1.1. Respuestas a los ejercicios sobre MAS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1.1. Respuestas a los ejercicios sobre MAS"

Transcripción

1 .. Respuests los ejercicios sobre MAS Sbeos que l elongción de un..s. está dd por un ecución del tipo A cos ( t unque pudier ser igulente un función seno. Así que bstrí coprr con l ecución dd, pr obtener ineditente los resultdos: A c cos t c rd / s rd En cunto l periodo y l frecuenci, y que, serí tn siple coo s 5 Hz 5 Si l ecución de elongciones es,4 cos (t c, ls de velocidd y celerción se obtienen por siple derivción: v(t (t d dv(t 4sen(t c / s 4 cos (t c / s y sólo hbrí que usrls en los instntes propuestos, t = s y t = / s. En el tiepo t = s, l fse del oviiento vle rd y en el tiepo t = / s, l fse es (. de for que, l tiepo t = s, los vlores pedidos son x( v( ( rd,4 cos (, c ( 4sen(.88 c / s ( 4 cos ( 97,9 c / s ( Entre otrs coss, hy que notr que l posición en ese oento está itd de cino entre el centro de equilibrio y l plitud (, c es l elongción l plitud es,4 c, ientrs que l velocidd de,88 c/s no es de ningun ner l itd de l velocidd áxi (de ±,57 c/s, coo es fácil de ver. Qué coentrios pueden hcerse sobre esto? Veos hor los vlores de elongción, velocidd y celerción l tiepo / s: x(,4 cos,5 c (4 v( 4sen,8 c / s (5 ( 4 cos 4,89 c / s ( de odo que, en este oento, l velocidd está dirigid en sentido negtivo y vle l itd del vlor áxio (±,57 c/s, coo y se hizo notr. Esto perite responder l pregunt hech nteriorente: l velocidd del óvil lcnz su vlor áxio (,57 c/s cundo ps por el centro de ls oscilciones (x = c, y v disinuyendo cundo se desplz hci el extreo de l oscilción (se en x =,4 c, se

2 en x =,4 c pero no lo hce de for linel, y que l celerción se v hciendo ás grnde edid que el óvil se cerc l extreo. En otrs plbrs, se pierde l yor prte de l velocidd cundo se está y cerc del extreo de l tryectori: esto puede coprobrse irndo con tención los vlores obtenidos en los resultdos ( (. eneos = 5 x, con x edido en y en /s. Coo se sbe, en un..s. l ecución fundentl es de for que result evidente que 5 x A cos ( t 5 rd / s De otro ldo, ls ecuciones teporles de elongción, velocidd y celerción son del tipo A sen( t v(t Acos ( t (t A sen( t donde =, tl coo se dice en el enuncido. Finlente, conoceos tbién el vlor de l plitud A =,5 c =,5 sí coo l pulsción = rd/s, de for que sólo hy que escribir (t donde t se ide en s y se ide en /s.,5.5 sent,4 sent 4 Coo se sbe, l ecución fundentl en un..s. es x ( donde es l celerción y x l elongción del oviiento. odo oviiento que stisfg est ecución es un..s. que tiene lugr en eje X en consecuenci, debeos probr que tl iguldd es ciert cundo l posición del óvil está dd por 4 sent cost x c t s Pr ello, hy que derivr est función de posición dos veces: priero tendreos l velocidd del oviiento, después l celerción: v(t (t d dv(t 4 cost sent 4 sent cost v c / s c / s t s t s Y hor se trt de coprobr que est celerción cuple l condición definid en (. Bst scr fctor coún en est últi ecución pr que quede: ( sent cost x x c c/s y el proble está resuelto: se trt de un..s., en el que = y, por tnto, = rd/s. Aunque no discutireos esto hor, se puede probr que l plitud del oviiento serí 5 c. 5 L velocidd del..s. que nos proponen es v(t, sen(4t t s v / s y de es ecución debeos obtener, por siple coprción con l ecución teóric de l velocidd en un..s., ls constntes del oviiento, en prticulr el período y l frecuenci. Podeos prtir de ls ecuciones de un..s. que plnteos continución: A cos ( t v(t Asen( t (t A cos ( t en ls que, coo puede verse, heos usdo un función coseno en l elongción pr que, de ese

3 odo, prezc l función seno en l velocidd, tl coo sucede en l función del enuncido. Ahor, coprndo l segund de ests ecuciones con l velocidd del enuncido, teneos ls siguientes identificciones inedits: A, 4 rd / s rd / s, A 4,5,5 c de ls cules, fácilente, conseguios hor el período y l frecuenci: 4 s Hz Y qued únicente l función elongción tiepo. Conoceos l plitud A, l pulsción y l fse inicil, de odo que flt sólo escribir: A cos ( t,5 cos (4t,5 cos (4t Si l elongción coo función del tiepo está dd por entonces es inedito identificr 5 cos (4t x c A 5 c 4 rd / s t s rd de ner que los vlores áxios de l velocidd y l celerción son uy sencillos: x v x A A 5.4,8 c / s 5.( ,57 c / s y no prece preciso decir ucho ás, slvo recordr quizá que los vlores áxios de l velocidd se tienen cd vez que el óvil ps por el centro de ls oscilciones (por x = c, y su signo depende que el óvil pse por hí oviéndose en un sentido u otro. En cbio, los vlores áxios de l celerción se tienen en los extreos de l oscilción, cundo l elongción es igul l plitud (es decir, x = A c = 5 c, y tienen signo contrrio l de x, de cuerdo l ecución fundentl = x. 7 Al drnos l elongción x 4 cos t x c t s nos están ofreciendo l plitud (vle 4 c, coo es fácil de ver y l pulsción, cuyo vlor es = rd/s. Por otro ldo, l ecución fundentl de un..s. es, coo se sbe, l que relcion elongción y celerción del óvil: donde, en nuestro cso, = = rd /s. En consecuenci, podeos escribir y, pr x = c, será x x x c. c / s / s c / s 8 Siendo l frecuenci = 8 Hz, es uy sencillo obtener l pulsción (o frecuenci ngulr, coo tbién se l conoce: rd / s y hor debeos recordr l relción existente entre velocidd y elongción del óvil en un M.A.S.: v A x de ner que, conociendo A = c y = rd/s, es inedito verigur l velocidd pr culquier elongción. Pr x =, c tendreos: v,.,8 4, c / s

4 Y, en lo que respect l celerción, bstrá recordr l ecución fundentl de un M.A.S.: donde sólo hy que sustituir el vlor de l elongción, c:., 55,95 c / s 5, / s 9 Qué plitud y qué período debe tener un M.A.S. pr que l velocidd áxi se de c/s y l celerción áxi de /s? Expresr l elongción de ese oviiento en función del tiepo. Si l velocidd áxi es de c/s, entonces sbeos que x A c / s, / s ( y si l celerción áxi es de /s, entonces es que A / s ( sí que bstrí dividir ls igulddes ( y ( pr tener fácilente A y. Priero : y hor A, etiendo en ( o en (: A 4 rd / s A, A c / s c / s,75 c 4 rd / s Entonces podeos escribir l ecución de elongciones, que serí del tipo = A sen (t+, sipleente sustituyendo los vlores obtenidos. Quedrá:,75 sen(4 t x c t s Debe observrse que l fse inicil qued indeterind, puesto que no podeos clculrl con los dtos disponibles. Eso no signific, sin ebrgo, que no toeos en cuent su existenci. L elongción es nul en un M..A.S. cd vez que el óvil ps por el centro de equilibrio, es decir, x =. Coo sbeos, en tl oento l velocidd debe tener su áxio vlor, ±A. En consecuenci, sbeos que el vlor /s que indic el enuncido es el vlor áxio de l velocidd, todo con signo positivo, es decir, cundo el óvil se desplz en el sentido positivo del eje. Podeos escribir, consecuenteente A = /s Por otro ldo, cundo l velocidd se nul el óvil tendrá que estr en un extreo de su oscilción, es decir, l elongción será igul l plitud en ese instnte: A = 5 c =,5 De ls dos igulddes se despej ineditente, dividiéndols iebro iebro: y el período es hor inedito, recordndo A A : s rd / s,5,4 s Otr vez debeos epler l relción conocid entre elongción y velocidd del óvil en el M.A.S.: v A x Aquí conoceríos que, cundo l elongción es 7 c, l velocidd vle /s = c/s. De otro ldo, l plitud es A = 4 c, de for que sólo flt despejr l frecuenci ngulr : 4 7 rd / s Ineditente, l frecuenci:

5 Hz Y, l psr por l posición de equilibrio, l velocidd debe ser áxi, coo sbeos. Su vlor es ± A, de for que será: v áx 4. c / s 8 / s 5, / s eneos l función elongción tiepo definid de odo copleto, slvo por l fse inicil, cos (5t x c t s ( que prece indeterind. Ls diferencis entre los distintos oviientos que tendríos l ir vrindo es fse inicil tendrín que ver exclusivente con l posición inicil del óvil por tnto, tbién con su velocidd inicil y su celerción inicil, trtándose por lo deás de oviientos idénticos. En todos ellos, l velocidd se escribirí según d v(t sen(5t v c / s t s ( Ls ecuciones ( y ( periten responder de odo inedito ls cuestiones plnteds en el enuncido. Podeos epezr entrndo con t = s en cd un de ells: x ( x cos c v( v sen c / s ( y hor usos ls expresiones de x y v de (, eplendo en cd cso los vlores de fse inicil del enuncido pr terinr el proble: rd x cos c v sen c / s rd x cos c v sen 5,98 c / s rd x cos c v sen c / s rd x cos c v sen c / s Un ejercicio sencillo, pero que ilustr bien ls diferencis entre estos supuestos, es l representción gráfic de ls funciones teporles elongción, velocidd y celerción en cd uno de los csos: de ello se ocup el proble siguiente. Este ejercicio requiere un coentrio de crácter genérico cerc de ls ecuciones elongción tiepo que encontros usulente l trbjr con oviientos rónicos siples: lo ás frecuente es que prezcn bjo culquier de ls fors: o bien x (t A sen( t ( x (t A cos ( t ( siendo el cso del proble nterior, por ejeplo, correspondiente l segund de ells. Existe lgun diferenci esencil entre bos oviientos? L respuest ests pregunts es no: l únic diferenci resltr entre los M.A.S. ( y ( es un siple cuestión de fse ás concretente, un ventj de fse de 9º de ( con respecto (, lo que quiere decir que el fsor que usos en el oviiento ( llev 9º de delnto respecto l que usos en el oviiento (, sí que el óvil descrito en ( lo hce todo ps por el origen, lleg los extreos de su oviiento, etc.. ¼ (un curto de período ntes que (. Esto puede entenderse ejor si se recuerd l relción cos sen( que uestr coo l función coseno llev un delnto de fse de / respecto l función seno. Recordndo cuestiones explicds en el proble nterior, podeos ver cuál es el retrso teporl de l oscilción descrit en ( respecto de l descrit en (: y que el retrso de fse es = /, tendríos

6 t resultdo fácil de entender si se recuerd que, y que justific lgun firción hech ás rrib: sbeos hor, pues, que l oscilción ( llev ¼ de ventj respecto l oscilción (. De odo que, en delnte, ceptreos indistintente ls funciones seno y/o coseno en ls ecuciones de un oviiento rónico: de hecho, tbién un cobinción linel de bs es finlente otro M.A.S., coo y se probó en lgún ejercicio nterior. Pr reforzr los párrfos nteriores, veos hor cuáles serín ls ecuciones de elongción, velocidd y celerción en los dos csos propuestos en el enuncido: se trt de csos sencillos que nejn funciones seno y coseno, sin fse inicil: A sent v(t (t d dv(t A cos t A sent ( 4 A cos t v(t (t d dv(t A sent A cos t (4 ecuciones que hor representos gráficente, contr el tiepo, de odo que puede verse cóo todo lo que sucede en el oviiento descrito por ls ecuciones ( lo hce un curto de período ntes el óvil descrito en ls ecuciones (4: 4 Escribiendo l elongción de un M.A.S. en térinos de A sen( t tl coo heos hecho nosotros, decir que l tiepo t = s el óvil se hll en el origen y oviéndose en sentido positivo signific que l fse inicil es nul (o vle un núero entero de veces, lo que viene ser lo iso. Por lo tnto, l ecución de elongciones quedrí A sen t y, coo sbeos que A = 8 y = 5 Hz (de odo que = = rd/s, ls ecuciones de elongción, velocidd y celerción quedrán

7 ,8 sen t c v(t (t d dv(t 8 cos t c / s 8 sen t c / s con lo que el proble estrí resuelto. Aprovechreos, sin ebrgo, pr ostrr de nuevo que ls ecuciones de elongción pueden escribirse indistintente eplendo senos o cosenos en su forulción: en efecto, si escribiéseos l elongción del M.A.S. coo A cos ( t entonces ls condiciones iniciles de elongción nul y velocidd positiv l tiepo t = s requieren que toe el vlor / rd (lo cul no es sino un odo de decir que l función seno está retrsd / rd respecto l función coseno. L respuest lterntiv l proble serí, entonces:,8 cos ( t c v(t (t d dv(t 8 sen( t 8 cos ( t c / s c / s donde, coo es fácil de coprobr, los vlores que se obtienen pr culquier vlor de tiepo, en prticulr pr el instnte inicil t = s, son exctente los isos que en ls ecuciones escrits ás rrib. 5 Coo se sbe, l fuerz que debe estr plicd sobre un cuerpo cundo este desrroll un M.A.S. es del tipo elástico F x ( donde x es l distnci del cuerpo l centro de ls oscilciones y l constnte elástic correspondiente, relciond con l s del cuerpo y l pulsción del oviiento según En nuestro cso, y que l frecuenci es conocid, es inedito obtener : 5 rd / s y, consiguienteente,,5.(5,7 N / Y que sbeos tbién el vlor de l áxi elongción (plitud A =, podeos sipleente sustituir en (, dndo x el áxio vlor posible y obteniendo el áxio vlor de l fuerz sobre el cuerpo. Prescindios, en todo cso, del signo de l fuerz y respondeos con su áxio vlor bsoluto: F áx,7 N /..,47 N En este cso conoceos directente l constnte elástic de recuperción del resorte = N/ y l s del cuerpo, =,8 kg, de for que resultrá sencillo obtener, recordndo que = :,8 5 rd / s con lo cul, y conociendo l elongción A = c, es inedito escribir l ecución pedid: = sen (5t + donde l constnte de fse inicil,, estrí indeterind por flt de dtos cerc de ls condiciones iniciles de l oscilción.

8 7 Hy que epezr por explicr cóo suspendeos el cuerpo del resorte: lo colocos en el extreo libre y, sujetándolo con l no, lo dejos bjr suveente e ipidiendo que gne velocidd, hst que se lcnz l situción de equilibrio en l que el peso del cuerpo y l fuerz con que el resorte tir de él hci rrib están igulds. L figur uestr cóo el resorte está lrgdo c y cuál debe ser el equilibrio de fuerzs l escribir es iguldd toos el vlor bsoluto de bs fuerzs pr exigir que idn lo iso. Cundo el siste se bndon en es posición, qued en equilibrio y el cuerpo en reposo hst que se defore el resorte 5 c ás, coo pide el enuncido. Entonces se estblece el M.A.S. con plitud de 5 c y con el centro de oscilciones en el lugr en que se lcnzó el equilibrio entre peso y fuerz de recuperción del resorte (no en el que corresponde l longitud nturl del uelle. El equilibrio de fuerzs ntes de introducir l deforción de 5 c es: de donde podeos obtener el vlor de : g x x g,., 5 N / y, con, es sencillo hllr el período de ls oscilciones:, 5,89 s Por otro ldo, l áxi velocidd en un M.A.S. se lcnz en el centro de ls oscilciones, coo sbeos bien, y su vlor es ± A. Por tnto: v áx A A 5 5, c / s,89 9 Si se eplen s en relizr oscilciones, el período será, s Por otro ldo, recordeos donde conoceríos =, s y tbién =,5 kg. Por tnto, es inedito obtener : 4 4.,5 7,4 N /, Pr responder l segund cuestión podeos referirnos l figur del proble nterior, y que se trt exctente de l is situción. Podeos utilizr de nuevo lo que drí est vez x g x g,5 N 9,. 7,4 N / 9, c de ner que l longitud del resorte con el cuerpo suspendido será l su de l longitud norl ás el lrgiento c + 9, c = 9, c Cundo nos dicen que desde l división N hst l división N hy un distnci de c nos están proporcionndo l constnte del resorte. En efecto, sbeos que un lrgiento del resorte de vlor c corresponde un fuerz defornte de N. Coo l fuerz F que defor el resorte (* y l deforción x resultnte están relcionds según F x es fácil obtener l constnte de recuperción del dinóetro. Serí F x N N /, Con este dto podeos discutir cóo serán ls oscilciones de un cuerpo suspendido del resorte del dinóetro. Bstrá recordr que el período de ls oscilciones está ddo por

9 y l frecuenci, por tnto,,97,8,5 Hz,97 s Por últio, hy que recordr que l celerción áxi del óvil en un M.A.S. corresponde l pso por ls posiciones extres de l oscilción, y su vlor es áx A A ( c.(.,5 5 c / s donde se h hecho uso de l plitud dd en el enuncido y de l conocid relción entre frecuenci y pulsción. (* No se debe confundir con l fuerz que el resorte plic sobre el objeto sujeto su extreo, que es F = x (igul y de sentido contrrio l que defor el resorte, según l ley de cción y rección. Un resorte se ntiene verticl poydo en el suelo. Se coloc un cuerpo de s en reposo sobre el resorte y se observ que éste se cort c. Si epujos ligerente el cuerpo hci bjo y lo soltos, cuál será l frecuenci de ls oscilciones? y si l s del cuerpo fuese? Se trt de l is situción discutid en los probles nteriores 8 y 9. Coo en ellos, l colocr el cuerpo de s sobre el resorte se lcnz un equilibrio entre dos fuerzs que ctún sobre el cuerpo: su peso g y l fuerz de recuperción del resorte, proporcionl l deforción del iso. El equilibrio requiere que x g donde, pesr de que no conoceos l s del cuerpo, siepre podeos obtener el cociente /, que es en relidd lo que nos interes, coo vereos enseguid. Serí: Recordeos hor que,. kg. N ( pr coprender cóo, efectivente, no se trt tnto de conocer o, sino ás bien su cociente. El período de ls oscilciones serí.,49 s y, por tnto, l frecuenci es,5 Hz,49 L últi cuestión se refiere l cbio que producirí en l frecuenci doblr el vlor de l s. L respuest es siple: en (, el vlor del rdicndo serí el doble, / en lugr de / por tnto, el nuevo período serí =,4 veces yor. L frecuenci, invers del período, se volverí,4 veces ás pequeñ, de for que su nuevo vlor serí,5,45 Hz Estos nte un oscilción que tiene lugr en el eje X, controld por un fuerz elástic F = x, con l constnte = 4 N/. De cuerdo con est ecución, el centro de ls oscilciones es el origen iso, x =, puesto que hí es donde l fuerz sobre el óvil result ser nul. L figur de l izquierd uestr l situción inicil descrit en el enuncido, donde, l trtrse del centro de ls oscilciones, l velocidd del óvil to su vlor áxio que, coo sbeos, es v áx = AEn consecuenci, podeos escribir un prier ecución

10 v áx / s A en l que no conoceos A ni, de for que precisreos un segund ecución pr obtener respuests: l conseguireos recordndo que =, de for que, con lo vlores de y de del enuncido, es inedito hllr el vlor de l pulsción : ( 4, rd / s vlor que, llevdo (, nos drá l plitud de l oscilción, que es exctente lo que se dend en el enuncido: l áxi distnci l que el óvil se lej del origen, es decir, l áxi elongción. L situción en ese oento se reflej en l figur de l derech, en l que el óvil está en el extreo de su tryectori, con velocidd v = /s y posición x = A. El vlor de l plitud pedid result ser A s rd s,77 y el proble estrí hecho. En relidd, un enfoque diferente l que se h seguido quí hubier sido probbleente ás decudo este ejercicio: estos nte un clro ejeplo de conversión de energí cinétic en energí potencil elástic.

SOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL Dinámica I: fuerza y leyes de Newton

SOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL Dinámica I: fuerza y leyes de Newton SOLUCIORIO GUÍ ESTÁDR UL Dináic I: fuerz y leyes de ewton SGUICES016C3-16V1 Solucionrio guí Dináic I: fuerz y leyes de ewton Íte lterntiv Hbilidd 1 D Coprensión Coprensión 3 E plicción 4 D plicción 5 plicción

Más detalles

- 1 - PLANO INCLINADO

- 1 - PLANO INCLINADO - 1 - PLNO INCLINDO DESCOMPOSICIÓN DE L FUERZ PESO Suponé que tengo un cuerpo que está poydo en un plno que está inclindo un ángulo. L fuerz peso punt pr bjo de est ner: UN CUERPO POYDO EN UN PLNO INCLINDO.

Más detalles

Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR Físic Generl Proyecto PMME - Curso 00 Instituto de Físic Fcultd de Inenierí UdelR TITULO DINÁMICA DE LA PARTÍCULA - MÁQUINA DE ATWOOD DOBLE. AUTORES: Gonzlo d Ros, Jvier Belzren, Dieo Aris. INTRODUCCIÓN

Más detalles

Resumen de los errores más frecuentes en Matemáticas de 1º ESO.

Resumen de los errores más frecuentes en Matemáticas de 1º ESO. Resuen de los errores ás frecuentes en Mteátics de 1º ESO. 1º. Propiedd distributiv. L propiedd distributiv respecto l producto-división y l su-diferenci nos dice: A) b c b c B) b c b c Observ: b c b c

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles

PROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS

PROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS POBLEMAS DE ODADUA EJEMPLOS SELECCONADOS UNDAMENTOS ÍSCOS DE LA NGENEÍA Antonio J. Brbero / Alfonso Cler Belmonte / Mrino Hernández Puche Dpt. ísic Aplicd. ETS ng. Agrónomos (Albcete) EJEMPLO Considere

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Fuerza: soluciones. 1.- Un móvil cuya masa es de 600 kg acelera a razón de 1,2 m/s 2. Qué fuerza lo impulsó?

Fuerza: soluciones. 1.- Un móvil cuya masa es de 600 kg acelera a razón de 1,2 m/s 2. Qué fuerza lo impulsó? Fuerz: soluciones 1.- Un óvil cuy s es de 600 kg celer rzón de 1,2 /s 2. Qué uerz lo ipulsó? = 600 kg = 1,2 /s 2 F = >>>>> F = 600 kg 1,2 /s 2 = 720 2.- Qué s debe tener un cuerpo pr que un uerz de 588

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

El tremendo error que se ha cometido no está en lo mal que se hayan hecho las operaciones, sino en

El tremendo error que se ha cometido no está en lo mal que se hayan hecho las operaciones, sino en SIMPLIFICAR EXPRESIONES (OPERAR) Y DESPEJAR O RESOLVER ECUACIONES. Por qué el título enion tres oss que se estudin por seprdo o que ni siquier se estudin?. Pues no lo sé, pero tnto pr operr oo pr despejr

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

Modelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función

Más detalles

FORMULARIO EN DISTINTAS OPERACIONES FINANCIERAS 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE: ( ) ( )

FORMULARIO EN DISTINTAS OPERACIONES FINANCIERAS 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE: ( ) ( ) Isbel Nóvo Arechg FORMULARIO EN DISTINTAS OPERACIONES FINANCIERAS 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE: El tnto i y el tiepo n, tienen que estr correlciondos, es decir, referidos l iso período de tiepo, generlente

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

MOVIMIENTO DE RODADURA

MOVIMIENTO DE RODADURA E.T.S.. Agrónomos. U.P.. OVENTO DE ODADUA Cuerpos rodntes. Considermos el moimiento de cuerpos que, debido su geometrí, tienen l cpcidd de rodr: eser, ro, disco, supericie eséric, cilindro poydo sobre

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) MOVIMIENO RMÓNICO SIMPLE (MS) E n nuestr vid cotidin con frecuenci se puede observr que existe otro tipo de oviiento, por ejeplo: el péndulo del reloj de tu cs, un sierr eléctric, un cepillo de dientes

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

DINÁMICA Y LAS LEYES DE NEWTON

DINÁMICA Y LAS LEYES DE NEWTON DINÁMICA Y LAS LEYES DE NEWTON EXPERIENCIA N 7 Un propiedd de los cuerpos mteriles es su ms inercil. L fuerz es otro concepto nuevo, útil cundo se trt de describir ls intercciones entre cuerpos mteriles.

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

EL MUELLE. LAS FUERZAS ELÁSTICAS

EL MUELLE. LAS FUERZAS ELÁSTICAS EL MUELLE. LAS FUERZAS ELÁSTICAS En una pista horizontal copletaente lisa, se encuentra un uelle de 30 c de longitud y de constante elástica 100 N/. Se coprie 0 c y se sitúa una asa de 500 g frente a él.

Más detalles

N I Plegado de planos. Septiembre de 1999 EDICION: 1ª NORMA IBERDROLA

N I Plegado de planos. Septiembre de 1999 EDICION: 1ª NORMA IBERDROLA N I 00.02.52 Septiembre de 1999 EDICION: 1ª NORMA IBERDROLA Plegdo de plnos DESCRIPTORES: Plegdo de plnos. N O R M A N I 00.02.52 Septiembre de 1999 EDICION: 1ª I B E R D R O L A Plegdo de plnos Indice

Más detalles

MOV. CIRCULARES: Solución: I.T.I. 93, 96, I.T.T. 00. Texto solución

MOV. CIRCULARES: Solución: I.T.I. 93, 96, I.T.T. 00. Texto solución MOV. CICULAES: Un prto de un prque de trcciones consiste en un grn cilindro verticl que gir lrededor de su eje lo suficientemente rápido pr que culquier person que se encuentre dentro de él se mnteng pegd

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b.

Para estudiar la traslación horizontal, se debe fijar primero el valor del parámetro a y después variar el valor del parámetro b. TRASLACIÓN HORIZONTAL (DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL) Pr estudir l trslción horizontl, se debe fijr primero el vlor del prámetro y después vrir el vlor del prámetro b. Veremos que l función b es el resultdo

Más detalles

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS]

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS] 009 CETis 6 Ing. Gerrdo Srmiento Díz de León [FACTORIZACION DE POLINOMIOS] Documento que enseñ como fctorizr polinomios Pr fctorizr polinomios hy vrios métodos: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Scr fctor común:

Más detalles

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Etueri Clses Prticulres Online Tem 4. Proporcionlidd Mgnitudes Un mgnitud es culquier propiedd que se puede medir numéricmente. Ejemplos: longitud, cpcidd de un recipiente, peso, Rzón L rzón es el cociente

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNSE Apuntes de Cátedra: Investigación Operativa / I Año: 2006.- II. LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNSE Apuntes de Cátedra: Investigación Operativa / I Año: 2006.- II. LA PROGRAMACIÓN LINEAL Fcultd de Ciencis Ects ecnologís UNSE Apuntes de Cátedr: Investigción Opertiv / I Año: 6.- II. LA PROGRAMACIÓN LINEAL El Método Siple Definición: Un progr linel es quel que optiiz el siguiente odelo teático

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

3 Aplicaciones de las EDO s lineales de segundo orden

3 Aplicaciones de las EDO s lineales de segundo orden Práctics de Ecuciones Diferenciles G. Aguilr, N. Bol, C. Clvero, F. Gspr 3 Aplicciones de ls EDO s lineles de segundo orden Objetivos: Anlizr en profundidd, en un ejemplo simple, l importnci de ls ecuciones

Más detalles

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES LOGARITMO º AÑO DEF. Y PROPIEDADES En l epresión n c, puede clculrse un de ests tres cntiddes si se conocen dos de ells resultndo de este odo, tres operciones diferentes: º Potenci º Rdicción º Logrito

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

COMBINATORIA. Las variaciones ordinarias se representan por el símbolo Vm,n o por V

COMBINATORIA. Las variaciones ordinarias se representan por el símbolo Vm,n o por V COMBINATORIA Por Aálisis Cobitorio o Cobitori, se etiede quell prte del álgebr que se ocup del estudio y propieddes de los grupos que puede forrse co eleetos ddos, distiguiédose etre sí: por el úero de

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES

TEMA 1. NÚMEROS REALES TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de

Más detalles

accés a la universitat dels majors de 25 anys MATEMÀTIQUES UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

accés a la universitat dels majors de 25 anys MATEMÀTIQUES UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función

Más detalles

Los números enteros y racionales

Los números enteros y racionales Los números enteros y rcionles Objetivos En est quincen prenderás : Representr y ordenr números enteros Operr con números enteros Aplicr los conceptos reltivos los números enteros en problems reles Reconocer

Más detalles

Qué es la aceleración? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. www.fisicaa.

Qué es la aceleración? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. www.fisicaa. Qué es el movimiento rectilíneo uniformemente vrido? Es un movimiento mecánico que experiment un móvil donde l tryectori es rectilíne y l celerción es constnte. Qué es l celerción? Es un mgnitud vectoril

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

El clásico problema del bloque y la cuña, pero esta vez no tan clásico... Santiago Silva y Guillermo Paredes.

El clásico problema del bloque y la cuña, pero esta vez no tan clásico... Santiago Silva y Guillermo Paredes. El cláico proble del bloque y l cuñ, pero et vez no tn cláico... INTRODUCCION: Sntigo Silv y Guillero rede. lnteo del proble: ROBLEMA 3 L figur uetr un cuñ de ángulo 30º, 60º, y 90º y ltur h que e encuentr

Más detalles

Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto

Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto Estbilidd de los sistems en tiempo discreto En tiempo discreto tmbién se puede hblr de estbilidd de estdo y de estbilidd de entrd slid de form similr l empled pr los sistems en tiempo continuo. Podemos

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

TEMA 1 EL NÚMERO REAL

TEMA 1 EL NÚMERO REAL Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8

Más detalles

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ... Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

Tema 4. Integración compleja

Tema 4. Integración compleja Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur.

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 4 MOVIMIENO ARMÓNICO SIMPLE 4.. MOVIMIENOS PERIÓDICOS. Conocido el período de rotación de la Luna alrededor de la ierra, y sabiendo que la Luna no eite luz propia, sino que refleja la que recibe del Sol,

Más detalles

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Definición El siste de coordends crtesins en el plno está constituido por dos rects perpendiculres que se intersecn en un punto O l que se le ll el origen. Un de ls rects

Más detalles

GRAVITACIÓN I: LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

GRAVITACIÓN I: LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 8 0 GRVICIÓ I: LEY DE L GRVICIÓ UIVERSL j Sigue pcticndo Indic sobe l tyectoi de un plnet con óbit elíptic lededo del Sol, que ocup uno de los focos, los puntos de áxi y íni elocidd Rzon l espuest b t

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

ANÁLISIS DE UNA CAJA DE CAMBIOS: CÁLCULO DE ENGRANAJES

ANÁLISIS DE UNA CAJA DE CAMBIOS: CÁLCULO DE ENGRANAJES ANÁLISIS DE UNA CAJA DE CAMBIOS: CÁLCULO DE ENGRANAJES AUTORÍA Mª DEL ROSARIO LÓPE ESPEJO TEMÁTICA MECANISMOS Y MÁQUINAS ETAPA BACHILLERATO Resuen L teri de Tecnologí Industril I se centr en el bloque

Más detalles

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. Log P X Se llm ritmo en bse de P, y se escribe P, l eponente l que hy que elevr l bse pr obtener P. Log P P Ejemplo: 8 8 L l it b d 8 Leemos, ritmo en bse de 8 es porque elevdo es 8. Anámente podemos decir:

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161

7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161 7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 81

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 81 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 81 págin 8 Si se divide un curt prte de un pstel l mitd se otiene un octv prte del mismo, lo que escrito en simologí mtemátic es Lo nterior es lo mismo que 1 1 4

Más detalles

Aplicaciones de la integral indefinida

Aplicaciones de la integral indefinida Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos

Más detalles

Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c

Más detalles

EJERCICIOS DE CINEMÁTICA PARA REPASAR

EJERCICIOS DE CINEMÁTICA PARA REPASAR EJERCICIOS DE CINEMÁTICA PARA REPASAR 1. L poición de un óvil, que igue un tryectori rectilíne, qued deterind por l ecución x = 5 + t, en l que tod l gnitude etán expred en el S.I. ) Arrnc el óvil dede

Más detalles

BLOQUE III Geometría

BLOQUE III Geometría LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40

Más detalles

Determinantes: un apunte teórico-práctico

Determinantes: un apunte teórico-práctico Deterinntes: un punte teório-prátio Definiión d triz udrd se le soi un núero denoindo deterinnte de. El deterinnte de se denot por o por det(). Cálulo de deterinntes Pr un triz de x el deterinnte es sipleente

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 QUÍMICA TEMA 6: EQUILIBRIOS ÁCIDO-BASE

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 QUÍMICA TEMA 6: EQUILIBRIOS ÁCIDO-BASE PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 QUÍMICA TEMA 6: EQUILIBRIOS ÁCIDO-BASE Junio, Ejercicio 4, Opción B Junio, Ejercicio 6, Opción A Reserv 1, Ejercicio 4, Opción A Reserv 2, Ejercicio 4, Opción

Más detalles

CORTADURAS DE DEDEKIND

CORTADURAS DE DEDEKIND CORTDURS DE DEDEKIND En l evolución de est teorí se distinguen tres etps: l primer prece influid por l ide del número rel como un objeto preexistente: cd número rel produce un cortdur; l cortdur define

Más detalles

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA Rzón entre dos números Siempre que hblemos de Rzón entre dos números nos estremos refiriendo l cociente (el resultdo de dividirlos) entre ellos. Entonces: Rzón entre

Más detalles

Ejercicios de optimización

Ejercicios de optimización Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 0 - Prof. Cecili Glimerti MATEMÁTICA AÑO B GUÍA N - NÚMEROS IRRACIONALES NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos Conjuntos Numéricos: - Los n nturles: (, 8,.8),

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Introducción Siempre que hy un proceso que evolucione de modo que el umento (o disminución) en un pequeño intervlo de tiempo, se proporcionl

Más detalles

3 Potencias y raíces de números

3 Potencias y raíces de números Potecis y ríces de úeros reles. Potecis de expoete turl. Defiició. El producto tiee sus siete fctores igules. Este producto se puede idicr de for brevid coo. se ll poteci, y l fctor, bse. El úero de veces

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles