MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS TEMA: INTERÉS COMPUESTO CONTINUO. Inrés Compuso Coninuo 2. Mono Compuso a Capialización Coninua 3. Equivalncia nr Tasas d Inrés Compuso Discro y Coninuo 4. Equivalncia nr Tasa d Inrés Simpl y Tasa d Inrés Compuso Coninuo 5. Rsumn d Fórmulas Rlaivas al Inrés Compuso Coninuo AUTOR: Tulio A. Mao Duval Sano Domingo, D. N. Rp. Dom.

2 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo MATEMÁTICAS FINANCIERAS INTERÉS COMPUESTO CONTINUO Ya s sabido qu para una asa d inrés nominal consan, si la frcuncia d capialización aumna, concomianmn l mono compuso rsulan ambién aumna. Cuando la frcuncia con la qu l inrés s capializa crc indfinidamn, s habla d qu los inrss gnran inrss n forma coninua, llamándosl inrés compuso coninuo al qu s calcula d s modo. Al rabaar con sa modalidad d inrés, l mono compuso no ind a sr infiniamn grand como a vcs s pinsa, sino qu ind a acrcars a un valor lími. Dducción d la Fórmula dl Mono Compuso a Capialización Coninua Considrmos como puno d parida la fórmula dl mono compuso: n S P ( i ) (A) Dond S s l mono compuso o valor fuuro d un capial inicial P, i s la asa d inrés por priodo d capialización y n s l númro oal d priodos d capialización. forma: Tomando n cuna las fórmulas i y n m., s pud xprsar la cuación (A) d la siguin m m S P ( m ) (B) Dond " " s la asa d inrés compuso anual, " m " la frcuncia d capialización y " " l impo o plazo (n años). Si hacmos m v, d dond: m v y susiuimos n (B), s obin: La cuación (C ) s pud xprsar ambién como: v S P ( v ) (C ) S P [( v ) ] La capialización coninua s da cuando la frcuncia d capialización "m" aumna n forma indfinida; s dcir, cuando " m " ind a infinio ( m ). Si " m " ind a infinio, noncs "v" ambién ind a infinio y, n s scnario, l mono vndría dado por: v v v v v li m S lim P [ ( v) ] P lim [ ( v) ] v D dond: S P [ lim ( v) ] v v Capialización coninua significa qu l inrés s capializa a cada insan.

3 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo Como s dmusra usando l cálculo difrncial qu naurals, noncs s concluy n qu: lim ( v) v, dond s la bas d los logarimos v. S P. c FÓRMULA MONTO COMPUESTO CONTINUO [] Esa fórmula [] prmi obnr l mono compuso d un capial " P " a una asa compusa anual " " qu s capializa coninuamn 2 duran " " años. El inrés compuso gnrado a capialización coninua s obin mdian la fórmula: I S P INTERÉS COMPUESTO CONTINUO [2] O bin dircamn, con la fórmula qu rsula al susiuir a "S " d la fórmula [] n la fórmula [2]:. IP. c P I P. c INTERÉS COMPUESTO CONTINUO [3] La drminación dl capial (o valor acual), dl impo y d una asa nominal capializada coninuamn s. fcúa parindo d la fórmula []: c S P. Dspando s in: ) Valor Acual 2) Timpo S. P S. [4]. Ln S P [5] 3) Tasa Anual d Inrés Capializabl Coninuamn Ln S P c [6] 2 Como la capialización s coninua, noncs l capial crc d manra xponncial. 2

4 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo Emplo Si Oscar Balbuna dposió $32, al 9% anual capializabl coninuamn, drmin l mono y l inrés oal ganado al cabo d 2½ años. P = $32, c = 9% = 2.5 años S =? I =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [], s obin: S 32, $40, La drminación dl inrés oal ganado s fcúa susiuyndo los valors conocidos d "S " y " P " n la fórmula [2]: I 40, ,000 $8, Emplo 2 Marcos Algría l prsa a un amigo $70, por 9 mss, cobrándol un 5% anual convribl bimsral. Al finalizar s plazo, dposia l mono obnido n una cuna d ahorros qu abona l 4.5% compuso coninuamn. Drmin qué mono acumulará l Sr. Algría al cabo d 24 mss. r. Tramo P = $70, = 5% m = 6 i = 5/6= 2.5% bimsral = 0.75 años n bimsrs S =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula dl mono compuso S P ( i ) n, s obin: S 70,000 ( ) 4.5 $78, do. Tramo P = $78, c = 4.5% = 24 9= 5 mss =.25 años S =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [], s obin: S 78, $93,77.60 Emplo 3 Qué canidad habría qu invrir ahora a una asa dl 26.5% compuso coninuamn, para disponr d $65, dnro d 6 mss? S = $78, c = 26.5% = 6 mss = 0.5 años P =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [4], s obin: P 65, $56,

5 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo Emplo 4 Csar Luzón vnd un auomóvil rcibindo un pago inicial y un pagaré por $230, con inrss al 24% anual convribl rimsral y vncimino n 8 mss. A los rs mss d ralizar la ransacción, l Sr. Luzón dscuna l pagaré n su banco n bas a un 25% compuso coninuamn. Obnga l valor líquido dl pagaré. = 8 m. =.5 años P= $230, = 24% m = 4 i = 6% = 25% S 8 mss Pd =? = 5 m. =.25 años P = $230, = 24% m = 4 i = 24 / 4 = 6% rimsral = 8 m. =.5 años n =.5 4 = 6 rimsrs S =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula dl mono compuso vncimino dl pagaré: S 230,000 ( 0.06 ) 6 $326, S P ( i ) n, s obin l valor al Para la opración dl dscuno, nmos: S = $326, c = 25% = 8 3 = 5 mss =.25 años Pd =? Lugo, mdian la fórmula [4] s obin l valor líquido dl pagaré: P d 326, $238, Emplo 5 En cuáno impo (mss) s saldó un présamo d $90, con inrss al 27.5% compuso coninuamn, si s liquidó con un único pago d $05,660.00? P = $90, S = $05, c = 27.5% anual = / 2 mss =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [3], s obin: ln (05,660 90,000 ) 7 mss ( mss) 4

6 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo Emplo 6 Qué asa anual capializada coninuamn abonaba una cuna d ahorros, si un dpósio d $58, s capializó hasa alcanzar la suma d $7, n un plazo d 3 mss? P = $58, S = $7, = 3 mss = 3 / 2 años c =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [6], s obin: ln(7, ,000 ) 0.96 c 9.6% anual (3 2) años año Equivalncia nr Tasas d Inrés Compuso Discro y Coninuo 3 S dic qu dos asas anuals d inrés compuso, una capializada m vcs por año y la ora capializada coninuamn, son quivalns si, al invrir dos capials iguals, s alcanzan monos compusos iguals al cabo dl mismo plazo. Si s invir un capial " P " a un impo d " " años y a una asa anual d inrés compuso discro " " capializabl "m" vcs por año, l mono compuso rsulan "S" srá: S ) m P ( m (A) D igual forma, si s invir l mismo capial " P " a un impo d " " años y a una asa anual d inrés compuso coninuo " c ", l mono compuso rsulan " S c " s obin mdian la fórmula []: Sc P (B) Para asas quivalns rsularán iguals (A) y (B) : P ) m ( m = P c (C ) Si ambos mimbros s dividn nr P y s lvan a /, s in: m ( m ) = c (D ) Dspando a " c " s obin la fórmula qu prmi hallar una asa anual d inrés compuso coninuo, quivaln a una asa anual d inrés compuso discro " " capializabl "m" vcs por año: m [ Ln ( m ) ] [7] 3 Tasa d inrés discra s aqulla qu s aplica cuando l priodo d capialización s una variabl discra, s dcir, cuando l priodo s mid n inrvalos fios d impo, als como años, smsrs, mss, días, c. Cuando l priodo d capialización s infiniamn pquño s habla d una asa d inrés coninuo. 5

7 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo Igualmn si s procd con ambos mimbros d la igualdad ( D ), lvándolos a /m, rsándols la unidad y lugo muliplicándolos por "m", s obin la fórmula con la cual s calcula una asa anual d inrés compuso discro " " capializabl "m" vcs por año, quivaln a una asa anual d inrés compuso coninuo " : m m c [8] D la misma manra qu las dmás asas d inrés compuso, la asa nominal capializada coninuamn " c " ambién in su corrspondin asa fciva. S l llama asa fciva " a la asa d inrés capializada una vz por año qu produc l mismo mono compuso n un año qu la asa anual capializada coninuamn " c ". En conscuncia, para lograr una xprsión para la asa fciva " basa con hacr " m " n la fórmula [8], obniéndos: " " " c [9] Emplo 7 Qué asa nominal capializabl coninuamn s quivaln a un 9% anual convribl rimsralmn? = 9% m = 4 c =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [7], s obin: c 4 [ ln( 0.9 4) ] % Emplo 8 Qué asa capializabl mnsualmn s quivaln a un 2% anual capializabl coninuamn? c = 2% =? m = 2 Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [8], s obin: 2 [ ] % Emplo 9 Cuál s la asa fciva corrspondin a un 26% anual capializabl coninuamn? c = 26% =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [9], s obin: % 6

8 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo Equivalncia nr Tasa d Inrés Simpl y Tasa d Inrés Compuso Coninuo S dic qu una asa d inrés simpl y una asa d inrés compuso coninuo son quivalns si al invrir dos capials iguals, uno d llos a la asa d inrés simpl y l oro a la asa d inrés compuso coninuo, alcanzan igual mono al cabo dl mismo priodo d impo. Si s invir un capial " P " a una asa d inrés simpl anual i " y por un impo d " " años, l mono rsulan " S s " s obin mdian la fórmula dl mono simpl: " s S s P( i ) (A) s Asimismo, si s invir l mismo capial " P " a un impo d " " años y a una asa anual d inrés compuso coninuo ", l mono compuso coninuo S " alcanzado s obin mdian la fórmula dl mono compuso coninuo: " c " c Sc P (B) Igualando (A) y (B), s in: P ( is ) P (C ) Dividindo ambos mimbros nr " P " y dspando a " i s ", s obin la fórmula qu prmi hallar una asa d inrés simpl anual, quivaln a una asa d inrés compuso coninuo conocida: i s. [0] Igualmn si n la igualdad (C ) s dividn ambos mimbros nr " P " y s dspa a ", s obin la fórmula qu prmi hallar una asa d inrés compuso coninuo, quivaln a una asa d inrés simpl conocida: is. Ln c [] " c Emplo 0 Qué asa d inrés simpl anual s quivaln a un 28% anual capializabl coninuamn para un plazo d 2½ años? c = 28% anual = 2.5 años i s =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [0], s obin: i s ( ) % anual 7

9 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo Emplo Qué asa d inrés compuso coninuo s quivaln a una asa d inrés simpl anual dl 7.5% para un priodo d 9 mss? i s = 7.5% = 9 mss = 0.75 años c =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [], s obin: c ln ( ) % anual 0.75 Emplo 2 Qué rsula más vnaoso para una invrsión a 3 años: colocar l capial al 22% simpl anual o al 6.75% compuso coninuamn? Para ralizar la comparación s dbn nr las 2 asas xprsadas n la misma forma. Por ano, s obndrá una asa compusa coninuamn qu sa quivaln al 22% simpl anual. i s = 22% = 3 años c =? Susiuyndo los valors conocidos n la fórmula [], s obin: c ln ( ) % 3 Como: % 6.75% RESPUESTA : Convin invrir al 22% simpl anual. 8

10 Tulio A. Mao Duval Inrés Compuso Coninuo 9