1.1. Respuestas a los ejercicios sobre MAS

Transcripción

1 .. Respuests los ejercicios sobre MAS Sbeos que l elongción de un..s. está dd por un ecución del tipo A cos ( t unque pudier ser igulente un función seno. Así que bstrí coprr con l ecución dd, pr obtener ineditente los resultdos: A c cos t c rd / s rd En cunto l periodo y l frecuenci, y que, serí tn siple coo s 5 Hz 5 Si l ecución de elongciones es,4 cos (t c, ls de velocidd y celerción se obtienen por siple derivción: v(t (t d dv(t 4sen(t c / s 4 cos (t c / s y sólo hbrí que usrls en los instntes propuestos, t = s y t = / s. En el tiepo t = s, l fse del oviiento vle rd y en el tiepo t = / s, l fse es (. de for que, l tiepo t = s, los vlores pedidos son x( v( ( rd,4 cos (, c ( 4sen(.88 c / s ( 4 cos ( 97,9 c / s ( Entre otrs coss, hy que notr que l posición en ese oento está itd de cino entre el centro de equilibrio y l plitud (, c es l elongción l plitud es,4 c, ientrs que l velocidd de,88 c/s no es de ningun ner l itd de l velocidd áxi (de ±,57 c/s, coo es fácil de ver. Qué coentrios pueden hcerse sobre esto? Veos hor los vlores de elongción, velocidd y celerción l tiepo / s: x(,4 cos,5 c (4 v( 4sen,8 c / s (5 ( 4 cos 4,89 c / s ( de odo que, en este oento, l velocidd está dirigid en sentido negtivo y vle l itd del vlor áxio (±,57 c/s, coo y se hizo notr. Esto perite responder l pregunt hech nteriorente: l velocidd del óvil lcnz su vlor áxio (,57 c/s cundo ps por el centro de ls oscilciones (x = c, y v disinuyendo cundo se desplz hci el extreo de l oscilción (se en x =,4 c, se

2 en x =,4 c pero no lo hce de for linel, y que l celerción se v hciendo ás grnde edid que el óvil se cerc l extreo. En otrs plbrs, se pierde l yor prte de l velocidd cundo se está y cerc del extreo de l tryectori: esto puede coprobrse irndo con tención los vlores obtenidos en los resultdos ( (. eneos = 5 x, con x edido en y en /s. Coo se sbe, en un..s. l ecución fundentl es de for que result evidente que 5 x A cos ( t 5 rd / s De otro ldo, ls ecuciones teporles de elongción, velocidd y celerción son del tipo A sen( t v(t Acos ( t (t A sen( t donde =, tl coo se dice en el enuncido. Finlente, conoceos tbién el vlor de l plitud A =,5 c =,5 sí coo l pulsción = rd/s, de for que sólo hy que escribir (t donde t se ide en s y se ide en /s.,5.5 sent,4 sent 4 Coo se sbe, l ecución fundentl en un..s. es x ( donde es l celerción y x l elongción del oviiento. odo oviiento que stisfg est ecución es un..s. que tiene lugr en eje X en consecuenci, debeos probr que tl iguldd es ciert cundo l posición del óvil está dd por 4 sent cost x c t s Pr ello, hy que derivr est función de posición dos veces: priero tendreos l velocidd del oviiento, después l celerción: v(t (t d dv(t 4 cost sent 4 sent cost v c / s c / s t s t s Y hor se trt de coprobr que est celerción cuple l condición definid en (. Bst scr fctor coún en est últi ecución pr que quede: ( sent cost x x c c/s y el proble está resuelto: se trt de un..s., en el que = y, por tnto, = rd/s. Aunque no discutireos esto hor, se puede probr que l plitud del oviiento serí 5 c. 5 L velocidd del..s. que nos proponen es v(t, sen(4t t s v / s y de es ecución debeos obtener, por siple coprción con l ecución teóric de l velocidd en un..s., ls constntes del oviiento, en prticulr el período y l frecuenci. Podeos prtir de ls ecuciones de un..s. que plnteos continución: A cos ( t v(t Asen( t (t A cos ( t en ls que, coo puede verse, heos usdo un función coseno en l elongción pr que, de ese

3 odo, prezc l función seno en l velocidd, tl coo sucede en l función del enuncido. Ahor, coprndo l segund de ests ecuciones con l velocidd del enuncido, teneos ls siguientes identificciones inedits: A, 4 rd / s rd / s, A 4,5,5 c de ls cules, fácilente, conseguios hor el período y l frecuenci: 4 s Hz Y qued únicente l función elongción tiepo. Conoceos l plitud A, l pulsción y l fse inicil, de odo que flt sólo escribir: A cos ( t,5 cos (4t,5 cos (4t Si l elongción coo función del tiepo está dd por entonces es inedito identificr 5 cos (4t x c A 5 c 4 rd / s t s rd de ner que los vlores áxios de l velocidd y l celerción son uy sencillos: x v x A A 5.4,8 c / s 5.( ,57 c / s y no prece preciso decir ucho ás, slvo recordr quizá que los vlores áxios de l velocidd se tienen cd vez que el óvil ps por el centro de ls oscilciones (por x = c, y su signo depende que el óvil pse por hí oviéndose en un sentido u otro. En cbio, los vlores áxios de l celerción se tienen en los extreos de l oscilción, cundo l elongción es igul l plitud (es decir, x = A c = 5 c, y tienen signo contrrio l de x, de cuerdo l ecución fundentl = x. 7 Al drnos l elongción x 4 cos t x c t s nos están ofreciendo l plitud (vle 4 c, coo es fácil de ver y l pulsción, cuyo vlor es = rd/s. Por otro ldo, l ecución fundentl de un..s. es, coo se sbe, l que relcion elongción y celerción del óvil: donde, en nuestro cso, = = rd /s. En consecuenci, podeos escribir y, pr x = c, será x x x c. c / s / s c / s 8 Siendo l frecuenci = 8 Hz, es uy sencillo obtener l pulsción (o frecuenci ngulr, coo tbién se l conoce: rd / s y hor debeos recordr l relción existente entre velocidd y elongción del óvil en un M.A.S.: v A x de ner que, conociendo A = c y = rd/s, es inedito verigur l velocidd pr culquier elongción. Pr x =, c tendreos: v,.,8 4, c / s

4 Y, en lo que respect l celerción, bstrá recordr l ecución fundentl de un M.A.S.: donde sólo hy que sustituir el vlor de l elongción, c:., 55,95 c / s 5, / s 9 Qué plitud y qué período debe tener un M.A.S. pr que l velocidd áxi se de c/s y l celerción áxi de /s? Expresr l elongción de ese oviiento en función del tiepo. Si l velocidd áxi es de c/s, entonces sbeos que x A c / s, / s ( y si l celerción áxi es de /s, entonces es que A / s ( sí que bstrí dividir ls igulddes ( y ( pr tener fácilente A y. Priero : y hor A, etiendo en ( o en (: A 4 rd / s A, A c / s c / s,75 c 4 rd / s Entonces podeos escribir l ecución de elongciones, que serí del tipo = A sen (t+, sipleente sustituyendo los vlores obtenidos. Quedrá:,75 sen(4 t x c t s Debe observrse que l fse inicil qued indeterind, puesto que no podeos clculrl con los dtos disponibles. Eso no signific, sin ebrgo, que no toeos en cuent su existenci. L elongción es nul en un M..A.S. cd vez que el óvil ps por el centro de equilibrio, es decir, x =. Coo sbeos, en tl oento l velocidd debe tener su áxio vlor, ±A. En consecuenci, sbeos que el vlor /s que indic el enuncido es el vlor áxio de l velocidd, todo con signo positivo, es decir, cundo el óvil se desplz en el sentido positivo del eje. Podeos escribir, consecuenteente A = /s Por otro ldo, cundo l velocidd se nul el óvil tendrá que estr en un extreo de su oscilción, es decir, l elongción será igul l plitud en ese instnte: A = 5 c =,5 De ls dos igulddes se despej ineditente, dividiéndols iebro iebro: y el período es hor inedito, recordndo A A : s rd / s,5,4 s Otr vez debeos epler l relción conocid entre elongción y velocidd del óvil en el M.A.S.: v A x Aquí conoceríos que, cundo l elongción es 7 c, l velocidd vle /s = c/s. De otro ldo, l plitud es A = 4 c, de for que sólo flt despejr l frecuenci ngulr : 4 7 rd / s Ineditente, l frecuenci:

5 Hz Y, l psr por l posición de equilibrio, l velocidd debe ser áxi, coo sbeos. Su vlor es ± A, de for que será: v áx 4. c / s 8 / s 5, / s eneos l función elongción tiepo definid de odo copleto, slvo por l fse inicil, cos (5t x c t s ( que prece indeterind. Ls diferencis entre los distintos oviientos que tendríos l ir vrindo es fse inicil tendrín que ver exclusivente con l posición inicil del óvil por tnto, tbién con su velocidd inicil y su celerción inicil, trtándose por lo deás de oviientos idénticos. En todos ellos, l velocidd se escribirí según d v(t sen(5t v c / s t s ( Ls ecuciones ( y ( periten responder de odo inedito ls cuestiones plnteds en el enuncido. Podeos epezr entrndo con t = s en cd un de ells: x ( x cos c v( v sen c / s ( y hor usos ls expresiones de x y v de (, eplendo en cd cso los vlores de fse inicil del enuncido pr terinr el proble: rd x cos c v sen c / s rd x cos c v sen 5,98 c / s rd x cos c v sen c / s rd x cos c v sen c / s Un ejercicio sencillo, pero que ilustr bien ls diferencis entre estos supuestos, es l representción gráfic de ls funciones teporles elongción, velocidd y celerción en cd uno de los csos: de ello se ocup el proble siguiente. Este ejercicio requiere un coentrio de crácter genérico cerc de ls ecuciones elongción tiepo que encontros usulente l trbjr con oviientos rónicos siples: lo ás frecuente es que prezcn bjo culquier de ls fors: o bien x (t A sen( t ( x (t A cos ( t ( siendo el cso del proble nterior, por ejeplo, correspondiente l segund de ells. Existe lgun diferenci esencil entre bos oviientos? L respuest ests pregunts es no: l únic diferenci resltr entre los M.A.S. ( y ( es un siple cuestión de fse ás concretente, un ventj de fse de 9º de ( con respecto (, lo que quiere decir que el fsor que usos en el oviiento ( llev 9º de delnto respecto l que usos en el oviiento (, sí que el óvil descrito en ( lo hce todo ps por el origen, lleg los extreos de su oviiento, etc.. ¼ (un curto de período ntes que (. Esto puede entenderse ejor si se recuerd l relción cos sen( que uestr coo l función coseno llev un delnto de fse de / respecto l función seno. Recordndo cuestiones explicds en el proble nterior, podeos ver cuál es el retrso teporl de l oscilción descrit en ( respecto de l descrit en (: y que el retrso de fse es = /, tendríos

6 t resultdo fácil de entender si se recuerd que, y que justific lgun firción hech ás rrib: sbeos hor, pues, que l oscilción ( llev ¼ de ventj respecto l oscilción (. De odo que, en delnte, ceptreos indistintente ls funciones seno y/o coseno en ls ecuciones de un oviiento rónico: de hecho, tbién un cobinción linel de bs es finlente otro M.A.S., coo y se probó en lgún ejercicio nterior. Pr reforzr los párrfos nteriores, veos hor cuáles serín ls ecuciones de elongción, velocidd y celerción en los dos csos propuestos en el enuncido: se trt de csos sencillos que nejn funciones seno y coseno, sin fse inicil: A sent v(t (t d dv(t A cos t A sent ( 4 A cos t v(t (t d dv(t A sent A cos t (4 ecuciones que hor representos gráficente, contr el tiepo, de odo que puede verse cóo todo lo que sucede en el oviiento descrito por ls ecuciones ( lo hce un curto de período ntes el óvil descrito en ls ecuciones (4: 4 Escribiendo l elongción de un M.A.S. en térinos de A sen( t tl coo heos hecho nosotros, decir que l tiepo t = s el óvil se hll en el origen y oviéndose en sentido positivo signific que l fse inicil es nul (o vle un núero entero de veces, lo que viene ser lo iso. Por lo tnto, l ecución de elongciones quedrí A sen t y, coo sbeos que A = 8 y = 5 Hz (de odo que = = rd/s, ls ecuciones de elongción, velocidd y celerción quedrán

7 ,8 sen t c v(t (t d dv(t 8 cos t c / s 8 sen t c / s con lo que el proble estrí resuelto. Aprovechreos, sin ebrgo, pr ostrr de nuevo que ls ecuciones de elongción pueden escribirse indistintente eplendo senos o cosenos en su forulción: en efecto, si escribiéseos l elongción del M.A.S. coo A cos ( t entonces ls condiciones iniciles de elongción nul y velocidd positiv l tiepo t = s requieren que toe el vlor / rd (lo cul no es sino un odo de decir que l función seno está retrsd / rd respecto l función coseno. L respuest lterntiv l proble serí, entonces:,8 cos ( t c v(t (t d dv(t 8 sen( t 8 cos ( t c / s c / s donde, coo es fácil de coprobr, los vlores que se obtienen pr culquier vlor de tiepo, en prticulr pr el instnte inicil t = s, son exctente los isos que en ls ecuciones escrits ás rrib. 5 Coo se sbe, l fuerz que debe estr plicd sobre un cuerpo cundo este desrroll un M.A.S. es del tipo elástico F x ( donde x es l distnci del cuerpo l centro de ls oscilciones y l constnte elástic correspondiente, relciond con l s del cuerpo y l pulsción del oviiento según En nuestro cso, y que l frecuenci es conocid, es inedito obtener : 5 rd / s y, consiguienteente,,5.(5,7 N / Y que sbeos tbién el vlor de l áxi elongción (plitud A =, podeos sipleente sustituir en (, dndo x el áxio vlor posible y obteniendo el áxio vlor de l fuerz sobre el cuerpo. Prescindios, en todo cso, del signo de l fuerz y respondeos con su áxio vlor bsoluto: F áx,7 N /..,47 N En este cso conoceos directente l constnte elástic de recuperción del resorte = N/ y l s del cuerpo, =,8 kg, de for que resultrá sencillo obtener, recordndo que = :,8 5 rd / s con lo cul, y conociendo l elongción A = c, es inedito escribir l ecución pedid: = sen (5t + donde l constnte de fse inicil,, estrí indeterind por flt de dtos cerc de ls condiciones iniciles de l oscilción.

8 7 Hy que epezr por explicr cóo suspendeos el cuerpo del resorte: lo colocos en el extreo libre y, sujetándolo con l no, lo dejos bjr suveente e ipidiendo que gne velocidd, hst que se lcnz l situción de equilibrio en l que el peso del cuerpo y l fuerz con que el resorte tir de él hci rrib están igulds. L figur uestr cóo el resorte está lrgdo c y cuál debe ser el equilibrio de fuerzs l escribir es iguldd toos el vlor bsoluto de bs fuerzs pr exigir que idn lo iso. Cundo el siste se bndon en es posición, qued en equilibrio y el cuerpo en reposo hst que se defore el resorte 5 c ás, coo pide el enuncido. Entonces se estblece el M.A.S. con plitud de 5 c y con el centro de oscilciones en el lugr en que se lcnzó el equilibrio entre peso y fuerz de recuperción del resorte (no en el que corresponde l longitud nturl del uelle. El equilibrio de fuerzs ntes de introducir l deforción de 5 c es: de donde podeos obtener el vlor de : g x x g,., 5 N / y, con, es sencillo hllr el período de ls oscilciones:, 5,89 s Por otro ldo, l áxi velocidd en un M.A.S. se lcnz en el centro de ls oscilciones, coo sbeos bien, y su vlor es ± A. Por tnto: v áx A A 5 5, c / s,89 9 Si se eplen s en relizr oscilciones, el período será, s Por otro ldo, recordeos donde conoceríos =, s y tbién =,5 kg. Por tnto, es inedito obtener : 4 4.,5 7,4 N /, Pr responder l segund cuestión podeos referirnos l figur del proble nterior, y que se trt exctente de l is situción. Podeos utilizr de nuevo lo que drí est vez x g x g,5 N 9,. 7,4 N / 9, c de ner que l longitud del resorte con el cuerpo suspendido será l su de l longitud norl ás el lrgiento c + 9, c = 9, c Cundo nos dicen que desde l división N hst l división N hy un distnci de c nos están proporcionndo l constnte del resorte. En efecto, sbeos que un lrgiento del resorte de vlor c corresponde un fuerz defornte de N. Coo l fuerz F que defor el resorte (* y l deforción x resultnte están relcionds según F x es fácil obtener l constnte de recuperción del dinóetro. Serí F x N N /, Con este dto podeos discutir cóo serán ls oscilciones de un cuerpo suspendido del resorte del dinóetro. Bstrá recordr que el período de ls oscilciones está ddo por

9 y l frecuenci, por tnto,,97,8,5 Hz,97 s Por últio, hy que recordr que l celerción áxi del óvil en un M.A.S. corresponde l pso por ls posiciones extres de l oscilción, y su vlor es áx A A ( c.(.,5 5 c / s donde se h hecho uso de l plitud dd en el enuncido y de l conocid relción entre frecuenci y pulsción. (* No se debe confundir con l fuerz que el resorte plic sobre el objeto sujeto su extreo, que es F = x (igul y de sentido contrrio l que defor el resorte, según l ley de cción y rección. Un resorte se ntiene verticl poydo en el suelo. Se coloc un cuerpo de s en reposo sobre el resorte y se observ que éste se cort c. Si epujos ligerente el cuerpo hci bjo y lo soltos, cuál será l frecuenci de ls oscilciones? y si l s del cuerpo fuese? Se trt de l is situción discutid en los probles nteriores 8 y 9. Coo en ellos, l colocr el cuerpo de s sobre el resorte se lcnz un equilibrio entre dos fuerzs que ctún sobre el cuerpo: su peso g y l fuerz de recuperción del resorte, proporcionl l deforción del iso. El equilibrio requiere que x g donde, pesr de que no conoceos l s del cuerpo, siepre podeos obtener el cociente /, que es en relidd lo que nos interes, coo vereos enseguid. Serí: Recordeos hor que,. kg. N ( pr coprender cóo, efectivente, no se trt tnto de conocer o, sino ás bien su cociente. El período de ls oscilciones serí.,49 s y, por tnto, l frecuenci es,5 Hz,49 L últi cuestión se refiere l cbio que producirí en l frecuenci doblr el vlor de l s. L respuest es siple: en (, el vlor del rdicndo serí el doble, / en lugr de / por tnto, el nuevo período serí =,4 veces yor. L frecuenci, invers del período, se volverí,4 veces ás pequeñ, de for que su nuevo vlor serí,5,45 Hz Estos nte un oscilción que tiene lugr en el eje X, controld por un fuerz elástic F = x, con l constnte = 4 N/. De cuerdo con est ecución, el centro de ls oscilciones es el origen iso, x =, puesto que hí es donde l fuerz sobre el óvil result ser nul. L figur de l izquierd uestr l situción inicil descrit en el enuncido, donde, l trtrse del centro de ls oscilciones, l velocidd del óvil to su vlor áxio que, coo sbeos, es v áx = AEn consecuenci, podeos escribir un prier ecución

10 v áx / s A en l que no conoceos A ni, de for que precisreos un segund ecución pr obtener respuests: l conseguireos recordndo que =, de for que, con lo vlores de y de del enuncido, es inedito hllr el vlor de l pulsción : ( 4, rd / s vlor que, llevdo (, nos drá l plitud de l oscilción, que es exctente lo que se dend en el enuncido: l áxi distnci l que el óvil se lej del origen, es decir, l áxi elongción. L situción en ese oento se reflej en l figur de l derech, en l que el óvil está en el extreo de su tryectori, con velocidd v = /s y posición x = A. El vlor de l plitud pedid result ser A s rd s,77 y el proble estrí hecho. En relidd, un enfoque diferente l que se h seguido quí hubier sido probbleente ás decudo este ejercicio: estos nte un clro ejeplo de conversión de energí cinétic en energí potencil elástic.