LOS NÚMEROS ENTEROS QUÉ ES UN NÚMERO ENTERO? VALOR ABSOLUTO EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO OPERACIONES CON ENTEROS ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

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1 LOS NÚMEROS ENTEROS QUÉ ES UN NÚMERO ENTERO? VALOR ABSOLUTO EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS OPERACIONES CON ENTEROS Suma Resta Multiplicación División Potencia JERARQUÍA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los números enteros - 57

2 1. Expresa el número entero que corresponde a cada una de estas situaciones: a) La profundidad a la que está un buceador es de 20 metros. b) La temperatura en Oslo es de 12 ºC bajo cero. c) Yo vivo en la planta 12 de un edificio. d) Mi garaje está en el segundo sótano. e) Tengo una deuda de 250. Los números enteros Los números enteros están formados por los números naturales (positivos), los números negativos y el cero. Se representan sobre una recta de la siguiente manera: ? 2. Ordena de menor a mayor los números enteros: -3, +8, -7, 0, 6, Escribe en orden de menor a mayor todos los números comprendidos entre: a) -1 y +3 b) -7 y -4 c) -2 y 5 d) 6 y -6 Los números enteros - 58

3 Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número es el número de unidades que lo separan del cero. Por tanto, este valor es siempre positivo y se representa entre barras. Ejemplo: El valor absoluto de +4 es 4. Se lee 4 4 El valor absoluto de -4 es 4. La distancia es 4 La distancia es Ordenación de números enteros Entre dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Entre dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.? 4. Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a) 5 b) 32 c) 0 d) 120 e) Ordena de menor a mayor los siguientes números y represéntalos sobre la recta numérica: Cuántos números enteros hay entre los siguientes pares de números? a) -6 < < -2 b) -1 < < +1 c) 0 < < 5 d) -5 < < 0 7. Escribe el signo < o > según corresponda: a) b) +4-3 c) d) e) 0-2 Los números enteros - 59

4 El opuesto de un número entero El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero con distinto signo. Ejemplo: (+5) 5 El opuesto de 5 es -5 ( 5) 5 El opuesto de -5 es 5 Operaciones con números enteros Para operar con números enteros basta con recordar la siguiente regla: Si los signos son iguales el resultado es +, y si son distintos el resultado es. Ejemplos: ( 3) ( 2) + 5 Regla de los signos Multiplicación División : : + : + + : + ( + 2) ( 5) 10 ( 9 ):( + 3) 3 ( + 18 ): ( 2) + 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8. Realiza las siguientes sumas de números enteros: a) ( 8) + ( 13) b) ( + 3) + ( 1) c) ( 3) + ( + 2) d) ( + 10) + ( 15) e) ( 20) + ( 2) f) ( + 4) + ( 10) g) ( 25) + ( 16) h) ( 15) + ( 28) Los números enteros - 60

5 9. Realiza las siguientes sumas y restas de enteros: a) ( + 15) + ( 9) b) ( + 46) ( 50) c) ( + 234) ( + 123) d) ( 26) + ( + 7) e) ( 55) ( + 43) f) ( 36) + ( 12) g) ( + 5) ( + 1) h) ( 2) ( + 1) i) ( + 3) ( 2) j) ( 1) ( 4) k) ( 10) ( 2) l) ( 5) ( 15) 10. Calcula: a) b) c) d) e) f) g) Realiza las siguientes sumas y restas de números enteros: 12. Calcula: a) ( 8) ( 4) + ( 6) ( + 2) ( 9) b) ( + 7) ( + 5) + ( 11) ( 9) + ( + 4) c) + ( 15) + ( 13) + ( 12) ( 10) d) ( 2) ( 8) + ( 4) ( 6) ( + 9) + ( 7) e) ( + 12) ( 14) ( + 16) + ( 18) ( 20) a) (+24) (-5) b) ( -212) (-3) c) (+12) (-4) d) (-76) (+5) e) 34 : (-2) f) 99: g) (-9)18 : (-9) h) (-49) : 7 i) (-325) : (-13) j) : (-40) 8 Los números enteros - 61

6 13. Completa estas tablas: (+15) (-1) (-2) (-10) (-7) (+2) (+4) (-2) (-9) (+12) (-7) (+14) (+60) 14. Cuestión de signos: + : + - : + + : - - : En estas igualdades faltan números. Descúbrelos: 16. Calcula: a) (+390) ( ) (-31590) b) (-2303): ( ) (-49) c) ( ) : (-21) (+33) d) (-39) ( ) (-15) ( -3150) e) (-28) 609: (-21) f) (-25) ( ) a) ( + 2) + ( + 3) + ( + 1) + ( + 4) b) ( + 3) + ( 1) + ( 3) + ( + 2) c) ( + 10) + ( 15) + ( 20) + ( 2) d) ( + 4) + ( 10) + ( 25) + ( 16) e) ( + 5) ( + 1) ( 2) ( + 1) f) ( + 3) ( 2) ( 1) ( 4) g) ( 10) ( 2) ( 5) ( 15) 17. Realiza las siguientes operaciones: a) 12 ( 4) b) 6 ( 5) 4 c) 45 ( 3) d) 12 :( 4) e) 12 :( 4) f) ( 40 ) :( 8) g) 57 ( 3) h) 8( 4) 5 i) 24 :( 8) j) 36 :( 4 3) Los números enteros - 62

7 18. Calcula: a) 15 ( ) + ( 2 8) b) ( 5 7 1) + c) 11 ( ) d) ( ) ( 3 2 8) e) ( 2 5) ( 3 7) ( 6+ 1) f) 5 ( 3 10) + ( ) ( ) g) ( ) + ( 7 9) ( ) 19. Obtén el resultado de las siguientes sumas y restas: a) 1 ( ) ( 3 8) b) ( 8 4 3) ( 5 8 1) c) ( 3 5) ( 1 4) + ( 5 8) d) 3 ( 5 8) ( 11 4) + ( 13 9) e) ( 2 6 3) + ( 5 3 1) ( 2 4 6) f) ( ) ( 12 13) + ( 11+ 4) g) 15 + ( ) ( ) + ( 1 3 6) h) 3 ( 5 8) ( 3 6) i) ( 1 3) j) ( 2 7) 5 6 ( 10 4) Calcula: a) 18( 5)( 4) b) 620 ( )( 2) c) 812 ( 5) d) 14 ( 5) 10 e) ( ) :8 f) 36 ( 16) 5 : ( 8) g) 24( 18) 7 : ( 6) h) 18( 9) 4 : ( 12) Los números enteros - 63

8 21. Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) ( 6 9) b) 18 3 ( 4 + 2) c) 4 ( 2 6) 5 ( 3 7) d) 150 :( 7 12) e) ( ) :( 5 8) f) ( ) :( 5 11) 22. Calcula: a) 2 ( 9 5) b) 6 2 ( 9 5) c) ( 9 5) d) ( 9 5) 23. Calcula: a) 14 ( ) b) 3 ( 9+ 4) c) 2+ ( 3) [ 3 4] d) ( 5+ 3 ) :2 ( 7 4 ) :3 e) 21 5 ( 2) + 8 ( 3) f) 12 ( 5) + 9 ( 4) g) ( ) ( ) :3 h) ( ) 125: i) 29 5 [ ] j) 8 6 ( 3) ( 2) + Los números enteros - 64

9 24. Recuerda la jerarquía: a) 22 ( 3) ( 3) b) 2 (7 4) + 9 : [ 1 2 ( 1)] c) 6 ( ) [ 7 + ( 2) 9] : 5 d) 4 7 ( 2) + 8 : (10 2 4) e) [8 6 ( 3) + 5] [13 4 ( 2) : 7] f) [ ( 8 2 3) ( 12) : ( 4) ] : ( 6) Potencias con números enteros: Completa el signo: 3 a) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 c) ( 3) ( 3) ( 3 ) 9 3 d) ( ) ( ) ( ) ( ) Qué conclusiones obtienes? Puedes dar alguna regla?? 25. Calcula: a) ( 5) 3 b) ( 10) 4 c) ( 6) 2 d) ( 7) Expresa en forma de una única potencia: a) b) ( ) ( ) c) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) d) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) Los números enteros - 65

10 1. Calcula: a) 2 b) 1 c) 3 ( ) 5 ( ) 36 ( ) 4 ( ) 5 d) Expresa en forma de una única potencia: a) b) ( 9) 9 ( ) e) 3 ( ) 3 ( ) 0 ( ) 3 ( ) 4 f) 25 g) 5 h) 10 i) 6 j) 7 ( ) 2 ( ) 3 Recuerda: Las potencias de base negativa y exponente par son positivas. Y las potencias de base negativa y exponente impar son negativas. c) ( 3) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) d) ( 10) 10 ( ) 10 ( ) 10 ( ) 3. Calcula: a) 3 b) 5 ( ) 2 + ( 2) 3 ( ) 3 10 ( ) 2 c) 9 d) 2 ( ) 2 + ( 1) 5 ( ) 5 3 ( ) 2 4. Escribe el término que falta: a) ( ) 3 27 b) (- 7) 49 c) ( ) 3 64 d) (- 24) 1 e) ( ) Expresa en forma de una única potencia: a) 2 b) 5 c) 3 d) 7 e) 3 f) 5 ( ) 4 2 ( ) ( ) 3 5 ( ) 2 ( ) 3 3 ( ) 2 3 ( ) ( ) 4 7 ( ) 7 ( ) 2 ( ) 5 : ( 3) 2 ( ) 4 : ( 5) 4 ( ) 4 : ( 15) 3 g) 15 h) ( 5) :25 i) [( 3) ] 2 j) ( 2) [ ] 5 [ ( )] 3 k) ( 2) 3 ( ) 1 l) ( 15):3 [ ] 3 Recuerda: Multiplicación: 2 ( ) 3 2 ( ) 5 ( 2) ( ) División: ( 2) 7 : ( 2) 4 2 Potencia de una potencia: ( 2) 2 [ ] 3 2 ( ) Los números enteros - 66

11 6. Practica:? a) Cuáles de estos números no son enteros? (-1 7), 2/3, 6/2, 0, (-12), 1032, 10 2, 6 b) Cuál es el opuesto de cada uno de estos números? (-7), (+2), 0, 205 c) El opuesto del opuesto de 5, qué número es? d) Qué número es (-3)? e) Halla el valor absoluto de estos números: 0, (-5), (+6), (-6) f) Halla todos los números cuyo valor absoluto sea: 3, 9, 2, 0 7. Busca los números enteros siguientes: a) El número entero que es tres unidades menor que (-2)? b) Dos números enteros comprendidos entre (-6) y (-1) c) El número entero que es cinco unidades mayor que (-3). d) Dos números enteros que sean, al menos, seis unidades menores que (-14) 8. Representa sobre la recta numérica y ordena de menor a mayor los siguientes números enteros: -7, 4, -8, 0, 1, -2, 2? 9. En un día de invierno la temperatura en la calle es de 4º C bajo cero; pero al entrar en el cine, la temperatura es de 22º C.? Qué aumento de temperatura experimenta cuando entras en el cine? Cuánto baja la temperatura al salir del cine? 10. Calcula:? a) 18 9 ( ) b) ( +18) c) ( 4) d) 12 ( ) ( ) e) 20 8 ( + 4 5) f) 12 8 ( +10) g) 8 ( ) ( ) h) 15 2 ( + 9) Los números enteros - 67

12 11. Realiza las siguientes operaciones: a) 7 + ( ) 9 b) 3 ( ) 4 ( +1) 7 c) 5 + ( ) 1+ ( 3 7)+ 2 5 d) ( )+ ( ) e) ( )+ 5 + ( 3+ 4) 9 ( ) f) ( ) 8 ( + 7 3) g) ( ) 7 8 ( + 5 1) h) 3 ( )+ ( ) i) 12 ( 4 2 7)+ ( ) j) 15 8 ( + 5) ( ) 12. Calcula: a) ( ) ( 4 9) b) ( ) 30 + ( ) c) 15 [ 14 6 ( + 9 7) ] d) 3 [ 7 ( 4)+15 6] e) 5 8 [ ( )+ 22] f) 9 [ 7 3 ( )] 7 ( ) g) 7 3 ( ) [ 9 7 ( 1+12) ] h) ( 21)+ [ 1 ( 8) ] i) ( 4 6) 2 [ 4 ( + 8) ] j) 15 [ 13 ( 6 8) ] k) 2 [ ( 1) ] 8 l) ( 6 10) [( 5 3) 6 ( + 4) ] m) 16 [ 1 ( 5 ( 3 1) )+ ( 2 8) ] 20 Los números enteros - 68

13 13. Multiplica: a) ( 7) ( +11) b) ( +5) ( +7) 1 ( ) c) ( 6) 8 ( ) 2 ( ) d) ( 2) 3 ( ) 4 ( ) e) ( 4) ( +2) 8 ( ) f) ( +2) ( +3) 2 ( ) g) ( 3) 1 ( ) 5 ( ) h) ( +5) 1 ( ) 2 ( ) ( +3) 14. Calcula: a) 5( 4) 3 ( ) b) [ 45 : ( 15) ]: ( 3) c) [[ 81: ( 3) ]: ( 9) ]: ( 3) d) [( 36): ( 6) ] 2 ( ) e) [ 42 : ( 6) ]: ( 3) 15. A lo largo de un día de febrero, la temperatura que ha hecho en una ciudad ha sufrido los cambios siguientes: A las 8 h. era de -4º C. De las 8 a las 12 h. subió 9º C. Entre las 12 y las 15 horas subió 3º C. De las 15 h a las 18 h bajo 5º C. De las 18 a las 21 h bajó 2º C. Completa la tabla con los valores de la temperatura que hizo. Temperatura ( º C.) 8 h 12 h. 15 h. 18 h. 21 h. 16. Contesta a las siguientes cuestiones: a) El producto de un número por su opuesto es Qué números son? b) La suma de dos números negativos consecutivos es -15. Cuáles son esos números? c) El producto de dos números negativos consecutivos es 72. De qué números se trata? d) Escribe cuatro maneras diferentes de conseguir que la suma de dos números enteros sea -6. e) Escribe cuatro maneras diferentes de conseguir que el producto de dos números enteros sea -24. f) Escribe cuatro maneras diferentes de conseguir que el cociente de la división exacta entre dos números enteros sea -8. Los números enteros - 69

14 17. Tres amigos participan en un concurso en el que suman 30 ptos. por cada respuesta acertada y -10 ptos. por cada error. Calcula cuántos puntos ha obtenido cada uno: a) Jon ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. b) Ana ha acertado 10 preguntas y ha fallado 10. c) Alejandra ha acertado 18 preguntas y ha fallado Aristóteles, uno de los filósofos más influyentes de todos los tiempos, vivió entre los años 106 y 43 a.c. A qué edad murió? Cuántos años hace de eso? 19. En qué año nos situamos medio siglo antes del año 15 de nuestra era? 20. En las vidas de Cicerón y Séneca encontramos numerosos rasgos comunes. Ambos eran ciudadanos de Roma, cultos, buenos oradores y metidos en política, lo que a ambos les costó la vida. Sin embargo, vivieron en distinta época: Cicerón nació en el año 106 a.c. y vivió 63 años. Séneca nació 47 años después de la muerte de Cicerón y vivió 61 años. En qué año murió Séneca? 21. Completa: +(+1) +(-3) +( ) +(-2) ( ) +(+6) +1 -( ) -(+1) -(-3) - ( ) - 1 -(-3) -(+5) Los números enteros - 70

15 -( ) +(+5) +(-4) +(-2) +2 -(+3) -( ) Completa las siguientes frases: a) Cuando se multiplican dos potencias de la misma base los exponentes se: b) Cuando se dividen dos potencias de la misma base los exponentes se: c) Cuando elevo una potencia a otra potencia los exponentes se: d) Una potencia de base negativa elevada a una potencia par da como resultado una potencia con signo: e) Una potencia de base negativa elevada a una potencia impar da como resultado una potencia con signo: f) Toda potencia de exponente cero es igual a: 23. Escribe como una única potencia: a) b) 7 5 :7 3 :7 2 ( ) 2 c) d) e) ( 3) 4 3 ( ) f) ( 7) 5 : ( 7) 2 g) [( 2) 3 ] 2 h) ( 6) 4 : ( 6) 4 i) [( 5) 3 ] 5 j) ( 4) 3 4 ( ) 2 k) ( 2) 2 3 ( ) l) ( 2) 3 2 ( ) 2 2 ( ) m) ( 12) 4 : ( 12) 3 n) [( 3) 4 ] 5 o) ( 5) 4 5 ( ) 5 ( ) 2 p) ( 3) 5 : ( 3) 3 q) ( 6) 6 ( ) 2 r) [( 9) 3 ] 4 Los números enteros - 71

16 s) ( 3) 7 : ( 3) 3 t) ( ) 5 u) ( 8) 5 : ( 8) 3 v) ( 7) 3 : ( 7) 2 : ( 7) w) ( 5) 3 5 ( ) 4 5 ( ) 2 x) ( 4) 0 4 ( ) 4 ( ) 7 z) ( 6) ( ) 3 aa) ( 6) 5 : ( 6) 4 6 ( ) 7 bb) ( 2) 6 2 ( ): ( 2) 5 cc) ( 4) 3 : ( 4) 4 ( ) 4 dd) ( 7) 4 : ( 7) 3 : ( 7) ee) [( 3) 2 ] 3 : ( 3) 4 y) ( 3) 2 3 ( ) 4 : ( 3) ff) [( 5) 3 ] 4 : ( 5) 10 5 ( ) Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) b) c) 5 4 ( )+ ( 2) ( ) 3 ( 6) d) ( ) 3 ( 2) e) ( 5) ( 8 3 4) f) ( ) 2 ( ) g) ( 6 2) ( :2): ( 3) h) ( ): ( ) i) ( 5) 4 ( ) 7 3+ ( 2) ( )+ 5 3 j) ( 2) 7 ( ) 8 ( 4 2 4) 5 ( ) 2 ( ) k) 30 2 ( ) 2 ( )+ ( 5) 8 l) ( )+ 2 ( 5 9) 3 ( 2 5 7) m) 3 [ 4 2 ( 5 11) ] 2 ( ) 9 ( ) n) ( 12): ( 3) 4 ( ): ( 2) 42 : 7 + ( 20):5 o) ( ): ( 5) 18 ( ): ( 2)+ ( 32):4+ ( 2 4) p) ( 3) 4 ( ) 24 ( ):6 5 9 ( + 3 4) Los números enteros - 72

17 25. Calcula: 26. Calcula: q) : [ 6 2 ( 3 1)+ 3] [ ]:12 [ ( +3) 2 ( )] r) 23+ ( 5) a) [ 18 + ( 4) ] 15 ( + 9) b) 96 + [( 25 : 5):2+ ( 3) ] c) 5 4 ( 1 2) ( ) d) [ 7 ( +13) ] 3+ ( 6) e) ( +3) 4 ( ) ( +5) 2 ( ) f) ( 16): ( +2)++54 ( ): ( 9) g) [( 5) ( +3)+ ( 7) 3 ( )]:4+ ( 5 7) h) 15 : 5 6:3+ 49 : 7 22 : 2 i) [ 36 : ( 4) 3 2]: ( ) j) [ 18 : 3+ 8:2 5 2] ( ) k) 6 + [ ( )+ ( 4) ] l) [ 64 : 8 25 : 5] 2 [ 16 : : 9]:7 a) ( 3) 2 ( ) 2 ( +2) 3 ( ) 2 7 ( ) 5 ( ) b) ( ) 2 2 ( ) 3 c) ( 2) 3 + ( ) ( 2) d) ( 2) 4 3 e) 5 3 [ ( ) 3 ] ( ) [ ]+ 3 ( ) 3 : 3 ( 6) f) ( 3) 3 :3 ( +3) 5 ( ) 2 ( ) 2 :2 g) 15 3 [ : ( 5) 2 ] h) ( ) : 4 + ( 6) 2 :9 Los números enteros - 73

18 Vocabulario Número entero: Los números enteros están formados por los números naturales (positivos), los números negativos y el cero. Valor Absoluto: El valor absoluto de un número es el número de unidades que lo separan del cero. Por tanto, este valor es siempre positivo y se representa entre barras. Opuesto de un número: El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero con distinto signo. Los números enteros - 74

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