Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas ISSN: La medida del riesgo de los bonos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas ISSN: 1988-1878 La medida del riesgo de los bonos"

Transcripción

1 Jua Mascareñas Uiversidad Complutese de Madrid Versió iicial: mayo 99 - Última versió: oviembre 06 - Teoremas de la valoració de los boos, - El cocepto de duració, 6 - La duració modificada como ua medida de la volatilidad de los boos, 9 - Las variables determiates de la duració, 5 - Limitacioes del cocepto de duració, 8 - La duració de ua cartera de reta fia, 9 - El cocepto de covexidad, - La duració efectiva, 8

2 . Teoremas de la valoració de los boos Los cico teoremas que vamos a estudiar a cotiuació hace referecia a cómo varía los precios de los boos e respuesta a las variacioes de su redimieto hasta el vecimieto. El aalista de los títulos de reta fia deberá coocer profudamete estas propiedades de los mismos debido a la importacia que ello tiee e la previsió de la variació del precio de mercado de los títulos co respecto a los cambios e los tipos de iterés. Recordemos, si el precio de mercado de u boo coicide co su valor omial, etoces el redimieto del mismo coicidirá co el tipo de iterés del cupó. Ahora bie, si el precio de mercado es iferior (superior) a su valor omial, el redimieto hasta el vecimieto será mayor (meor) que el tipo de iterés prometido por el emisor. A cotiuació pasaremos a euciar y cometar los cico teoremas de la valoració de los boos (e aras de ua mayor simplicidad supodremos que el cupó se paga aualmete).. Teorema primero Si el precio de mercado de u boo aumeta, etoces su redimieto hasta el vecimieto deberá decrecer; o bie, si aquél descediese, éste aumetará. Así pues, el redimieto hasta el vecimieto del boo es ua fució iversa del precio de mercado. El boo A tiee ua vida de cico años, u omial de 00 euros, y paga aualmete el 0% de iterés (0 euros). Si su precio de mercado es de 00 euros su redimieto será, lógicamete, del 0%. Ahora bie, si el precio de mercado aumetase a 0 euros, su redimieto caería hasta el 7,53%. O si aquél descediese a 90 euros, su redimieto crecería hasta situarse e el,83%. E la figura se muestra la gráfica del precio del boo A segú oscile el redimieto etre el 0% y el 0% y como se aprecia la relació etre el precio y el redimieto hasta el vecimieto de u boo tiee forma de curva covexa. Fig. La curva precio/redimieto de los boos ordiarios

3 . Teorema segudo Si el redimieto de u boo o varía a lo largo de su vida, el tamaño de su descueto, o de su prima, descederá coforme su vida se acorte. Volvamos a estudiar el boo A supoiedo que el precio de mercado fuese de 0 euros, y su redimieto se matega durate toda su vida e el 7,53%, la prima irá descediedo tal y como se muestra e la tabla, coforme el boo se aproxime a su vecimieto. Tiempo de vida Precio de mercado 0,00 08,6 06,4 04,43 0,9 00,00 Valor omial 00,00 00,00 00,00 00,00 00,00 00,00 Prima 0,00 8,6 6,4 4,43,9 0,00 Tabla.3 Teorema tercero Si el redimieto de u boo o varía hasta la fecha de su vecimieto, etoces el tamaño de su descueto, o de su prima, decrecerá a ua tasa creciete coforme su vida se acorte. Tiempo de vida Prima 0,00 8,6 6,4 4,43,9 0,00 Diferecia - -,74 -,84 -,99 -,4,9 Decremeto - 7,4%,3% 3,0% 48,3% 00,0% Tabla Si volvemos a observar el eemplo del teorema aterior y costruimos la tabla basada e los decremetos de la prima veremos como efectivamete éstos aumeta cada vez más coforme la vida de la emisió se acerque a su térmio (véase tambié la figura ). 00,00% 80,00% Prima 60,00% 40,00% 0,00% 0,00% Vida Fig. 3

4 .4 Teorema cuarto Si el redimieto del boo aumeta o desciede e la misma catidad, la variació que producirá e su precio de mercado será mayor cuado éste último aumete (el redimieto decrece) que cuado descieda (el redimieto crece). La variació del precio es asimétrica. El boo A cuyo redimieto e el mometo de su emisió es del 0%, el cual se correspode co su precio de mercado iicial que es de 00 euros. Si el redimieto asciede 00 putos básicos, esto es, el %, el precio de mercado será de 96,30 euros. Pero si dicho redimieto descediese 00 putos básicos, al 9%, el precio del boo sería de 03,89 euros. Como se aprecia el aumeto del precio e este último caso es de 3,89 euros, algo superior, a los 3,70 euros de desceso de dicho precio e el primer caso. E la tabla 3 se muestra u eemplo para más valores. TIR Precio Diferecia Variació 5% 83,94 33,70% 4% 86,7 38 3,55% 3% 89, ,60% % 9, ,64% % 96, ,70% 0% 00, ,74% 9% 03, ,80% 8% 07, ,84% Tabla 3 Ahora bie, si la variació del redimieto hasta el vecimieto fuese muy pequeña (uos pocos putos básicos) el cambio del precio es prácticamete el mismo, sea cual sea la direcció de dicha variació. Así el redimieto del boo A asciede u puto básico y se sitúa e el 0,0%, el precio del boo será de 99,96 euros; mietras que si fuese del 9,99%, el precio alcazaría el valor de 00,0379 dode podemos observar como e ambos casos la variació ha sido de 3,79 cétimos..5 Teorema quito El porcetae de variació e el precio del boo debido a u cambio e su redimieto será meor cuato mayor sea el tipo de iterés del cupó. A esto se le deomia efecto cupó. Así que cuato más grades sea los cupoes meor será la variació del precio; el caso opuesto es el del boo cupó-cero, cuyo precio es el que más varía ate los cambios habidos e los tipos de iterés. Si poseemos u boo deomiado B co u omial de 00 euros cico años de vida y u tipo de iterés del %, que tiee u precio de mercado de 07,58 euros, tedrá u redimieto del 0% (lo mismo que el boo A). Si el redimieto lo situáramos e el %, el precio de mercado sería de 03,70 euros, es 4

5 decir, 3,88 euros meos que ates, lo que represeta u 3,6% de desceso. Si hacemos lo mismo co el redimieto del boo A situádolo e el %, veremos que su precio de mercado es de 96,30 euros, 3,70 euros meos que ates, es decir, u 3,70% lo que represeta ua variació relativa mayor. U eemplo más desarrollado puede verse e la tabla 4. E ella teemos el boo A cuyo valor omial es de 00 euros y cuyo plazo de amortizació es de 5 años. Dicho boo puede teer ua serie de cupoes como se observa e la primera columa. Calcularemos el precio itríseco del boo para u redimieto del % y el que tedría si aumetase tres putos, es decir, el 5% (columas dos y tres de la tabla), extraeremos la diferecia e euros de ambos precios (columa cuatro) y calcularemos su valor relativo dividiedo ésta última por el precio teórico iicial. Cupó P(i=%) P(i=5%) Dif. Variac.(=5) Variac.(=0) 5 euros 0,8 00,00 0,8 9,75% 4,49% euros 00,00 89,94 0,06 0,06% 5,05% 9 euros 89,9 79,89 9,30 0,4% 5,85% 6 euros 78,37 69,83 8,54 0,89% 7,05% 3 euros 67,55 59,77 7,78,5% 9,07% 0 euros 56,74 49,7 7,0,38% 3,3% Tabla 4 Como podemos ver e la tabla 4, cuato más pequeños so los cupoes, mayores so las variacioes e los precios ate cambios e los tipos de iterés. Por otro lado, la última columa de la derecha muestra el mismo estudio para u boo idético al A pero cuyo plazo de amortizació es de 0 años. E éste caso, además de observarse el mismo proceso de aumeto de las variacioes de los precios teóricos a medida que los cupoes desciede de tamaño, podemos compararlo co el eemplo del boo que tiee u plazo de cico años, co ello observaremos que las variacioes e los precios del boo de mayor plazo so mayores que las del de meor plazo ate cambios e la ETTI. Es decir, cuato mayor sea el plazo de vecimieto de u boo, mayor será la variació e el precio provocada por alteracioes e los tipos de iterés. La razó para la existecia del efecto cupó es que cuato más pequeños sea los cupoes, mayor será la parte del redimieto total del boo que vedrá refleada por el pago del último cupó más la devolució del pricipal e relació a los pagos de los otros cupoes; icluso, a pesar de que lo que se compara es el valor actual de los pagos y que, por tato, los cupoes itermedios so descotados desde fechas más cercaas al mometo de la adquisició del título que el último pago, lo que implica que la importacia relativa del pricipal es mayor cuado los cupoes so más pequeños. E efecto, el plazo "verdadero" es mayor para u boo co cupoes pequeños que para uo que los tuviese mayores (el caso extremo sería u boo cupócero). Obsérvese e la tabla 4, como las variacioes e el precio so mayores tato si el plazo de la emisió es más grade como si los cupoes so más pequeños, ello se debe a que las emisioes que tiee plazos más cortos y/o cupoes más altos 5

6 proporcioa los fluos de caa esperados co mayor rapidez y, por lo tato, su precio itríseco oscila meos ate variacioes e los tipos de iterés. Resumiedo, imagíese que usted tiee dos boos que tiee el mismo plazo y el mismo redimieto pero uo de ellos es u cupó-cero y el otro paga los cupoes por aualidades vecidas. Si el último día de la vida de ambos la istitució emisora se declara e suspesió de pagos, usted o recibirá ada del boo cupó-cero, pero sí habrá recibido los cupoes itermedios del otro boo, lo que quiere decir que ambos boos aú teiedo el mismo plazo o se comporta de igual forma y la fecha de vecimieto o es ta defiitoria como podría parecer. Esto os lleva directamete a estudiar el cocepto de duració como ua forma de obteer ua medida de ese plazo "verdadero" del que hablábamos e el párrafo aterior, que además os va a proporcioar ua medida del riesgo del tipo de iterés de los boos.. El cocepto de duració Para tratar co la ambigüedad del vecimieto de los boos que realiza muchos pagos, ecesitamos ua medida del vecimieto medio de los fluos de caa prometidos que haga las veces de vecimieto efectivo del boo. Dicha medida tambié podría ser utilizada como u ídice de la sesibilidad del precio del boo co relació a las variacioes de los tipos de iterés puesto que, como hemos visto, dicha sesibilidad aumeta co el plazo del boo. Ua derivació del teorema quito que acabamos de cometar cosiste e que los boos que tiee la misma fecha de vecimieto pero distitos tipos de iterés omiales (cupoes), puede reaccioar de distita forma ate u cambio e la estructura temporal de los tipos de iterés. Si embargo, los boos que tega ua duració semeate reaccioará de la misma forma. El cocepto de duració fue desarrollado por Frederick Macaulay e 938 y hace referecia al vecimieto promedio de la corriete de pagos de u boo. E realidad, estamos cosiderado al boo como ua cartera formada por pagos idividuales y dado que cuado calculamos el redimieto de ua cartera lo hacemos obteiedo la media poderada de los redimietos de los títulos que la compoe, así el vecimieto de esta "cartera" se calcula obteiedo la media poderada de los vecimietos de cada pago implicado e la misma. Las poderacioes para cada período de tiempo t so iguales al valor actual de los fluos de tesorería e cada período de tiempo (itereses o pricipal multiplicados por sus factores de descueto respectivos) dividido por el valor actual del boo. La expresió matemática de la duració, e forma discreta, es: MACAULAY, Frederick: Some Theoretical Problems Suggested by the Movemet of Iterest Rates, Bod Yields, ad Stock Prices i the U.S. Sice 856. Natioal Bureau of Ecoomic Research. Nueva York

7 D = t= t= t Q (+ r) Q t t t (+ r) t = P 0 t= t Q t t (+ r) dode P 0 represeta el precio de mercado del boo e la actualidad, Q t es el fluo de caa del período (cupó más pricipal), r es la tasa de redimieto hasta el vecimieto y el úmero de años hasta el vecimieto. Para u boo del tipo cupó cero, la duració coicide co el plazo hasta su vecimieto ( años). Si embargo, para u boo clásico parte de su valor actual se deriva de la corriete de los fluos de caa habidos ates de su vecimieto, lo que hace que su duració sea meor que el plazo hasta su vecimieto. Supogamos u boo de omial.000 co u plazo de vecimieto situado e cico años, que paga u 7% de iterés aual al fial de cada año y se le estima u redimieto aual del 8% hasta su vecimieto. E la tabla 5, se muestra el cálculo de la duració del boo; e ella aparece los fluos de caa, el factor de descueto (que os permite calcular el valor actualizado de los fluos de caa), el valor actual de cada fluo, el resultado de multiplicar éste último por el período e el que se ecuetra y la proporció del valor actual de cada fluo co relació al precio itríseco del boo. Períodos Fluos de Factor de Valor Actual V.A. x t Pesos (t) Caa Descueto 70 0,959 64,85 64,85 6,75% 70 0, ,04 0,08 6,5% , ,568 66,704 5,79% ,7350 5,45 05,808 5,36% , ,4 3.64,0 75,85% P 0 = 960, ,475 Tabla 5 Si ahora dividimos la suma de la columa represetativa del valor actual poderado: 4.98,475 etre el precio teórico del boo: 960,073 obtedremos el valor de la duració: 4,373 años. Como se aprecia hay ua diferecia de 0,67 años co relació a la vida de la emisió, que es debida a que parte de los fluos de tesorería se recibe ates del vecimieto de la misma. E la columa de la derecha de la tabla 5 se muestra el porcetae del valor actual que se obtiee cada vez que recibimos u fluo de caa. Así, cuado obtegamos el primero habremos obteido el 6,75% del valor actual total de la emisió (que, recordemos, es de 960,073 euros), e el mometo de obteer el segudo fluo obtedremos u 6,5% más de dicho valor y así sucesivamete. Por lo tato, hay uos fluos que so más importates de recibir que otros, debido a la parte que se recupera del valor actual de la emisió. Es decir, si obteemos el último fluo de caa cuyo valor omial es de.070 euros pero que tiee u valor actual de 78,4 euros lo que represeta u 75,85% del valor de la emisió, habremos co- 7

8 seguido más del seteta y cico por cieto de su valor. Por ello, cada período tiee ua importacia distita para el iversor, la cual depederá del peso que tega el valor real del fluo prometido e relació al valor actual de la emisió. Esto es lo que hace que si queremos obteer la duració de ua emisió debamos calcular la media de los diversos períodos de tiempo sobre los que se extiede la misma, poderados por su importacia co arreglo al valor actual de los fluos de caa que cada uo de ellos proporcioa. Otra forma de eteder la duració de u boo es la de que idica el plazo hasta el vecimieto de su boo cupó cero equivalete, es decir, si capitalizamos los 960,073 euros del precio actual del boo al 8% durate 4,373 años obtedremos u valor fial de.344, euros, que mostraría el precio fial del boo cupócero que tiee la misma duració que el aalizado e la tabla 5. Otra forma de eteder el cocepto de duració es verla como el fiel de ua balaza que se ecuetra e equilibrio y e cuyo plato figura los valores actuales de los fluos de caa prometidos por u boo. Las distacias que separa las masas a pesar (fluos de caa actualizados) so proporcioales a los plazos existetes etre los respectivos fluos y los pesos de las masas so proporcioales a sus valores actuales. El cetro de gravedad de este sistema viee dado por la duració (véase la figura 3 dode se muestra el eemplo de la tabla 5) Fig. 3 El fiel de ua balaza como símil de la duració de Macaulay La razó por la que el cocepto de duració ha reemplazado al de madurez (defiido éste como plazo de tiempo hasta el vecimieto) como ua medida de la logitud de la corriete de pagos, radica e que ésta última se refiere al istate del tiempo e que tiee lugar el último pago del empréstito, igorado completamete el mometo y la magitud del resto de los pagos que va a ser efectuados desde el mometo actual hasta su vecimieto. Por ello, la duració es ua medida mucho más exacta de la logitud media del tiempo e la que el iversor espera obteer su diero e ua iversió e boos. El procedimieto de cálculo de la duració a través de la media poderada, que hemos visto e los párrafos ateriores, puede resultar tedioso. Por ello ha surgido expresioes matemáticas que permite calcular el valor de la duració de los boos co mayor rapidez. Ua de esas expresioes calcula el valor de la dura- 8

9 ció (D) de la siguiete forma (siempre que los períodos de tiempo etre cupoes sea u úmero etero, es decir, que o haya u cupó corrido). D = + r r - (c - r) + ( + r) c ( + r) - (c - r) Dode r es el redimieto hasta el vecimieto del boo durate el período cosiderado (aual o semestral, por lo geeral); es el úmero de períodos (años o semestres) que resta hasta la fecha de maduració del boo y c es el tipo de iterés omial del cupó. Así, por eemplo, e el caso aterior r es el 8% aual; c es el 7% aual; es cico años. + 0,08 = - 0,08 5 (0,07-0,08) + (+ 0,08) 0,07 (+ 0,08) - (0,07-0,08) D 5 = 4,373 años 3. La duració modificada como ua medida de la volatilidad de los boos Cuado hablamos de volatilidad de los boos u obligacioes os estamos refiriedo a la sesibilidad de su precio de mercado co relació a los cambios que se produzca e el tipo de iterés. Así que la podemos defiir como la variació que se produce e el precio del boo co respecto a u icremeto (o decremeto) de cie putos básicos (%) del redimieto hasta el vecimieto del mismo. Supogamos que teemos u boo de omial.000, co u plazo de vecimieto situado detro de cico años, que paga u 7% de iterés aual al fial de cada año (70 euros por cupó) y se le estima u redimieto aual del 8% hasta su vecimieto. Cuál sería su precio teórico co arreglo a estos datos? y cuál sería su precio teórico si el tipo de redimieto desciede u %?. El precio teórico si el redimieto es del 8% será: = = 960,07 3 4,08 (,08) (,08) (,08) (,08) P 5 Por otra parte si el tipo de iterés del mercado desciede u % y se sitúa e el 7% el precio teórico tomará u valor de: = +,07 (,07) 70 + (,07) 70 + (,07) (,07) P = Si ahora, calculamos cuato varía porcetualmete el precio ate la aterior variació del % e el tipo de iterés obtedremos u valor de: [ ,07] 960,07 = 0,0459 = 4,59% 9

10 Si, por el cotrario, el tipo de iterés del mercado hubiese aumetado e %, situádose e el 9%, el precio del boo habría descedido hasta valer 9, euros, lo que represetaría ua variació porcetual igual a: [9, - 960,07] 960,07 = -0, = -3,9445% Si ahora calculamos el valor medio de los valores absolutos de ambas variacioes relativas obtedremos u valor promedio igual a 4,0575%. Cifra que idica el riesgo de iterés del boo (es decir, cuáto variará el precio teórico del boo ate ua variació porcetual del tipo de iterés del ±%). Para coectar los coceptos de volatilidad y duració deberemos echar mao de la deomiada duració modificada (D*), que se obtedrá haciedo: D* = D + r dode D represeta la duració y r el tipo de redimieto aual hasta el vecimieto. Si ahora mostramos la ecuació represetativa de la volatilidad del boo, co arreglo a la defiició que utilizábamos uos párrafos más arriba, veremos que es aproximadamete igual a la duració modificada. D * - (P - P 0 ) / P 0 (r - r 0 ) = - ΔP / P 0 Δr dode P 0 idica el precio del boo ates del cambio del redimieto; P el precio del boo después de variar aquél; y r 0 es la variació del redimieto que será igual a 00 putos básicos. Si e la ecuació aterior sustituimos la duració modificada (D*) por la duració de Macaulay (D) y despeamos su valor, el resultado será: D - (P -P 0 ) / P 0 (r - r 0 ) / ( + r 0 ) = - ΔP / P 0 Δr ( + r 0 ) Así, por eemplo, la duració modificada del eemplo mostrado e la tabla 5 será igual a 4,373,08 = 4,049%, cifra que viee a ser muy parecida a la de la volatilidad 4,0575%- calculada uos párrafos más arriba (obsérvese que la duració modificada se expresa e tato por cieto, y o e uidades de tiempo). Para variacioes muy pequeñas del redimieto se puede mostrar como la duració modificada coicide co uestra defiició de volatilidad del boo u obligació. Para cambios mayores de 50 putos básicos, lo aterior sólo es aproximadamete cierto. D e años El caso geeral sería: D * = dode m idica el úmero de cupoes que se paga cada año (m= para r ( + m ) los semestres, p.e.). Auque, es ua práctica comú etre los gestores de fodos que tiee boos co cupoes semestrales, trimestrales, etcétera, calcular la duració modificada dividiedo la duració de Macaulay (e años) por más la tasa de redimieto hasta el vecimieto dividida por dos (r/). 0

11 La razó de que o coicida exactamete los valores de la volatilidad y de la duració modificada estriba e que ésta última está basada e la derivada de P 0 co respecto al redimieto (dp 0 /dr), y las derivadas se refiere a cambios ifiitesimales de las variables. De esta maera podemos ver como la duració es, además de ua medida del "plazo" del boo, ua medida de la volatilidad del mismo. De hecho, cuato mayor sea la duració, mayor será la volatilidad del boo. A cotiuació se muestra como la duració modificada es e realidad la derivada del precio co respecto al redimieto (dp 0 /dr) dividido por el precio iicial (P 0 ). Para ello haremos que la variació del redimieto tieda a ser ifiitesimal lo que implicará la utilizació de la derivada. Seguidamete calcularemos ésta última y procederemos, fialmete, sustituyedo los valores obteidos a demostrar que la duració modificada se basa e la derivada del precio co respecto al redimieto. D * - (P - P 0 ) / P 0 (r - r 0 ) dp - Q = dr ( + r) + = J= D * = P 0 x dp dr = P 0 x = - ΔP / P 0 Δr - Q (+ r) ( + r) (+ r) = dp/p 0 dr - Q ( + r) = = D ( + r) = dp dr x P 0 Como ya hemos señalado ateriormete, la volatilidad es el porcetae de variació e el precio por uidad de variació e el redimieto. La volatilidad es egativa, lo que idica que a u aumeto del redimieto le seguirá u desceso e el precio, es decir, que ambas variables está relacioadas iversamete etre sí. % variació e el precio = - D * x r - r 0 00 Cocretado, el precio de los boos está iversamete relacioado a su redimieto; la duració modificada actúa como u multiplicador dado que cuato más grade sea, mayor será el impacto e el precio de los boos ate u cambio de los tipos de iterés; y, por último, para ua duració modificada determiada, cuato mayores sea las variacioes e el tipo de iterés, mayor será el porcetae de cambio e el precio. 3. La duració e euros y el valor del puto básico (VPB) El producto de la duració modificada (expresada e tato por uo) y el precio del boo se deomia duració e euros, que idica cuato asciede (desciede) el valor del boo medido e euros cuado el redimieto desciede (asciede) 00 putos básicos 3, es decir, es la derivada parcial del precio del boo co respecto al redimieto. Su pricipal vetaa es que es aditiva, esto es, la duració e euros de 3 A la duració e euros tambié se la deomia riesgo del precio.

12 ua cartera es igual a la suma algebraica de la duració e euros de los activos que la compoe (siempre que la estructura temporal de los tipos de iterés sea plaa). Si, por eemplo, queremos calcular la duració e euros de u boo cuyo valor omial y de mercado es actualmete de 00 euros, que paga u cupó aual del 0% durate 5 años y cuya duració modificada es del 7,606%, o tedremos más que hacer la siguiete operació: D* = 00 x (- 7,606) x 0,0 = - 7,606 lo que quiere decir que si el tipo de iterés asciede (desciede) 00 putos básicos el boo se deprecia (aprecia) e 7,606 euros. P curva precio/redimieto duració e euros puto de tagecia 70 5% 6% 7% 8% 9% 0% % % 3% 4% 5% TIR (%) Fig. 4 Represetació gráfica de la duració e euros y de la curva precio/redimieto E la figura 4 se muestra u gráfico de la curva precio/redimieto de dicho boo y de su valor estimado a través de la duració e euros. Esta última es tagete a aquélla para ua TIR hasta el vecimieto determiada, es decir, muestra la pediete de la curva para dicho valor de los tipos de iterés (o lo que es lo mismo la dp/dr). A ua mayor pediete de la curva le correspoderá ua mayor duració modificada y lo cotrario. Lo que e realidad se ha hecho es sustituir la curva por la recta represetativa de la duració e euros (el error cometido se deomia covexidad y será aalizado e u epígrafe posterior), de esta forma es mucho más rápido calcular el efecto que ua variació e el tipo de iterés del mercado produce e el valor del boo. Además, como sabemos la recta represetativa de la duració e euros puede sustituir a la curva represetativa de la relació precio-redimieto cuado el tipo de iterés varía uos pocos putos básicos (ormalmete o más de 50 pb.) puesto que ambas prácticamete se cofude. Por otra parte, el valor del puto básico (VPB) es ua medida del riesgo de iterés alterativa a la de la duració e euros, que se defie como la variació e el precio teórico de u boo iducida por la oscilació de u puto básico e su redimieto. El VPB se expresa e euros. Así:

13 VPB = - P 0 x D* x 0,000 El VPB, por tato, expresa la sesibilidad e euros del precio co relació al redimieto y además tambié tiee la propiedad aditiva (e realidad, el VPB es igual a la duració e euros dividida por 00). Por eemplo, si la D* del boo del eemplo aterior era de 7,606 el VPB será: VPB = 00 x (-7,606) x 0,000 = - 0,076 lo que quiere decir que si el redimieto del boo asciede (baa) u 0,0% el precio del mismo caerá (subirá) 7,6 cétimos de euro. Veamos otro eemplo, supogamos que poseemos dos boos de diferete vecimieto: el boo C cotiza a la par, tiee u vecimieto de dos años y paga u cupó aual del 8%; el boo L cotiza a la par, tiee u vecimieto a quice años y paga u cupó aual del 8%. Ambos tiee u redimieto del 8% aual puesto que cotiza a la par. La duració del boo C es de,96 años, mietras que su duració modificada es del,783%; por otra parte, el boo L tiee ua duració de 9,45 años y ua duració modificada del 8,56%. La duració e euros de ambos es respectivamete de,783 euros para C y de 8,56 euros para L (asumiedo u valor omial de 00 euros). Mietras que su VPB es de 0,078 para C y de 0,0856 para L. Los operadores debe cosiderar el coste de fiaciar ua posició determiada. Si el coste de mateimieto (cost of carry) es egativo, lo que quiere decir que cuesta diero mateer ua posició, el operador querrá mateer la posició más pequeña posible. Así, el riesgo sobre los beeficios de teer ivertidos euros e boos C es igual al de poseer ua iversió de e boos L. Si el operador espera que el redimieto de ambos boos descieda e igual magitud, deberá posicioarse e el boo L porque gaará más euros si eso ocurre. Para los iversores que paga diero por sus boos, las emisioes de alta duració proporcioa la oportuidad de realizar apuestas mayores; los precios de este tipo de emisioes so más sesibles a los cambios e el redimieto que los precios de los boos de iferiores duracioes. A alguos iversores les gusta apalacar sus apuestas y, por tato, está dispuestos a pagar ua prima por emisioes de alta duració como los boos cupó cero. Como resultado de todo esto, las emisioes de alta duració a meudo se egocia co redimietos iferiores a los de las emisioes de baa duració y plazos similares. 3. La duració de los boos co cupoes variables (FRN) Los boos co cupoes variables, o FRN, so aquellos cuyos cupoes se adapta al valor de mercado de los tipos de iterés. Por tato, cualquier variació e el redimieto produce ua alteració e el tipo de iterés del cupó que se recibirá detro de seis meses. La úica variació del precio del boo se puede deber a que durate el período de seis meses que resta hasta el siguiete pago del cupó, el tipo de iterés varíe, e todo caso, el impacto e el precio es muy pequeño (su duració modificada está próxima a cero). 3

14 Ua vez que se ha establecido el uevo cupó, el FRN se comporta como u boo ordiario co cupoes fios co vecimieto iferior a u semestre (si paga cupoes semestrales). Cocretemos, digamos que queda para su vecimieto ua fracció w de u período semestral, etoces la relació etre el precio del boo y su redimieto (r) es la siguiete (dode C es el cupó semestral y 00 es el valor omial del boo): Cw + 00 P = w (+ r/) calculado la primera derivada co respecto a r y, posteriormete, dividiedo por P obtedremos su duració modificada, que es igual a: w - (Cw + 00) w (+ r/) - (Cw + 00) w = x = x = w+ w+ P (+ r/) Cw + 00 (+ r/) * D - w (+ r/) Por tato, el boo co cupó variable cada seis meses tedrá ua duració iferior a u semestre, es decir, su precio o es especialmete sesible a las variacioes del redimieto. Veamos u eemplo, supogamos que teemos u boo de.000 euros de omial que paga cupoes variables semestrales de 35 euros. El tipo de iterés omial aual actual es del 6%. Si queda tres meses exactos para el siguiete cupó (w = 0,5), el precio será igual a: P 0 = Cw x 0, = =.00,57 euros w 0,5 (+ r/) (+ 0,06/) Y su duració modificada será igual a: - w - 0,5 D * = = = -0,47% (+ r/) (+ 0,06/) Efectivamete, si el tipo de iterés ascediese súbitamete al 7% omial aual, el valor actual del boo sería de.000,5 euros, u 0,46% meos que ates; y, si el tipo de iterés cayese al 5%, el precio se situaría e.005,0 euros, u 0,4386% mayor. El valor medio de ambas variacioes será de 0,473%, que coicide co el valor de la duració modificada obteida. 3.3 La duració de u boo etre dos fechas de pago del cupó. Por desgracia, cuado es ecesario calcular la duració modificada de u boo casi siempre será e ua fecha que o coicide exactamete co la del pago del cupó. Esto os lleva a mostrar la fórmula de la duració modificada a utilizar e ese mometo: 4

15 D * = -f (+ r) P0 = ( - f) FC (+ r) dode r es la tasa de redimieto hasta el vecimieto, f es el tato por uo del tiempo trascurrido desde la fecha de pago del último cupó (0,5 si los cupoes se paga aualmete y ha trascurrido seis meses), P 0 es el precio actual del boo e el mercado (co cupó corrido icluido) y es el plazo que resta hasta el vecimieto del boo. El lector se habrá dado cueta de que esta expresió es realmete la expresió geeral de la duració modificada porque si f=0 lo que teemos es la expresió que hemos estado maeado a lo largo del epígrafe La expresió de la duració e tiempo cotiuo E los epígrafes ateriores hemos estado trabaado e tiempo discreto a través del tipo de iterés compuesto. Si embargo, e este subepígrafe vamos a ver la expresió de la duració e tiempo cotiuo. Para ello lo primero es ver la expresió que calcula el precio de u boo e este cotexto: P t = P e -r (-t) + = FC e -r (t -t) dode P es el precio de reembolso del boo e la fecha de amortizació del mismo (), r es la tasa de redimieto hasta el vecimieto, t idica el istate e el que se calcula el precio, FC es el fluo de caa del período, y e es el famoso úmero, Si extraemos la primera derivada co respecto a r obtedremos la pediete de la curva precio/redimieto para la tasa de redimieto r, y si a este valor le dividimos por el precio actual del boo obtedremos el valor de la duració dpt dr P t = - ( - t) P e -r (-t) + (t = - t) FC e -r (t -t) P t La duració modificada sólo se puede calcular e tiempo discreto. 4. Las variables determiates de la duració Las variables que determia la duració de u boo y, por extesió, su volatilidad o riesgo de iterés so siete: el cupó, el plazo hasta el vecimieto, el cupó corrido, el redimieto del boo, la amortizació parcial de la emisió, la amortizació aticipada de la emisió y el paso del tiempo. 5

16 El cupó. La duració y el tipo de iterés pagado a través del cupó está iversamete relacioados, pues a mayor tipo de iterés meor duració. Esto es fácil de ver pues cuato mayor sea el cupó, el propietario del boo recibe ua catidad mayor, relativamete hablado, de fluos de caa e los primeros años de la vida del boo (tato por el mayor volume e euros recibido, como porque el proceso de descueto tiee u meor efecto sobre los primeros fluos de caa), lo cual dismiuye la duració. Tambié cuato mayor sea la frecuecia de pago de los cupoes, meor será la duració de la emisió. Por otro lado, cada vez que se paga u cupó la duració aumeta. Fig.5 El efecto cupó El plazo hasta el vecimieto. Por regla geeral, cuato mayor sea el plazo hasta el vecimieto, mayor será la duració y mayor la volatilidad del boo. Es lógico, puesto que cuato más se tarde e llegar a la fecha de vecimieto del boo mayor será el riesgo de dear de cobrar algú cupó y más tedremos que esperar a cobrar los cupoes que os falta. Esta relació o es lieal ya que la tasa de crecimieto de la duració va dismiuyedo coforme aumeta el plazo de vecimieto. Aú más, esta regla o se cumple cuado los cupoes so baos, el plazo de la emisió es muy grade y su precio es iferior a la par (véase la figura 6). Por lo tato, al ivertir e boos a muy largo plazo o se asume u aumeto sustacial del riesgo de iterés por elegir los boos de mayor vecimieto, lo que o ocurre e los boos a corto y medio plazo, dode sus difereciales de riesgo (duració) so mayores. Por otro lado, los boos perpetuos tiee ua duració cercaa al iverso del redimieto del boo hasta su vecimieto, si importar cuál sea el cupó. Así, por eemplo, u boo perpetuo que tega u redimieto esperado del 8%, tedrá ua duració de 3,5 años (D = [+r]/r). Esto es importate, puesto que se puede cosiderar a las accioes preferetes como u tipo de boo perpetuo cuya duració será igual a la iversa de su redimieto actual. 6

17 i = % i = 4% i = 6% i = 8% Fig.6 E la tabla 6 se muestra el cálculo de la duració realizada por Fisher y Weil para ua serie de cupoes y de plazos sobre ua obligació que paga u 8% de iterés omial por semestres vecidos. E dicha tabla se aprecia como a medida que aumeta el plazo hasta el vecimieto tambié lo hace la duració hasta u período determiado e el caso de los boos emitidos co descueto (i<8%). E todo caso, la cifra a la que tiede el valor de la duració es la proporcioada por el boo perpetuo 4 (3 años, e este eemplo). Tambié puede observarse como la duració desciede cuado el valor del cupó aumeta. Cupó Plazo i = % i = 4% i = 6% i = 8% 0,995 años 0,990 años 0,985 años 0,98 años 5 4,74 4,533 4,36 4,8 0 8,76 7,986 7,454 7, ,06,966 0,9 0,9 50 4,83 3,466,987, ,097 3,09 3,006,995 3,000 3,000 3,000 3,000 Tabla 6. Duració para los boos que ride u 8% (cupoes semestrales) El cupó corrido. Cuado u boo es adquirido o vedido etre dos fechas cosecutivas de pago del cupó, se ecuetra sueto al pago o cobro de u cupó corrido al que tiee derecho. De tal maera que el precio del título o sólo es el que aparece e su cotizació sio que hay que icluirle esa parte del cupó al que tiee derecho el vededor. Como el cálculo de la duració icorpora este precio global, 4 Fisher y Weil ha utilizado la expresió matemática del cálculo de la duració mostrada al fial del epígrafe. El valor al que tiede la duració cuado el plazo es muy grade viee dado por el primer sumado de dicha expresió (+r) r 7

18 ésta se ecuetra relacioada iversamete co dicho cupó corrido. Es decir, u boo que tega u cupó corrido tedrá ua duració más pequeña que otro semeate que carezca del mismo, debido a que e cuato el iversor reciba el primer cupó al que tiee derecho va a ver reembolsado el cupó corrido que tuvo que pagar al vededor e el mometo de la adquisició del título. El redimieto hasta el vecimieto. Existe ua relació iversa etre la duració (y la volatilidad del precio del boo) y el tamaño del redimieto hasta el vecimieto. Así que a mayor redimieto, meor duració y volatilidad. Esto es así, debido a que el redimieto hasta el vecimieto (r) es la tasa de descueto utilizada e la determiació del valor actual del boo y cuado aquél aumeta, desciede el valor actual de los fluos más leaos e el tiempo, tato e valor absoluto como relativo. Por ello, las poderacioes de estos fluos se reduce y la duració se alea del mometo del vecimieto, es decir, desciede. Curiosamete, cuado los tipos de iterés desciede y la duració aumeta se está diciedo que e u mercado de boos alcista (los precios aumetaría al desceder los redimietos) la volatilidad de los precios co relació a dichos tipos de iterés es mayor que e uo baista. Observe que cuado varía los tipos de iterés, o varía el vecimieto de la emisió pero sí su duració. La amortizació parcial de la emisió. Cuado u boo puede ser amortizado ates de su vecimieto, porque perteece a ua emisió que va a ser amortizada parcialmete, verá reducirse su duració e comparació co la de otros boos semeates que o tega dicha posibilidad. La posibilidad del reembolso aticipado del boo reduce el vecimieto promedio de los fluos de caa del mismo, así como el úmero de éstos, todo lo cual producirá u acortamieto de la duració. La amortizació aticipada de la emisió. Por la misma razó que e el caso aterior la duració del boo se verá acortada si la empresa emisora tiee la posibilidad de amortizar completamete la emisió ates de su fecha de vecimieto. El paso del tiempo. Como parece lógico coforme va trascurriedo el tiempo, la duració se va acortado. Esto es debido a que el último fluo de caa, el que cotiee el reembolso del pricipal, es el fluo de mayor calibre de toda la iversió por lo que eerce su fuerza de atracció sobre la duració, que se aproxima cada vez más rápidamete hacia el mismo. E el caso de los boos cupó cero esta tasa es costate puesto que sólo hay u pago, el último. 5. Limitacioes del cocepto de duració Hay, al meos, cuatro limitacioes a la utilizació de la duració como medida del riesgo de ua cartera de reta fia. Primero, la duració hace referecia úicamete al riesgo asociado co los cambios e los tipos de iterés. Esto es, o reflea los cambios e el precio de mercado del boo procedetes de alteracioes e la corriete de los fluos de caa esperados; lo que puede suceder cuado el boo es covertible, o porque exista la 8

19 posibilidad de ser amortizado aticipadamete por la empresa 5, o porque el riesgo de isolvecia de la empresa ha aumetado, etc. Segudo, la duració se limita a medir exclusivamete la relació existete etre los cambios habidos e el redimieto hasta el vecimieto. Lo que quiere decir que idica el porcetae de cambio etre ua estructura de tipos de iterés plaa y otra que tieda a crecer o a decrecer de forma paralela. Como es lógico, la ETTI o es plaa y los cambios habidos e la misma o so paralelos. Tercero, si bie es cierto que el precio de mercado de las emisioes de deuda co ua duració mayor es más sesible que el precio de las emisioes co meor duració, ate u cambio dado e el redimieto esperado hasta su vecimieto, tambié es verdad que el redimieto de las emisioes de meor duració es más volátil que el de las de mayor (el redimieto de las Letras del Tesoro, por eemplo, suele ser más volátil que el redimieto de las obligacioes del Estado). Esto último o lo reflea el cocepto de duració y a la hora de valorar el riesgo fial de la emisió es ecesario teer e cueta coutamete ambos factores. Cuarto, es relativamete fácil medir la duració de los boos pero es bastate más compleo medir la de otras iversioes como las accioes ordiarias 6, por eemplo. Ello limita las posibilidades de valorar el riesgo de ua cartera mixta formada por títulos de reta fia y variable a través del uso de la duració. 6. La duració de ua cartera de reta fia Ua cartera de boos o dea de ser ua corriete de fluos de tesorería que se espera obteer a lo largo del tiempo. Por lo tato su duració se medirá a través de la media poderada del vecimieto de los fluos de caa de la cartera, utilizado como poderació los valores actuales de dichos fluos. Como se aprecia, el sistema de cálculo es el mismo que para activos idividuales co la úica diferecia de que la misma es u couto de cupoes co diferetes vecimietos y que, además, el redimieto itero de la cartera, que es el que se utiliza para actualizar los fluos de caa, o coicide co el redimieto medio poderado de los redimietos hasta el vecimieto de cada uo de los títulos que la compoe. E la tabla 7 se muestra ua cartera formada por cuatro títulos co diferetes vecimietos (tres, cico, diez y quice años), que paga distitos tipos de iterés, que tiee distitos precios de mercado, distitas TIR hasta el vecimieto, diferetes duracioes ormales (D) y modificadas (D * ) y diferetes poderacioes detro de la cartera (segú el porcetae de su valor de mercado e el valor actual de la cartera). 5 El cocepto de duració efectiva hace referecia precisamete a este caso. 6 Sobre la duració de las accioes ordiarias véase FERRER, Romá (994): "Modelos de Valoració del Riesgo de Iterés de los Títulos de Reta Variable". Actualidad Fiaciera º 44. Págs.:

20 Títulos Número Cupó Plazo Precio TIR D D* Valor Mercado % Cartera A 00 7,0% 3 0,00 6,5%,8, ,0 0% B 50 7,4% 5 0,6 6,85% 4,36 4, ,05 4% C 300 7,8% 0 05,6 7,05% 7,37 6, ,66 30% D 50 8,0% 5 07,95 7,% 9,47 8, ,64 6% ,45 Tabla 7 E la tabla 8 se muestra los fluos de caa totales de cada título, idividualmete cosiderados, y los de la cartera. La TIR de la cartera se ha calculado tomado como valor iicial de la misma su valor de mercado: ,45 euros, obteiédose u redimieto del 6,97%. Obsérvese que si la hubiésemos calculado a través de la media poderada de los redimietos hasta el vecimieto (cosa que o se debe hacer uca) de cada uo de los títulos habríamos obteido: 0, x 6,5% + 0,4 x 6,85% + 0,3 x 7,05% + 0,6 x 7,% = 6,86%. Por otra parte, la duració de dicha cartera tomará u valor de 6,33 años y su duració modificada será de 5,9%. Año A B C D Cartera TIR = 6,97% D = 6, D* = 5,9% Tabla 8 Ahora bie, como ya hemos cometado e el epígrafe aterior, el cálculo de la duració implica que supoemos la existecia de ua ETTI plaa, es decir, que los redimietos de todos los títulos de igual riesgo so iguales sea cuales sea sus plazos (lo que, todo hay que decirlo, o es muy realista). Esta suposició os permite calcular la duració de ua cartera (D p ) como la media poderada de las duracioes de sus activos fiacieros compoetes (Di) 7 : 7 Véase la demostració matemática e BIERWAG, Gerald (99): Aálisis de la Duració. Aliaza. Madrid. Págs.: 5-6. E dicha demostració Bierwag utiliza ua ETTI plaa al supoer que el redimieto de todos los boos es el mismo si importar cuál es su plazo. 0

21 Dp = D X + D X D X dode Xi idica la poderació del valor de mercado del activo e el valor de la cartera (la suma de todas las poderacioes deberá ser igual a la uidad). Así, por eemplo, la duració de la cartera segú esta idea sería: D =,8 x 0,0 + 4,36 x 0,4 + 7,37 x 0,0 + 9,47 x 0,6 = 6,87 años que es ligeramete diferete del cálculo realizado e el eemplo aterior debido a que e él o existía ua ETTI plaa sio que era de tipo creciete. Si calculamos la duració modificada de la cartera de igual forma obtedremos u valor del 5,877% (tambié podríamos haber dividido 6,87 etre,0686 y obtedríamos u resultado casi idético, pero es más coherete hacerlo a través de la media poderada). Si calculamos la duració e euros de la cartera veremos que es igual a la suma algebraica de las de sus compoetes. Así, la duració e euros de cada boo será: D*eur. (A) = 00 x 0,00 x (-,64) x 0,0 = 539,50 D*eur. (B) = 50 x 0,6 x (-4,08) x 0,0 =.044,37 D*eur. (C) = 300 x 05,6 x (-6,89) x 0,0 =.75,00 D*eur. (D) = 50 x 07,96 x (-8,84) x 0,0 =.384,9 La suma algebraica es igual a 6.43,79 que coicidiría (salvo por errores de redodeo) co la duració e euros de la cartera si la duració modificada de ésta se hubiera calculado a través de ua media poderada. E todo caso, la suposició de que la ETTI es plaa o debería producir u error demasiado grade cuado el diferecial etre los tipos de iterés a corto y a largo plazo es pequeño. Otra cosa ocurriría si dicho diferecial fuera sigificativo. 7. El cocepto de covexidad Como ya se ha visto ateriormete, el precio de los boos está iversamete relacioado co el valor de los tipos de iterés. Cuado éstos asciede aquél cae, y lo cotrario. E la figura 7 se muestra e el gráfico de la izquierda dicha relació a través de la deomiada curva precio/redimieto. La primera derivada de la fució que dibua dicha curva es lo que e el epígrafe aterior deomiamos duració modificada, que dicho de otra forma, es la pediete de la curva precio/redimieto e u puto determiado que coicide co el redimieto actual y que actúa de puto de tagecia etre ella y la recta represetativa de la duració modificada, tal y como aparece e la gráfica de la derecha de la figura 7.

22 Fig.7 Curva precio/redimieto, duració modificada y covexidad La duració modificada es ua estimació de tipo lieal de ua relació precio-redimieto o lieal, que puede ser utilizada para predecir la variació e el precio de los boos cuado se mueve los tipos de iterés. % de cambio e el precio de los boos = - duració modificada x % de cambio e el redimieto Pero como se puede apreciar e la figura 7, el uso de la duració modificada produce u error (la zoa rallada) e la estimació de la curva precio/redimieto. Esto es, la duració modificada explica bastate bie las variacioes e el precio debidas a pequeños cambios e el redimieto, pero o fucioa ta bie cuado estas alteracioes so grades (más allá de 50 putos básicos de variació e los tipos de iterés). Esto es debido a que la duració modificada asume que existe ua relació lieal etre las variacioes del redimieto y las del precio, lo que implica cometer errores cuado las variacioes so de ua magitud importate. E la figura 8 se puede observar lo mismo a través de u eemplo real. Podemos ver el puto de tagecia etre la curva precio/redimieto y la duració modificada. La diferecia etre ambas es la covexidad que se muestra e forma curva y cuyos valores aparece e la ordeada de la derecha (C). Co obeto de predecir dicho error o disparidad, surge la covexidad que es, e realidad, la seguda derivada de dicha curva y muestra cómo varía la duració modificada cuado se altera los tipos de iterés. Dicha seguda derivada es igual a: P r = ( + r) ( + ) Q ( = + r) dode Q es el cupó que el boo proporcioará e el período, el máximo úmero de períodos será y r es la tasa de redimieto itera de ese boo e el mometo del aálisis.

23 P D* puto de tagecia 5% 6% 7% 8% 9% 0% % % 3% 4% 5% TIR(%) Fig.8 La covexidad como diferecia etre el precio real de u boo y el obteido a través de la duració modificada cuado varía los tipos de iterés C Así, si quisiéramos averiguar la variació e el precio de u boo debida a ua asceso de u % e el tipo de iterés sumaríamos la variació producida por la duració modificada (que aparecerá co sigo egativo) y la producida por la covexidad para la misma variació e el redimieto (00 putos básicos e ambos casos): dp/p = -D* x (dr) + (/) x covexidad x (dr) = = - D* x (0,0) + (/) x covexidad x (0,0) E realidad lo que estamos haciedo es utilizar la fórmula de Taylor 8 (los dos primeros térmios del sumatorio) co obeto de aproximaros al valor real de la curva precio/redimieto. 7. Eemplo Supogamos que estamos aalizado ua emisió de obligacioes a diez años, que paga u cupó de 70 euros por título y año vecido, que tiee u redimieto hasta el vecimieto del 8%, ua duració de 7,4 años y ua duració modificada del 6,87%. E la tabla 9 se puede ver lo que sucedería co el cambio porcetual e el precio, tato si es el estimado como el actual, al variar la tasa de redimieto aual. La primera columa muestra los diversos valores del redimieto (TIR); la seguda la variació e porcetae de la misma; la tercera el precio teórico del titulo segú el valor del redimieto; la cuarta la variació porcetual actual del precio (por eemplo, (.035,9-93,9) 93,9 =,04%). La quita columa os muestra la estimació, a través de la duració modificada de dicha variació (por eemplo, [-6,87] x [-,5%] = 0,3%) y e la sexta se puede ver el valor de la covexidad e porcetae si más que restar el valor de las dos columas ateriores (0,73%). d f 8 Fórmula de Taylor f(x x) = f(x) + x! (x) dx + = 3

24 Como se observa e la tabla 9 cuato más varíe los tipos de iterés mayor es la diferecia etre el precio estimado a través de la duració modificada y el precio itríseco del boo, es decir, mayor es la covexidad. De hecho, ésta última es prácticamete despreciable cuado la variació es igual o iferior a 50 putos básicos, como ya señalamos ateriormete. TIR % cambio Precio % cambio del precio Covexidad (%) TIR itríseco Actual Estimado (%) 4,5-3,5.97,8 8,40 4,05 4,35 5,0-3,0.54,4 3,75 0,6 3,4 5,5 -,5.3, 9,3 7,8,4 6,0 -,0.073,6 5,08 3,74,34 6,5 -,5.035,9,04 0,3 0,73 7,0 -, ,9 6,87 0,3 7,5-0,5 965,7 3,5 3,44 0,08 8,0 0,0 93,9 0,0 0,0 0,0 8,5 0,5 90,6-3,36-3,44 0,08 9,0,0 87,6-6,57-6,87 0,30 9,5,5 843,0-9,64-0,3 0,67 0,0,0 85,7 -,56-3,74,8 0,5,5 789,5-5,37-7,8,8,0 3,0 764,4-8,06-0,6,55,5 3,5 740,5-0,6-4,05 3,43 Tabla 9 Si la duració de u boo fuese costate para todos los iveles de redimieto, la covexidad o existiría. Es precisamete la variació e la duració del titulo lo que da lugar a la covexidad. Esta última tiee u efecto positivo: la duració de u boo se alarga cuado el mercado es alcista (aumeta las gaacias de capital al aumetar los precios y desceder los redimietos) y se acorta cuado es baista (suavizado las caídas de los precios debidas a icremetos e los redimietos). Si queremos corregir la duració modificada co la covexidad e el caso de uestro eemplo y para ua variació de u 3% de los tipos de iterés hacia arriba o hacia abao, lo primero será calcular la seguda derivada de la curva precio-redimieto para u tipo de redimieto del 8%, lo que se cooce como covexidad e euros: P r P r = ( + r) = ( + ) Q ( = + r) xx70 x3x70 3x4x70 0xx = 58.45, (,08) (,08) (,08) (,08) (,08) 4

25 seguidamete dividiremos la covexidad e euros etre el valor actual del boo (93,9 ), lo que os dará el valor de la covexidad: 6,63. Y ahora aplicaremos la siguiete fórmula: - Si los tipos de iterés asciede e u 3%: dp/p = - 6,87 x (0,03) + (/) x 6,63 x (0,03) = -7,79% - Si los tipos de iterés desciede e u 3%: dp/p = - 6,87 x (-0,03) + (/) x 6,63 x (-0,03) = 3,43% Compruebe como e la cuarta columa de la tabla 9 los valores reales so, respectivamete, del 8,06% y del 3,75% para la subida y baada de los tipos de iterés e 300 putos básicos. El error cometido es ahora, después de corregirlo co la covexidad, mucho más pequeño para variacioes importates de los tipos de iterés. 7. Eemplo: boo co cupoes semestrales U boo al que le queda 8 años de plazo hasta su vecimieto y que paga tres euros cada semestre hasta el fial de su vida se está vediedo a 93,953 euros por lo que su redimieto hasta el vecimieto e térmios omiales es igual al 7%. Se desea calcular el uevo precio del boo si los tipos de iterés auales desciede 85 putos básicos. La TIR semestral la vamos calcular dividiedo 7% etre = 3,5% La duració es igual a: D = + r r - (c - r) + ( + r) c ( + r) - (c - r) D =,8 semestres = 6,4 años =,035 0,035-6 (0,03-0,035) +,035 0,03 (,035) 6 - (0,03-0,035) D * = 6,4 ( + 0, 035) = 6,9% Covexidad e euros = d P dr = (+) Q 6 (+ ) Q (+ r) (+ r) = = (,035) (,035) = 7.66,83 = Covexidad: 7.66,83 93,953 = 87,986 Covexidad equivalete e años: 87,986 () = 47 Variació de del precio = dp/p = - 6,9 x (-0,0085) + (/) x 47 x (-0,0085) = 0, ,007 = 5,43% Nuevo precio del boo: 93,953 x ( + 0,0543) = 99,05 euros. (El uevo precio real del boo es 99,063 euros) 5

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación) Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A =

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA . DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS Curso Preparació y Evaluació Social de Proyectos Sistema Nacioal de Iversioes Divisió de Evaluació Social de Iversioes MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL

Más detalles

donde n e i, están en la misma unidad de tiempo. Por tanto, la expresión de los intereses ordinarios ó simples y pospagables :

donde n e i, están en la misma unidad de tiempo. Por tanto, la expresión de los intereses ordinarios ó simples y pospagables : 1 1. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE. 1.- Calcular los itereses producidos por u capital de 1800 colocado 10 días al 7% de iterés aual simple. a) Cosiderado el año civil. b) Cosiderado el año comercial.

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS.

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 8º. PRESTAMOS. 1.- Coceptos básicos de préstamos. CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. Coceptos básicos de prestamos. Préstamo. U préstamo es la operació fiaciera que cosiste e la etrega,

Más detalles

Tema 9 Teoría de la formación de carteras

Tema 9 Teoría de la formación de carteras Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS MATEMÁTIAS FINANIERAS Secció: 1 Profesores: ristiá Bargsted Adrés Kettlu oteido Matemáticas Fiacieras: Iterés Simple vs Iterés ompuesto Valor Presete y Valor Futuro Plaificació estratégica Matemáticas

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

4) Calcular el plazo necesario para obtener 20.000 a partir de una inversión

4) Calcular el plazo necesario para obtener 20.000 a partir de una inversión ) alcular el motate o capital fial obteido al ivertir u capital de. al 8% de iterés aual simple durate 8 años.. 8 o i. 8,8 ( i ) 8.( 8,8) ) alcular el capital iicial ecesario para obteer u capital de.

Más detalles

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández Tema III: La Elecció de Iversioes Ecoomía de la Empresa: Fiaciació Prof. Fracisco Pérez Herádez La Elecció de Iversioes Para ayudar a la elecció de distitas operativas de iversió, se puede seguir distitos

Más detalles

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno: Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la

Más detalles

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIEA 1. AUMENTOS Y DISMINUCIONES POCENTUALES Si expresamos u porcetaje % como u úmero decimal: tato por uo: r = 23 23% = 0, 23 obteemos el Para calcular el porcetaje % de ua catidad

Más detalles

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FERNANDO ESPINOSA FUENTES Necesidad del reemplazo. Si se matiee u riesgo durate u tiempo

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I)

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) Tema 6- Parte 1 1 EL MÉTODO de la TASA de DESCUENTO AJUSTADA al RIESGO : a = k + p E presecia de iflació a = k + p ( 1 + a ) = ( 1 + a )(

Más detalles

SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7

SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7 SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7 1.- Qué es ua fuete fiaciera?.- Cuál es la diferecia etre los fodos propios y los fodos ajeos? La forma de obteer recursos fiacieros la empresa para llevar a cabo sus iversioes.

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

Matemáticas Financieras Material recopilado por El Prof. Enrique Mateus Nieves. Financial math.

Matemáticas Financieras Material recopilado por El Prof. Enrique Mateus Nieves. Financial math. Matemáticas Fiacieras Material recopilado por El Prof. Erique Mateus Nieves Fiacial math. 2.10 DESCUENO El descueto es ua operació de crédito que se realiza ormalmete e el sector bacario, y cosiste e que

Más detalles

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones Modulo IV Iversioes y Criterios de Decisió Aálisis de Iversioes 1. Iversió e la empresa 2. Métodos aproximados de valoració y selecció de iversioes 3. Criterio del valor actualizado eto (VAN) 4. Criterio

Más detalles

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO Coteido: Resume ejecutivo I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros II. Portaolios

Más detalles

EJERCICIOS DE PORCENTAJES E INTERESES

EJERCICIOS DE PORCENTAJES E INTERESES EJERCICIOS DE PORCENTAJES E INTERESES Ejercicio º 1.- Por u artículo que estaba rebajado u 12% hemos pagado 26,4 euros. Cuáto costaba ates de la rebaja? Ejercicio º 2.- El precio de u litro de gasóleo

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

A N U A L I D A D E S

A N U A L I D A D E S A N U A L I D A D E S INTRODUCCION Y TERMINOLOGIA Se deomia aualidad a u cojuto de pagos iguales realizados a itervalos iguales de tiempo. Se coserva el ombre de aualidad por estar ya muy arraigado e el

Más detalles

UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA

UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA 1. LA FUNCIÓN FINANCIERA DE LA EMPRESA La empresa, tato para iiciar su actividad como para realizarla co eficiecia, ecesita recursos fiacieros. Para su fucioamieto, la

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA Tema 3- Parte I Etapas del Modelo de Markowitz I. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN - Se

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES. Mercedes Fernández mercedes@upucomillas.es

CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES. Mercedes Fernández mercedes@upucomillas.es CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES Mercedes Ferádez mercedes@upucomillas.es CONTENIDO El valor temporal del diero. Selecció de iversioes CONTENIDO El valor temporal del

Más detalles

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de

Más detalles

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas La importacia del factor de potecia e las redes eléctricas. Itroducció Las fuetes de alimetació o geeradores de voltaje so las ecargadas de sumiistrar eergía e las redes eléctricas. Estas so de suma importacia,

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos OpeStax-CNX module: m12830 1 Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.

Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios. ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Aálisis Exploratorio de Datos Descripció estadística de ua variable. Ejemplos y ejercicios..1 Ejemplos. Ejemplo.1 Se ha medido el grupo saguíeo de

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

Programación Entera (PE)

Programación Entera (PE) Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

ECONOMÍA DE LA EMPRESA (FINANCIACIÓN)

ECONOMÍA DE LA EMPRESA (FINANCIACIÓN) Ecoomía de la Empresa (Fiaciació) ECONOMÍA DE LA EMPRESA (FINANCIACIÓN) 3ºLiceciatura e Derecho y Admiistració y Direcció de Empresas Prof. Dr. Jorge Otero Rodríguez 1/118 Ecoomía de la Empresa (Fiaciació)

Más detalles

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal.

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal. Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalecia (trasversales) CONCEPTOS CLAVE 1) Características del diseño e u estudio de prevalecia, o trasversal

Más detalles

SISTEMA DE EDUCACIÓN ABIERTA

SISTEMA DE EDUCACIÓN ABIERTA --- UNIVERSIDAD LOS ÁNGELES DE CHIMBOTE SISTEMA DE EDUCACIÓN ABIERTA DOCENTE : Julio Lezama Vásquez. E-MAIL : fervas@yahoo.es TELÉFONO : 044-9906504 ATENCIÓN AL ALUMNO : sea@uladech.edu.pe TELEFAX : 043-327846

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos de confianza

Estimación puntual y por intervalos de confianza Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

Imposiciones y Sistemas de Amortización

Imposiciones y Sistemas de Amortización Imposicioes y Sistemas de Amortizació La Imposició u caso particular de reta e el cual cada térmio devega iterés (simple o compuesto) desde la fecha de su aboo hasta la fecha fial. Imposicioes Vecidas

Más detalles

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

TEMA 1: OPERACIONES FINANCIERAS DE AMORTIZA- CION: PRESTAMOS Y EMPRESTITOS

TEMA 1: OPERACIONES FINANCIERAS DE AMORTIZA- CION: PRESTAMOS Y EMPRESTITOS TEMA : OPERACIONES FINANCIERAS DE AMORTIZA- CION: PRESTAMOS Y EMPRESTITOS..-INTRODUCCION : Etedemos por operació fiaciera de amortizació, aquella, e que u ete ecoómico, (acreedor ó prestamista), cede u

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

16 Distribución Muestral de la Proporción

16 Distribución Muestral de la Proporción 16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos

Más detalles

Valoración de permutas financieras de intereses (IRS) *

Valoración de permutas financieras de intereses (IRS) * Valoració de permutas fiacieras de itereses (IRS) * JOSÉ E. ROMERO FERNÁNDEZ Agecia Estatal de Admiistració Tributaria SUMARIO 1. INTRODUCCIÓN. 2. INSTRUMENTOS FINANCIEROS DERIVADOS. 3. LOS MERCADOS. 4.

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito

Más detalles

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Asigatura Clave: CON015 Numero de créditos Teóricos: 4 Prácticos: 4 Asesor Resposable: M.C. Eduardo Suárez Mejia (correo electróico esuarez@uaim.edu.mx) Asesor de Asistecia: Ig.

Más detalles

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza. Tema 9. Iferecia Estadística. Itervalos de cofiaza. Idice 1. Itroducció.... 2 2. Itervalo de cofiaza para media poblacioal. Tamaño de la muestra.... 2 2.1. Itervalo de cofiaza... 2 2.2. Tamaño de la muestra...

Más detalles

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES La serie estadística de Ídice de Precios al por Mayor se iició e 1966, utilizado e

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública Uidad Cetral del Valle del Cauca acultad de Ciecias Admiistrativas, Ecoómicas y Cotables Programa de Cotaduría Pública Curso de Matemáticas iacieras Profesor: Javier Herado Ossa Ossa Ejercicios resueltos

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

2 Concepto de Capital Financiero. 3 Comparación de capitales financieros. 3 Ley financiera. 14 Capitalización compuesta. 23 Descuento comercial simple

2 Concepto de Capital Financiero. 3 Comparación de capitales financieros. 3 Ley financiera. 14 Capitalización compuesta. 23 Descuento comercial simple MODULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Ídice oceptos básicos de la iversió 2 ocepto de apital Fiaciero 3 omparació de capitales fiacieros 3 Ley fiaciera apitalizació 8 apitalizació simple 4 apitalizació

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

11. TRANSFORMADOR IDEAL

11. TRANSFORMADOR IDEAL . TAFOMADO DEA.. TODUCCÓ Cuado el flujo magético producido por ua bobia alcaza ua seguda bobia se dice que existe etre las dos bobias u acople magético, ya que el campo magético variable que llega a la

Más detalles

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por:

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por: Tema 4. Trasformada Z. La trasformada Z para sistemas discretos desempeña u papel aálogo a la trasformada de Laplace para sistemas cotiuos. os va a permitir represetar la relació etrada salida de u sistema

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

ANEXO 2 INTERES COMPUESTO

ANEXO 2 INTERES COMPUESTO ANEXO 2 INTERES COMPUESTO EJERCICIOS VARIOS: 1. Adrés y Silvaa acaba de teer a su primer hijo. Es ua iña llamada Luciaa. Adrés ese mismo día abre ua cueta para Luciaa co la catidad de $3 000,000.00. Qué

Más detalles

2 Concepto de Capital Financiero. 3 Comparación de capitales financieros. 3 Ley financiera. 8 Capitalización simple. 14 Capitalización compuesta

2 Concepto de Capital Financiero. 3 Comparación de capitales financieros. 3 Ley financiera. 8 Capitalización simple. 14 Capitalización compuesta MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Ídice Coceptos básicos de la iversió Cocepto de Capital Fiaciero 3 Comparació de capitales fiacieros 3 Ley fiaciera Capitalizació 8 Capitalizació simple 4 Capitalizació

Más detalles

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...} ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

Cuadro II.1 Valores absolutos de peso (kg) de niños y niñas < 5 años de Costa Rica, 1966. pc3. pc25 5.3 5.6 5.7 6.1 7.2 5.5 7.6 7.8 8.4 6.4 7.4 9.

Cuadro II.1 Valores absolutos de peso (kg) de niños y niñas < 5 años de Costa Rica, 1966. pc3. pc25 5.3 5.6 5.7 6.1 7.2 5.5 7.6 7.8 8.4 6.4 7.4 9. II. CRECIMIENTO FÍSICO EN CENTROAMÉRICA Y REPÚBLICA DOMINICANA: MEDIDAS ABSOLUTAS PESO Y TALLA, POR EDAD Y SEXO Y COMPARACIÓN CON EL PATRÓN CRECIMIENTO LA OMS (2005) A. Por países 1. Costa Rica E los cuadros

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.001-.00 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella,

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 98 Cuátas caras cabe esperar? El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 95% (cosideramos casas raros al 5% de los casos extremos)

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.-.3 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida

Más detalles

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.)

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS COCOS. (Resolución por JMEB.) ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LOS MONOS Y LOS OOS. (Resolució por JMEB.) 1. Defiició. El problema cosiste e calcular la catidad de cocos que había iicialmete e u motó que... ierto día se reuiero moos para recoger

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009

MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1 MARTINGALAS Rosario Romera Febrero 2009 1. Nocioes básicas De ició: Sea (; F; P ) u espacio de probabilidad y T 6= ; y sea (F t ) t2t ua ltració e F. Ua familia fx t g t2t de v.a. reales de idas sobre

Más detalles

Tomado del libro Evaluación Financiera de Proyectos de Jhonny de Jesús Meza Orozco Editorial WAKUSARI Bogotá, Año 2004

Tomado del libro Evaluación Financiera de Proyectos de Jhonny de Jesús Meza Orozco Editorial WAKUSARI Bogotá, Año 2004 SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA CENTRO AGROPECUARIO EL PORVENIR MÓDULO FORMULACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS PRODUCTIVOS TALLER 4 TEMA: Evaluació de proyectos de iversió OBJETIVO: Determiar la retabilidad

Más detalles