PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA TEMARIO

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1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA TEMARIO 0. INTRODUCCIÓN AL CURSO 0.1 El curso en contexto Qué es probabilidad? Qué estudia la probabilidad? Qué es estadística? Qué estudia la estadística? Qué es ingeniería? Probabilidad y estadística en ingeniería 0.2 Contexto histórico Prehistoria Antigüedad Edad Media Edad Moderna 1. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD 1.1 Objeto de la probabilidad Fenómenos. Fenómenos deterministas. Fenómenos aleatorios. Incertidumbre. Incertidumbre probabilística. Incertidumbre estadística. Incertidumbre del modelo. Experimentos. Experimentos deterministas. Experimentos aleatorios. Experimentos repetibles. Experimentos no repetibles. Experimentos simples. Experimentos combinados. Espacios muestrales. Espacios muestrales finitos. Espacios muestrales infinitos. Espacios muestrales discretos. Espacios muestrales continuos. Espacios muestrales n- dimensionales. Eventos. Eventos simples. Eventos compuestos. Evento seguro. Evento imposible. Eventos igualmente posibles. Espacio muestral condicional. Álgebra de eventos. No ocurrencia de un evento. Eventos mutuamente exclusivos. Ocurrencia conjunta. Ocurrencia de al menos un evento. Ocurrencia de uno y no ocurrencia del otro. Leyes de D'Morgan. Eventos colectivamente exhaustivos. Partición del espacio muestral. Descomposición de un evento. Ocurrencia de un subevento. 1.2 Concepciones de la probabilidad Naturaleza de la probabilidad. El azar. El juego. El jugador. El estadístico. El experto. El neófito. Probabilidad clásica. Equiprobabilidad. Probabilidad geométrica. Probabilidad frecuencial. Interpretación frecuentista. Método de Montecarlo Probabilidad subjetiva. Interpretación logicista. Interpretación subjetivista. Teoremas fundamentales. Teorema de recorrido. Teorema de probabilidad total. Teorema de probabilidad conjunta. Martingala. Paradoja de Bertrand. Lanzamiento de tachuelas. Prototipo. 1.3 Técnicas de conteo Cardinales finitos. Principio fundamental del conteo. Diagramas de árbol. Principio aditivo. Factorial de un número.

2 Permutaciones. Permutaciones simples. Permutaciones circulares. Permutaciones con grupos de objetos iguales. Ordenaciones. Ordenaciones simples. Ordenaciones con repetición. Combinaciones. Números combinatorios. Triángulo de Pascal. Teorema del binomio. Teorema generalizado del binomio. Proporciones a favor y en contra. Galileo y los tres dados. El rror de D Alembert. Apuestas ventajosas. Quincunx de feria. 1.4 Medida de probabilidad Sigma-álgebra. Familias de eventos. Álgebras de eventos. Sigma-álgebra de eventos. Sigma-álgebra generada. Sigma-álgebra de Borel. Función probabilidad. Espacio probabilizable. Función de conjunto. Espacio probabilístico. Función probabilidad. Axioma de no negatividad. Axioma de normatividad. Axioma de sigma-aditividad. Probabilidades de eventos. Probabilidad de un evento. Probabilidad del complemento de un evento. Probabilidad de un evento imposible. Eventos independientes. Probabilidad conjunta de eventos independientes. Probabilidad implicada. Ley de adición de probabilidades. Desigualdad de Boole. Red de ganadores. El problema de las tres puertas. Paradoja del cumpleaños. 1.5 Probabilidad condicional Probabilidad condicional. Ley de multiplicación de probabilidades. Independencia en probabilidad. Eventos estadísticamente independientes. Condicionalidad en imágenes. Tablas de doble entrada. Árboles de probabilidad. Diagramas de cuadrado unitario. Teorema de probabilidad total. Teorema de Bayes. Árboles de probabilidades a priori y a posteriori. Arreglos matriciales. Independencia condicional. Las cuatro esquinas. Seguro de vida de pareja. El rosal marchito. Cáncer de mama. 2. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES 2.1 Variables aleatorias Variable aleatoria. Función medible. Probabilidad inducida. Notación. Variable aleatoria discreta. Variable aleatoria continua. Distribuciones de probabilidad. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Función de masa de probabilidad. Función de densidad de probabilidad. Función de distribución acumulada. Relación con el cálculo diferencial e integral. Función de una variable aleatoria. Función discreta de una variable aleatoria discreta. Función discreta de una variable aleatoria continua. Función continua de una variable aleatoria continua. 2.2 Vectores aleatorios Vector aleatorio. Función de masa de probabilidad conjunta. Función de densidad de probabilidad conjunta. Función de distribución acumulada conjunta. Distribuciones marginales de probabilidad. Condicionalidad e independencia. Distribuciones condicionales de probabilidad. Paradoja de Borel- Kplmogorov. Distribuciones de probabilidad a posteriori. Variables aleatorias independientes. Independencia condicional. Dependencia funcional.

3 2.3 Funciones de vectores aleatorios Transformaciones vectoriales. Operaciones con variables aleatorias. Transformaciones de vectores aleatorios. Funciones de variables aleatorias independientes. Distribución de la suma de variablea aleatorias independientes. Distribución del producto de variables aleatorias independientes. Distribución del cociente de variables aleatorias independientes. 3. PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN 3.1 Parámetros Valor esperado. Esperanza matemática de una variable aleatoria. Momentos. Momentos de orden n respecto al origen. Media. Promedio cuadrático. Momentos de orden n respecto a la media. Varianza. Desviación estándar. Coeficiente de variación. Variable aleatoria estandarizada. Coeficiente de asimetría. Coeficiente de curtosis. Otros parámetros. Cuantiles. Mediana. Moda. Rango. Recorrido interdecílico. Recorrido intercuartílico. Desviación cuartílica. Desviación media. Desviación media respecto a la mediana. Coeficiente de asimetría de Pearson. Apuesta interrumpida. Problema de las coincidencias. Problema del coleccionista. Selección de personal. 3.2 Esperanza y varianza Esperanza. Integral de Riemann-Stieltjes. Esperanza matemática de una función de una variable aleatoria. Esperanza de una función de un vector aleatorio. Propiedades de la esperanza. Desigualdad de Schwarz. Vector de esperanzas. Varianza. Varianza de una función de una variable aleatoria. Propiedades de la varianza. Expresiones aproximadas para la esperanza y la varianza. Funciones de utilidad. Preferencia e indiferencia. Aversión y propensión al riesgo. Cotas para probabilidades. Desigualdad de Markov. Desigualdad de Chebyshev. Desigualdad de Chebyshev-Cantelli. Ruina del jugador. Caminata aleatoria. Paradoja de San Petesburgo. Esperanza moral. El merenguero. 3.3 Covarianza y correlación Covarianza. Propiedades de la covarianza. Varianza de la suma de variables aleatorias. Matriz de covarianza. Correlación. Coeficiente de correlación. Esperanza condicional. Propiedades de la esperanza condicional. Regesión del promedio. Pronóstico. 4. MODELOS PROBABILÍSTICOS COMUNES 4.1 Modelos generados por resultados igualmente posibles Modelos discretos generados por experimentos de Laplace. Experimento de Laplace.. Distribución uniforme discreta. Distribución uniforme discreta bidimensional Modelos continuos generados por experimentos de Laplace. Distribución uniforme continua. Distribución uniforme discreta bidimensional.

4 4.2 Modelos generados por ensayos aleatorios simples Modelos directos en procesos de Bernoulli. Ensayo de Bernoulli. Distribución de Bernoulli. Proceso de Bernoulli. Distribución binomial. Teorema de Bernoulli. Distribución multinomial. Modelos inversos en procesos de Bernoulli. Distribución geométrica. Distribución binomial negativa. Distribución de Pascal. Modelos de urnas. Distribución hipergeométrica. Distribución de Pólya. 4.3 Modelos generados por ocurrencias aleatorias Modelos directos en procesos de Poisson. Proceso de Poisson. Distribución de Poisson. Ocurrencias aleatorias en un proceso de Bernoulli. Aproximación de una distribución de Poisson a una binomial. Modelos inversos en procesos de Poisson. Distribución Exponencial. Distribución Erlang. Distribución Gamma. 4.4 Modelos de casos límite Mecanismos de tipo aditivo. Teorema del límite central. Distribución normal. Distribución normal estándar. La campana de Gauss. Aproximación de una distribución binomial a una distribución normal. Distribución normal bivariada. Mecanismos de tipo multiplicativo. Distribución log-normal. Aproximación de una distribución log-normal a una distribución normal. Distribuciones relacionadas con la normal. Distribución t de Student. Aproximación de la distribución t a una distribución normal. Distribución Chi cuadrada. Aproximación de la distribución Chi cuadrada a una distribución normal. Distribución F de Snedecor. Aproximación de la distribución F a una distribución normal. 5. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 5.1 Distribuciones frecuenciales Organización de datos. Datos estadísticos. Tablas estadísticas. Tabla de datos ordenados. Diagrama de tallos y hojas. Agrupamiento de datos. Intervalos de clase. Tamaño de muestra. Rango de datos. Número de intervalos. Amplitud de clase. Límites reales de clase. Límites de clase. Marca de clase. Tabla de datos agrupados Distribución frecuencial de datos. Frecuencia. Frecuencia relativa. Distribución de frecuencias. Frecuencia de clase. Frecuencia relativa de clase. Frecuencia acumulada de clase. Frecuencia relativa acumulada de clase. Tabla de distribuciónes de frecuencias. Casos discreto y nominal. Caso discreto. Caso nominal. 5.2 Gráficas frecuenciales Histogramas. Histograma de una distribución de frecuencias. Histograma de una distribución de frecuencias relativas. Histograma de una distribución de densidad de frecuencias. Polígonos. Polígono de frecuencias. Polígono de frecuencias relativas. Polígono de densidad de frecuencias. Representaciones empíricas y distribuciones teóricas. Distribuciones acumuladas. Distribución de frecuencias acumuladas. Distribución de frecuencias relativas acumuladas Caso discreto y nominal. Caso discreto. Caso nominal. Gráficos de pastel.

5 5.3 Estadísticas de una distribución Medidas de tendencia central. Media. Mediana. Moda. Distribución unimodal. Distribución multimodal. Distribución simétrica. Distribución asimétrica. Caso discreto. Caso nominal. Media geométrica. Media armónica. Promedio cuadrático. Medidas de dispersión. Variancia. Fórmula simplificada para la varianza. Varianza modificada. Desviación estándar. Coeficiente de variación. Rango. Desviación media. Medidas de asimetría y de curtosis. Coeficiente de asimetría. Coeficiente de asimetría de Pearson. Coeficiente de curtosis. Proporciones. Fractiles. Percentiles. Deciles. Cuartiles. Mediana. 5.3 Regresión y correlación Curva de regresión. Datos observados en pares. Diagramas de dispersión. Relación lineal entre variables. Relación no lineal entre variables. Modelo de regresión lineal. Método de mínimos cuadrados. La recta de regresión. Cálculo de la pendiente de la recta de regresión. Regresión de y con base en x. Regresión de x con base en y. Medidas de correlación. Covariancia muestral. Coeficiente de correlación. Coeficiente de determinación. 6. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 6.1 Muestreo Población y muestra. Población. Tamaño de la población. Características. Variables. Atributos. Muestra. Tamaño de la muestra. Parámetro poblacional. Estadística muestral. Muestreo. Muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio independiente. Muestreo con reemplazo. Muestreo sin reemplazo. Método para obtener muestras aleatorias. Muestras aleatorias. Muestras grandes. Muestras pequeñas. Números aleatorios. Generación de números aleatorios con diferentes distribuciones Distribuciones muestrales Distribución muestral de un estadístico. Media de una distribución muestral. Variancia de una distribución muestral. Variable aleatoria estandarizada de la media muestral. Ley de los grandes números. Grados de libertad. Distribución muestral de la media. Distribución muestral de la media con variancia conocida. Distribución muestral de la media con variancia desconocida. Distribución muestral de sumas y diferencias de medias. Distribuciones muestrales relativas a poblaciones normales. Distribución muestral de la suma de los cuadrados de variables aleatorias normales estandarizadas e independientes. Distribución muestral de la varianza. Distribución muestral del cociente de dos variancias.