aditivo, A, B subconjuntos de G,se define la energía aditiva, E(A, B),entre A y B como, E(A, B) := {(a, a, b, b ) A A B B : a + b = a + b }. Note que E(A, B) = RA+B(x) 2 x A+B

34 Lema (Ruzsa-Cilleruelo) Sea G un grupo abeliano aditivo y A, B subconjuntos de G. Si R A A (x) g para todo x G, x 0, entonces

35 Lema (Ruzsa-Cilleruelo) Sea G un grupo abeliano aditivo y A, B subconjuntos de G. Si R A A (x) g para todo x G, x 0, entonces ( A 2 A + B g + A g ). B

36 Teorema Si A = {a i : 1 i m}, 0 = a 1 < a 2 < < a m, es una regla g-golomb de m marcas y l(a) = a m, entonces

37 Teorema Si A = {a i : 1 i m}, 0 = a 1 < a 2 < < a m, es una regla g-golomb de m marcas y l(a) = a m, entonces G(g, m) m2 g 2m m g + m g g m 1. m g

38 Corolario Para todo entero positivo m G(m) m 2 2m m 1 + m m m 1 1.

39 Corolario Para todo entero positivo m G(m) m 2 2m m 1 + m m m 1 1. Corolario Para todo entero g 1 tenemos.

40 Corolario Para todo entero positivo m G(m) m 2 2m m 1 + m m m 1 1. Corolario Para todo entero g 1 tenemos. G(g, m) lím ínf n m 2 1 g. (1)

41 Teorema Para todo número natural g y todo n, se tiene que F 2 (g, n) (gn)1/2 + (gn) 1/ (2)

42 Teorema Para todo número natural g y todo n, se tiene que F 2 (g, n) (gn)1/2 + (gn) 1/ (2) Corolario lím sup F 2 (g, n) g. (3) n n

43 Construcciones

44 Construcciones Teorema Sean g N y ϕ : G G un homomorfsmo de grupos con ker(ϕ) = g. Si A es una regla Golomb en G entonces ϕ(a) es una regla g-golomb en ϕ(g).

45 Por otro lado, se sabe que existen tres construcciones de reglas Golomb ó conjuntos B 2 muy conocidas, éstas son:

46 Por otro lado, se sabe que existen tres construcciones de reglas Golomb ó conjuntos B 2 muy conocidas, éstas son: La construcción de Singer que propociona una regla Golomb con q + 1 elementos, módulo q 2 + q + 1.

47 Por otro lado, se sabe que existen tres construcciones de reglas Golomb ó conjuntos B 2 muy conocidas, éstas son: La construcción de Singer que propociona una regla Golomb con q + 1 elementos, módulo q 2 + q + 1. La construcción de Bose que propociona una regla Golomb con q elementos, módulo q 2 1.

48 Por otro lado, se sabe que existen tres construcciones de reglas Golomb ó conjuntos B 2 muy conocidas, éstas son: La construcción de Singer que propociona una regla Golomb con q + 1 elementos, módulo q 2 + q + 1. La construcción de Bose que propociona una regla Golomb con q elementos, módulo q 2 1. La construcción de Ruzsa que propociona una regla Golomb con p 1 elementos, módulo p 2 p.

49 Teorema (Bose, 1942) Para cada potencia prima q, existe un conjunto A [1, q 2 1] con q elementos tal que A B 2 en Z q 2 1. Además, A A = Z q 2 1\M q+1, donde M q+1 indica el conjunto de múltiplos de q + 1 en Z q 2 1.

50 Teorema (Bose, 1942) Para cada potencia prima q, existe un conjunto A [1, q 2 1] con q elementos tal que A B 2 en Z q 2 1. Además, A A = Z q 2 1\M q+1, donde M q+1 indica el conjunto de múltiplos de q + 1 en Z q 2 1. Teorema (Ruzsa, 1993) Para cada número primo p, existe un conjunto R [1, p 2 p] con p 1 elementos tal que R B 2 en Z p 2 p. Además, R R = Z p 2 p \ (M p M p 1 ), donde M p indica el conjunto de múltiplos de p y M p 1 indica el conjunto de múltiplos de p 1 en Z p 2 p.

51 Lema Para cada entero g 2 y cada potencia prima q [ 1( mód ] g), existe un conjunto B B2 [g] tal que B = q y B 1, q2 1 g

52 Lema Para cada entero g 2 y cada potencia prima q [ 1( mód ] g), existe un conjunto B B2 [g] tal que B = q y B 1, q2 1 Lema Para cada entero g 2 y cada prima p 1(mód [ g), ] existe un conjunto S B2 [g] tal que S = p y S 1, p2 p g g

53 Corolario Para todo entero g 1 tenemos.

54 Corolario Para todo entero g 1 tenemos. G(g, m) lím sup n m 2 1 g. (4)

55 Corolario Para todo entero g 1 tenemos. G(g, m) lím sup n m 2 1 g. (4) Demostración. Sabemos que G(g, p) p2 1 g, luego

56 Corolario Para todo entero g 1 tenemos. G(g, m) lím sup n m 2 1 g. (4) Demostración. Sabemos que G(g, p) p2 1 g, luego G(g, p) p 2 1 g,

57 por otro lado, sean p y p, primos tales que:

58 por otro lado, sean p y p, primos tales que: G(g, p ) G(g, m) G(g, p),

59 por otro lado, sean p y p, primos tales que: G(g, p ) G(g, m) G(g, p), de donde. G(g, m) m 2 ( ) p 2 1 p g

60 Teorema Sea g 2 un entero. Para infinitos valores de n, existe un conjunto A [1, n], A B2 [g], con A (gn)1/2

61 Teorema Sea g 2 un entero. Para infinitos valores de n, existe un conjunto A [1, n], A B2 [g], con A (gn)1/2 Demostración. Sea g 2 un entero, por el Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, existen infinitos primos p que satisfacen p 1(módg).

62 Teorema Sea g 2 un entero. Para infinitos valores de n, existe un conjunto A [1, n], A B2 [g], con A (gn)1/2 Demostración. Sea g 2 un entero, por el Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, existen infinitos primos p que satisfacen p 1(módg). Para cada uno de estos primos p, sea n = p2 1 g ; por el Lema 2 existe un conjunto B [1, n] en la clase B2 [g] con B = p p 2 1 = gn.

63 Teorema Para infinitos enteros positivos n, existe un conjunto de Sidon A [1, n] con A n.

64 Teorema Para infinitos enteros positivos n, existe un conjunto de Sidon A [1, n] con A n. Demostración. Como existen infinitos primos, tenemos infinitas potencias de primos q. Sea n = q 2 1, por la construcción de Bose, para cada q, existe un conjunto A [1, n] en la clase B 2, tal que A = q = q 2 q 2 1 = n.

65 En consecuencia, tenemos

66 En consecuencia, tenemos F 2 (g, n) (gn)1/2, para todo g N e infinitos n.

67 Corolario lím ínf n F 2 (g, n) g. (5) n

68 Teorema Para cada entero g 1, se tiene que 1. lím n F 2 (g, n) = g. n

69 Teorema Para cada entero g 1, se tiene que lím n F 2 (g, n) = g. n G(g, m) lím n m 2 = 1 g.

70 Problemas Abiertos Mejorar la cota superior de la función F 2, dada por F 2 (g, n) (gn)1/2 + (gn) 1/

71 Problemas Abiertos Mejorar la cota superior de la función F 2, dada por F 2 (g, n) (gn)1/2 + (gn) 1/ Mejorar la cota inferior de la función G, dada por G(g, m) m2 g 2m m g + m g g m 1. m g

72 Problemas Abiertos Mejorar la cota superior de la función F 2, dada por F 2 (g, n) (gn)1/2 + (gn) 1/ Mejorar la cota inferior de la función G, dada por G(g, m) m2 g 2m m g + m g g m 1. m g Construir conjuntos B 2 + [g] enteros.

73 A. Dimitromanolakis, Analysis of the Golomb Ruler and the Sidon set Problems, and Determination of Large, near-optimal Golomb rulers. Master s thesis, Departement of Electronic and Cumputer Engineering, Techical University of Crete, June R. C. Bose, An afine analogue of Singer s theorem, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 6 (1942), J. Cilleruelo, Sidon sets in N d. J. Combin. Theory Ser. A 117 (2010), N 7, J. Gómez, Construcción de conjuntos B h [g], Tesis de Maestría en Ciencias Matemáticas, Universidad del Valle, B. Lindström, An inequality for B 2 -sequences, J. Combinatorial Theory 6 (1969), T. Tao and V.H. Vu. Additive Combinatorics. Cambridge University Press, New York (2006). C. A. Trujillo, G. García, J. M. Velásquez, B2 [g] Finite Sets,

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