Dominio de la Frecuencia

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1 Dominio de la Frecuencia Sistemas Electrónicos de Control Álvaro Gutiérrez 17 de Marzo de

2 Índice 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

3 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

4 Introducción El análisis en el dominio de la frecuencia hace referencia a la respuesta en régimen permanente a una entrada sinusoidal Los datos se pueden obtener sobre el sistema físico sin disponer del modelo matemático Las represntaciones más usadas son las de Bode, Nyquist y Nichols

5 Régimen Permanente Sea donde entonces x(t) = Xsen(ωt) G(s) = Y(s) es estable X(s) y ss (t) = Ysen(ωt + φ) donde Y = X G(jω) y φ = G(jω) por lo tanto G(jω) = Y(jω) X(jω) y G(jω) = Y(jω) X(jω)

6 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

7 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

8 Diagrama de Bode - Introducción Formado por 2 gráficas: Logaritmo de la magnitud de la función de transferencia: 20log G(jω) Ángulo de fase Ambas con el eje de la frecuencia logarítmico Para la ganancia K Magnitud: 20log(K) Fase: 0

9 Diagrama de Bode - Integradores Para factores integrales ((jω) 1 ) Magnitud: 20log(ω) (-20 db/dec) Fase: 90

10 Diagrama de Bode - Integradores Para factores integrales ((jω) 1 ) Magnitud: 20log(ω) (-20 db/dec) Fase: 90

11 Diagrama de Bode - Derivadores Para factores derivativos ((jω)) Magnitud: 20log(ω) (20 db/dec) Fase: 90

12 Diagrama de Bode - Derivadores Para factores derivativos ((jω)) Magnitud: 20log(ω) (20 db/dec) Fase: 90

13 Diagrama de Bode - Sist. de 1 er order Para factores de primer orden ((1 + jωt) 1 ) ωt << 1 Magnitud: 0 Fase: 0 en ω = 0 ωt >> 1 Magnitud: 20log(ω) (-20 db/dec) Fase: 45 en frecuencia esquina (ω = 1/T ) Fase: 90 en ω

14 Diagrama de Bode - Sist. de 1 er order Para factores de primer orden ((1 + jωt) 1 ) ωt << 1 Magnitud: 0 Fase: 0 en ω = 0 ωt >> 1 Magnitud: 20log(ω) (-20 db/dec) Fase: 45 en frecuencia esquina (ω = 1/T ) Fase: 90 en ω

15 Diagrama de Bode - Sist. de 2 o orden Para factores cuadráticos ((1 + 2ξ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 ) ω << ω n Magnitud: 0 Fase: 0 en ω = 0 ω >> ω n Magnitud: 40log(ω/ω n) (-40 db/dec) Fase: 90 en frecuencia esquina (ω = ω n ) Fase: 180 en ω Frecuencia de resonancia: ω r = ω n 1 2ξ2 ; 0 ξ M r = G(jω r) = 2ξ 1 ξ ; 0 ξ

16 Diagrama de Bode - Sist. de 2 o orden

17 Diagrama de Bode - Ejemplo Ejemplo: G(s) = 10(s + 3) s(s + 2)(s 2 + s + 2)

18 Diagrama de Bode - Ejemplo Ejemplo: G(s) = 10(s + 3) s(s + 2)(s 2 + s + 2)

19 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

20 Diagrama de Nyquist - Introducción El diagrama de Nyquist es una representación en coordenadas polares de la magnitud de G(jω) con respecto al ángulo de fase de G(jω) cuando ω varía de 0 a Los ángulos de fase son positivos si se miden en el sentido contrario a las agujas del reloj Los ángulos de fase son negativos si se miden en el sentido de las agujas del reloj Cada punto del diagrama representa un valor de G(jω) para una determinada ω Ventaja: Representa en una gráfica las características de la respuesta en frecuencia para todo el rango de ω Desventaja: No indica claramente la contribución de todos los factores de la FT en lazo abierto

21 Diagrama de Nyquist - Integral y Derivativo Integral: 1 G(jω) = jω = j 1 ω = 1 ω 90 Diagrama de Nyquist: Eje imaginario negativo Derivativo: G(jω) = jω = ω 90 Diagrama de Nyquist: Eje imaginario positivo

22 Diagrama de Nyquist - 1 er orden 1 G(jω) = 1 + jωt = ω 2 T 2 tan 1 ωt G(j0) = 1 0 y G(j 1 T ) = G(jω) = 1 + jωt = 1 + ω 2 T 2 G(j0) = 1 0 y G(j 1 T ) = 2 45 tan 1 ωt

23 Diagrama de Nyquist - 1 er orden 1 G(jω) = 1 + jωt = ω 2 T 2 tan 1 ωt G(j0) = 1 0 y G(j 1 T ) = G(jω) = 1 + jωt = 1 + ω 2 T 2 G(j0) = 1 0 y G(j 1 T ) = 2 45 tan 1 ωt

24 Diagrama de Nyquist - 2 o orden G(jω) = ξ(j ω ω n ) + (j ω ω n ) 2 ; ξ > 0 limω 0 G(jω) = 1 0 y lim ω G(jω) = Si ω = ω n G(jω n ) = 1 2ξ 90 G(jω) = 1 + 2ξ(j ω ω n ) + (j ω ω n ) 2 ; ξ > 0 limω 0 G(jω) = 1 0 y lim ω G(jω) = 180

25 Diagrama de Nyquist - 2 o orden G(jω) = ξ(j ω ω n ) + (j ω ω n ) 2 ; ξ > 0 limω 0 G(jω) = 1 0 y lim ω G(jω) = Si ω = ω n G(jω n ) = 1 2ξ 90 G(jω) = 1 + 2ξ(j ω ω n ) + (j ω ω n ) 2 ; ξ > 0 limω 0 G(jω) = 1 0 y lim ω G(jω) = 180

26 Diagrama de Nyquist - Formas generales Tipo 0: G(j0) = finito y sobre ele eje real positivo. Fase(0) perpendicular al eje real G(j ) = 0. Fase ( ) tangente a uno de los ejes Tipo 1: G(j0) =. Fase(0) = 90 G(j ) = 0. Fase ( ) tangente a uno de los ejes Tipo 2: G(j0) =. Fase(0) = 180 G(j ) = 0. Fase ( ) tangente a uno de los ejes

27 Conclusiones en lazo cerrado G(jω 1 ) 1 + G(jω 1 ) = OA PA G(jω 1 ) 1 + G(jω 1 ) = φ θ

28 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

29 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

30 Introducción Determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto Se basa en el teorema de la transformación de la teoría de variable compleja El criterio de estabilidad se supone para un sistema que pueda materializarse físicamente: Causal, el orden del denominador es mayor que el del numerador lims 1 + G(s)H(s) = constante

31 Criterio de estabilidad de Nyquist Si la FT en lazo abierto G(s)H(s) tiene P polos en el semiplano derecho del plano s, y lim s G(s)H(s) = cte., para que el sistema sea estable, el lugar geométrico G(jω)H(jω) para ω [, ] debe rodear P veces el punto 1 + j0 Podemos resumirlo en: Z = N + P Z = número de ceros de 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s N = número de rodeos en el sentido de las agujas del reloj del punto 1 + j0 P = número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s

32 Ejemplos I G(s)H(s) = K (T 1 s + 1)(T 2 s + 1)

33 Ejemplos II G(s)H(s) = K s(t 1 s + 1)(T 2 s + 1)

34 Ejemplos III G(s)H(s) = K(T 2s + 1) s 2 (T 1 s + 1)

35 Ejemplos IV G(s)H(s) = K s(t 1 s 1)

36 Ejemplos V G(s)H(s) = K(s + 3) s(s 1) ; K > 1

37 Ejemplos VI G(s)H(s) = K(s + 0.5) (s 3 + s 2 + 1)

38 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

39 Margen de Fase y Margen de Ganancia I Margen de Fase: Cantidad de retardo de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad (MF = φ) Margen de Ganancia: El inverso de la magnitud G(jω) en la frecuencia (ω 1 ) a la cual el ángulo de fase es (MG = G(jω 1 ) )

40 Margen de Fase y Margen de Ganancia II

41 Margen de Fase y Margen de Ganancia III G(s)H(s) = K ; K = 10 y K = 100 s(s + 1)(s + 5)

42 Margen de Fase y Margen de Ganancia III G(s)H(s) = K ; K = 10 y K = 100 s(s + 1)(s + 5)

43 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

44 Ancho de banda I Frecuencia de corte: La frecuencia (ω b ) a la que la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado está 3 db por debajo del valor de frecuencia cero Ancho de banda: El rango de frecuencias donde 0 ω ω b Recordemos que: t r = π β ω d ξ t r ξ Bw tr 1/Bw

45 Ancho de banda II G I (s) = 1 s + 1 G II (s) = 1 3s + 1

46 Ancho de banda II G I (s) = 1 s + 1 G II (s) = 1 3s + 1

47 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

48 Resonancia I Frecuencia de resonancia: La frecuencia (ω r ) a la que la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado tiene un máximo. Magnitud de resonancia: La magnitud del pico de resonancia. ω r = ω n 1 2ξ 2 ; 0 ξ M r = G(jω r ) = 2ξ 1 ξ ; 0 ξ

49 Conclusiones MF, MG y M r amortiguamiento del sistema ω MF, ω r y BW velocidad de la respuesta transitoria ω r par de polos dominantes lazo cerrado con ξ ω r par de polos dominantes lazo cerrado con ξ ξ ω d ω r 1/t r M r M p t r 1/BW M p 1/ξ MF ξ MF 1/M p t r MG

50 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

51 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

52 Método 1 de Ziegler-Nichols Basado en la respuesta al escalón Válido para sistemas donde la planta no contiene ni integradores (tipo 0) ni polos dominantes complejos conjugados K P τ I τ D (s + 1/L)2 G PID (s) = 0.6T s P PI PID T L 0.9 T L 1.2 T L 0 L L 0.5L

53 Método 1 de Ziegler-Nichols 1 Sea G(s) = (s + 1) 3 Para un escalón unitario obtenemos que L = 0.81 y T = 3.7 Los parámetros del PID serían: K = 5.48, τ I = 1.62 y τ D = Step Response Amplitude Time (sec)

54 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

55 Método 2 de Ziegler-Nichols I Basado en la respuesta en frecuencia Válido para sistemas donde existen oscilaciones mantenidas para un valor de K cr K P τ I τ D G PID (s) = 0.075K cr P cr (s + 4 P cr ) 2 s P 0.5K cr 0 PI 0.45K cr P cr 0 PID 0.6K cr 0.5P cr 0.125P cr

56 Método 2 de Ziegler-Nichols - Ejemplo G(s) = 1 s(s + 1)(s + 2) K cr = 6 y ω cr = 2 Pcr = 2π ω = 4.44 K P = 0.6K cr = 3.6, τ I = 0.5P cr = 2.22 y τ D = 0.125P cr = 0.56 H(s) = 3.6( ) s) 2(s 2.22s s 1.6 Step Response Amplitude Time (sec)

57 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

58 Interpretación en el Diagrama de Nyquist I Sabemos que G(jω) = X(ω) + jy(ω) Para ω 0, seleccionamos un punto (A) en el Diagrama de Nyquist A G(jω 0 ) = X(ω 0 ) + jy(ω 0 )

59 Modificando la ganancia (K p ) desplazamos un punto radialmente con respecto al origen Movimientos ortogonales se producen modificando T i y/o T d Interpretación en el Diagrama de Nyquist I Sabemos que G(jω) = X(ω) + jy(ω) Para ω 0, seleccionamos un punto (A) en el Diagrama de Nyquist A G(jω 0 ) = X(ω 0 ) + jy(ω 0 )

60 Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

61 Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

62 Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

63 Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

64 Interpretación en el Diagrama de Nyquist III I Im[G(j ω)] P P Re[G(j ω)] D

65 Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

66 Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

67 Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

68 Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV Qué ocurre con el diagrama de Nyquist?

69 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

70 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

71 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

72 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

73 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

74 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) 8 Imaginary Axis x 10 4 x 10 5

75 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) 8 Imaginary Axis x 10 4 x 10 5

76 Interpretación del 2 método de ZN I R(s) E(s) + H(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3)

77 Interpretación del 2 método de ZN I R(s) E(s) + H(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Im[KpG(j ω)] 1 Re[KpG(j ω)] K P < 0.39

78 Interpretación del 2 método de ZN I R(s) E(s) + H(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Im[KpG(j ω)] Im[KpG(j ω)] 1 Re[KpG(j ω)] 1 Re[KpG(j ω)] K P < K P < 60

79 Interpretación del 2 método de ZN I R(s) E(s) + H(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Im[KpG(j ω)] Im[KpG(j ω)] Im[KpG(j ω)] 1 Re[KpG(j ω)] 1 Re[KpG(j ω)] 1 Re[KpG(j ω)] K P < K P < 60 K P = 60

80 Interpretación del 2 método de ZN II Qué ocurre para ω cr? En ω cr ( 1/K cr, 0) K P τ I τ D P 0.5K cr 0 PI 0.45K cr P cr 0 PID 0.6K cr 0.5P cr 0.125P cr

81 Interpretación del 2 método de ZN PI G(jω cr ) = 1/K cr G(jω cr )G c (jω cr ) = j0.08 PID G(jωcr ) = 1/K cr G(jω cr )G c (jω cr ) = 0.6 j System: untitled2 Real: Imag: Frequency (rad/sec): 1.75 Nyquist System: Diagramuntitled1 Real: Imag: Frequency (rad/sec): 1.75 System: G Real: Imag: Frequency (rad/sec): Imaginary Axis Real Axis

82 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

83 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) I 1. Seleccionar un punto A del diagrama de Nyquist de la planta 2. Seleccionar un punto B del conjunto controlador + planta donde queremos mover A 3. Observar si puede ser desplazado mediante un P, PI, PD o PID y seleccionar el más adecuado 4. Calcular los parámetros del controlador

84 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) II Sea A = G(jω o ) = r a e j(π+φa) Sea B = G(jω o )G c (jω o ) = r b e j(π+φ b) Sea G c (jω o ) = r c e j(φc) Igualando términos tenemos: rb e j(π+φb) = r a r c e j(π+φa+φc) rc = r b Para un PI: r a φ c = φ b φ a τ I = 1 ω o tgφ c Para un PD: τd = tgφ c ω o KP = r c cosφ c K P = r c cosφ c Para un PID (τ D = ατ I ): ωo τ D 1 = tgφ c {τ D = ατ I } ω o τ I τ 2 I αω2 0 τ Iω 0 tgφ c 1 = 0 KP = r c cosφ c τi = 1 2ω o α (tgφ c + 4α + tg 2 φ c )

85 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III Cómo seleccionar el punto deseado (B)?

86 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III Cómo seleccionar el punto deseado (B)? ZN2 sugiere desplazar,para un PID, el punto ( 1/K cr, 0) a (-0.6, -0.28) correspondiendo con: r b = 0.66 y φ b = 25

87 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III Cómo seleccionar el punto deseado (B)? ZN2 sugiere desplazar,para un PID, el punto ( 1/K cr, 0) a (-0.6, -0.28) correspondiendo con: r b = 0.66 y φ b = 25 Pessen sugiere desplazarlo a ( 0.2, 0.26) o ( 0.2, 0.21), correspondiendo con r b = 0.41 y φ b = 61 o r b = 0.29 y φ b = 46 respectivamente 1.6 Step Response G(s) = 1 s(s + 1)(s + 2) Amplitude ZN2 PE1 PE Time (sec)

88 Ejemplo I Ejemplo: G(s) = 1 (s + 1)(s )(s ) Especificaciones: MF = 50 ess escalón = 0

89 Ejemplo II G(s) = 1 (s + 1)(s )(s ) 1.8 Step Response Step Response r b =1/Mg 0.71 φ b = Amplitude φ b =10 φ b =20 φ b =30 φ b =40 φ b =50 φ b =60 φ b =70 Amplitude r b =0.1 r b =0.3 r b =0.5 r b =0.7 r b =0.9 r b =1.1 r b = Time (sec) Time (sec)

90 Ejemplo III Ejemplo: G(s) = 1 (s + 1) 3 Especificaciones: 5 % Mp 10 % ts 5s (2 %) ess escalón = 0

91 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Ancho de banda Resonancia 4 Sintonización de PID Método 1 de Ziegler-Nichols Método 2 de Ziegler-Nichols Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 TeleLaboratorio-Discretización

92 Telelaboratorio-Discreto z = e st T 30 BW Recordemos que: GPID,D (z) = K P (1 + τ D T Por lo tanto: KI = K P τ I T K D = K Pτ D T z 1 z + T ) z τ I z 1

93 Conclusiones El método de ZNM permite una sintonización de parámetros en el dominio de la frecuencia Es más flexible que los métodos 1 y 2 de ZN Desventajas: Se posiciona un único punto del diagrama Las propiedades del sistema en lazo cerrado pueden modificarse bruscamente Es necesario estudiar la forma final del diagrama Cuidado con la bibliografía:

94 Conclusiones I I I El método de ZNM permite una sintonización de parámetros en el dominio de la frecuencia Es más flexible que los métodos 1 y 2 de ZN Desventajas: I I I I Se posiciona un único punto del diagrama Las propiedades del sistema en lazo cerrado pueden modificarse bruscamente Es necesario estudiar la forma final del diagrama Cuidado con la bibliografía: N

95 MATLAB Diagrama de Bode: bode(num,den) Ejes: w=logspace(-2,3,100) bode(num,den,w) Diagrama de Nyquist: nyquist(num,den) Ejes: axis([re 1 Re 2 Im 1 Im 2 ]) Margen de Fase y Ganancia: [Gm,pm,wcp,wcg]= margin(num,den)

96 Gracias GRACIAS

97 Gracias GRACIAS

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