SERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)

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1 Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie: = = Campo de covergecia: + y f+ ( y) ( + ) lim = lim = lim y = y f ( ) y y ( + ) Si y < Si y (,), la serie es absolutamete covergete. Luego R = es el radio de covergecia de la serie. Por tato, la serie coverge cuado + 3 < < < (, ) E los etremos: ( ) a) =. La serie es e ese puto:. La serie formada por los valores = absolutos de sus térmios es:, que, por comparació co la armóica es = covergete. Por lo tato, e = es absolutamete covergete. b) =. La serie e ese puto es:, que es covergete. = Por lo tato, el cvampo de covergecia es [, ] Solució: [-,-].- Hallar el radio de covergecia de la serie: = + f+ ( y) ( + ) = = f y + lim lim lim = ( ) ( ) 5

2 Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada Si < (,) la serie coverge. Por lo tato, el radio de covergecia es. Nota. E este caso o es ecesario hallar si coverge e los etremos del itervalo porque o os lo pide. 3.- Hallar el radio y campo de covergecia de la serie: = ( ) ( ) + ( ) f lim = lim = lim = f ( ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) + Solució: R = Si < < (,3) la serie es absolutamete covergete. E los etremos, tedremos: a) E = 3. La serie e este puto es: = que o coverge = ( ) = porque su térmio geeral o tiede a cero, que es la codició ecesaria de covergecia.. ( ) b) E =. La serie es e este puto: ( ) = = ( ) = coverge porque su térmio geeral, e valor absoluto o tiede a cero y o se cumple la codició ecesaria de covergecia. Por lo tato, el campo de covergecia de la serie será: (-,3), que tampoco Solució: R =, C. C. : (-,3).- Hallar el radio y campo de covergecia de la serie: Solució: R =, C. C. : (-,) ( 3 )( ) = = = (+ 3 ) = 0 Pero ésta última serie es geométrica de razó r =, que coverge si < < < (,) 5.- Hallar el radio y campo de covergecia de las series: 6

3 Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada a) Solució: R =, C.C.: [-,] = + f + + ( ) ( + ) lim = lim = lim = f ( ) ( + ) Si < < (,) R= la serie es absolutamete covergete. E los etremos, tedremos: a) E = la serie es: = que es ua serie armóica de y = = a = > por lo tato, covergete. ( ) ( ) b) E =, la serie es: = = =. La serie e valor absoluto es: = que es covergete. Por lo tato, campo de covergecia de la serie es : [-,] b) Solució: R =, C.C.: [-,) = + f+ ( ) ( + ) lim = lim = lim = f ( ) ( + ) Si < < (,) R= la serie es absolutamete covergete. E los etremos, tedremos: a) E =. La serie es: = = que es ua serie armóica de = = = a =y por lo tato, diverge. ( ) ( ) b) E =, la serie es: =. La serie e valor absoluto es: = = que es divergete. Pero es alterada y cumple las dos codicioes del teorema = de Leibitz y por lo tato, es codicioalmete covergete. El campo de covergecia de la serie es : [-,) 7

4 Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada 6.- Obteer la suma de la serie potecial (para aquellos valores que la haga covergete: F I HG K J + + Solució: S ( ) = L arctg (, ) E primer lugar, vamos a estudiar el campo de covergecia de esta serie: + 3 lim + lim 3 = =. Si < < (,) la serie es + 3 absolutamete covergete. E los etremos tedremos: a) =. La serie es:. Pero = 3 3 y ésta última tiee el mismo carácter que la armóica, es decir, divergete. 3 ( ) b) E =, la serie es:, que es ua serie que tiee todos sustérmimos = 3 egativos y por lo tato, tiee el mismo carácter que la aterior. Por lo tato, tambié e = la serie o coverge. E resume, el campo de covergecia de la serie es: (,) Para obteer su suma, vamos a derivarla térmio a térmio: Esta serie tiee el mismo radio de covergecia que la aterior y por lo tato, tiee suma fiita al meos e (,). Es secillo sumarla porque es ua serie geométrica de razó. Su suma será, además, derivada de la suma: S ( ) = d Etoces, S ( ) = S ( d ) = Para resolver esta itegral, descompoemos e factores: A B C+ D = + + ; Igualado coeficietes, se obtiee: + + A= B= ; C = 0; D= Por lo tato: 8

5 Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada d d d d S ( ) = S ( d ) = = + + = + + = L + L + arcta +k Pero S(0) = L L + arcta 0 + k = 0 k = Por lo tato: S( ) = L + arcta + 0 = L + arcta, (,) 7.- Estudiar la covergecia y hallar la suma de las series: a) = Solució: S ( ) = -L(- ) [, ) b) Solució: S ( ) = ( ) = (, ) a) + f ( ) + lim lim = + = lim = f ( ) + Si < (,) R= la serie es absolutamete covergete. E los etremos tedremos: a.) E = la serie es: que es la armóica y por lo tato, divergete. ( ) a.) E =, la serie es:. La serie formada por los valores absolutos de los térmios de la serie es, que ya hemos visto que es divergete. Por lo tato, o es absolutamete covergete. Pero es alterada y cumple las dos codicioes del teorema de Leibitz, ya que su térmio geeral e valor absoluto es ua sucesió que tiede a cero y es decreciete. Por lo tato, e este puto es codicioalmete covergete. E resume, el campo de covergecia de esta serie es [,) a.3) Esta serie tiee, e este itervalo [,) ua suma fiita: = S ( ) Y se cumplirá que, e (,), 3 3 d = S ( ) S ( ) = S( ) = S ( ) d= = = L + k Para determiar el valor de k, sumamos la serie e el puto = 0 : S(0) = 0 = L + k = k k = 0 S( ) == L [,) 9

6 Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada f+ ( ) ( + ) b) lim = lim =. Si < (,) R = la serie es f ( ) absolutamete covergete. E los etremos tedremos: a.) E = la serie es: cuyo térmio geeral o cumple la codició ecesaria de covergecia y por lo tato diverge. a.) E =, la serie es: ( ). La serie formada por los valores absolutos o cumple la codició ecesaria de covergecia y por lo tato, o coverge. E resume, el campo de covergecia de esta serie es (,) a.3) Esta serie tiee, e este itervalo (,) ua suma fiita: = S( ) (,). La itegral de la serie es la serie de las itegrales e el campo mde covergecia (,) y podremos escribir: ( ) (,) ( ) 3 k = Sd k+ = Sd Derivado térmio a térmio, obteemos: ( ) ( ) ( ) (,) = S S = ( ) ( ) 8.- Hallar la suma de la serie: 3 7 S ( ) = / para = E primer lugar debemos hallar el campo de covergecia de la serie: f + 3 ( ) + 3 f( ) lim lim + = = = lim = f ( ) = = + 3 Si < < (,) R = la serie es absolutamete covergete. E los etremos tedremos: a.) = La serie es: que tiee el mismo carácter que la armóica y por lo tato, diverge. a.) =. La serie es:, que es egativa y tedrá el mismo carácter que la aterior, es decir, divergete. E resume, la serie coverge e (,). E todos los putos de este itervalo tedrá suma fiita. 0

7 Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada a.3) Para sumarla e el puto =, la sumaremos e primer lugar e u puto cualquiera del itervalo y posteriormete lo particularizaremos para ese puto pedido = S ( ) (,) S ( ) = = S ( ) d= S( ) = d Para resolver esta itegral, descompoemos e factores: A B C D = + + ; Igualado coeficietes, se obtiee: A= B= ; C = 0; D= Por lo tato: d d d d S ( ) = = + + = + = L + L arcta +k Pero S(0) = L L arcta 0 + k = 0 k = 0 + Por lo tato: S ( ) = L arcta (,) Etoces, + S = L arcta = L3 arcta Solució: S( / ) = L3- arctg

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