CONVERGENCIA ESTOCÁSTICA Y TEOREMAS LIMITE. Estadística aplicada a la empresa I Prof. D. Juan José Pérez Castejón

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1 CONVERGENCIA ESTOCÁSTICA Y TEOREMAS IMITE. Estadística alicada a la emresa I Prof. D. Juan José Pérez Castejón 1

2 CONVERGENCIA ESTOCÁSTICA Y TEOREMAS IMITE. En este tema se ersigue introducir el conceto de sucesión de variables aleatorias y extender a él, la idea de convergencia, que ya se conoce en el caso de sucesiones de números. En relación con esos dos concetos, se comentarán desués ciertos resultados estadísticos de imortancia fundamental, tales como algunas leyes de grandes números así como varias soluciones al roblema central del límite. a utilidad de estos resultados se verá directamente cuando los emleemos ara aroximar distribuciones muy difíciles de calcular o cuando los aliquemos a variables de uso continuo en inferencia estadística, or ejemlo, la media aritmética. Sucesiones de variables aleatorias. Una sucesión de variables aleatorias es un conjunto infinito numerable de esa clase de elementos: {X i } i Ν donde cada X i es una v.a. Ejemlos: Reetimos indefinidamente y de manera indeendiente, un exerimento del que nos interesa cierto suceso A de robabilidad. Sea X i la b() asociada a la i ésima reetición. El conjunto de esas binomiales, {X i }, es un ejemlo de sucesión de vv.aa. que además tienen la características de ser indeendientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) A artir de las X i anteriores definimos Y i =X X n ~B(n,). {Y i } es también una sucesión tal que sus elementos se distribuyen con el mismo tio de distribución ero esta va cambiando con n y no son indeendientes entre sí. El conjunto { X=Y n n /n=(x X n )/n} es otro ejemlo tíico de sucesión de vv.aa. Tios de convergencia de sucesiones de vv.aa. a extensión del conceto de convergencia a las sucesiones de vv.aa. no es única. Existen diferentes tios de convergencia y cada una conlleva unos requerimientos diferentes sobre los elementos de la sucesión. Veamos los tios de convergencia más imortantes, a Prof. D. Juan José Pérez Castejón 2

3 exceción de la convergencia casi segura que excede los límites de este curso. CONVERGENCIA EN EY O EN DISTRIBUCIÓN. Sea {X i } i Ν una sucesión de vv.aa. y sea X una cierta v.a. adicional. Diremos que {X i } i Ν converge a X en distribución (o en ley), {X i } i Ν X, si las funciones de distribución corresondientes cumlen que F Xi (x) continua. i Prof. D. Juan José Pérez Castejón 3 F X (x) ara todo número real x en el que F X sea a convergencia en ley no exige nada a los valores que las variables X i y X toman, solo a la robabilidad con la que lo hacen. Por ello, muchas veces realmente lo que se dice es que son las distribuciones F Xi las que convergen a la distribución F X. A esar de su debilidad, este tio de convergencia será ya la que nos aorte muchos de los resultados útiles de este tema. as siguientes roiedades simlifican mucho la demostración de la convergencia en distribución: Suongamos que las X i y la X son vv.aa. discretas tomando todas los mismos valores x 0 1,...,x 0 n,... Sean Xi (x 0 n) y X (x 0 n) las corresondientes funciones de robabilidad valoradas en cada unto x 0 n. Resulta entonces que {X i } i Ν X si y solamente si i Xi (x 0 n) X (x 0 n) en todos los valores x 0 n. Suongamos que las X i y la X son vv.aa. continuas y sean f Xi (x) y f X (x) las corresondientes funciones de densidad. Si f Xi (x) i f X (x) ara todo x, entonces {X i } i Ν X. Sean M Xi (s) y M X (s) las corresondientes funciones generatrices de momentos de las X i y de la X, y suongamos que todas existen en cierto intervalo común alrededor del 0, (-s 0,s 0 ). Se cumle que si M Xi (s) {X i } i Ν X. i M X (s) ara todo s en ese intervalo, entonces Como ejemlo de uso de las roiedades anteriores, en articular de la tercera de ellas, el alumno uede demostrar que si X n ~P(λ n ) con λ n entonces (X n λ n )/(λ n ) ½ X~N(0,1). Esa

4 convergencia da aroximaciones válidas y muy útiles ara la distribución P(λ) cuando esta no esté en las tablas debido a que λ tome un valor muy alto (aroximación asintótica ). Esa aroximación se debe utilizar con los cuidados habituales que se han de tener al aroximar una distribución discreta or una distribución normal ya que esta última es de tio continuo ( corrección de continuidad ). Emléese ara resolver el siguiente roblema: os aarcamientos de una zona comercial ueden absorber a la hora, durante los eríodos de máxima actividad, un máximo de 499 vehículos. El número de vehículo que llegan or hora buscando aarcamiento a esa zona sigue una distribución P(475). Cuál es la robabilidad de que en una determinada hora, la zona comercial ierda clientes que no encuentren aarcamiento en ella?. CONVERGENCIA EN PROBABIIDAD. Sea {X i } i Ν una sucesión de vv.aa. y sea X una cierta v.a. adicional. Diremos que {X i } i Ν converge a X en robabilidad, n {X i } i Ν X, si ara cualquier ε>0 se cumle que P( X n -X ε) 1. a convergencia en robabilidad sí suone ya un cierto comortamiento en los valores que las X n ueden tomar, en relación a los que toma X. En concreto, este tio de convergencia imlica que caiga donde caiga X y or muy equeño que fijemos ε, conforme n crece llega un momento en que la robabilidad de que el valor que tome X n esté como máximo a una distancia ε del de X, se hace todo lo grande y róxima a uno que queramos. Un caso en el que el que la convergencia en robabilidad tiene consecuencias muy claras y relevantes es aquel en el que X=c. o que ocurre en ese caso es que odemos estar seguros de que conforme n crece, el valor de X n estará con toda la seguridad que queramos, todo lo cerca que deseemos de c. Esto servirá ara que más adelante, en muchas situaciones en las que c no sea conocida, ero sí seamos que {X i } i Ν c y además resulte que X n sí sea observable ara todo n, odamos coger como valor aroximado de c el que tome X n cuando n sea bastante alto. Prof. D. Juan José Pérez Castejón 4

5 Se uede decir que la convergencia en robabilidad es más fuerte que la convergencia en ley ues la rimera imlica la segunda. Alguna roiedad más interesante de la convergencia en robabilidad es que si {X i } i Ν X e {Y i } i Ν Y, entonces {X i ±Y i } i Ν X±Y, {X i Y i } i Ν XY y {g(x i )} i Ν g(x) (con g una función continua cualquiera). Hay que destacar que, en general, esa misma roiedad en el caso de la división de sucesiones no es cierta exceto si Y=c 0. CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA. Sea {X i } i Ν una sucesión de vv.aa. y sea X una cierta v.a. adicional. Diremos que {X i } i Ν converge a X en media cuadrática, m.c. {X i } i Ν X, si se cumle E(Xn X) 2 n 0. Intuitivamente, la convergencia en media cuadrática lo que imlica es que la distancia o diferencia cuadrática media que existe entre los valores de las X n y los de la X cantidad que siemre será ositiva o cero se hace cada vez mas equeña y cercana a 0 conforme n crece. a convergencia en media cuadrática es más fuerte que la convergencia en robabilidad ues la rimera imlica la segunda. Por dos razones, un caso imortante de convergencia en media cuadrática es la que se da hacia una constante. a rimera razón es orque imlicaría convergencia en robabilidad hacia ella, con las consecuencias que eso tiene y que ya se comentaron al hablar de la convergencia en robabilidad. a segunda es orque en ese caso, hay dos condiciones que juntas son equivalentes a esta convergencia, condiciones que son de una relativamente fácil comrobación en la ráctica: m.c. n. n. {X i } i Ν c E(Xn ) c y var(x n ) 0 a demostración de esa equivalencia la uede obtener sin mayor dificultad el alumno si reviamente es caaz de demostrar que E(X n c) 2 =var(x n )+(E(X n ) c) 2. Prof. D. Juan José Pérez Castejón 5

6 Una alicación de la convergencia en media cuadrática y de la equivalencia que se acaba de establecer, será el siguiente resultado al que se volverá en temas más avanzados: sean X i con i=1,... variables indeendientes todas con las mismas media E(X i )=c y varianza var(x i )=v 2, ocurre entonces que X=(X X n )/n m.c. c n as leyes de los grandes números. Históricamente, una vez que se desarrollaron los concetos de convergencia de sucesiones de vv.aa., alrededor de ellos se lantearon una serie de roblemas tales que, cuando se resolvieron, aortaron resultados muy útiles ara diferentes asectos estadísticos. Uno de ellos fue la cuestión de la convergencia de los grandes números, cuestión que lanteada de manera simlificada y comrensible ara nuestro nivel dice: dadas variables aleatorias X i con i=1,2... equidistribuidas todas y con al menos media finita, E(X i )=m i, y dada la sucesión formada or su medias aritméticas X n, converge esa sucesión hacia m?, y si lo hace, de qué tio de convergencia se trata?. Se han obtenido diferentes resuestas a ese roblema, resuestas que imonen condiciones variadas a las X i y conllevan diferentes tios de convergencia ara la sucesión citada. A tales resuestas se las llama leyes de los grandes números y se suele diferenciar entre las leyes débiles (las que imlican convergencia de uno de los tios que aquí hemos estudiado) y las fuertes (imlican convergencia casi segura, un tio de convergencia que no hemos analizado). Enunciaremos una de las leyes débiles más conocidas, cuya demostración ya estamos en condiciones de realizar y que ara nuestras necesidades resultará satisfactoria: Teorema (ey débil de los grandes números de Tchebychev): Si además de lo dicho, imonemos que las X i sean indeendientes y que sus varianzas existan, var(x i )=v 2 i, entonces m.c. m. Al darse esa convergencia en media cuadrática, es obvio X n que también se dará en robabilidad. a demostración de este teorema es, recisamente, la resolución del último ejercicio que se lanteó al revisar el conceto de convergencia en media cuadrática. Prof. D. Juan José Pérez Castejón 6

7 El roblema central del límite. as leyes de los grandes números aseguran que la media aritmética de las X i se concentra alrededor de m, ero sigue, al menos aroximadamente, alguna ley robabilística al hacerlo?. a resuesta la da la solución del roblema central del límite. Este roblema, lanteado en unos términos sencillos que ya estemos en condición de comrender, dice: dadas variables aleatorias X i con i=1,2... equidistribuidas todas, y dada la sucesión formada or su suma, Y n =X X n, existen sucesiones de constantes A n y B n tales que (Y n A n )/B n N(0,1)?. Para emezar a entrever la relación que este roblema ueda tener con la cuestión del comortamiento robabilístico de la media aritmética, nótese que Y n es, recisamente, el numerador de esta. Más adelante cuando comentemos alicaciones rácticas de todos los resultados de este tema, terminaremos de erfilar la relación entre ambas cuestiones. A nosotros nos resulta suficiente con conocer el siguiente resultado que es una de las soluciones más conocidas del roblema central del límite. Su demostración queda fuera de nuestro alcance: Teorema (Teorema Central del ímite de indeberg évy): Si las X i son indeendientes y todas tienen media y varianza finitas, E(X i )=m y var(x i )=v 2, entonces se uede coger A n =E(Y n )=nm y B n =σ(y n )=(var(y n )) ½ =(nv 2 ) ½, esto es, una vez tiificada, Y n converge en distribución a una N(0,1): (Y n nm)/(nv 2 ) ½ N(0,1) Citaremos que la rimera solución que históricamente obtuvo el roblema del que se viene hablando, el Teorema Central del ímite (TC) de Moivre, es un caso articular del TC de indeber évy: Teorema (Teorema Central del ímite de Moivre): Sea una variable Y n ~B(n,) y or tanto, suma de n vv.aa. X i ~b() indeendientes. Se cumle que: (Y n E(Y n ))/(var(y n )) ½ =(Y n n)/(nq) ½ N(0,1) Todos estos resultados confirman la imortancia que a la distribución normal le adjudicamos, cuando la resentamos en Prof. D. Juan José Pérez Castejón 7

8 temas anteriores. Vemos aquí que incluso artiendo de distribuciones no necesariamente normales, la variable media aritmética que será de uso continuado más adelante, se distribuye asintóticamente como una normal. Usos rácticos muy frecuentes de algunos de los resultados examinados. Algunos de los resultados que se han estudiado, o ciertas consecuencias de ellos, son utilizados con bastante frecuencia en la ráctica. Vamos a hacer una revisión de los que mas se emlean: 1. Aroximación asintótica de la distribución P(λ) mediante una normal cuando el arámetro λ es muy grande y no aarece en las tablas habituales. El resultado en el que se basa esta aroximación y la forma en la que debe esta hacerse, ya se revisaron anteriormente. 2. Aroximación asintótica de la distribución B(n,) mediante una distribución de Poisson o mediante una distribución normal cuando el arámetro n es muy alto, no aarece en las tablas y en combinación con cumle ciertas condiciones. Un rimer resultado que se uede alicar ara aroximar el valor de la distribución de una B(n,) cuando n es grande es el roio TC de Moivre: (B(n,) n)/(nq) ½ N(0,1), que en la ráctica emlearemos así: P(B(n,) x) = P((B(n,) n)/(nq) ½ (x n)/(nq) ½ ) P(N(0,1) (x n)/(nq) ½ ) = P(N(n,nq) x) o resumidamente: F B(n,) (x) F N(n,nq) (x). Sobre el valor x que aarece en las exresiones anteriores, alicaremos siemre la corrección or continuidad que se debe usar al aroximar distribuciones discretas or una distribución normal y de la que ya hablamos al lantear el mismo tio de aroximación ara la distribución de Poisson. Un segundo resultado, difícil de demostrar, dice lo siguiente: sean X n ~B(n, n ) tales que n n λ si n, se cumle entonces que Prof. D. Juan José Pérez Castejón 8

9 X n P(λ). Este resultado en la ráctica nos ermite aroximar de la siguiente forma: F B(n,) (x) F P(n) (x) y P(B(n,)=x) P(P(n)=x). De todas maneras, siemre surge la duda de cuándo es n lo bastante alta como ara usar estas aroximaciones?. Y cuando lo sea, cuál de las dos se debe emlear?. Se han hecho estudios numéricos acerca de esa cuestión y se ha concluido que tanto si >0.1 y n 20, como si <0.1 y n>5, la aroximación or la normal es correcta, mientras que si n 30, n 5 y 0.1, la aroximación mejor se consigue mediante la distribución de Poisson. Úsense según esos criterios ara resolver los dos siguientes ejercicios: En una oblación muy amlia, el orcentaje de familias que cumlen cierto requisito es igual al 0.6%. Se escogen aleatoriamente 1000 familias. a selección será buena si más de 990 de ellas no cumlen el requisito. Cuál es la robabilidad de que lo sea y no halla que reetir la selección?. Una fábrica roduce 1% de artículos defectuosos. Cuál es la robabilidad de que 2 o más roductos de entre 30 seleccionados aleatoriamente, sean defectuosos?. 3. Aroximación asintótica de la distribución de la media aritmética de n variables indeendientes, idénticamente distribuidas con media y varianza finitas, mediante una normal, cuando el número n de variables romediadas es alto y la distribución exacta de la media aritmética es desconocida o resulta inmanejable. Dadas X i indeendientes idénticamente distribuidas (i.i.d.), todas con la misma media m y varianza v 2, ara calcular robabilidades relacionadas con X=(X n X n )/n, en el caso en el que la distribución de esta no se ueda hallar o bien sea de difícil manejo, odemos usar la siguiente consecuencia ráctica del TC de indeberg évy alicado a las X i : P( Xn x)= P(( X m)/(v 2 n /n) ½ (x m)/(v 2 /n) ½ ) = = P((ΣX i nm)/(nv 2 ) ½ (x m)/(v 2 /n) ½ ) P(N(0,1) (x m)/(v 2 /n) ½ ) = P(N(m,v 2 /n) x) Ello nos viene a decir que la distribución de X n se uede aroximar or la de una N(m,v 2 /n) si n es lo bastante grande. Prof. D. Juan José Pérez Castejón 9

10 El emleo de esta aroximación siemre resenta un roblema. Cuánto de grande ha de ser n ara que odamos estar seguros de que es una aroximación lo bastante recisa?. a resuesta a esa regunta no es rotunda. El valor de n varía según el tio de distribución de las X i : lo que ara una tio de distribución uede ser bastante, ara otra uede no serlo. Vamos a usarla ara resolver los dos siguientes ejercicios: Sean 100 vv.aa. X i i.i.d., todas con media E(X i )=7 y var(x i )=225. Sea Y 100 su media aritmética. Cómo aroximar P( Y )?. El tiemo de vida hasta la rotura de un cierto comonente electrónico sigue una e(0.1) si se mide en horas. Un sistema disone de 30 de esos comonentes de manera que solo uno funciona en cada momento y ese, cuando se rome, es sustituido inmediatamente or otro que aún no esté averiado. Cuál es la robabilidad de que el sistema esté funcionando de manera continuada durante más de 200 horas?. 4. Aroximación asintótica de la t de Student y la ji cuadrado, mediante una distribución normal, cuando los resectivos grados de libertad son altos. Existen resultados asintóticos ara aroximar esas distribuciones cuando los grados de libertad son altos. De todas formas sus demostraciones son difíciles y sus consecuencias rácticas ya están incororadas a las tablas habituales. Prof. D. Juan José Pérez Castejón 10

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