4 Varianza y desviación típica. 6 Covarianza y correlación. 9 Regresión lineal mínimo cuadrática. 22 Riesgo

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3 MÓDULO 1: GESTIÓN DE CARTERAS Índice Conceptos estadísticos Media aritmética y esperanza matemática 4 Varianza y desviación típica 6 Covarianza y correlación 9 Regresión lineal mínimo cuadrática Rentabilidad y Riesgo 18 Rentabilidad Riesgo Teoría de carteras 34 Eficiencia de los mercados 40 Selección de carteras. Modelo de Markowitz 48 Modelo de mercado de Sharpe 58 Modelo de equilibrio de los activos. CAPM Asignación de activos y políticas de inversión 78 Gestión activa y pasiva de carteras 80 Definición de la política de inversión 84 Asignación de activos fikai AULA FINANCIERA

4 Medición y atribución de resultados 9 Introducción 93 Medidas de rentabilidad 97 Medidas de rentabilidad ajustada al riesgo 104 Comparación con un índice de referencia 105 Aplicación al análisis y selección de fondos 108 Atribución de resultados 113 Normas de presentación de resultados. GIPS fikai AULA FINANCIERA

5 MÓDULO 1: GESTIÓN DE CARTERAS Capítulo 1. Conceptos estadísticos 1.1 Media y esperanza Definiciones básicas 1.1. Media muestral y esperanza matemática 1. Varianza y desviación típica 1.3 Covarianza y correlación 1.4 Regresión lineal mínimo cuadrática Línea Característica de un Título (LCT) fikai AULA FINANCIERA 1

6 Media y Esperanza Capítulo 1: Conceptos estadísticos DEFINICIONES BÁSICAS En todo estudio estadístico, el investigador se interesa en una población que es el conjunto de todas las observaciones de interés. Por ejemplo, el Ministerio de Hacienda, está interesado en conocer los salarios de los trabajadores de España, ya que según su cuantía así será la recaudación que esperará obtener en el próximo ejercicio. En estadística definimos variable como la característica de la muestra o población que se quiere observar. Se clasifican de distintas maneras así distinguimos entre variables cuantitativas y cualitativas; continuas y discretas Los parámetros son cualquier medida descriptiva de una población. Se entiende por medida cualquier magnitud que simplifica o resume en un dato la información contenida en toda la población. Así por ejemplo, el salario de todos y cada uno de los trabajadores de España puede ser descrito de manera resumida por el salario medio de esa misma población. La muestra es una parte representativa de la población. Existen métodos para buscar muestras representativas, dado que cualquier subconjunto de una población siendo una muestra, no tiene porque representar las virtudes o defectos de la población, si la muestra no se ha obtenido mediante procedimientos adecuados. Estadístico es la medida que describe una muestra. Es una estimación del parámetro de la población. La muestra es importante ya que las poblaciones pueden ser muy grandes y recoger información de estas es muy costoso. Asimismo, las muestras se recogen rápidamente. Por estas razones, trabajar con estadísticos es conveniente. No obstante, presenta algunas dificultades: a) Errores en el muestreo: diferencia entre el parámetro desconocido de la población y el estadístico de la muestra utilizada. b) Sesgo muestral: es la tendencia a favorecer la elección de ciertos elementos de la muestra en lugar de otros posibles. La estadística tiene dos grandes ramas, una se dedica a describir la información cuantitativa o cualitativa recogida que se pretende analizar. Recibe el nombre de estadística descriptiva, es la que recoge, agrupa, resume y presenta los datos obtenidos. La otra rama de la estadística persigue anticipar resultados y analizando la información pretende descubrir informaciones que permiten conocer lo que ocurrirá. Recibe el nombre de estadística inferencial, persigue como su nombre indica, inferir o concluir datos sobre la población a partir de los datos de la muestra. fikai AULA FINANCIERA

7 1.1. MEDIA MUESTRAL Y ESPERANZA MATEMÁTICA La media muestral se obtiene, a partir de un conjunto de datos muestrales x 1,x,..., xn, al sumar el conjunto de valores de la variable y dividirlo por el numero de observaciones: x = x1 + + x n n Por otra parte, si los valores que puede tomar X están sometidos a incertidumbre, estaremos ante una variable aleatoria que puede tomar los valores x 1,x,..., xn, con probabilidades respectivas P(x ),P(x ),...,P(x ) 1 n. Se define la esperanza matemática o valor esperado de X como: E(X) = x1 P(x 1)+ x P(x )+ + x n P(x n ) EJEMPLO RESUELTO Media y Esperanza Las cotizaciones de las acciones ABC en la última semana han sido: 16,01 ; 16,35 ; 16, ; 16,1 ; 15,94. Calcular su media aritmética. 16,01+ 16, , + 16,1+ 15,94 x = = 16,14 5 Un gestor quiere determinar la cotización de las acciones ABC dentro de un mes, y para ello estima tres posibles escenarios: Escenario Cotización Probabilidad Pesimista 15 0,0 Normal 16,50 0,0 Optimista 17,0 0,60 Calcular la cotización esperada (esperanza matemática de la cotización). E (X) = 15x0,0 + 16,50x0,0 + 17,0x0, 60 = 16,6 fikai AULA FINANCIERA 3

8 Varianza y Desviación Típica Capítulo 1: Conceptos estadísticos A continuación introducimos medidas estadísticas que nos permitan representar la dispersión respecto a la media de un conjunto de datos. De nuevo distinguimos dos casos: Si hacemos referencia a valores pasados (datos conocidos) o si hacemos referencia a valores futuros (incertidumbre en los datos). A partir de un conjunto de datos muestrales x 1,x,..., xn, se define la varianza muestral como el promedio de las desviaciones respecto a su media, elevadas al cuadrado: : (x1 - x) + (x - x) + + (xn - x) S = n y la desviación típica muestral como la raíz cuadrada de la varianza muestral. Por otra parte, si los valores que puede tomar X son x 1,x,..., xn, con probabilidades respectivas P(x1 ),P(x ),...,P(x n ). Se define la varianza poblacional de X como: σ = (x 1 - E(X)) P(x ) + (x - E(X)) P(x ) + + (x 1 n - E(X)) P(x n ) y la desviación típica poblacional como la raíz cuadrada de la varianza poblacional. La desviación típica muestral nos indica la dispersión de una variable respecto a su valor promedio (si disponemos de datos históricos), mientras que la desviación típica poblacional nos indica la fluctuación de una variable respecto a su valor esperado (en el caso de valoración de activos es una medida del riesgo). 4 fikai AULA FINANCIERA

9 EJEMPLO RESUELTO Varianza y Desviación Tipica Las cotizaciones de las acciones ABC en las cinco últimas sesiones han sido: 16,01 ; 16,35 ; 16, ; 16,1 ; 15,94. La media aritmética es 16,146. Calcular la varianza y la desviación típica. Cotización ( x i ) ( x i - x) ( x - x i ) 16,01-0,136 0, ,35 0,04 0, , 0,074 0, ,1 0,064 0, ,94-0,06 0,04436 Σ=0 Σ = 0,111 0,111 S = = 0,044 y S = 0,044 = 0,15 5 EJEMPLO RESUELTO EJMPLO RE Varianza y Desviación Típica Un gestor estima tres posibles escenarios de la cotización de las acciones ABC dentro de un mes: Escenario Cotización Probabilidad Pesimista 15 0,0 Normal 16,50 0,0 Optimista 17,0 0,60 Su cotización esperada es E (X) = 16,6. Calcular la varianza y la desviación típica. Escenario Cotización Probabilidad ( x i - E(X)) ( xi - E(X)) pi ( x i - E(X)) Pesimista 15 0,0-1,6,644 0,5488 Normal 16,50 0,0-0,1 0,0144 0,0088 Optimista 17,0 0,60 0,58 0,3364 0,0184 0,796 La varianza será: σ = 0, 796 y la desviación típica σ = 0,796 = 0,85 fikai AULA FINANCIERA 5

10 Covarianza y Correlación Capítulo 1: Conceptos estadísticos Hasta este momento hemos definido estadísticos referidos a una única característica estadística. Para estudiar la existencia de relación entre dos variables (p.e. entre un índice bursátil y la cotización de un título), necesitamos definir estadísticos que relacionen dos conjuntos de datos. Dados dos conjuntos de datos asociados de la siguiente manera: X x1 x x3 xn Y y1 y y3 yn Se define la covarianza entre X e Y como: S XY (x = 1 - x) (y1 - y)+(x - x) (y - y)+ +(x n n - x) (y La covarianza indica la relación entre la variación de ambas variables y su interpretación es la siguiente: > Si S XY > 0, la relación entre ambas variables es directa, es decir, se mueven en el mismo sentido. > Si S XY < 0, la relación entre ambas variables es inversa, es decir, se mueven en sentido contrario. > Si S XY = 0, no hay relación entre las variaciones de ambas variables. La covarianza entre dos variables se ve afectada por las unidades de medida en las que se expresen las variables, lo que hace necesario introducir un estadístico que nos indique la relación entre los datos, sin depender de las unidades en las que se expresen. Se define el coeficiente de correlación lineal entre X e Y como: n - y) r XY S XY = S S X Y Mide también la relación lineal entre las variables, pero no depende de las unidades de medida y está siempre comprendido entre 1 y 1. 6 fikai AULA FINANCIERA

11 INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL Y > Si r XY 1 relación lineal directa y fuerte Si aumenta el valor de X, aumenta el valor de Y X Y > Si r XY -1 relación lineal inversa y fuerte Si aumenta el valor de X, disminuye el valor de Y X Y > Si r XY 0 no se aprecia relación lineal No se observa relación entre los valores de X e Y. X fikai AULA FINANCIERA 7

12 EJEMPLO RESUELTO Covarianza y Coeficiente de Correlación Las cotizaciones al cierre del Índice de Mercado X y de la acción Y durante los últimos cinco días han sido las siguientes: Día 1 Día Día 3 Día 4 Día 5 Índice X 1376, , , , ,00 acción Y 16,01 16,35 16, 16,1 15,94 Sabiendo que la media del Índice de Mercado X de esa semana ha sido 139,0 y la desviación de 119,666, y que la cotización media de la acción Y ha sido 16,146 con una desviación de 0,1497, calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. x i y ( x i - x) ( y i - y) ( x i - x) ( y i - y) i 1376,30 16,01-195,9-0,136 6, ,50 16,35 43,3 0,04 8, ,40 16, 58, 0,074 4, ,80 16,1 155,6 0,064 9, ,00 15,94-61, -0,06 1,607 Σ = 0 Σ = 0 Σ = 6,348 6,348 S XY 1,4696 S XY = = 1,4696 y rxy = = = 0, S S 119,666 0,1497 Interpretación: r XY = 0, 6961, lo que indica que existe relación directa y no muy fuerte entre la cotización del Índice de Mercado X y la cotización de la acción Y. X Y EJEMPLO PROPUESTO Covarianza y Coeficiente de Correlación Si las cotizaciones al cierre del Índice de Mercado X y de la acción Z durante los últimos cinco días han sido las siguientes: Día 1 Día Día 3 Día 4 Día 5 Índice X 1376, , , , ,00 acción Z 17,79 18,18 18,6 19,10 18,76 Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal entre las cotizaciones del Índice de Mercado X y de la acción Z. 8 fikai AULA FINANCIERA

13 Regresión Lineal Mínimo Cuadrática Capítulo 1: Conceptos estadísticos La regresión lineal mínimo cuadrática nos proporciona una recta que se aproxima en la mayor medida posible a la nube de puntos que resulta al representar los valores de dos series de datos X e Y. El criterio más extendido para el cálculo de esta recta es el Criterio Mínimo Cuadrático, que consiste en minimizar la suma de las desviaciones al cuadrado entre los puntos y la recta. Ecuación de la recta de regresión ŷ (x) (para estimar los valores de Y a partir de los valores de X) S XY ŷ = a +b x, donde a = y - b x y b = S Para analizar la fiabilidad de esta estimación, se utiliza el coeficiente de determinación dado por S XY R = rxy = S S Sus valores cumplen que 0 R 1 y representa la proporción de información de la serie que queda recogida en la recta de regresión (bondad del ajuste). X Y X EJEMPLO RESUELTO Regresión lineal mínimo cuadrática A partir de los datos del ejemplo resuelto anterior sobre la cotización del Índice de Mercado X y los títulos de la acción Y, hallar la recta de regresión que permita estimar la cotización de un título de Y cuando el Índice X alcance los 1400 puntos. La recta de regresión lineal es ŷ = a + b x, donde S = S 1,4696 = 119,666 XY b X = 0,00087 a = y - b x = 16,146-0, ,0 = 4,034 luego: ŷ = a + b x = 4, ,00087 x Para estimar la cotización de la acción Y para un valor del Índice de Mercado X de 1400, sustituimos en la recta de regresión x = 1400 y obtenemos: ŷ (1400) = 4, , = 16,39 Si queremos analizar la fiabilidad de esta estimación, calculamos el coeficiente de determinación R = rxy = 0,6961 = 0, 4845 que nos indica que el 48,45% de la información queda reflejada en esta recta y por tanto, la predicción no es muy fiable. fikai AULA FINANCIERA 9

14 1.4.1 LINEA CARACTERÍSTICA DE UN TÍTULO (LCT) Un ejemplo práctico de regresión lineal mínimo cuadrática lo constituye la Línea Característica de un Título (LCT) o también llamado Modelo de Mercado de Sharpe. Se toma como variable explicada la rentabilidad de un título R it y como variable explicativa la rentabilidad de la cartera de mercado R Mt, realizando la siguiente regresión lineal: R it = α i + β R i Mt + u it donde R it y R Mt son, respectivamente, las rentabilidades del título i y de la cartera de mercado en el momento t ; α i y β i son la ordenada en el origen y la pendiente del ajuste ; y u it es la perturbación aleatoria correspondiente al título i en el momento t. Gráficamente: Rit Línea Característica del Título i R it = α i + β R i Mt + u it αi pendiente=βi RMt La pendiente de la recta LCT representada es lo que se conoce habitualmente como el coeficiente beta del título, que es una medida de la relación entre la evolución de la rentabilidad del título y la del mercado. Las expresiones de β i y de α i obtenidas a través de la regresión lineal son: cov(r,r ) σ i M im β i = = αi = Ei - βi EM σm σm siendo σ im =covarianza entre la rentabilidad del título (R i ) y la del mercado (R M ) σ = varianza de la rentabilidad del mercado M E i = rentabilidad esperada del título E = rentabilidad esperada del mercado M 10 fikai AULA FINANCIERA

15 Distinguimos así entre distintos tipos de valores en función de su beta: Títulos agresivos (β< -1 o β>1). Títulos más arriesgados que el índice representativo del mercado, ya que una variación de un punto en el índice provocará una variación mayor en la rentabilidad del título. Son títulos muy sensibles a las oscilaciones del mercado. Títulos defensivos (-1<β<1). Títulos menos arriesgados que el índice representativo del mercado, ya que una variación de un punto en el índice provocará una variación menor en la rentabilidad del título. Son títulos poco sensibles a las oscilaciones del mercado. Títulos neutros (β=-1 o β=1). Títulos que varían igual que el mercado. De especial interés, si es que existen, son los títulos con beta negativa (superdefensivos), ya que permitirían reducir el riesgo no diversificable. Su precio habrá de ser forzosamente elevado, con lo que su rentabilidad será reducida. Y por las condiciones del modelo, deberán ser (caso de existir), muy pocos, ya que, lógicamente, la beta de la cartera de mercado (media ponderada de las betas de los títulos que cotizan en el mercado) debe ser la unidad. El coeficiente beta opera sobre el rendimiento de los títulos a modo de mecanismo que filtra, amplifica o transmite sin interferencias las fluctuaciones del mercado, según se trate de activos defensivos, agresivos o neutros. EJEMPLO RESUELTO Línea Característica de un Título La rentabilidad media del título A es del 1% y la rentabilidad media de mercado es del 8%. Sabiendo que la varianza de la rentabilidad de mercado es 0,18 y la covarianza entre las rentabilidades del título A y del mercado es 0,3, obtener la Línea Característica del Título. La Línea Característica del título A viene determinada por la expresión: donde: R = α + β R + u At A A Mt At σ AM 0,3 El coeficiente beta del título A respecto al mercado: β A = = = 1, 8 σ 0,18 Estamos ante un título agresivo al ser β >1. M El coeficiente alfa del título A: α = E - β E = 0,1-1,8x0,08 0, 0176 A A A M = En consecuencia la LCT sería: R = 0, ,8 R + u At Mt At fikai AULA FINANCIERA 11

16 RESUMEN DE CONCEPTOS > Media aritmética: Valor promedio de una serie de datos históricos. > Media poblacional o esperanza: Valor esperado de una variable cuando sólo conocemos sus posibles valores y sus probabilidades. > Desviación típica muestral: Desviación respecto a la media de una serie de datos históricos. > Desviación típica poblacional: Desviación respecto a la media de una variable cuando sólo conocemos sus posibles valores y sus probabilidades. RIESGO. > Covarianza: Mide la relación entre la variación de dos series de datos. Depende de las unidades de medida. > Coeficiente de correlación: Mide el grado de relación lineal entre dos series de datos. Siempre está comprendido entre 1 y 1. > Recta de regresión lineal: Recta obtenida a partir de dos series de datos, que nos permite estimar los valores de una de las variables a partir de los valores de la otra. > Coeficiente de determinación: Proporción de información de dos series de datos que queda reflejada en la recta de regresión. 1 fikai AULA FINANCIERA

17 RESUMEN DE FÓRMULAS ESTADÍSTICO DATOS FÓRMULA Media aritmética Esperanza x 1,x,..., x n x x = + + x n 1 x 1,x,..., xn P(x1 ),P(x ),...,P(x n ) E(X) = x1 P(x 1) + + xn P(x n ) n Desviación muestral x 1,x,..., x n S = (x - x) + + (x n 1 n - x) Desviación poblacional x P(x ),P(x 1 1,x,..., xn ),...,P(x n ) σ = (x1 -E(X)) P(x 1) + + (xn -E(X)) P(x n ) Covarianza x 1,x,..., xn (x1 - x) (y1 - y)+ +(x S = y 1,y,..., y XY n n n - x) (y n - y) Coef de correlación x 1,x,..., xn XY r XY = y 1,y,..., yn S X S Y S Recta de regresión x y 1,x,..., xn 1,y,..., yn S ŷ = a + b x donde: a = y - b x b = S XY X Coef de determinación x 1,x,..., xn S XY R = rxy = y 1,y,..., y n S X S Y fikai AULA FINANCIERA 13

18 CUESTIONARIO Capítulo 1: CONCEPTOS ESTADÍSTICOS 1. Las muestras son importantes porque A) En ocasiones las poblaciones son grandes, o muy grandes. B) Recoger información en las poblaciones es costoso. C) Recoger información de las poblaciones requiere mucho tiempo. D) Todas son ciertas.. La media aritmética es A) Una medida alrededor de la cual se sitúan los datos. B) Una medida de tendencia central. C) Gráficamente el punto de apoyo de la distribución. D) Cualquiera de las anteriores. 3. La desviación típica A) Es la media de las desviaciones al cuadrado de los valores respecto a la media. B) Es la raíz cuadrada de la varianza. C) Es la diferencia entre el valor más alto y más bajo. D) Todas son ciertas. 4. Las cotizaciones de ABC en los cuatro últimos días han sido: , y La desviación típica de estos precios es: A) 0,615. B) 17,96. C) 0,7884. D) Ninguna es cierta. 5. El coeficiente de correlación está entre 1 y +1, el valor r = 1 indica: A) Relación positiva perfecta. B) Relación negativa perfecta. C) Que no existe relación. D) Ninguna es cierta. 6. Si el coeficiente de regresión vale,34, el coeficiente de correlación puede valer A) -,34 B) 1,34 C) 0,7 D) -0,7 7. Las rentabilidades anuales observadas en los últimos años para un Fondo de Inversión han sido: 10%, 15%, 0% y - 5%. La desviación típica es: A) 5% B) 7,9056% C) 0% D) Ninguna de las anteriores es correcta. 8. Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la desviación estándar es correcta? A) Es la raíz cuadrada de la covarianza. B) Puede ser positiva o negativa. C) Es la media aritmética de las observaciones por raíz de 5 días. D) Ninguna de las anteriores. 14 fikai AULA FINANCIERA

19 9. Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el coeficiente de determinación es incorrecta? A) Es el cuadrado del coeficiente de correlación. B) Puede ser positivo o negativo. C) Representa la proporción de información reflejada en la recta de regresión. D) Toma valores entre 0 y 1. El siguiente enunciado hace referencia a las dos cuestiones siguientes: Las rentabilidades trimestrales del pasado año del activo ABC y de un índice XYZ fueron las siguientes: 1º trimestre º trimestre 3º trimestre 4º trimestre ABC,5% 1% 10,5% - 4% XYZ 8% 3,1% 0% - 10% 10. La covarianza entre las rentabilidades del activo ABC y del índice XYZ ha sido: A) 54,1671 B) 67,05 C) 16,66875 D) 10, El coeficiente de correlación entre las rentabilidades del activo ABC y del índice XYZ ha sido: A) 5,75% B) 0,971 C) 0,9855 D) Ninguna de las anteriores. 1. Dadas las siguientes estimaciones para el próximo año de la revalorización del índice M en función de cinco escenarios, cuál es la volatilidad de la rentabilidad del índice del próximo año? A) 14,11 % B) 6,30 % C) 11,14 % D) Ninguna de las anteriores. ESCENARIO RENTABILIDAD PROBABILIDAD Pesimista - 18% 0,10 Malo - 4% 0,15 Normal 6% 0,35 Bueno 14% 0,30 Optimista 4% 0, Si la covarianza entre dos series de datos es 0,03, entonces: A) Hay una relación directa y débil entre las dos series de datos. B) Hay una relación inversa entre las dos series de datos. C) Hay una relación directa entre las dos series de datos. D) La covarianza no indica la relación entre las dos variables. 14. Cuál de los siguientes valores NO puede ser un coeficiente de correlación? A) - 1 B) 0 C) 1,1 D) 0,75 fikai AULA FINANCIERA 15

20 15. Si las rentabilidades anuales de un fondo son %,-1,5% y 1,9% respectivamente; calcular la volatilidad del fondo: A),8% B),50% C) 1,63% D) 0,80% 16 fikai AULA FINANCIERA

21 MÓDULO 1: GESTIÓN DE CARTERAS Capítulo. Rentabilidad y Riesgo.1 Rentabilidad.1.1 Rentabilidad histórica de un activo.1. Rentabilidad esperada de un activo.1.3 Rentabilidad esperada de una cartera. Riesgo..1 Volatilidad de un activo.. Volatilidad de una cartera..3 Consecuencias de la hipótesis de normalidad fikai AULA FINANCIERA 17

22 .1 Rentabilidad Capítulo : Rentabilidad y Riesgo La rentabilidad de una inversión se define como la variación porcentual que experimenta el valor de un activo durante un periodo. Distinguiremos entre: > Rentabilidad histórica o rentabilidad al final del plazo. Perfectamente determinada por el precio al inicio del periodo, precio al final del periodo y los ingresos percibidos en el periodo. > Rentabilidad esperada o rentabilidad al inicio del plazo. Sólo puede estimarse a partir de las previsiones que se realicen. En general, dado un periodo T, se utiliza la rentabilidad simple como medida de la rentabilidad y se calcula como: RS T P = T +D P 0 T -P 0 P T : Precio del título al final del periodo T D T : Suma aritmética de todos los ingresos percibidos durante el periodo T. P : Precio del título al inicio del periodo. 0 Al inicio de la inversión, sólo se conoce el valor de P0, por lo que será necesario hacer estimaciones sobre los otros valores para estimar la rentabilidad. Al final de la inversión, todos los valores son conocidos y podemos calcular la rentabilidad obtenida. EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad Simple Hace 6 meses una acción cotizaba a 0, hace 3 meses se cobró un dividendo de y hoy la acción cotiza a 4. Calcular la rentabilidad obtenida RS T = = 0,3 = 30% 0 18 fikai AULA FINANCIERA

23 .1.1 RENTABILIDAD HISTÓRICA DE UN ACTIVO Se denomina rentabilidad histórica de un activo a la rentabilidad media calculada a partir de los datos que históricamente se han producido durante el período que interese considerar. EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad Histórica Si las cotizaciones de las acciones de ABC, a 31 de diciembre han sido: Cotización 9,88 13,37 14,14 15,85 13,90 9,1 Dividendos 0,646 0,33 0,350 0,3450 0,3930 La rentabilidad simple para el año 010 ha sido: 13,37 + 0,646-9,88 RS 010 = = 0,38 = 38% 9,88 Procediendo análogamente para el resto de los años, obtenemos las rentabilidades simples anuales, que resultan: Rentabilidad 38% 8,18% 14,39% -10,13% -31,56% Por lo tanto la rentabilidad anual media de este periodo ha sido: ,18 +14,39-10,13-31,56 R T = = 3,776% 5 Para calcular la rentabilidad media del periodo, se utiliza la media geométrica de las rentabilidades anuales (más adecuada para promediar rentabilidades que la media aritmética). TGR = 5 T (1+ 0,38) (1+ 0,0818) (1+ 0,1439) (1-0,1013) (1-0,3156) -1= 0,9875 %.1. RENTABILIDAD ESPERADA DE UN ACTIVO Nos planteamos ahora el caso en el que los datos no son conocidos con certeza, sino que están sometidos a incertidumbre y el gestor debe realizar estimaciones sobre las posibles rentabilidades y sus probabilidades correspondientes basándose en su conocimiento del mercado, en unos escenarios (optimista, normal, pesimista,...), en las tendencias previsibles, o incluso utilizar la media histórica como un dato de referencia a tener en cuenta. En este caso, después de todas las consideraciones anteriores, se habrá construido una variable aleatoria de la forma: fikai AULA FINANCIERA 19

24 Escenario Rentabilidad Probabilidad 1 R1 p1 R p n Rn Pn A partir de la tabla anterior se define la rentabilidad esperada del activo considerado como la esperanza matemática de la variable definida. EJEMPLO RESUELTO ET = R1 p1 +R p + +Rn pn = ΣR jp j Rentabilidad Esperada Para el próximo trimestre, un asesor de inversiones estima que son posibles las siguientes rentabilidades para un activo A, según los diferentes escenarios que se recogen en la siguiente tabla. Calcular la rentabilidad trimestral esperada. Escenario Rentabilidad Probabilidad Pesimista -% 0,5 Normal,5% 0,50 Optimista 5% 0,5 ET= -% 0,5 +,5% 0,50 + 5% 0,5 = % trimestral En muchos casos, resulta interesante a efectos comparativos disponer de la rentabilidad expresada en términos anuales. Para expresar la rentabilidad de un periodo trimestral, semestral, cuatrimestral... en términos anuales, podemos aplicar una regla proporcional si suponemos: >Que los intereses obtenidos no se reinvierten. >Que el comportamiento de la inversión se va a repetir a lo largo del año. Por tanto, si dividimos el año en N períodos, la expresión de la rentabilidad anualizada esperada es: E1= N EN En la práctica habitual de mercado, se suele anualizar rentabilidades mensuales (N=1), semanales (N=5) o diarias (N=50). EJEMPLO RESUELTO Anualizar las siguientes rentabilidades: Rentabilidad Anualizada > E4 = % trimestral E1 = 4 E4=8% anual > E3 =,5% cuatrimestral E1 = 3 E3= 7,% anual > E5 = 0,19 semanal E1 = 5 E5= 9,88 % anual 0 fikai AULA FINANCIERA

25 .1.3 RENTABILIDAD ESPERADA DE UNA CARTERA Dada una cartera formada por n títulos, con rentabilidades esperadas E1, E,... En y proporciones x1, x,..., xn respectivamente, se define la rentabilidad esperada de la cartera, y se denota Ep, como: Ep = x1 E1 + x E + + xn En = Σxj Ej Observaciones: >Al ser x1, x,..., xn las proporciones de los respectivos activos, se cumple que x1 + x xn = 1 y por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera es la media ponderada de las rentabilidades de cada uno de los títulos. >Para formar una cartera con la máxima rentabilidad con unos activos determinados, hay que invertir todo el capital en el título que ofrezca la mayor rentabilidad esperada. EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad Esperada de una Cartera Calcular la rentabilidad esperada de una cartera compuesta por 1000 en acciones, 600 en bonos y 400 en depósitos bancarios, suponiendo que las rentabilidades esperadas son del 10%, 5,5% y 3% respectivamente. Activo Inversión R. Esperada Peso Contribución Acciones % 0,5 5% Bonos 600 5,5% 0,3 1,575% Depósitos 400 3% 0, 0,6% TOTAL ,175% El rendimiento esperado de la cartera es del 7,175%, del cual se obtiene un 5% a través de las acciones, un 1,575% a través de los bonos y un 0,6% a través de los depósitos. Es evidente que si disponemos de 000 para formar una cartera con estos tres activos, obtendremos el mayor rendimiento esperado si destinamos los 000 a la compra de acciones, pero esta elección tendría un mayor riesgo que el reparto original. fikai AULA FINANCIERA 1

26 . Riesgo Capítulo : Rentabilidad y Riesgo Según la R.A.E., el término riesgo significa contingencia o proximidad de un daño. En términos financieros, entenderemos el daño como la posibilidad de obtener una rentabilidad negativa, o bien de ganar menos de lo esperado. Por tanto, definiremos riesgo como la incertidumbre que genera la fluctuación de la rentabilidad de un activo en torno a su rentabilidad esperada, de forma que cuanto mayor sea la fluctuación, más arriesgado será el título. Para medir numéricamente el riesgo de un activo, utilizaremos la desviación típica de su rentabilidad...1 VOLATILIDAD DE UN TÍTULO Se define la volatilidad de un activo como la desviación típica de su rentabilidad. Mide el grado de dispersión de la rentabilidad respecto a la rentabilidad esperada y se denota T. EJEMPLO RESUELTO Volatilidad de un Título Con los mismos datos que en el ejemplo visto en el apartado.1.., calcular la volatilidad del activo A. Escenario Ri pi Ri-ET (Ri-ET) pi (Ri-ET) Pesimista -% 0,5-4% 16 4 Normal,5% 0,50 0,5% 0,5 0,15 Optimista 5% 0,5 3% 9,5 Calculamos primero la varianza, haciendo la suma de la última columna y obtenemos = 6,375, y si extraemos la raíz cuadrada, obtenemos la volatilidad =,55%. De manera análoga a la rentabilidad anualizada, podemos plantearnos el cálculo de la volatilidad anualizada de un título haciendo: 1= N N fikai AULA FINANCIERA

27 .. VOLATILIDAD DE UNA CARTERA Para calcular la volatilidad de una cartera, no sólo debemos tener en cuenta las volatilidades de cada uno de los títulos, sino que debemos considerar también el grado de correlación que presentan entre sí los títulos que la componen. Se define la volatilidad de una cartera como la desviación típica de la rentabilidad de la cartera y se denota P. > Caso de una cartera formada por dos títulos σ P = x1 σ 1 + x σ + x1 x σ 1 o σ P = x1 σ1 + x σ + x1 x ρ1 σ1 σ > Caso de una cartera formada por tres títulos σ P = x σ + x σ + x σ + x x σ + x x σ + x x σ > En el caso de una cartera compuesta por más de tres títulos, la expresión se generaliza análogamente. De mayor importancia que la fórmula exacta es observar el hecho de que el riesgo de una cartera depende en gran medida de la correlación entre los títulos que la componen, como veremos posteriormente. EJEMPLO RESUELTO Volatilidad de una Cartera Supongamos que disponemos de información sobre la rentabilidad esperada, la volatilidad y la correlación entre tres activos (Acciones, Bonos y Depósitos). Calcular la volatilidad de una cartera formada por un 50% de acciones, un 30% de Bonos y un 0% de Depósitos. Activo Peso R. Esperada Riesgo Correlaciones Acciones Bonos Depósitos Acciones 0,5 10% 5% 1 0,47 0,05 Bonos 0,3 5,5% 7% 0,47 1 0,3 Depósitos 0, 3% % 0,05 0,3 1 En primer lugar, tenemos que calcular las covarianzas entre las rentabilidades de los distintos activos, recordando que ij = ij i j. 1 = 0,47 0,5 0,07 = 0, = 0,05 0,5 0,0 = 0, = 0,3 0,07 0,0= 0,0004 Ahora podemos aplicar la fórmula, obteniendo: 0,5 0,5 0,3 0,07 0, 0,0 luego P= 0, = 0,1365 0,5 0,3 0,008 0,5 0, 0,0005 0,3 0, 0,0004 fikai AULA FINANCIERA 3

28 Se puede demostrar que la cartera de mínimo riesgo formada por dos títulos es la que se construye con las siguientes proporciones: x 1 = σ 1 σ - + σ σ 1 - σ 1 x = 1- x 1 = σ 1 σ σ σ 1 - σ 1 EJEMPLO RESUELTO Carteras de Mínimo Riesgo Supongamos una cartera formada por dos títulos A y B, con rentabilidades esperadas del 4% y 1%, y volatilidades del 30% y del 15% respectivamente. Supongamos que el coeficiente de correlación entre las rentabilidades es de 0,. Calcular: 1.- La rentabilidad y la volatilidad de una cartera compuesta por un 5% de A y un 75% de B..- Las proporciones de A y B que forman la cartera de mínimo riesgo, así como la rentabilidad esperada y volatilidad de dicha cartera. 1.- EP = 0,5 0,4 + 0,75 0,1 = 0,15 = 15% P = 0,5 0,30 + 0,75 0,15 + 0,5 0,75 0, 0,30 0,15 =14,716%.- σ1 = ρ1 σ1 σ = 0, 0,30 0,15 = 0,0090 0,15-0,0090 x1= = 0,149 = 14,9 % 0,30 + 0,15-0,0090 x= 1-x1 = 0,8571 = 85,71 % La rentabilidad esperada y la volatilidad de esta cartera serán: Ep= 0, ,8571 0,1 = 0,1371 = 13,71% P = 0,149 0,3 + 0,8571 0,15 + 0,149 0,8571 0, 0,3 0,15 = 14,343% Observamos que para la cartera con el mínimo riesgo, la rentabilidad esperada es menor, pero el riesgo es incluso inferior al riesgo del activo más seguro. 4 fikai AULA FINANCIERA

29 ..3 CONSECUENCIAS DE LA HIPÓTESIS DE NORMALIDAD En la práctica, se acepta que una serie de datos referida a la rentabilidad de un activo o una cartera sigue una Ley Normal, que se caracteriza por dos parámetros: la rentabilidad esperada (esperanza matemática) y la volatilidad (desviación típica). 16% 68% E(x)- E(x) E(x)+ En el caso de que la rentabilidad de un activo o de una cartera se ajuste a una ley normal de media E y desviación típica, podemos afirmar que: > Hay aproximadamente una probabilidad del 68% de que la rentabilidad del activo se encuentre entre E- y E+. El 3% restante se reparte entre la probabilidad de que la rentabilidad sea mayor que E+ (16%) y la probabilidad de que la rentabilidad sea menor que E- (16%). > Hay aproximadamente una probabilidad del 95% de que la rentabilidad del activo se encuentre entre E- y E+. El 5% restante se reparte entre la probabilidad de que la rentabilidad sea mayor que E+ (,5%) y la probabilidad de que la rentabilidad sea menor que E- (,5%). > Hay aproximadamente una probabilidad del 99% de que la rentabilidad del activo se encuentre entre E-3 y E+3. El 1% restante se reparte entre la probabilidad de que la rentabilidad sea mayor que E+3 (0,5%) y la probabilidad de que la rentabilidad sea menor que E-3 (0,5%). EJEMPLO RESUELTO Supuestos de la Hipótesis de Normalidad Una cartera tiene una rentabilidad esperada del 15% con una volatilidad del 10%. Hallar intervalos alrededor de la rentabilidad media con probabilidades del 68% y del 95% respectivamente. Si aceptamos que la rentabilidad sigue una ley Normal, podemos afirmar que: > Existe una probabilidad del 68% de que la rentabilidad se encuentre entre y Por tanto, el intervalo (5%, 5%) concentra una probabilidad del 68%. > Existe una probabilidad del 95% de que la rentabilidad se encuentre entre y Por tanto, el intervalo (-5%, 35%) concentra una probabilidad del 95%. fikai AULA FINANCIERA 5

30 RESUMEN DE CONCEPTOS > Rentabilidad Simple de una inversión: Variación porcentual que experimenta el valor de un activo durante un periodo. > Rentabilidad Histórica de un activo: Determinada por el precio al inicio del periodo, precio al final del periodo y los ingresos percibidos en el periodo. Para calcular la rentabilidad media de un periodo de varios años, se utiliza la media geométrica de las rentabilidades anuales. > Rentabilidad Esperada de un activo: Al inicio de la inversión, sólo se conoce el valor de P0, por lo que habrá que hacer estimaciones sobre los otros valores para estimar la rentabilidad. Es la esperanza matemática de la rentabilidad. > Rentabilidad Esperada Anualizada de un activo: Es la rentabilidad anual que se obtendría suponiendo que los intereses obtenidos no se reinvierten y que el comportamiento de la inversión se va a repetir a lo largo del año. > Rentabilidad Esperada de una cartera: Media ponderada de las rentabilidades de cada uno de los títulos, ponderada por los pesos de los títulos en la composición de la cartera. > Riesgo: Incertidumbre que genera la fluctuación de la rentabilidad de un activo en torno a su rentabilidad esperada > Volatilidad de un título: Medida del riesgo. Desviación típica de la rentabilidad. > Volatilidad de una cartera: Medida del riesgo de una cartera. No coincide con la media ponderada de las volatilidades de cada título. > Consecuencias de la hipótesis de normalidad: Si la rentabilidad sigue una Ley Normal, la probabilidad de que la rentabilidad de un activo se encuentre entre E - y E + es del 68% y la probabilidad de que la rentabilidad de un activo se encuentre entre E - y E + es del 95%. 6 fikai AULA FINANCIERA

31 RESUMEN DE FÓRMULAS CONCEPTO DATOS FÓRMULA Rentabilidad Simple Rentabilidad Histórica PT=Precio final PT +D DT=Dividendos RST = P0=Precio final P0 T -P RS1,RS,..., RSN TGR = N (1+RS ) (1+RS ) 1 N 1 N - 0 Rentabilidad Esperada Rentabilidad Esperada Anualizada Rentabilidad esperada de una cartera R1,..., Rn p1,..., pn N = número de períodos en los que dividimos el año x,..., x proporciones 1 E,...,E 1 n n rentabilidades ET = R1 p1 +R p + +Rn pn = ΣRj pj E1= N EN Ep = x1 E1 + x E + + xn En = Σxj Ej Volatilidad de un título R1,..., Rn σ p1,..., pn p = (R1 -ET ) p1 + + (Rn -ET ) pn Volatilidad Anualizada N = número de períodos en los que dividimos el año 1= N N Volatilidad de una cartera ( títulos) x, x proporciones 1 σ, volatilidades σ P = x1 σ1 + x σ + x1 x σ1 1 σ Volatilidad de una cartera (3 títulos) x 1 1,x,x 3 3 proporciones σ, σ,σ volatilidades σ ij covarianzas σ P = x 1 σ1 +x σ +x 3 σ3 + x x σ 1 1+ x x σ x x 3 σ3 Proporciones mínimo riesgo ( activos) x, x proporciones 1 σ, volatilidades 1 σ σ covarianza 1 x 1 = σ 1 σ - + σ σ 1 - σ 1 x = 1- x 1 Consecuencias de normalidad E, P(E-, E+ )= 0,68 P(E-, E+ )= 0,95 fikai AULA FINANCIERA 7

32 CUESTIONARIO Capítulo : RENTABILIDAD Y RIESGO 1. Aunque en finanzas vinculamos el concepto de riesgo a un determinado estadístico, cuál de las siguientes definiciones podría también aproximar el concepto de riesgo? A) Posibilidad de obtener una rentabilidad negativa. B) Existencia de una elevada fluctuación de la rentabilidad del activo respecto al valor de su rentabilidad esperada. C) Posibilidad de obtener una rentabilidad inferior a la que ofrece el activo libre de riesgo. D) Todas podrían aproximarse al concepto de riesgo.. Con criterio de buen gestor elija entre las siguientes opciones A) Una cartera formada por 0 títulos con rentabilidad media del 3% y volatilidad %. B) Un activo con rentabilidad media del 3% y volatilidad %. C) Una cartera formada por 10 títulos con rentabilidad media del 3% y volatilidad %. D) Dependerá de las preferencias del usuario. 3. A la hora de calcular la rentabilidad de una cartera A) No influirá el nivel de correlación entre los activos. B) Se calcula como media ponderada de las rentabilidades de los activos, considerando la ponderación como el peso del activo en la cartera. C) Nunca podrá superar la rentabilidad del activo más rentable. D) Todas son ciertas. 4. Al incrementar la rentabilidad de la cartera A) siempre incrementaremos el riesgo B) siempre incrementaremos la incertidumbre vinculada al nuevo valor de rentabilidad C) siempre nos alejaremos de la cartera optima D) todas son falsas 5. La elección de la cartera óptima, que combine un determinado nivel de riesgo y rentabilidad, dependerá A) De los criterios del consumidor, dadas sus curvas de preferencias. B) El concepto de cartera óptima es totalmente objetivo y a priori podemos conocer cuál es la cartera óptima. C) De cómo se encuentre el mercado. D) Todas son falsas. 6. Un mercado de acciones presenta una desviación típica mensual con respecto a su rentabilidad igual al %. Cuál de los valores siguientes aproxima mejor la estimación de la desviación típica anual de dicho mercado? A) 4% B) 1% C) 7% D) 10% 8 fikai AULA FINANCIERA

33 7. Cuando en finanzas hablamos de volatilidad o riesgo de un instrumento financiero, a qué operador estadístico nos estamos refiriendo? A) Raíz de la varianza. B) Desviación típica. C) A la raíz del sumatorio de las desviaciones con respecto a la media al cuadrado, dividido entre el número de datos D) Todas son ciertas. 8. Esta mañana ha llegado a nuestra oficina un cliente y nos ha pedido que le construyamos una cartera con dos instrumentos financieros, tratando únicamente de maximizar su rentabilidad. Las rentabilidades medias son del 5% y del 7%, y volatilidades del,5% y del 3% respectivamente. Cuál sería la ponderación asignada a cada uno de los instrumentos? A) El óptimo estaría en un 50% de cada uno. B) No hay una cartera óptima en este caso. C) Crearía una cartera únicamente con el instrumento más rentable. D) Tendría que tener en cuenta la correlación para maximizar la rentabilidad. 9. Rentabilidad y riesgo son dos conceptos estrechamente vinculados en la gestión de toda cartera. Cuál de las siguientes opciones sería la más deseable desde el punto de vista de la racionalidad económica? A) Cartera A: Rentabilidad muy alta / Volatilidad menor que cero. B) Cartera A: Rentabilidad alta / Volatilidad menor que cero. C) Cartera A: Rentabilidad cero / Volatilidad cero. D) Cartera D: Rentabilidad alta / Volatilidad cero. 10. El objetivo de la diversificación dentro de una cartera será obtener A) Aumentos de la rentabilidad. B) Una rentabilidad media unido a un determinado riesgo medio. C) Incrementos del número de títulos. D) Reducción del riesgo. 11. Considera una cartera P de acciones A, B y C con las siguientes características: Acción Nº de Acciones Precio por acción Rentabilidad en la Cartera P en Esperada Varianza Beta A % 0,01 0,6 B % 0,04-0, C % 0,09 1,4 Cuál es la rentabilidad esperada de la cartera P? A) 13.0% B) 8.80% C) 10.00% D) Ninguna de las respuestas anteriores. 1. Un título con una rentabilidad esperada del 10% y una volatilidad del 6% que siga una Ley Normal tiene una probabilidad aproximada del 68% de que su rentabilidad oscile entre: A) Un 4% y un 16%. B) Un -8% y un 48%. C) Un -% y un %. D) Un 0% y un 34%. fikai AULA FINANCIERA 9

34 13. Los activos A y B tienen una desviación estándar de 10% y 0% respectivamente. La correlación entre el activo A y B es de -1. Cuál será la desviación estándar de una cartera compuesta por la mitad del activo A y por la mitad del activo B? A) 10%. B) 15%. C) 5%. D) 30%. 14. Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la desviación estándar es correcta. A) Es la raíz cuadrada de la varianza. B) Puede ser positiva o negativa. C) Es la media aritmética de las observaciones. D) Ninguna de las anteriores es correcta. 15. La rentabilidad anual de una cartera ha sido la siguiente: 1 er año: 14%, año: 19%, 3 er año: -10%, 4 año: 14%. Calcular la rentabilidad geométrica de la cartera durante estos 4 años. A) 8,6. B) 9,5. C) 14,5. D) No puede ser calculada debido a que la rentabilidad del tercer año fue negativa. 16. Un mercado de acciones presenta una desviación típica semanal con respecto a su rentabilidad igual al 3 % Cuál de los valores siguientes aproxima mejor la estimación de la desviación típica anual de dicho mercado? A) 150 % B) 1 % C) 10 % D) 5 % 17. Si las rentabilidades obtenidas por un fondo de inversión durante los últimos 3 años han sido, respectivamente, 8 1%, - 3 3% y 5 80%, la tasa geométrica de rentabilidad será: A) 10,69 % B) 3,6 % C) 5,34 % D) 3,45 % 18. Qué método es el más adecuado para medir la rentabilidad obtenida por un gestor en el pasado? A) Media aritmética. B) Composición o media geométrica. C) TIR. D) Plusvalías latentes. 19. Dos acciones A y B presentan una correlación entre sus rentabilidades igual a 0,8. Esto significa que las rentabilidades de los títulos tienen a moverse: A) En dirección opuesta y con la misma intensidad. B) En la misma dirección y con intensidad diferente. C) En direcciones opuestas y con intensidad diferente. D) En la misma dirección y con la misma intensidad. 30 fikai AULA FINANCIERA

35 0. Cuál será la rentabilidad geométrica anualizada de una inversión que genera los siguientes flujos de caja anuales? A) 6,40% B) 18,37% C) 66,67% D) 5,99% Años Inicio de la Fin de la inversión inversión Entre dos activos cualesquiera, se considera más arriesgado: A) El que tenga mayor volatilidad. B) El que tenga menor liquidez. C) El que tenga menor coeficiente de correlación. D) El que tenga mayor rentabilidad esperada.. La volatilidad de un activo se mide mediante: A) La varianza. B) La desviación típica. C) La covarianza. D) El coeficiente de correlación. 3. Cuanto más bajo sea el coeficiente de correlación entre dos activos de una cartera: A) Mayor será la varianza de la cartera. B) Mayor será la rentabilidad de la cartera. C) Menor será la varianza de la cartera. D) No depende de la correlación. 4. Supongamos que la variable aleatoria "rendimiento esperado" de un activo financiero sea continua y presente una distribución normal de frecuencias. Si la media de los rendimientos referidos a un período temporal dado es el 9% y la desviación estándar es el 3%, cuál es la probabilidad de que el rendimiento del activo se sitúe entre el 3% y el 15%? A) Cerca del 50%. B) Cerca del 68%. C) Cerca del 99%. D) Cerca del 95%. 5. La rentabilidad anual de una cartera ha sido la siguiente: 1er año: 10%. º año: 15%. 3er año: -1%. Calcular la rentabilidad geométrica de la cartera durante estos 3 años: A) 3,64. B) 3,5. C) 4,5. D) No puede ser calculada debido a que la rentabilidad del tercer año fue negativa. fikai AULA FINANCIERA 31

36 6. Una inversión por un valor de ha reportado unos dividendos semestrales de 43, 40 y 105. Al año y medio se ha liquidado la inversión por un valor de La rentabilidad simple obtenida ha sido: A) 7,31% B) 9% C) 16,31% D) 10,60% 7. Dos acciones A y B presentan una desviación típica anual con respecto a su rentabilidad igual, respectivamente, al 0% y al 1%, así como un coeficiente de correlación entre rentabilidades igual a 0. Cuál sería la desviación típica de una cartera que contuviera ambos títulos igualmente ponderados? A) 14,% B) 0% C) 11,66% D) 16% 8. Si las rentabilidades anuales de un fondo han sido: 40%, 10%, -% A) Su desviación típica es de 17,66% B) Su desviación típica es de 3,9% C) Su desviación típica es de 5,% D) Ninguna de las anteriores. 9. Indique cuál es la rentabilidad total anualizada de un fondo que ha obtenido un 6% en su primer año, y un 1,5% en su segundo año. A) 9,5%. B) 18,50%. C) 9,0%. D) 9,50%. 30. La cartera de un inversor esta constituida únicamente por 4 títulos. Sabiendo que la cartera tiene el mismo peso y que sus rentabilidades respectivas son iguales a 3,%, 3,6%, 4% y,4% cuál es la tasa de rentabilidad global de la cartera? A) 3,3%. B) 3,6%. C),4%. D) 3,10% 3 fikai AULA FINANCIERA

37 MÓDULO 1: GESTIÓN DE CARTERAS Capítulo 3. Teoría de carteras 3.1 Eficiencia de los mercados Concepto de mercado eficiente 3.1. Las diferentes hipótesis de eficiencia de los mercados Anomalías en el mercado financiero 3. Selección de carteras 3..1 Modelo de H. Markowitz 3.. Concepto de diversificación de carteras 3.3 Modelo de mercado de Sharpe Justificación del modelo 3.3. Beta de un título Rentabilidad esperada y riesgo de un título Beta de una cartera Rentabilidad esperada y riesgo de una cartera 3.4 Modelo de equilibrio de los activos. Capital Asset Pricing Model (CAPM) Carteras Mixtas 3.4. Capital Market Line (CML) Security Market Line (SML) fikai AULA FINANCIERA 33

38 3.1 Eficiencia de los Mercados Capítulo 3:Teoría de carteras Uno de los conceptos claves de las finanzas corporativas es la teoría de los mercados eficientes, que surgió como respuesta a la cuestión de cómo pueden crear valor los analistas financieros, los gestores de patrimonio y los tesoreros. Resulta práctico distinguir niveles de eficiencia del mercado, dependiendo de la cantidad de información que se refleja en los precios CONCEPTO DE MERCADO EFICIENTE Se dice que un mercado de valores es eficiente cuando la competencia entre los distintos participantes que intervienen en el mismo, guiados por el principio del máximo beneficio, conduce a una situación de equilibrio en la que el precio de mercado de cualquier título constituye una buena estimación de su precio teórico o intrínseco (valor actual de todos los flujos de caja esperados). Dicho de otra forma, los precios de los títulos que se negocian en los mercados financieros eficientes reflejan toda la información disponible y ajustan total y rápidamente la nueva información. Además, se supone que dicha información es gratuita. Si todos los títulos están perfectamente valorados, los inversores obtendrán un rendimiento sobre su inversión que será el apropiado para el nivel de riesgo asumido, sin importar cuáles sean los títulos adquiridos. Es decir, en un mercado eficiente todos los títulos estarán perfectamente valorados, por lo que no existirán títulos sobre o infravalorados, con lo que el valor actual neto de la inversión será nulo. Esto implica que si el mercado es eficiente, el tiempo, el dinero y el esfuerzo gastados en el análisis del valor intrínseco de los títulos serán inútiles. Si en un mercado eficiente se produjese una disparidad entre el precio de mercado de un título y su valor intrínseco, ésta sería aprovechada por los especuladores avispados que actuarían en consecuencia para beneficiarse de dicha "ineficiencia temporal". Si, por ejemplo, el título estuviese infravalorado dichos especuladores lo adquirirían, con objeto de obtener una rápida ganancia de capital, lo que crearía una presión de la demanda sobre dicho título que impulsaría su precio hacia arriba hasta situarlo en su valor intrínseco. Si, por el contrario, el título estuviese sobrevalorado esos mismos especuladores lo venderían con lo que el precio del mismo descendería, debido a la presión de la oferta, hasta situarse en su valor teórico. 34 fikai AULA FINANCIERA

39 Resumiendo, sólo los más avispados sacarán un beneficio de las ineficiencias temporales (cuantos más especuladores de este tipo haya menor será el beneficio), el resto de los participantes creerá realmente encontrarse en un mercado eficiente. Como es lógico, existe una gran dificultad a la hora de estimar el precio teórico de un título cualquiera; dado que tanto las expectativas sobre los dividendos futuros, como el horizonte económico de la planificación, o las predicciones sobre la evolución del marco socioeconómico, son diferentes para cada inversor en particular. Ahora bien, si el mercado es eficiente, las múltiples estimaciones del valor de un activo financiero deberán oscilar de forma aleatoria alrededor de su verdadero valor intrínseco. Por tanto, todos los inversores tienen las mismas probabilidades de ganar o perder (la mayor rentabilidad que algunos inversores puedan obtener sobre el resto, será producto del azar). Este tipo de mercado debe ser forzosamente competitivo, puesto que es la única manera de que toda la información que afecte al valor intrínseco de los títulos se refleje inmediatamente en sus precios. Concretando, alguien podría pensar que si fuese capaz de predecir cuándo va a producirse una nueva información y cómo afectaría a los precios de los títulos estaría en ventaja con respecto a los demás competidores; por desgracia, la nueva información no se puede predecir antes de que se produzca porque si así fuese la predicción formaría parte de la información actual. Por lo tanto, las alteraciones en los precios, reflejarán precisamente lo impredecible por los operadores. Esto hace que la serie de cambios en los precios sigan un modelo de recorrido aleatorio 1. La razón de que los cambios en los precios sean aleatorios se debe a que los participantes en el mercado financiero son racionales y se mueven en un ambiente de competencia, tal y como ya señalábamos más arriba. Por tanto, si los precios se determinan racionalmente, sólo la nueva información producirá alteraciones en los mismos y el recorrido aleatorio será el resultado natural de los precios, que reflejen siempre todo el conocimiento disponible actualmente por el mercado financiero en su totalidad. Eugene Fama (1965) resume todo lo anterior en dos puntos: 1º) Los precios actuales cambiarán rápidamente para ajustarse al nuevo valor intrínseco derivado de la nueva información. º) El tiempo que transcurre entre dos ajustes sucesivos de precios (o entre dos informaciones sucesivas) de un mismo título es una variable aleatoria independiente. 1 La idea aquí utilizada es que al referirnos al "recorrido aleatorio" queremos hacer mención a que las variaciones en los precios de los títulos son impredecibles. fikai AULA FINANCIERA 35

40 Características de un mercado eficiente desde el punto de vista operacional: Flexibilidad: No existen costes de gestión ni transacción ni impuestos. Libertad: No existen restricciones de entrada ni de salida para los miembros del mercado. Estabilidad: No existen fluctuaciones en los tipos de interés ni en los precios. Homogeneidad: Los activos financieros son homogéneos e infinitamente divisibles. Características de un mercado eficiente desde el punto de vista de la información: Transparencia: toda la información relevante es pública y conocida por todos los miembros del mercado, que actúan inmediatamente para que se ajusten los precios. Amplitud: existe un número elevado de inversores, de manera que ninguno de ellos es lo suficientemente importante como para influir en los precios LAS DIFERENTES HIPÓTESIS DE EFICIENCIA DE LOS MERCADOS La hipótesis débil del mercado eficiente En la hipótesis débil se supone que cada título refleja totalmente la información contenida en la serie histórica de precios, es decir, toda la información pasada. Los inversores, por lo tanto, no pueden obtener rentabilidades superiores analizando dichas series o ideando reglas de comportamiento de los precios basadas en ellas, puesto que todos los participantes del mercado habrán aprendido ya a explotar las señales que dichas series de precios pueden mostrar y actuarán en consecuencia. Según esta hipótesis ningún inversor podrá conseguir un rendimiento superior al del promedio del mercado, analizando exclusivamente la información pasada (la serie histórica de precios) y si lo logra será sólo por azar. Bajo esta hipótesis de eficiencia el análisis técnico sería inútil. Ahora bien, si el mercado se ajusta a esta hipótesis, un inversor sí podrá "batir al mercado" utilizando la información hecha pública y la información privilegiada. Es decir, un mercado satisface el criterio débil de eficiencia si los precios actuales reflejan toda la información contenida en los precios pasados. 36 fikai AULA FINANCIERA

41 3.1.. La hipótesis intermedia del mercado eficiente Según esta hipótesis, un mercado es eficiente en su forma intermedia cuando los precios reflejan, no sólo toda la información pasada, sino también toda la información hecha pública acerca de la empresa o de su entorno, que pueda afectar a cada título en particular (informe de resultados, plan de negocios, estrategias, anuncios de dividendos, balances anuales, trimestrales, variación del tipo de interés, etc.). Si la eficiencia del mercado se ajusta a dicha hipótesis, la persona que emplee el análisis fundamental para intentar lograr un rendimiento superior a la media del mercado está perdiendo el tiempo, puesto que la cotización de los títulos ya refleja exactamente su valor teórico o intrínseco. La única forma de lograr un rendimiento superior al promedio, que no sea por medio del azar, es a través de la utilización de la información privilegiada. También es conocido como el criterio semifuerte de eficiencia. Esto requiere que ningún inversor sea capaz de mejorar su predicción de las oscilaciones futuras de los precios mediante el análisis de noticias macroeconómicas como balances, informes anuales y otras fuentes disponibles para el público La hipótesis fuerte del mercado eficiente. La hipótesis fuerte de eficiencia parte del supuesto de que los precios reflejan absolutamente toda la información ya sea pasada, pública o privada. Según ella, ningún inversor podrá "batir al mercado" como no sea por azar. Esta es una hipótesis extrema que es prácticamente imposible de cumplir en ningún mercado, pues ello implicaría que dicho mercado sería perfecto y eso es una quimera. Para que un mercado sea eficiente es necesario que los participantes en el mismo utilicen el análisis técnico, que busca formas en las series históricas de precios que sean recurrentes y, por tanto, predecibles. También deben utilizar el análisis fundamental, que trata las previsiones de beneficios, dividendos de la empresa, las expectativas sobre los tipos de interés y la valoración del riesgo de la compañía, para determinar el precio intrínseco de la acción. Se trata de que la competencia entre los analistas asegure que, como regla general, los precios de los títulos reflejen toda la información disponible. Un mercado cumple el criterio fuerte de eficiencia si toda la información pertinente, tanto publica como privada, se refleja en los precios del mercado. Esto supone que nadie puede beneficiarse jamás de ninguna información, ni siquiera de información privilegiada o de la generada por el analista perspicaz. En los mercados eficientes no es posible obtener ganancias extraordinarias en función de la situación del mercado, ni especular sobre las oscilaciones de los tipos de interés al tomar decisiones de endeudamiento a corto o largo plazo. Análogamente, los cambios contables carecen de valor, al igual que la compra de empresas supuestamente infravaloradas. fikai AULA FINANCIERA 37

42 3.1.3 ANOMALÍAS EN EL MERCADO FINANCIERO Los mercados financieros parecen comportarse eficientemente con respecto a la información públicamente disponible. Sin embargo, se han detectado algunas irregularidades que al ser persistentes y de tan gran magnitud se han llamado anomalías del mercado, inconsistentes con las hipótesis de eficiencia. La existencia de ciertas anomalías y patrones predecibles en los mercados es casi tan antigua como la propia formulación moderna de la hipótesis de la eficiencia. Aquellos inversores que crean que los mercados financieros son eficientes se dedicarán a realizar una gestión pasiva de sus carteras puesto que pensarán que todo análisis de la información pasada y actual es una pérdida de tiempo. Sin embargo, hay suficientes anomalías que justifican la búsqueda de activos financieros infravalorados. Si bien es cierto, que toda estrategia de inversión que inicialmente comience batiendo al mercado será rápidamente contrarrestada por el resto de los inversores debido a la fuerte competencia existente en el mismo. Sólo la consecución de una mejor información que el resto de los competidores puede dar una ligera superioridad a la gestión de las carteras realizada por profesionales. Entre las anomalías más conocidas podemos citar: El efecto fin de semana French (1980) y, Gibbons y Hess (1981) estudiaron la forma del rendimiento de los títulos desde el cierre del mercado el Viernes al cierre del Lunes, con objeto de averiguar si el rendimiento de los tres días naturales era tres veces mayor que el de un día cualquiera. Intentaban saber si el mercado operaba sobre los días hábiles o sobre los naturales. La sorpresa fue grande cuando vieron que el rendimiento del Lunes no sólo no se parecía al de los otros cuatro días hábiles sino que era, incluso, bastante negativo. Si los inversores quisieran hacer arbitraje deberían vender sus títulos el Viernes por la tarde y recomprarlos el Lunes a un precio esperado inferior. El resultado sería una caída del precio el Viernes como consecuencia de las ventas y un ascenso del mismo el Lunes al existir una presión de la demanda, lo que produciría un rendimiento positivo. El arbitraje no se suele hacer debido a que los costes de transacción eliminan el posible beneficio anormal. En todo caso, este efecto fin de semana proporciona un interesante contraejemplo de la hipótesis del mercado eficiente. 38 fikai AULA FINANCIERA

43 El efecto tamaño Tal vez la anomalía más estudiada es la que consiste en el efecto tamaño, según la cual las empresas cuya capitalización bursátil es baja produce rendimientos superiores a los indicados por el CAPM. Varios estudios han descubierto que el riesgo de las empresas de menor tamaño estaba subestimado dado que los títulos de dichas compañías se negocian con una menor frecuencia que los de las grandes, es decir, se detectó la existencia de primas de liquidez. El efecto olvido y el efecto liquidez Suponen que las empresas de menor tamaño tienden a ser olvidadas por los grandes operadores institucionales debido a que la información sobre tales compañías está menos disponible. Precisamente, esta deficiencia en la información hace más arriesgado invertir en dichas empresas por lo que se exige un rendimiento esperado más alto. El efecto Enero Es conocido que los rendimientos bursátiles del mes de Enero suelen ser mas elevados que los producidos en otros meses. El efecto Enero se produce en múltiples mercados. Otras anomalías causantes de una ineficiencia en el mercado podrían ser: Información incompleta, comportamiento no totalmente racional de los inversores privados o institucionales, existencia de gastos de gestión, transacción e impuestos sobre la posesión y venta de títulos, barreras legales para determinadas empresas etc... Cuando el mercado no sea completamente eficiente será posible superar la rentabilidad del índice realizando una gestión activa de carteras seleccionando determinados valores, a través de toda la información y de las tecnologías disponibles. No obstante, habría que evaluar si los costes asociados a esta gestión activa permitirían obtener mayores rentabilidades, especialmente para el caso de los inversores individuales. fikai AULA FINANCIERA 39

44 3. Selección de Carteras. Modelo de Markowitz Capítulo 3:Teoría de carteras 3..1 MODELO DE H. MARKOWITZ Harry Markowitz nació en Chicago en 197, economista norteamericano, pionero en la investigación de mercados financieros, desarrolló la teoría de la elección de carteras, sobre las mejores condiciones para la colocación de capitales en una situación de incertidumbre. En 1990 obtuvo el premio Nóbel de Economía. Harry Markowitz centra su trabajo en definir los factores principales que motivan al inversor a la hora de invertir racionalmente. Se basa en la función de utilidad del inversor afirmando que ésta depende de la rentabilidad que desea obtener y del riesgo que asume con una composición de cartera de valores que logre maximizar la primera y minimizar el segundo. La principal aportación de Markowitz se halla, en haber recogido de forma explícita en su modelo los rasgos fundamentales de lo que en un principio podemos calificar de conducta racional del inversor, consistente en buscar la cartera eficiente, o una composición de la cartera que haga máximo su rendimiento para un determinado nivel de riesgo o que minimice el riesgo para un rendimiento dado. El rendimiento o rentabilidad de la cartera que un inversor espera obtener en el futuro se mide gracias a la esperanza matemática del rendimiento de la cartera. El riesgo se medirá con la desviación típica o estándar de los rendimientos, por proporcionar ésta una medida de dispersión de los mismos respecto a la media. SUPUESTOS BÁSICOS El modelo de Markowitz o Modelo de decisión media-varianza para títulos de renta variable esta basado en tres supuestos básicos: 1.- La rentabilidad de los títulos que componen la cartera del inversor está representada por la esperanza matemática de sus rendimientos o la media: E[R p ] = E p = X 1 E[R 1 ] + X E[R ] X N E[R N ] = ΣX i E[R i ] = ΣX i E i.- El riesgo estará medido por la dispersión, que vendrá definida por la varianza o desviación estándar de la variable aleatoria que describe el rendimiento, ya sea de títulos individuales o de carteras: σ p = ΣΣX i X j σ ij 3.- La función de utilidad del inversor es función de la esperanza matemática de los rendimientos y del riesgo, siempre que exista racionalidad en la toma de decisiones económicas por parte del inversor: U = ƒ( E[R p ], σ p ) 40 fikai AULA FINANCIERA

45 ETAPAS DEL MODELO EN LA DEDUCCIÓN DE LA CARTERA OPTIMA Markowitz plantea como objetivo la definición de la cartera óptima para un inversor, siendo ésta la mejor posible, de entre todas las que se pueden formar considerando su actitud ante el riesgo. La cartera óptima para un inversor puede no serlo para otro. Para lograr este objetivo, Markowitz en su modelo divide la búsqueda de una cartera óptima en tres etapas. Primera etapa : Formación de la Frontera de Carteras Eficientes Una cartera es eficiente cuando proporciona la máxima ganancia para un riesgo dado, o proporciona el mínimo riesgo para un determinado valor de la esperanza matemática. Así pues, el conjunto de carteras eficientes se determina resolviendo el problema de programación siguiente: Maximizar E = N p XiEi i= 1 sujeto a las siguientes restricciones: * σp = X ixjσij = V i j X1 + X XN = 1 X1, X,..., XN 0 Ahora bien, también podemos obtener el conjunto de carteras eficientes resolviendo el siguiente programa: Minimizar σp sujeto a las siguientes restricciones: = XiXjσij i j E p = N 1 i= X E i i = E X1 + X XN = 1 X1, X,..., XN 0 * fikai AULA FINANCIERA 41

46 Todas las carteras posibles que se pueden formar con un cierto número de títulos se pueden representar gráficamente a partir de su riesgo y de su rentabilidad esperada, de manera que se encontrarán dentro de una región como la siguiente: Rentabilidad E p P Figura 1 σ p Riesgo La cartera P es una cartera eficiente ya que entre todas las que tienen un riesgo σ p, es la de mayor rentabilidad; y de todas las que tienen la misma rentabilidad E p, es la que tiene menor riesgo. El conjunto de todas las carteras eficientes forman una curva que se denomina frontera eficiente. En el siguiente gráfico la curva CE es la curva de carteras eficientes o frontera eficiente proporcionando dichas carteras un valor de E p máximo para cada valor de σ p, o un valor de σp mínimo para cada valor de Ep. 4 fikai AULA FINANCIERA

47 Frontera Eficiente E Rentabilidad E p P C Figura σ p Riesgo El punto C representa la cartera eficiente de mínimo riesgo y el punto E la cartera de máxima rentabilidad esperada. La construcción de la frontera eficiente es independiente de cuál sea el punto de vista de cualquier inversor. Segunda etapa: La especificación de la actitud del inversor frente al riesgo El inversor elegirá entre las carteras eficientes aquella que mejor responda a sus preferencias. Para los inversores las curvas de indiferencia (combinación ganancia-riesgo que reportan la misma satisfacción) deberán ser crecientes, siendo las curvas más alejadas del origen de coordenadas las que representarán mayores niveles de satisfacción. Una forma bastante usual de las curvas de indiferencia es la representada en la siguiente figura: fikai AULA FINANCIERA 43

48 Rentabilidad E p I 4 I 3 I I 1 Figura 3 Riesgo σ p Tercera etapa: La determinación de la cartera óptima La cartera óptima para cada inversor dependerá del grado de aversión al riesgo de cada uno de ellos. Por lo tanto, la selección de la cartera óptima del inversor será una cuestión subjetiva que dependerá de su forma de ser, patrimonio, nivel de ahorro, edad,... Superponiendo las figuras y 3 obtenemos la figura 4. La cartera óptima se corresponde por el punto C 0, en el cual es tangente la curva de carteras eficientes CE con la curva de indiferencia I. La cartera óptima es C 0 ya que cualquier otro punto de la curva CE se correspondería con una curva de indiferencia de un menor índice de utilidad o satisfacción. Rentabilidad E p I 4 I 3 I I 1 E C 0 C Figura 4 Riesgo σ p 44 fikai AULA FINANCIERA

49 EJEMPLO RESUELTO Carteras Eficientes. Cartera Óptima Analizar cinco carteras I, II, III, IV y V con rentabilidades y volatilidades tal que su ubicación en el plano Rentabilidad-Riesgo es la siguiente: Rentabilidad 5% 17% III IV II E 9% C I V Figura 5 7% 1% Riesgo medido a través de la volatilidad σ p Cartera I: no es eficiente, ya que la cartera III tiene una rentabilidad mayor para un mismo nivel de riesgo. Cartera II: no es eficiente, ya que la cartera IV para un mismo nivel de riesgo ofrece mas rentabilidad. Así mismo, la cartera III tiene un riesgo menor para un mismo nivel de rentabilidad. Cartera III: es eficiente. Cartera IV: también es eficiente. Un inversor elegirá entre III y IV dependiendo de su grado de aversión al riesgo. Un inversor averso al riesgo preferiría la cartera III ya que está más cercana a la de mínimo riesgo (C). Sin embargo, un inversor menos averso al riesgo escogería la cartera IV, más cercana a la cartera de máxima rentabilidad (E). Cartera V: no es una cartera posible. Está fuera de la zona de carteras posibles. fikai AULA FINANCIERA 45

50 3.. CONCEPTO DE DIVERSIFICACIÓN DE CARTERAS En el capítulo anterior analizamos la volatilidad de una cartera a través de la desviación típica de su rentabilidad, que para el caso de dos títulos es: σ p = x 1σ1 + x σ + x1x ρ1σ1σ En esta expresión queda reflejado que el riesgo total de la cartera, no sólo es función de las volatilidades de los títulos que la componen, si no también de las correlaciones entre las rentabilidades de todos los pares de títulos. En el cuadro adjunto resumimos los casos más representativos que se pueden presentar dependiendo del valor del coeficiente de correlación de las rentabilidades del par de títulos: ρ σ 1 p 1 σ p = x1σ1 + xσ Cartera de mínimo riesgo La cartera de mínimo riesgo estará formada en su totalidad por el título de menor riesgo. 0 σ p = x1σ1 + x σ 1 = σ1 + σ σ σ1 x y x = σ + σ 1-1 σ p = x1σ1 - x σ Cartera con riesgo nulo σ x 1 = y σ1 + σ x σ p = 0 σ1 = σ + σ Siendo la rentabilidad esperada: E p E1σ = σ 1 + Eσ + σ 1 1 Las acciones de gran riesgo pueden combinarse de modo que esa combinación de valores, llamada cartera de valores, sea menos arriesgada que cualquiera de las acciones individuales que la componen. La diversificación seleccionando activos con coeficientes de correlación pequeños o incluso negativos permite reducir el riesgo de una cartera, e incluso anularlo. 46 fikai AULA FINANCIERA

51 Si suponemos una cartera con dos títulos, el siguiente gráfico refleja las combinaciones de riesgo/rentabilidad sobre una estructura de participación en la cartera variable, y bajo el supuesto de diferentes niveles de correlación entre los activos. Cualquier combinación de ambos títulos tendrá una rentabilidad esperada que será la media de las rentabilidades de cada activo ponderada por su peso en la cartera. El riesgo, sin embargo, dependerá de la correlación que asumamos entre ambos activos. Así, si la correlación es 1 no existirá ninguna diversificación, por lo que la varianza de la cartera será, al igual que la rentabilidad, una media ponderada. Sin embargo, en la medida en que reducimos la correlación, nos desplazamos hacia la izquierda, es decir, obtenemos la misma rentabilidad con menor riesgo. A esta reducción del riesgo se le llama diversificación. E p E 1 Cartera de máxima rentabilidad ρ 1 = -1 E σ 1 σ 1 + E + σ σ 1 ρ 1 = 0 ρ 1 = 1 E Figura 6 0 σ σ 1 σ p EJEMPLO PROPUESTO Diversificación de Carteras Considerar una cartera formada por las acciones BBVA y ENDESA con pesos respectivos del 0% y 80%. Supongamos que las rentabilidades esperadas para el próximo año son respectivamente del 18% y del 10%, con unas volatilidades del 5% y del 15%. 1 Analizar el riesgo de dicha cartera dependiendo del coeficiente de correlación entre ambos títulos. Determinar la composición de la cartera de mínimo riesgo para los valores del coeficiente de correlación de +1, 0 y 1. Representar gráficamente las fronteras eficientes en cada caso. fikai AULA FINANCIERA 47

52 3.3 Modelo de Mercado de Sharpe Capítulo 3:Teoría de carteras JUSTIFICACIÓN DEL MODELO Para poder aplicar las ideas expuestas en el modelo de Markowitz, es necesario conocer la relación existente entre cada par de títulos, lo cual es, cuando menos complicado. Es en este punto donde aparece William Sharpe, discípulo de Markowitz, preocupado inicialmente por simplificar los cálculos requeridos por el modelo media-varianza ideado por su maestro, y que lo hacen poco aplicable en la práctica. En el intento por conseguir su objetivo, Sharpe introduce dos hipótesis simplificadoras: La dependencia estadística entre los rendimientos de los diferentes títulos no es una dependencia directa, sino derivada de la relación existente entre esos rendimientos y el de la cartera de mercado. La relación entre el rendimiento de los distintos títulos y el rendimiento del mercado es lineal. Puede comprobarse fácilmente que Sharpe consigue así su objetivo inicial de reducir el número de cálculos necesarios, ya que ahora basta con conocer, de todas las covarianzas posibles, únicamente las existentes entre cada título y la cartera de mercado. Pero es que además podemos conseguir algo todavía más importante, al aparecer una distinción fundamental: la existente entre el riesgo sistemático y el diversificable. Para conocer la relación lineal entre cada título y el mercado buscaremos la recta de regresión que mejor se ajuste a la nube de puntos formada por las dos variables: R it = α i + β R i Mt + u it donde R it y R Mt son, respectivamente, las rentabilidades del título i y de la cartera de mercado en el momento t ; α i y β i son la ordenada en el origen y la pendiente del ajuste ; y u it es la perturbación aleatoria correspondiente al título i en el momento t. Esto es lo que se conoce con el nombre de Modelo de Mercado, que puede verse gráficamente en la siguiente figura. La recta representada es la que llamamos Línea Característica del Título (LCT). 48 fikai AULA FINANCIERA

53 R it Línea Característica del Título i R it = α i + β R i Mt + u it α i pendiente=β i Figura 7 R Mt 3.3. BETA DE UN TÍTULO La pendiente de la recta LCT representada anteriormente es lo que se conoce habitualmente como el coeficiente beta del título, que es una medida de la relación entre la evolución de la rentabilidad del título y la del mercado. Las expresiones de β i y de α i obtenidas a través de la regresión lineal son: cov(r,r ) σ i M im β i = = αi = Ei - βi EM σm σm siendo σ im =covarianza entre la rentabilidad del título (R i ) y la del mercado (R M ) σ = varianza de la rentabilidad del mercado M E i = rentabilidad esperada del título E = rentabilidad esperada del mercado M Distinguimos así entre distintos tipos de valores en función de su beta: Títulos agresivos (β< -1 o β>1). Títulos más arriesgados que el índice representativo del mercado, ya que una variación de un punto en el índice provocará una variación mayor en la rentabilidad del título. Son títulos muy sensibles a las oscilaciones del mercado. fikai AULA FINANCIERA 49

54 Títulos defensivos (-1<β<1). Títulos menos arriesgados que el índice representativo del mercado, ya que una variación de un punto en el índice provocará una variación menor en la rentabilidad del título. Son títulos poco sensibles a las oscilaciones del mercado. Títulos neutros (β=-1 o β=1). Títulos que varían igual que el mercado. De especial interés, si es que existen, son los títulos con beta negativa (superdefensivos), ya que permitirían reducir el riesgo no diversificable. Su precio habrá de ser forzosamente elevado, con lo que su rentabilidad será reducida. Y por las condiciones del modelo, deberán ser (caso de existir), muy pocos, ya que, lógicamente, la beta de la cartera de mercado (media ponderada de las betas de los títulos que cotizan en el mercado) debe ser la unidad. El coeficiente beta opera sobre el rendimiento de los títulos a modo de mecanismo que filtra, amplifica o transmite sin interferencias las fluctuaciones del mercado, según se trate de activos defensivos, agresivos o neutros. En forma gráfica podemos representar la Línea Característica de estos tres tipos de Títulos: Línea Característica del Título 3 agresivo R it Línea Característica del Título neutro Línea Característica del Título 1 defensivo α i β 1 <1 β =1 β 3 >1 Figura 8 R Mt 50 fikai AULA FINANCIERA

55 EJEMPLO RESUELTO Línea Característica de un título Se han considerado las rentabilidades anuales de un título y de un índice de mercado, para un determinado periodo, obteniéndose unas rentabilidades medias del 14% y 10% respectivamente. Así mismo se han determinado la varianza de la rentabilidad del índice 0,045 y la covarianza entre las rentabilidades del título y del índice 0,037. Determinar la Línea Característica del título. La Línea Característica del título 1 viene determinada por la expresión: donde: R 1t = α1 + β1r Mt + u1t σ1m 0,037 El coeficiente beta del título 1 respecto al índice: β1 = = = 0, 8 σ 0,045 M Estamos ante un título defensivo al ser -1<β<1. Por cada punto que ha variado la rentabilidad del índice, la del título ha variado 0,8 puntos. El coeficiente alfa del título 1: α = E - β E = 0,14 0,8 0,10 = 0, M - En consecuencia la LCT sería: R = 0, ,8 R 1t Mt + u1t fikai AULA FINANCIERA 51

56 3.3.3 RENTABILIDAD ESPERADA Y RIESGO DE UN TÍTULO La Línea Característica de un título venía determinada por la expresión: R it = α i + β R i Mt + u it La rentabilidad esperada del título será: E i = α +β E i i M α i =rentabilidad esperada del título generada por la empresa β i E M=rentabilidad media del título generada por el mercado Analicemos ahora cuál es el riesgo del título. Para ello, calculamos la varianza de R i a partir del modelo de mercado: σ i = β i σ M + σ ui i M β σ = riesgo que depende del mercado = = riesgo sistemático σ ui = riesgo que depende de la empresa = =riesgo no sistemático = riesgo específico El riesgo total de un título tiene dos componentes, el riesgo sistemático (representado por β σ ), y el diversificable ( σ ). Este riesgo diversificable es i M específico del título, no se debe a la marcha del mercado, y por las condiciones del modelo, no tiene nada que ver con lo específico del resto de los títulos. Mediante la adquisición de carteras compuestas por muchos títulos podemos disminuir hasta eliminar esta parte del riesgo. ui 5 fikai AULA FINANCIERA

57 3.3.4 BETA DE UNA CARTERA. LINEA CARACTERÍSTICA DE UNA CARTERA. Dada una cartera formada por n títulos con coeficientes beta de cada uno de ellos β 1, β,...,β n y siendo la proporción de cada título en la cartera x 1, x,..., x n, la expresión para calcular el coeficiente beta de la cartera es: β p = x β x β x n β n = Σx i β i El coeficiente beta de la cartera resulta ser el promedio ponderado de las betas de cada uno de los títulos, siendo las ponderaciones las proporciones que cada título tiene en la cartera. Son carteras defensivas aquellas cuya β p está entre 1 y 1, agresivas las que tienen una β p mayor que 1 o menor que 1 y neutras si es igual a 1 o a 1. El coeficiente alfa de la cartera se calculará también como el promedio ponderado de las alfas de los títulos que forman la cartera: α p = x 1 α 1 + x α x n α n = Σx i α i Una vez determinados los coeficientes beta y alfa de la cartera calcularemos la Línea Característica de la cartera p como la regresión que corresponde al modelo: R pt = α p + β p R Mt + u pt EJEMPLO PROPUESTO Línea Característica de una cartera En un mercado cotizan tres títulos 1, y 3 siendo las líneas características respecto al índice de mercado las siguientes: R 1 = 0,91 + 0,3 R M + u 1 R = 0, ,83 R M + u R 3 = -0,35 + 1,8 R M + u 3 Se forma una cartera p con la siguiente composición: 30% de 1, 30% de y el resto de 3. Determinar la línea característica de la cartera p. Recomendaría esta cartera a un inversor con un perfil alto de tolerancia al riesgo? fikai AULA FINANCIERA 53

58 3.3.5 RENTABILIDAD ESPERADA Y RIESGO DE UNA CARTERA La Línea Característica de una cartera venía determinada por la expresión: R pt = α p + β p R Mt + u pt La rentabilidad esperada de la cartera será: E p = α p +β p E M α p = rentabilidad media de la cartera generada por las empresas β p E M = rentabilidad media de la cartera generada por el mercado Analicemos ahora cuál es el riesgo de la cartera. Para ello, calculamos la varianza de R p a partir del modelo de mercado: σ p = β p σ M + σ up p σm β = riesgo que depende del mercado = riesgo sistemático = = riesgo no diversificable σ up = riesgo no sistemático = riesgo diversificable = = riesgo específico. Con una adecuada selección de los títulos se puede reducir significativamente. El riesgo no sistemático de una cartera tiene, aproximadamente, la expresión siguiente: σ up = x 1 σ u1 + x σ u x n σ un Para una cartera con suficientes títulos (0 o 5), este riesgo no sistemático es irrelevante respecto al riesgo total. De aquí se deriva una conclusión fundamental: el gestor de una empresa que cotiza en Bolsa no debe preocuparse por el riesgo diversificable, ya que éste será eliminado por el inversor mediante una adecuada diversificación. Y por tanto, el riesgo relevante, el que debe ser considerado y retribuido, es el sistemático con un factor clave: la beta de la cartera. 54 fikai AULA FINANCIERA

59 La incertidumbre acerca de las condiciones económicas generales, tales como el PNB, las tasas de interés o la inflación, es un ejemplo de riesgo sistemático. Estas condiciones afectan a casi todas las acciones en cierta forma. Un aumento inesperado o sorpresivo de la inflación afecta los sueldos y los costos de las materias primas que las compañías compran, el valor de sus activos y los precios a los que éstas venden sus productos. Estas fuerzas a las que todas las compañías son susceptibles constituyen la esencia del riesgo sistemático. Por el contrario, el anuncio de huelga en una compañía petrolera bien podría afectar sólo a la compañía en cuestión o algunas cuantas más. Ciertamente, es improbable que este anuncio repercuta en el mercado mundial del petróleo. Para enfatizar que dicha información no es sistemática y sólo afecta algunas compañías específicas, en ocasiones decimos que es un riesgo idiosincrásico. Podemos representar gráficamente el riesgo total de una cartera y sus dos componentes: riesgo sistemático y riesgo no sistemático: Riesgo Total Riesgo no sistemático σ up Riesgo sistemático = β p σm Figura 9 Nº de títulos fikai AULA FINANCIERA 55

60 EJEMPLO RESUELTO Riesgo sistemático y no sistemático Una cartera particular tiene una varianza de,5 y una beta de 0,51. La cartera de mercado tiene una varianza de 3,1. Calcular el riesgo sistemático o de mercado, el riesgo propio y el grado de diversificación de la cartera particular p. El riesgo sistemático o de mercado de la cartera p es: β p σ M = (0,51).3,1 = 0,818 El riesgo propio o específico de la cartera p es: σ up = σp - βp σm =,5-0,818 = 1,70 El grado de eficiencia o diversificación de la cartera p será: riesgo sistemático de p βp σ G.E. = = riesgo total de p σ p M 0,818 =,5 = 0,346 EJEMPLO RESUELTO Riesgo sistemático y no sistemático Los coeficientes beta de dos activos A y B son 0,7 y 1,, y sus riesgos no sistemáticos son σ UA = 0, 005 y σ UB = 0, 01. Si la volatilidad de un índice es del 1%, se pide: 1 Los títulos A y B son defensivos? Calcular el coeficiente beta de una cartera formada por un 75% de A y un 5% de B. 3 Calcular el riesgo sistemático de dicha cartera. 4 Calcular el riesgo total de la cartera. 1 El título A es defensivo ya que su coeficiente beta es <1. Sin embargo, el título B al tener un coeficiente beta > 1 es agresivo. Para calcular el coeficiente beta de la cartera utilizamos la siguiente expresión: βp = x1β1 + xβ xnβn = Σx i β i sustituyendo por los valores de las betas de los títulos y los pesos respectivos: β p = 0,75x0,7 + 0,5x1, = 0,85 3 El riesgo sistemático de la cartera es: βp σm = 0,85.0,1 = 0, fikai AULA FINANCIERA

61 4 Calculamos previamente el riesgo no sistemático utilizando la siguiente expresión: up 1 u1 u n un σ = x σ + x σ x σ que para nuestra cartera sería: σ up = x 1 σ UA + x σ UB = 0,75.0, ,5.0,01= 0, Por último hallamos el riesgo total de la cartera como suma del sistemático y no sistemático: σp = βp σm + σup = 0, , = 0,01337 EJEMPLO PROPUESTO Riesgo sistemático y no sistemático Tres activos A, B y C cotizan en el mercado español siendo sus coeficientes beta 0,465, 1,14 y 0,687 y los riesgos no sistemáticos de cada uno 0,0049, 0,01105 y 0, respectivamente. Formamos una cartera compuesta de un 15% de A, un 48% de B y un 37% de C. Para una volatilidad del índice del 0% calcular: 1 El riesgo sistemático, el riesgo no sistemático y el riesgo total de la cartera. El grado de diversificación de la cartera. fikai AULA FINANCIERA 57

62 3.4 Modelo de equilibrio de los activos. Capital Asset Pricing Model CAPM Capítulo 3:Teoría de carteras CARTERAS MIXTAS. Hasta el momento, el conjunto de oportunidades tan solo se ha compuesto de activos con riesgo. No hemos analizado cuál sería el que podría resultar si hubiera un activo libre de riesgo. En primer lugar expondremos el conjunto de oportunidades que origina la combinación de un activo riesgoso con un activo libre de riesgo. Posteriormente ampliaremos el análisis hasta abarcar un mercado en equilibrio total con un activo libre de riesgo y otros muchos activos riesgosos. El inversor no sólo invierte su presupuesto en activos con riesgo. También adquiere activos sin riesgo o presta su presupuesto a un tipo de interés sin riesgo o pide prestado para invertir, es decir, se endeuda para llevar a cabo la inversión. Para adquirir estos activos el inversor tendrá la posibilidad de hacerlo con sus propios recursos y, en el caso de que estos fueran insuficientes, podrá acometer la inversión mediante la financiación por endeudamiento. Es por eso que las carteras a las que hace referencia el modelo sean carteras mixtas con préstamo o endeudamiento. La composición presupuestaria de la cartera vendrá definida por la parte de presupuesto destinada al activo libre de riesgo (X 1 ) y de activo con riesgo (X ), sabiendo que : X 1 + X = 1 Rentabilidad de la cartera mixta p con préstamo o endeudamiento E p = X 1 R f + X E(R v ) o lo que es lo mismo, E p = X 1 R f + (1-X 1 )E(R v ) siendo: E p = Rentabilidad esperada de la cartera mixta P con préstamo o endeudamiento. X 1 = Parte del presupuesto de inversión cedida en forma de préstamo ( X 1 > 0 ), o adeudada ( X 1 < 0 ) dedicada al activo sin riesgo. X = Parte del presupuesto de inversión invertida en el activo con riesgo ( X > 1, cuando exista endeudamiento y X < 1 cuando se preste). R f = Rentabilidad del activo sin riesgo (tipo de interés del préstamo o coste del endeudamiento). E(R v ) = Rentabilidad esperada del activo con riesgo. 58 fikai AULA FINANCIERA

63 Riesgo de la cartera mixta p con préstamo ó endeudamiento σ p = X. σ (R v ) = (1- X1). σ (R v ) El riesgo se mide, también, con la desviación típica, que será σ = X σ(r ) p. v Frontera eficiente de carteras mixtas Todas las carteras mixtas constituidas por un activo sin riesgo y otro con riesgo se sitúan en la siguiente recta: E p = R f E(R v ) -R + σ(r ) v f σ p siendo la pendiente E(R v ) - R f =ratio de Sharpe o σ(r v ) precio del riesgo. Gráficamente: E p E p = R f E(R v ) -R + σ(r ) v f σ p R f pendiente= E(R ) σ(r v - v R ) f Figura 10 σ p fikai AULA FINANCIERA 59

64 EJEMPLO RESUELTO Cartera Mixta con préstamo o endeudamiento En un mercado la renta fija sin riesgo tiene una rentabilidad de,5% y la rentabilidad de los títulos con riesgo, medida por la rentabilidad esperada de su índice de mercado es del 1,50% con una varianza de 64. Se pide: 1 Calcular la rentabilidad esperada de una cartera mixta en este mercado cuando se invierten en renta fija sin riesgo y en renta variable. Calcular el riesgo medido por la desviación típica de la cartera anterior. 3 Obtener la ecuación de la recta en la que se situarían todas las carteras mixtas en este mercado. 1 Los valores del presupuesto en renta fija sin riesgo X 1 y en renta variable X son: X 1 = /( ) = 1,74% X = /( ) = 78,6% La rentabilidad esperada de la cartera será: E p = X 1 R f + X E(R v ) = 0,174 x,5 + 0,786 x 1,50 = 10,7% EL riesgo, medido por la desviación típica será: σp = X.σ(R v ) = 0,786 x 8 = 6,6 3 Ecuación de la recta de carteras mixtas: E p = R f E(R v ) - R f + σ(r ) v σ p 1,50 =,5 + -,5 8 σ p =,5 +1,815 Por cada punto adicional de volatilidad que asuma el inversor obtendrá un rentabilidad media adicional del 1,815% (precio del riesgo). σ p 60 fikai AULA FINANCIERA

65 3.4. Capital Market Line (CML). La introducción del activo sin riesgo altera la frontera eficiente y la zona de carteras posibles. En efecto, sería posible trazar una recta entre cada uno de los infinitos puntos antes considerados y el activo sin riesgo (riesgo nulo y rentabilidad R f ). De un espacio formado por infinitos puntos se pasaría a uno construido por infinitas rectas. Cada una de ellas representaría las infinitas combinaciones posibles entre el activo sin riesgo y la cartera correspondiente perteneciente a la frontera eficiente original, generada conforme a la lógica de Markowitz. Al alterarse la zona de carteras posibles es preciso cuestionarse si la antigua curva de carteras eficientes sigue siendo válida. La respuesta es que no. Si tomamos un punto cualquiera de la antigua curva, comprobaremos que es posible encontrar una composición que permite obtener un mayor rendimiento esperado con el mismo riesgo, combinando el activo sin riesgo con un único punto W de la curva. La cartera W es el punto de tangencia de una recta que se inicia en R f con la curva de carteras eficientes. Rentabilidad E p W F E G H R f C Figura 11 Riesgo σ p La zona sombreada de esta figura representa la región de carteras posibles y la curva CE, el conjunto de carteras eficientes, en el caso de que no se considere la inversión sin riesgo. fikai AULA FINANCIERA 61

66 Ahora, al tener en cuenta la inversión sin riesgo, el conjunto de carteras eficientes viene definido por la recta R f WF, y ya no por la curva CE. El inversor eficiente elegirá, de acuerdo con sus preferencias, las combinaciones de activo sin riesgo y cartera W determinadas por esta recta de forma que: En el punto R f destina todo su presupuesto de inversión al activo sin riesgo. En cualquiera de los puntos situados en el intervalo de la recta R f W, el inversor destina parte de su presupuesto de inversión al activo sin riesgo, y la parte restante a la cartera W (Lending Portfolios). En el punto W materializa la totalidad de su presupuesto de inversión en la cartera W. En cualquiera de los puntos situados en el intervalo de la recta WF, el inversor se endeuda al tipo de interés sin riesgo para adquirir una cuantía de la cartera W superior a su presupuesto de inversión (Borrowing or Leveraged Portfolios). En la nueva situación todos los inversores se situarán en algún punto de la recta R f WF ya que de esta forma consiguen maximizar su utilidad. Esto significa que todos dedicarán una parte de su presupuesto al título sin riesgo, y otra a la cartera con riesgo W. A ésta última la llamaremos cartera de mercado M, ya que, al invertir todos una parte de su riqueza en ella (concretamente, la parte invertida en títulos con riesgo), ésta representará la totalidad de los títulos con riesgo existentes en el mercado, y con el peso que cada uno tiene en el mismo. Esta cartera de Mercado estará representada generalmente por algún índice, también llamado benchmark. Llegamos así al teorema de la separación de Tobin: la cartera óptima formada por activos individuales con riesgo no depende de la actitud frente al riesgo de los inversores individuales, sino que es la misma para todos ellos. Los individuos, según sus preferencias, comprarán más o menos cartera con riesgo, pero las proporciones de los títulos que componen esta cartera serán las mismas para todos, independientemente de dichas preferencias. Por lo tanto, al contemplar el mercado de capitales en su conjunto durante un determinado periodo de tiempo, la cartera con riesgo óptima W se convierte en la cartera de mercado, M, tal como representa la siguiente figura: 6 fikai AULA FINANCIERA

67 E p E M Cartera de Mercado M CML: E E p = R f EM -R + σ M f σ p R f C Figura 1 σ M σ p La recta R f MF, representativa de la situación de equilibrio en el mercado de capitales, recibe el nombre de Línea del Mercado de Capitales (Capital Market Line CML) y representa la nueva frontera de carteras eficientes. La ecuación de la CML será: E p = R f EM -R + σ M f σ p Esta ecuación sólo la cumplen estas nuevas carteras eficientes formadas combinando el activo libre de riesgo y la cartera de mercado. Se observa que el rendimiento esperado de una cartera es igual a la suma del EM -R f rendimiento del activo libre de riesgo más una prima de riesgo, (ratio σm de Sharpe del mercado), por cada unidad adicional de riesgo, σ p. fikai AULA FINANCIERA 63

68 Cálculo de proporciones de Activo Libre de Riesgo y de Cartera de Mercado en la cartera de un inversor. Todas las carteras eficientes situadas en la Capital Market Line CML tendrán una proporción en activo libre de riesgo (x 1 ) y otra en la cartera de mercado (x = 1 - x 1 ) de tal modo que la rentabilidad esperada de dicha cartera será: E P = x 1.R f + (1-x 1 ).E M Conociendo la rentabilidad esperada de mercado (E M ) y la rentabilidad del activo libre de riesgo (R f ), esta expresión nos permitiría calcular la proporción x 1 de activo sin riesgo para un inversor que espera una determinada rentabilidad (E P ) Así mismo el riesgo de la cartera eficiente será: σ P = (1-x 1 ). σ M Esta expresión nos permitirá calcular la proporción x 1 si el inversor, en lugar de fijar la rentabilidad esperada, fija la volatilidad que está dispuesto a asumir. En ambos casos, la proporción que habrá que invertir en la cartera de mercado será x = 1 x 1, recordando que en el caso de que x 1 sea negativo, el inversor estará exigiendo una rentabilidad tan elevada que sólo podrá alcanzarse mediante el endeudamiento a la tasa libre de riesgo. 64 fikai AULA FINANCIERA

69 EJEMPLO RESUELTO Capiltal Market Line CML En un mercado, la renta fija sin riesgo tiene una rentabilidad de 3% y la rentabilidad de los títulos con riesgo, medida por la rentabilidad esperada de su índice de mercado (cartera de mercado) es del 5,3% con una varianza de,3. Una cartera particular p ofrece una rentabilidad del 5,56% con un riesgo (varianza) de,77. Se pide: 1 Calcular la rentabilidad que debería ofrecer la cartera p para ser eficiente. Explique si la cartera p es eficiente, y si no lo es, calcule el % que le falta para la eficiencia. 3 Comprobar gráficamente su posición relativa respecto de la eficiencia CML 1 En este punto se quiere ver la eficiencia de una cartera para un riesgo dado obteniendo la mayor rentabilidad posible. También la cartera será eficiente cuando para un rendimiento dado se incurre en el menor riesgo posible. CML: Frontera de eficiencia de carteras Sustituimos los valores dados: E p = R f EM -R + σ M f σ p CML: E p 5, 3-3 = 3 + σ,3 p La rentabilidad que debería ofrecer la cartera p para ser eficiente la obtenemos sustituyendo en la CML σ =, 77 p 5, 3-3 E p = 3 +,3,77 = 5,56 La rentabilidad que debería ofrecer para ser eficiente sería 5,56, luego es eficiente. Para la eficiencia le falta 0, porque es eficiente. 3 La representación gráfica es: E p CML 5,56 R f =3,77 σ p fikai AULA FINANCIERA 65

70 3.4.3 Security Market Line (SML). Uno de los objetivos, ya analizado, del modelo CAPM era determinar las carteras eficientes en una situación de equilibrio en el mercado de capitales. A continuación abordaremos el segundo objetivo: determinar qué activos se encuentran bien o mal valorados por el mercado. De ahí que el modelo CAPM sea considerado como un MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS. Decíamos en el punto que el único riesgo que deberá retribuirse es el sistemático (la eliminación del diversificable es responsabilidad del accionista), y que una forma de medir dicho riesgo es a través de su beta. Luego, lógicamente, deberá existir una relación creciente entre la beta y el rendimiento esperado de los títulos. Puede demostrarse que, en las condiciones del modelo, esta relación será lineal, lo que da lugar a una nueva recta, que llamamos Línea del Mercado de Títulos Security Market Line (SML), y que aparece representada en la siguiente figura: E i E M M SML Ei = Rf + (EM Rf ). β i R f Figura 13 β M =1 β i Analíticamente, la ecuación de la recta presentada en la figura 1, que expresa la condición teórica de equilibrio entre rendimiento riesgo de los activos individuales, sería: Ei = Rf + (EM Rf ). βi es decir, la rentabilidad esperada en equilibrio del titulo i sería igual al producto de su coeficiente de volatilidad beta por la prima de riesgo del mercado, sumada a la rentabilidad del activo sin riesgo. La SML es la ecuación fundamental en la que se basa el Capital Asset Pricing Model (CAPM), modelo que permite la valoración de todo tipo de activos financieros y, también, la determinación de la tasa de descuento para analizar todo tipo de inversiones. 66 fikai AULA FINANCIERA

71 E i E M A 1 M SML Ei = Rf + (EM Rf ). β i A R f Figura 14 β M =1 β i En la figura 13 se ilustra sobre la forma de utilizarlo para valorar activos financieros. Si un título, A 1, quedara por encima de la Línea del Mercado de Títulos, significaría que su rentabilidad esperada es excesiva para el riesgo sistemático que ofrece, y por tanto sería un título interesante (infravalorado). Los inversores tratarían de comprarlo, haciendo aumentar su precio hasta conseguir que su rentabilidad esperada lo situara sobre la recta. Y si, por el contrario, un título, A, quedara por debajo de la SML, al ofrecer una rentabilidad demasiado baja para su riesgo, nadie querría comprarlo a su precio de mercado (estaría sobrevalorado), por lo que éste debería bajar de precio hasta situar al valor sobre la recta. En la SML deberán situarse así todos los títulos y carteras (y no sólo las eficientes, como ocurría en la Línea del Mercado de Capitales). El riesgo que un título aporta a una cartera convenientemente diversificada es únicamente ese que no puede eliminarse por diversificación. fikai AULA FINANCIERA 67

72 EJEMPLO RESUELTO Security Market Line SML En un mercado cotizan tres títulos con rentabilidades esperadas de %, 5% y 6% respectivamente. Los valores de sus betas son 1,5, 0,94 y 0,85. La rentabilidad esperada de la cartera de mercado es del 5,3% y la renta fija sin riesgo ofrece una rentabilidad del 3%. Se pide: Comprobar GRAFICAMENTE la posición relativa de los tres títulos respecto de la función de equilibrio (SML). Un título estará en equilibrio cuando para un riesgo determinado (BETA) ofrece la rentabilidad media de los títulos en el mercado. La función de contraste es la SML: línea de equilibrio de mercado Ei = Rf + (EM Rf ). βi Por tanto, los títulos, para estar en equilibrio deberían ofrecer las rentabilidades: T 1 E 1t = 3 + (5,3 3) x 1,5 = 5,87 T E t = 3 + (5,3 3) x 0,94 = 5,16 T 3 E 3t = 3 + (5,3 3) x 0,85 = 4,95 E i 6 5,87 5,30 5,16 4,95 T 3 infravalorado M T sobrevalorado SML Ei = Rf + (EM Rf ). β i R f =3 T 1 sobrevalorado 0,85 0,94 β M =1 1,5 β i T 1 no está en equilibrio y ofrece una menor rentabilidad a la de equilibrio. T no está en equilibrio y ofrece una rentabilidad algo más baja que la de equilibrio. T 3 no está en equilibrio y ofrece una rentabilidad muy superior a la de equilibrio. Los títulos T 1 T y T 3 no mantendrán su posición representada en la gráfica, ya que debido a la compra-venta de títulos estos tenderán al equilibrio. 68 fikai AULA FINANCIERA

73 EJEMPLO RESUELTO CML y SML En un mercado en equilibrio con rentabilidad esperada del 1% y una volatilidad del 18%, si la rentabilidad libre de riesgo es del 5%, se pide: 1 La ecuación de la Capital Market Line (CML). Si un inversor desea alcanzar en este mercado una rentabilidad del 10%, calcular la proporción que tendrá que invertir en el activo libre de riesgo. 3 Si un título tiene un coeficiente beta de 0,8, qué rentabilidad esperada debe ofrecer para estar infravalorado? 4 Si se supone que el coeficiente beta del título anterior se reduce en una décima, cómo afectará a la rentabilidad esperada del título siguiendo la SML? 1 Ecuación de la CML: y σ M =18% obtenemos: E p = R f EM - R + σ M f σ p sustituyendo R f = 5%, E M = 1% E p = 5 + σ p E p = 5% + 0,389σp Conocida la rentabilidad que desea obtener el inversor E p = 10%, la rentabilidad libre de riesgo R f = 5% y la rentabilidad esperada de mercado E M = 1%, podemos calcular la proporción a invertir en el activo libre de riesgo (x 1 ) planteando la siguiente ecuación: E p = x1.r f + (1- x1). EM que sustituyendo 10 = x (1-x 1 ).1 Resolviendo la ecuación obtenemos x 1 = 0,857 x 1 = 8,57% en el activo libre de riesgo. 3 Determinamos previamente la ecuación de la SML: E i = R f + (E M - R f ). β i sustituyendo: Ei = R f + (EM - R f ).β i = 5 + (1-5).0,8 = 10,6% esta sería la rentabilidad esperada del título para estar bien valorado. Por lo tanto estará infravalorado si ofrece una rentabilidad esperada superior al 10,6 % 4 La ecuación de la SML determina cómo afectará a la rentabilidad esperada del título variaciones en su beta. SML: E i = 5 + (1-5). βi E i = βi La pendiente de la recta es 7 por lo que una disminución de 0,1 en el valor de la beta del título provocará una reducción de 0,7% en la rentabilidad esperada del título. fikai AULA FINANCIERA 69

74 Ilustración gráfica de los dos últimos apartados: E i E M 10,6 Activos infravalorados M SML Ei = Rf + (EM Rf ). β i 5 0,8 β M =1 β i 70 fikai AULA FINANCIERA

75 CUESTIONARIO Capítulo 3: TEORÍA DE CARTERAS 1. Señale la afirmación incorrecta: A) En mercados eficientes el VAN de las operaciones es cero. B) La competencia elimina cualquier posibilidad de obtener un VAN positivo. C) La liquidez es la facilidad con que los activos financieros se transfieren sin pérdida de valor. D) El mercado supone costes financieros altos.. Un mercado de valores es eficiente cuando la competencia entre los distintos participantes que intervienen en el mismo, guiados por el principio del máximo beneficio, conduce a una situación de equilibrio en la que el precio de mercado coincide con: A) Su valor teórico. B) Su valor fundamental. C) Su valor de mercado. D) Su valor nominal. 3. En la hipótesis débil del mercado eficiente se supone que: (señale la respuesta correcta) A) Cada título refleja totalmente la información contenida en la serie histórica de precios, es decir, toda la información futura. B) Según esta hipótesis los inversores conseguirán un rendimiento superior al del promedio del mercado. C) Los inversores, por lo tanto, pueden obtener rentabilidades superiores analizando las series o ideando reglas de comportamiento de los precios basadas en ellas. D) Todos los participantes del mercado habrán aprendido ya a explotar las señales que dichas series de precios pueden mostrar y actuarán en consecuencia. 4. Un mercado es eficiente en su forma intermedia cuando: (señale la respuesta incorrecta) A) Los precios reflejan, no sólo toda la información pasada, sino también toda la información hecha pública acerca de la empresa o de su entorno. B) La información que descuenta cada título en particular es: informe de resultados, plan de negocios, estrategias, anuncios de dividendos, balances anuales, trimestrales, variación del tipo de interés, etc.). C) Si la eficiencia del mercado se ajusta a dicha hipótesis, la persona que emplee el análisis técnico para intentar lograr un rendimiento superior a la media del mercado no está perdiendo el tiempo. D) Ningún inversor será capaz de mejorar su predicción de las oscilaciones futuras de los precios mediante el análisis de noticias macroeconómicas como balances, informes anuales y otras fuentes disponibles para el público. 5. Si todos los títulos están perfectamente valorados y el mercado es totalmente eficiente: A) Los inversores obtendrán un rendimiento sobre su inversión que será el apropiado para el nivel de riesgo asumido, sin importar cuáles sean los títulos adquiridos. B) No existirán títulos sobre o infravalorados, con lo que el valor actual neto de la inversión será nulo. C) El tiempo, el dinero y el esfuerzo gastados en el análisis del valor intrínseco de los títulos serán inútiles. D) Todas son correctas. fikai AULA FINANCIERA 71

76 6. En un mercado financiero que cumpla el criterio semifuerte de eficiencia: A) El análisis fundamental será inútil. B) El análisis fundamental es básico para determinar los posibles rendimientos futuros. C) Solamente con información privilegiada se pueden obtener rendimientos extraordinarios. D) Las opciones A) y C) son correctas. 7. En cual de las Hipótesis de Eficiencia de Mercado podemos encontrar que los títulos reflejan, totalmente, la información contenida en la serie histórica de precios, es decir, toda la información pasada? A) Hipótesis Débil. B) Hipótesis Fuerte. C) Hipótesis Intermedia. D) En las tres. 8. El efecto que supone que las empresas de menor tamaño tienden a ser ignoradas por los grandes operadores, debido a que la información sobre tales compañías está menos disponible es el denominado A) Efecto Tamaño. B) Efecto Olvido. C) Efecto Enero. D) Efecto Composición de las carteras. La distribución presupuestaria de la cartera de valores representa (señale la correcta): A) El número de títulos de cada tipo que la forman. B) El porcentaje en valor de cada tipo de títulos dentro de la cartera. C) El porcentaje de títulos de cada tipo que la componen. D) Ninguna es correcta. 10. La línea característica del título "i" tiene la siguiente forma: A) R it = a i. b it R mt. x it B) R it = a i. b it R mt + x it C) R it = a i + b it R mt + x it D) Ninguna es correcta. 11. La composición presupuestaria de una cartera mixta vendrá definida por la parte de presupuesto destinada a activos de Renta Fija ( X 1 ) y de Renta Variable ( X ), sabiendo que : A) X 1. X = 1 B) X 1 = 1 + X C) X = 1 + X 1 D) X 1 + X = 1 1. Un riesgo no sistemático es aquel que: A) Afecta específicamente a un activo en particular o a un grupo reducido de activos. B) Afecta inusual y extraordinariamente a un activo en un determinado momento de la vida de la inversión. C) Es el resultado de añadirle al riesgo total de un activo o grupo de activos, el riesgo sistemático. D) Las opciones B) y C) son correctas. 7 fikai AULA FINANCIERA

77 13. Un activo con un coeficiente beta igual a 0, será considerado un activo: A) Agresivo o muy volátil. B) Defensivo poco volátil. C) Neutro. D) Muy sensible a las oscilaciones del mercado. 14. Si las acciones de una empresa se relacionan de manera positiva con el riesgo de la inflación, tales acciones: A) Tienen una beta de inflación negativa. B) Tienen una beta de inflación positiva. C) No tienen nada que ver los movimientos inflacionistas con la beta de dichas acciones. D) Están libres de riesgo. 15. La principal aportación del Modelo de Markowitz a la Teoría de Carteras es: A) Recoge en su modelo rasgos fundamentales de la conducta racional del inversor. B) Plantea como objetivo la definición de las tres carteras más favorables para el inversor. C) No tiene en cuenta el riesgo de la Cartera. D) Ninguna respuesta es correcta. 16. Una Cartera Óptima: A) Es aquella cartera que satisface a todos los inversores. B) Es aquella que tiene siempre riesgo nulo. C) Es aquella que siempre ofrece la máxima rentabilidad posible, despreciando el efecto del riesgo. D) Puede serlo para un inversor y para otro no serlo. 17. Cuántas etapas fija Markowitz en la búsqueda de la cartera óptima? A) Una. B) Dos. C) Tres. D) Cuatro. 18. En una cartera Mixta, con activos que incluyen riesgo y otros que no: A) La Rentabilidad Esperada de la Cartera mixta P depende de la esperanza matemática de los rendimientos de los activos con riesgo. B) La Rentabilidad Esperada de la Cartera mixta P depende de la esperanza matemática de los rendimientos de los activos con riesgo y de los que no incluyen riesgo. C) La Rentabilidad Esperada de la Cartera mixta P depende de la esperanza matemática de los rendimientos de los activos sin riesgo. D) Su rentabilidad esperada es nula en todos los casos, dado su carácter mixto. 19. De acuerdo con el CAPM, cual será el efecto sobre la rentabilidad total esperada de la cartera y el riesgo si pides prestado dinero al tipo de interés libre de riesgo e inviertes en la cartera de mercado? A) La rentabilidad esperada y el riesgo siguen siendo los mismos B) La rentabilidad esperada aumenta y el riesgo permanece constante C) La rentabilidad esperada y el riesgo aumentan D) Ninguna de las respuestas anteriores fikai AULA FINANCIERA 73

78 0. La principal ventaja del modelo de Sharpe, sobre los de Markowitz y Tobin es (señale la respuesta no correcta): A) No tiene ninguna ventaja especial, simplemente es otra forma de realizar el mismo cálculo. B) Contempla la posibilidad de endeudarse. C) Permite evaluar carteras mixtas. D) La B y la C son correctas. 1. Según el modelo CAPM, la rentabilidad esperada de un título con una beta de cero es: A) Cero. B) La tasa sin riesgo. C) Uno. D) Ninguna de las anteriores.. La recomendación para un título que se sitúe por debajo de la SML, es: A) Comprar. B) Vender. C) Mantener. D) Un título no se puede situar nunca por debajo de la SML. 3. Una cartera P se forma con títulos B y C. El título B tiene una rentabilidad esperada (RE) de 6,43% y una varianza (V) de 1,14 y el título C tiene una (RE) de 7,14 y una (V) de 0,87. La correlación entre los títulos es negativa en un 30%. La estructura de la cartera es 65 % en títulos B y el resto en títulos C. La rentabilidad esperada de la cartera P será: A) 8,68%. B),67%. C) 6,67%. D) 4,68%. 4. El modelo de Sharpe y Lintner supone un avance en el modelo de Markowitz y Tobin: A) Al incluir la posibilidad de invertir no solo en renta variable con riesgo, sino también en renta fija sin riesgo. B) Al incluir la posibilidad de prestar o pedir prestado, es decir, endeudarse. C) Las opciones a) y b) son correctas. D) Las opciones a) y b) son incorrectas. 5. Carteras eficientes son: A) Aquellas carteras que proporcionan la mayor rentabilidad esperada para una desviación típica dada. B) La mayor desviación típica para una rentabilidad esperada dada. C) Aquellas que proporcionan mayor rentabilidad esperada y mayor desviación típica. D) Todas son falsas. 6. La beta de un título: A) Es la covarianza entre la rentabilidad del título y la del mercado dividida por la varianza del mercado. B) Depende del plazo temporal con que se hayan calculado las rentabilidades. C) Mide la sensibilidad de la rentabilidad que el título tiene al movimiento del mercado. D) Todas son correctas. 74 fikai AULA FINANCIERA

79 7. Si la tasa libre de riesgo del mercado es de 4%, la rentabilidad esperada del sector de referencia del título A es igual al 1%, la composición de la cartera es de un 65% título A y 35% otros activos y la beta del título A es igual a cero, la rentabilidad esperada del título A será igual a: A) 3%. B) 5%. C) 4%. D) 0%. 8. Cuál de las siguientes afirmaciones considera correcta? A) La teoría de Markowitz propone buscar primero aquellas carteras o títulos que proporcionan el menor riesgo, sin considerar niveles de rentabilidad. B) El modelo de Markowitz considera que el conjunto de oportunidades de inversión y de formación de carteras, tan solo se compone de activos con riesgo. C) El modelo de Markovitz recoge de forma explícita en su modelo los rasgos fundamentales de la conducta racional del inversor, consistente en buscar una composición de la cartera que exclusivamente maximice su rendimiento. D) La teoría de Markovitz no contempla el comportamiento de la volatilidad de un activo o una cartera como medida a considerar a la hora de seleccionar la cartera eficiente. 9. En lo referente al Modelo de Sharpe: A) Representa un avance respecto al Modelo de Markowitz ya que admite activos sin riesgo en la composición de la Cartera. B) La Rentabilidad Esperada de la Cartera mixta P depende de la esperanza matemática de los rendimientos de los activos con riesgo. C) Representa un avance respecto al Modelo de Markowitz ya que admite la posibilidad de añadir el efecto endeudamiento en las carteras. D) Todas son correctas. 30. Una vez analizada la Security Market Line (SML) podemos afirmar que: A) Los títulos que se sitúen por encima de la SML están infravalorados, y por lo tanto deberemos tomar posiciones cortas en este activo. B) Los títulos que se sitúen por encima de la SML están sobrevalorados, y por lo tanto deberemos tomar posiciones cortas en este activo. C) Los títulos que se sitúen por encima de la SML están infravalorados, y por lo tanto deberemos tomar posiciones largas en este activo. D) Ningún título puede situarse por encima de la SML, que representa la posición óptima para los títulos de dicha cartera. fikai AULA FINANCIERA 75

80 PROBLEMA 1 Capítulo 3: TEORÍA DE CARTERAS Un determinado mercado en equilibrio tiene un índice de referencia formado por 4 títulos A, B, C y D. Si para el próximo ejercicio se espera que el índice se revalorice un 18% con una volatilidad del 5%, para una tasa libre de riesgo del 4,50%. Se pide: 1 Determinar la ecuación de la CML, así como el ratio de Sharpe y su interpretación. Si un inversor está dispuesto a asumir un riesgo del 1% cuál sería la rentabilidad esperada? 3 Tenemos que construir a ese inversor una cartera p con dicho riesgo qué proporción tendrá el activo libre de riesgo en la cartera p? y qué proporción la cartera de mercado? 4 Si la composición del índice fuese del 15% de A, 0% de B, 40% de C y 5% de D, cuáles serán los porcentajes que deberá adquirir el citado inversor de cada título? 5 Otro inversor desea invertir para obtener una rentabilidad del 0% qué proporción debería colocar en el activo sin riesgo? y en la cartera de mercado? Realiza un desglose de los importes que invertiría en los 4 títulos del índice. 6 Determinar la ecuación de la SML. Cuál será la rentabilidad esperada de un título con coeficiente beta de 0,8? 7 Deseamos obtener una rentabilidad del % qué coeficiente beta debería tener la cartera de inversión? 8 En el mercado considerado aparece un activo E con un coeficiente beta de 0,3 y una rentabilidad esperada del 9,5%. Analizar si dicho activo está en equilibrio, sobrevalorado o infravalorado. PROBLEMA Capítulo 3: TEORÍA DE CARTERAS Un inversor adquiere una acción cuya desviación estándar es 3,90% y una covarianza con el mercado de 0,03. La rentabilidad esperada del activo sin riesgo es de 4,5%. Asumiendo que las expectativas de rentabilidad del mercado son del 14% y su desviación estándar de 4,90%. Cuál será la rentabilidad esperada de la acción?. 76 fikai AULA FINANCIERA

81 MÓDULO 1: GESTIÓN DE CARTERAS Capítulo 4. Asignación de activos y definición de políticas de inversión 4.1 Gestión activa y pasiva de carteras Gestión activa 4.1. Gestión pasiva Tracking error 4. Definición de la política de inversión 4..1 Objetivos de inversión 4.. Restricciones y preferencias del inversor 4..3 Tácticas y estrategias de selección de activos 4.3 Asignación de activos Proceso 4.3. Asignación táctica y estratégica Práctica y seguimiento de la asignación fikai AULA FINANCIERA 77