PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES (Por métodos algebraicos) Observación: Algunos de estos problemas provienen de las pruebas de Selectividad.

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1 Funcions Límits y continuidad PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES Por métodos algbraicos Obsrvación: Algunos d stos problmas provinn d las prubas d Slctividad Si ist l it d una función f cuando a, y si f s positivo cuando < a, pud asgurars qu tal it s positivo? Y qu no s ngativo? Justifica razonadamnt las rspustas No pud asgurars qu l it sa positivo Basta con considrar la función f n l punto La función s positiva si < y si > y su it cuando val Si pud asgurars qu su it no s ngativo Es conscuncia d la dfinición d it: l f a l f a,, Si l it, L, fus ngativo s tndría qu L f <, para cualquir > y para todo tal qu a Como L f < L < f < L +, tomando L f <, pus hmos dicho qu L < ; pro sto contradic la hipótsis d qu f > Rsulv los siguints its: a 8 b 8 c a 6 8 Rptimos l procso b 8 c Rsulv los siguints its: a b a b

2 Funcions Límits y continuidad Estudia los its latrals d / f n l punto Por la izquirda: / Por la drcha: / Calcula Si sustituimos n la prsión quda: Rsulta una indtrminación no stándar Para idntificarla con más claridad opramos: Volvmos a oprar para dtrminar los grados dl numrador y dnominador introducimos todos los factors n las raícs Quda: Dividindo por / / / / / / / / 6 Calcula l it: [ ] multiplicando y dividindo por la prsión conjugada dividindo cada uno d los términos por

3 Funcions Límits y continuidad 7 Calcula los siguints its: a a b / / dividimos numrador y dnominador por / /, qu no ist Pud sr d intrés hacr los its latrals b / / / Por la izquirda: / / Por la drcha: / / 8 Dmustra qu si f y f g [] g, ntoncs f g S transforman las funcions f y g como sigu: f f f g g f g f f f f f f En conscuncia: g Por tanto, g f f g ; f g f g f f f g f f En l último paso s utiliza la dfinición d y una d las propidads d los its Rcurda: Dfinición: ; y n gnral B Propidad: B A A a a a A A A

4 Funcions Límits y continuidad 9 Dada la función a f a, calcula l valor d a para qu S trata d una indtrminación d la forma [ ] Pud rsolvrs aplicando la rgla antrior: f g [] Hallamos ants f Por tanto, f g g a a a a a a a / Como s dsa qu l it valga a / a

5 Funcions Límits y continuidad Estudia para qué valors d a las funcions CONTINUIDAD, f a, si a si a son continuas El único punto qu prsnta dificultads s a La función srá continua n s punto qu pudn sr varios, lo qu plica l plural d funcions dl nunciado, cuando los its latrals coincidan con fa qu val a Por la izquirda:: f a a a Por la drcha; f a a a a Como dbn sr iguals: a a a a a o a, si Si a, la función s: f, si, si Si a, la función s: f, si Las gráficas d stas funcions son las dibujadas al margn Dtrmina l valor d a para qu la función continua Rprsnta la función continua hallada a si a f sa a cos a si a Punto dudoso, a Hay qu studiar los its latrals: por la izquirda: f a a a por la drcha: f a cos a a a a Como ambos its dbn coincidir a a : si Si a, la función s f cos si Su gráfica s:

6 Funcions Límits y continuidad 6 k Dtrmina l valor qu ha d tnr k para qu la función f tnga it cuando tind a s dcir, ist f y calcula l valor qu tndrá s it La única posibilidad para qu la función tnga it s qu l numrador s anul para, dando lugar a una forma indtrminada l tipo Por tanto: 8 6k k 6 La función srá: f Su it val: Halla los puntos d discontinuidad d la función f / si si Solución Para <, f s continua, pus los polinomios simpr son funcions continuas Para >, f no s continua n, pus n s punto no stá dfinida Para hay qu studiar los its latrals: Por la izquirda: f ; Por la drcha: f Como no coincidn la función no s continua n Así pus, los puntos d discontinuidad son y La gráfica d sta función s la adjunta

7 Funcions Límits y continuidad 7 Halla los puntos d discontinuidad d la función Nota: stá prsado n radians tan y La función s discontinua los puntos n los qu no sté dfinida, qu son: y tan En la discontinuidad s vitabl, pus k En k, k Z, porqu la tg no stá dfinida En todos sos puntos la discontinuidad no pud vitars La función f no stá dfinida para Dfinir f d modo qu f sa una función continua n s punto Para qu f sa continua n, f

8 Funcions Límits y continuidad 8 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 6 Aplicando l torma d Bolzano halla un intrvalo n l qu las siguints funcions cortn al j d abscisas: a f b g cos c h Las trs funcions dadas son continuas n todo R a Como f y f, la función f corta al j d abscisas n l intrvalo, b Como g y g /, la función g cos corta al j OX n l intrvalo, / c La función h cumpl qu h y h Por tanto, corta al j OX n l intrvalo, 7 Dada la función f : a Cumpl l torma d Bolzano n l intrvalo [, ]? b Y n l intrvalo [, ]? a La función dada no cumpl l torma d Bolzano n l intrvalo [, ], pus no s continua n qu prtnc a dicho intrvalo b Aunqu la función s continua n todo l intrvalo [, ] no podmos asgurar qu cumpla l torma, pus la toma l mismo signo n ambos trmos: f y f 6 / 8 Dada la función f Podmos afirmar qu la función toma l valor n algún punto dl intrvalo [, ]? Razona la rspusta Considra la función g f ; sto s: g Esta función s continua simpr; n particular n l intrvalo [, ] Admás: g y g Por tanto cumpl las hipótsis dl torma d Bolzano En conscuncia, ist un punto, tal qu g Esto s, La última cuación prsa qu f toma l valor n l punto dl intrvalo [, ], qu ra lo qu dsábamos dmostrar

9 Funcions Límits y continuidad 9 9 Dadas las funcions f y g cos dmustra qu ist al mnos un punto a n l intrvalo [, ] n l cual f a g a Considrmos la función h f g Esto s: h cos Esta función s continua n l intrvalo [, ] Admás: h cos < y h > Por tanto, cumpl las hipótsis d Bolzano En conscuncia, ist un punto a [, ] tal qu ha Pro, ha fa ga fa ga Aplicando l torma d Bolzano, ncuntra n l intrvalo, una raíz aproimada hasta l ordn d milésimas d la cuación 9 S considra la función f 9, qu s continua n todo R Nustra prtnsión s ncontrar un valor qu cumpla qu f, con la condición d qu s difrnci d la raíz acta mnos d, Como: f ; f la solución stá n l intrvalo, f,, 6 la solución stá n l intrvalo,, f,, la solución stá n l intrvalo,, f,, la solución stá n l intrvalo,,, f,, 87 la solución stá n l intrvalo,, f,7, 8 la solución stá n l intrvalo,7,, f,8, 768 la solución stá n l intrvalo,7,,8 Por tanto,,7 cumpl l objtivo buscado

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