TEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.

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1 TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar el comportamieto de éstas a largo plazo. E este apartado defiimos el cocepto de ite, caracterizamos a las sucesioes covergetes y estudiamos criterios de covergecia que os permita, cuado exista, calcular el ite de ua sucesió. Defiició Se llama sucesió de úmeros reales a toda aplicació X de INe IR. A la image de la deotamos por x y le llamamos térmio geeral de la sucesió. Deotaremos por (x ) IN o secillamete por (x ) a la sucesió de térmio geeral x. No siempre es posible dar ua expresió del térmio geeral mediate ua fució explícita de. A veces las sucesioes se defie mediate ua propiedad que verifica todos sus térmios (la sucesió de los úmeros pares, la de los úmeros primos, etc.) Otras veces el térmio geeral se expresa a partir de los térmios ateriores (por ejemplo, a = 0, a 2 =, a = a + a 2 ); e este último caso se dice que la sucesió se ha defiido por recurrecia. Ejemplos Los siguietes ejemplos muestra diferetes formas de presetar ua sucesió: ( ). Mediate el térmio geeral: (x ) =. + { 2. Dado los primeros térmios:, 2, 3, 4 }, A partir de ua propiedad: {x / x es primo}. 4. Por recurrecia: x = 3, x = 2 x. Defiició 2 (Subsucesió) Sea {x } ua sucesió de úmeros reales dada por la aplicació X : IN IR y σ ua aplicació estrictamete creciete σ : IN IN. Se llama subsucesió de {x } a la sucesió defiida por la aplicació X σ σ X IN IN IR σ X(σ ) = x σ. De la defiició se deduce (x σ ) (x ). ( Ejemplo Dada la sucesió (x ) = ( ) + ) = { 2, y la aplicació σ = 2 2, 4, 6, , 4 3, 5 4,... } La aplicació (X σ)() = X( σ() ) = X(2) = ( ) 2 3 (x σ ) de los térmios pares de {x } : 2, 5 4, 7 6,.... = defie la subsucesió I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

2 Defiició 3 (Sucesió moótoa) Ua sucesió (x ) se dice que es moótoa cuado verifica (a) ó (b) (a) x x 2 x 3 x x +... IN (b) x x 2 x 3 x x +... IN. Si cumple (a) se dice que es moótoa creciete y si cumple (b) moótoa decreciete. Si las desigualdades ateriores so estrictas se llama moótoas e setido estricto. Las sucesioes costates so a la vez crecietes y decrecietes. Defiició 4 (Sucesió acotada) Decimos que ua sucesió es acotada si el cojuto formado por todos sus térmios está acotado. 2. Sucesioes covergetes Imagiemos que (x ) describe la evolució de ua magitud a medida que progresa. Diremos que el ite de (x ) es l si los térmios x se acerca a l tato como queramos cuado se hace suficietemete grade. E térmios más precisos: Defiició 5 (Límite de ua sucesió) Ua sucesió de úmeros reales (x ) tiee por ite x IR y lo deotamos x = x si para cada ε > 0 ν IN / ν se cumple que x x < ε. La defiició aterior es equivalete a esta otra. Defiició 6 Ua sucesió de úmeros reales (x ) tiee por ite x IR si para cada ε > 0 hay u úmero fiito de térmios que queda fuera del etoro E(x; ε). Teorema (Uicidad del ite) El ite de ua sucesió, si existe, es úico. Demostració La haremos por reducció al absurdo. Supogamos que x = x, que x = y y que x y. Llamemos d = y x y sea ε = d. E estas codicioes los etoros E(x; ε), E(y; ε) so 3 disjutos. Como x = x existe ν tal que los úicos elemetos que queda fuera del etoro E(x; ε) so a lo sumo {x,... x ν } por lo que e E(y; ε) o puede haber ifiitos elemetos, e cotra de la hipótesis de ser x = y. Por tato ha de ser x = y. Defiició 7 (Sucesió covergete) Ua sucesió que tiee por ite l se dice que es covergete o que coverge a l. Teorema 2 (Teorema de Bolzao-Weierstrass para sucesioes) De toda sucesió acotada puede extraerse ua subsucesió covergete. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 2 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

3 Proposició 8 (Propiedades de las sucesioes covergetes). Si (x ) es ua sucesió covergete etoces (x ) está acotada (el recíproco o es cierto). 2. Si (x ) coverge a x 0 etoces desde u cierto e adelate se cumple que el sig(x ) = sig(x). 3. Sea (x ) e (y ) dos sucesioes covergetes y tales que a partir de u cierto e adelate se cumple que x y, etoces x y. 4. Sea (x ) e (y ) dos sucesioes covergetes al mismo ite l. Sea (z ) otra sucesió tal que a partir de u cierto se cumple que x z y. Etoces z = l. Esta propiedad se aplica a problemas de cálculo de ites y se cooce co el ombre de regla del Sadwich. 5. Toda subsucesió de ua sucesió covergete, coverge al mismo ite. Teorema 3 Si ua sucesió es moótoa creciete (decreciete) y está acotada superiormete (iferiormete), etoces la sucesió es covergete. Demostració Si {x } está acotada superiormete, existe x = sup(x ). Por el teorema de caracterizació del supremo sabemos que dado ε > 0 x m / x ε < x m < x y como la sucesió es creciete se tiee que > m x ε < x m < x < x < x + ε, y por tato > m x x < ε, es decir, x = x. Si la sucesió es decreciete se hace de forma similar. Criterios de covergecia Criterio de Stolz-Cesaro Si las sucesioes {a } y {b } so divergetes, {b } es estrictamete creciete y existe a fiito o ifiito de sigo determiado, etoces existe y se verifica que b a a + a =. b b + b Este criterio tambié puede aplicarse si {b } decrece y a = b = 0. a + a, b + b Si aplicamos el criterio de Stolz a Criterio de la media aritmética a + a a se tiee el siguiete criterio. Si la sucesió {a } tiee ite fiito o ifiito de sigo determiado, se verifica que Criterio de la media geométrica a + a a = a. Si {a } es ua sucesió de térmios estrictamete positivos, covergete o divergete, se verifica que a a 2 a = a. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

4 que Para demostrarlo basta tomar logaritmo y aplicar el criterio aterior. Criterio de la raíz Si {a } es ua sucesió de térmios positivos y la razó Ejemplos a a =. a a a es covergete o divergete, se verifica. Calcular Sea A = (l ) 2. (l ) 2 l A = = = l l ( ) l ( + = = ) = + ( )( + ) = 0. ( )( ) Por tato el ite pedido es cero. Hemos aplicado el criterio de Stolz y utilizado que l ( + ). 2. Calcular a + b a > b > 0. a + b = Hemos utilizado el criterio de la raíz. a + b a + b a = + b + ) ( b a ( ) = a + b 0 b + 0 = a. a 3. Series de úmeros reales Defiició 9 Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales. A partir de ella formamos la sucesió (S ) de la siguiete forma: S = x, S 2 = x + x 2, S 3 = x + x 2 + x 3, S = x + x 2 + x 3 + x A esta sucesió (S ) la llamamos serie asociada a la sucesió (x ). - Los úmeros x, x 2, x 3,, x so los térmios de la serie, y a ésta la deotaremos habitualmete por x + x 2 + x x + ó por x. - El térmio geérico x se le llama térmio geeral de la serie. - Al térmio geeral S = x + x 2 + x 3 + x = x k se llama suma parcial -ésima. k= I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

5 Defiició 0 (Suma) Si la sucesió (S ) es covergete diremos que la serie es covergete. Se llama suma de la serie a S = S y se deota por S = x. Defiició Si se cumple que S = + ó S = diremos que la serie es divergete Defiició 2 Si la serie o es covergete i divergete diremos que es oscilate. Ejemplos. Sea la serie x asociada a la sucesió x = 9 0. (S ) : 0 9, 0 99, 0 999, ,... Puesto que la sucesió (S ) es covergete, la serie es covergete y la suma es S = x =. 2. Sea la serie x de térmio geeral x = 2. (S ) : 2, 6, 2, 20, 30, 42,... Como la sucesió de sumas parciales es divergete, la serie es divergete. 3. Cosideremos la serie x = { ( ) 0 si es par S = si es impar Puesto que la sucesió (S ) es oscilate, la serie es oscilate. El estudio de ua serie cosiste e resolver dos problemas fudametales: a) Determiar su carácter, es decir, averiguar si es covergete, divergete u oscilate. b) E caso de covergecia, hallar su suma. Proposició 3 Si se modifica los valores de u úmero fiito de térmios, la serie coserva su carácter y e el caso de ser covergete la variació e la suma de la serie es la suma de las variacioes de los térmios alterados. Proposició 4 (Propiedad Asociativa) Si e ua serie covergete (divergete) se agrupa térmios cosecutivos, la serie que resulta es tambié covergete (divergete) y tiee la misma suma. Es ecesario resaltar que: - Las series oscilates o posee la propiedad asociativa. - La disociació de ifiitos térmios de ua serie e u úmero fiito de sumados produce ua ueva serie que, e geeral, o coserva su carácter. Ejemplo Sea la serie x de térmio geeral x = ( ) (S ) :,, 2, 2, 3, 3,... Esta serie es oscilate. Si e la sucesió (x ) agrupamos los térmios de dos e dos obteemos ua ueva sucesió y = y la serie que se obtiee a partir de ésta es divergete. Proposició 5 Si x y y so dos series covergetes y λ, µ IR, etoces la serie (λx + µy ) es covergete y la suma es S = λ x + µ y. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

6 Teorema 4 (Codició ecesaria de covergecia.) Para que ua serie x sea covergete es ecesario que x = 0. Es decir si x es covergete = x = 0 Es importate resaltar que la codició aterior o es suficiete para garatizar la covergecia. U ejemplo secillo es la serie armóica, cuyo térmio geeral es x = que verifica la codició ecesaria de covergecia y si embargo como veremos o es covergete Ejemplo Cosideremos la serie el térmio geeral tiede a cero y si embargo es divergete pues: > = La codició ecesaria de covergecia es útil para probar que ua serie o es covergete. Por ejemplo la serie 2+ o es covergete pues x = 2. Teorema 5 (Criterio geeral de covergecia de Cauchy.) La codició ecesaria y suficiete para que ua serie de térmios reales sea covergete es que a partir de u la diferecia etre dos sumas parciales se pueda hacer ta pequeña como se quiera; es decir: Para cada ε > 0 ( ν IN/ p, q ν = S q S p ε ó xp+ + x p x q ε ) A la hora de estudiar las series es útil clasificarlas e tres grupos: - Serie de térmios positivos: so las que, a partir de u cierto térmio, tiee todos sus térmios co el mismo sigo. - Series alteradas: So aquellas e las que, a partir de u cierto térmio, dos térmios cosecutivos cualesquiera tiee distito sigo. - Series de térmios positivos y egativos: e éstas el orde de aparició de los térmios positivos y egativos es arbitrario. 4. Serie de térmios positivos. Proposició 6 Para que ua serie de térmios positivos sea covergete es codició ecesaria y suficiete que esté acotada superiormete la sucesió de las sumas parciales. Etoces la suma de la serie será S = sup{s }. Si la sucesió (S ) o está acotada superiormete, la serie x positivos so covergetes o divergetes pero uca oscilates. Criterios de covergecia para series de térmios positivos. es divergete. Las series de térmios Criterio de comparació. Sea x y y dos series de térmios positivos y 0 IN tal que > 0, x λy λ IR +. Etoces: - Si la serie y es covergete etoces la serie x es covergete. - Si x diverge, etoces y es divergete. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

7 Ejemplo La serie armóica geeralizada Sea la serie + 2 α + 3 α + + α + Si α ; + 2 α + 3 α + + α diverge ya que supera a la serie divergete. que es Si α > ; + 2 α + 3 α + + α + < + 2 α + 2 α + 4 α + 4 α + 4 α + 4 α + = α α α + 2p (2 p ) α + = + 2 α + 4 α + 8 α + (2 p ) α + = + 2 α + (2 α ) 2 + (2 α ) 3 + (2 α ) p + Esta es ua progresió geométrica de razó r = <, luego es covergete y por tato lo es la 2α serie dada. Criterio de comparació por paso al ite. Sea x y y so dos series de térmios x positivos y λ =, etoces: y - Si λ es fiito y y coverge, etoces x coverge. - Si y diverge y λ es fiito o ifiito pero distito de cero, etoces x diverge. Criterio de codesació de Cauchy. Sea (x ) ua sucesió decreciete, etoces la serie x es covergete si y sólo si lo es la serie 2 x 2. Ejemplo Estudiar el carácter de la serie: x = 3 l. Aplicamos el Criterio de codesació de Cauchy. Para ello estudiamos el carácter de la serie 2 x 2, que será el mismo que el de la serie dada. ( ) 2 x 2 = 2 3 l = l 2 = 3 l 2. Ésta es ua progresió geométrica de razó 2 <. Por tato es covergete. 3l 2 Criterio de la raíz. Sea x ua serie de térmios positivos y λ = x. Si λ <, la serie es covergete. Si λ >, la serie es divergete. Si λ = este criterio o aporta iformació. Criterio del cociete o de D Alembert. Sea x + x ua serie de térmios positivos y λ = x I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

8 Si λ <, la serie es covergete. Si λ >, la serie es divergete. Si λ = este criterio o aporta iformació. Criterio de Prigsheim. Sea x ua serie de térmios positivos y supogamos que existe u úmero positivo α tal que α x sea fiito y distito de cero. Si α > etoces la serie x es covergete. Si α se cumple que la serie es divergete. Criterio de Raabe. Sea x ua serie de térmios positivos y λ = Si λ > la serie es covergete. Si λ < la serie es divergete. Si λ = este criterio o aporta iformació. Ejemplo Estudiar el carácter de la serie 3 5 (2 ) (2 ) ( x ) + x x + Aplicado el criterio de D Alembert = 2 + x = Puesto que ( es dudoso aplicamos el criterio de Raabe. x ) ( + = 2 + ) x Por tato es divergete. = = 2 < Criterio logarítmico. Sea x ua serie de térmios positivos y λ = l x l, Si λ > la serie es covergete. Si λ < la serie es divergete. Si λ = este criterio o aporta iformació. Ejemplo Estudiar el carácter de la serie: l x l = l 3l = l 3 >. l Por tato es covergete. x = 3 l. Resume I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 8 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

9 Criterio λ Coverge Diverge Cauchy D Alembert Raabe Logarítmico x λ < λ > x x λ < λ > ( x ) x log x log λ > λ < λ > λ < λ = y > 0 x > λ = y > 0 λ = y > 0 x x > ( ) x < x log x λ = y > 0 log < Prigsheim Hallar α / α > α α x = λ 0 5. Series alteradas. Defiició 7 Ua serie se llama alterada si sus térmios so alterativamete positivos y egativos. Teorema 6 (Teorema de Leibitz) Ua serie alterada tal que los valores absolutos de sus térmios forma ua sucesió decreciete es covergete si y sólo si su térmio geeral tiede a cero. Además el error que se comete al tomar como suma de la serie ua suma parcial cualquiera es meor que el primer térmio despreciado. Demostració x = 0 S covergete. Supodremos que el primer térmio es positivo, es decir, las series costruidas a partir de la sucesió: x, x 2, x 3, x 4, co x > x 2 > x 3 > > 0. Este tipo de series cumple que: S 2 < S 4 < S 6 < S 2 < < S 2+ < < S 5 < S 3 < S. Veamos que S 2 es decreciete y que S 2 es creciete. S = x, S 3 = x (x 2 x 3 ), S 5 = x (x 2 x 3 ) (x 4 x 5 ),... Por tato, S > S 3 > S 5 > es decreciete. S 2 = x x 2, S 4 = (x x 2 ) + (x 3 x 4 ),... Por tato, S 2 < S 4 < S 6 < es creciete. Veamos tambié que S 2+ > S 2 IN I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 9 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

10 S 2+ = x x 2 + x 3 x 4 + x 5 + x 2+ S 2 = x x 2 + x 3 x 4 + x 5 x 2 S 2+ S 2 = x 2+ > 0 luego S 2+ > S 2 Cualquier suma parcial de orde impar es mayor que cualquier suma parcial de orde par. Dado m < se tiee S 2m... < S 2 <... < S 2+ <... < S 2m+. De todo lo aterior se deduce que: S 2 < S 4 < S 6 < S 2 < < S 2m+ < < S 5 < S 3 < S Por tato [S 2, S 2+ ] es ua sucesió de itervalos ecajados de logitud S 2+ S 2 = x 2+ que por hipótesis tiede a cero, luego defie u úico úmero S = S que es la suma de la serie, por tato coverge. Por ser S covergete se verifica la codició ecesaria de covergecia y por tato x tiede a cero. La seguda parte del teorema es imediata ya que de S 2 < S 4 < S 6 < S 2 < < S < < S 2+ < < S 5 < S 3 < S se deduce que S S < S + S = x Series de térmios positivos y egativos Nos referimos ahora a series co ifiitos térmios positivos y egativos de las que las alteradas so u caso particular. Si la serie fuera de térmios egativos podemos reducir su estudio a las series de térmios positivos de la forma siguiete: Si x < 0 x = x Si hubiera u úmero fiito de térmios de distito sigo estudiamos el carácter de la serie que resulta si teer e cueta dichos térmios pues el carácter o varía si descartamos u úmero fiito de térmios. Si hubiera ifiitos térmios positivos y egativos ua forma de estudiar el carácter de la serie es cosiderado por separado la serie formada por los térmios positivos y la serie de los valores absolutos de sus térmios egativos. Defiició 8 (Covergecia absoluta) Decimos que ua serie x de térmios cualesquiera, es absolutamete covergete si es covergete la serie de los valores absolutos de sus térmios, es decir si x coverge. Teorema 7 Si x coverge etoces x coverge y además: x x. El recíproco o es cierto. Ejemplo La serie ( ) armóica. es covergete ya que es alterada, ( ) es decreciete y cumple que = 0. Si embargo la serie de sus valores absolutos es divergete pues se trata de la serie I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 0 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

11 Defiició 9 Ua serie se llama icodicioalmete covergete si es covergete y su suma o se altera al cambiar el orde de sus térmios. Y se llama codicioalmete covergete si es covergete pero su suma se altera al cambiar el orde de los térmios. Teorema 8 Sea x ua serie de térmios positivos y egativos. Es absolutamete covergete si y sólo si es icodicioalmete covergete. 7. Series sumables. Series geométricas. So de aquellas de la forma: x = a r a > 0, r IR. Proposició 20 La serie geométrica x = a r es covergete si y sólo si r < y la suma es: S = x r. Demostració Si r = x = a IN por tato S o está acotada x diverge. Si r = x = ±a IN x es oscilate. Si r > x = a r tiede a + por tato Si r < la serie varía etre ± por tato es oscilate. Si < r < x = a r coverge a 0. x diverge. Veamos que la serie es sumable calculado su suma: S = x +x 2 + x 3 + +x r S = x 2 + x 3 + x 4 + +x +x + S r S = x x + de dode: S = x x + r Ejemplos S = S = x r.. x + x 3 + x 5 + x x 2+ + = x x 2 si x <. 2. x 2 + x 4 x ( ) x 2( ) + = + x 2 si x <. Series Aritmético-geométricas. So de la forma: x = a b dode (a ) es ua progresió aritmética y (b ) es ua progresió geométrica de razó r. Proposició 2 Ua serie aritmético-geométrica es covergete si y sólo si el valor absoluto de la razó es meor que. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

12 Demostració Aplicado D Alembert se deduce que la serie es covergete para r <. Para calcular la suma procedemos de forma parecida a como hicimos e el caso aterior: S = a b +a 2 b 2 +a 3 b 3 + +a b rs = a b 2 +a 2 b 3 + +a b +a b + S rs = a b +(a 2 a )b 2 +(a 3 a 2 )b 3 + +(a a )b a b + Si la serie aritmética es de primer orde, a + a = d y etoces os queda Es decir, Supoemos que r <. ( r)s = a b + d (b 2 + b 3 + b b ) a b +. S = S = r S = [ a b + d b ] 2 b r a b +. r r [ a b + d b ] 2 r S = d b 2 + a b ( r) ( r) 2. Si la serie aritmética fuese de orde superior, habría que reiterar el proceso aterior. Ejemplo Estudiar el carácter de la siguiete serie y sumarla si es posible: = (3 ) 2, d = 3, r = 2. ( S = S = S = S = ) 3 2 S = S = Series telescópicas. Se llama así a aquellas series que al descompoer cada térmio y simplificar os queda u úmero fiito de sumados. Por ejemplo la que sigue: S = (x x 2 ) + (x 2 x 3 ) + (x 3 x 4 ) + + (x x + ) + = x x + S = S = x x +. = 5. Ejemplo Estudiar el carácter de la siguiete serie y sumarla si es posible: 2 +. Efectuamos la siguiete descomposició: 2 + = 2 + = + por tato, ( ) = ( + 2 ) + ( 2 3 ) + ( 4 5 ) + + ( + ) + S = + S = S =. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 2 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

13 8. Serie de potecias Defiició 22 (Serie de Potecias) Llamamos serie de potecias cetrada e x 0 de potecias de (x x 0 ) a ua serie de la forma: a (x x 0 ) o serie A los úmeros a IR se les deomia coeficietes de la serie. La importacia de este tipo de series de radica e la secillez de su estudio, e la riqueza de propiedades que e geeral o tiee otras series y e ser de gra utilidad para represetar y defiir fucioes. Limitaremos uestro estudio a las series de potecias cetradas e el orige, pues co la sustitució y = x x 0, la serie a (x x 0 ) se trasforma e la serie a y cetrada e el orige, mateiedo las mismas propiedades. Teorema 9 (Covergecia de ua serie de potecias) Dada ua serie de potecias Σa x, se verifica:. Si la serie coverge e x 0 0, etoces la serie coverge absolutamete para todo x IR co x < x Si la serie diverge e x, etoces la serie diverge para todo x IR co x > x. Por el teorema aterior se deduce que los úicos domiios de covergecia que se puede presetar so o el cero, IRo lo hace para todo real x tal que x < r, co r > 0. Ejemplos Estudiar la covergecia de las series:.! x co x > 0. Aplicado el criterio de D Alembert, =0 a + ( + )! x + = a! x = ( + ) x Este ite sólo es meor que cuado x = 0 por tato la serie es divergete. x! co x > 0. E este caso, aplicado el mismo criterio os queda Por tato, es covergete sea cual sea x. a + x = a ( + ) = 0, x x Este último ejemplo se trata de ua serie geométrica que sabemos que coverge para x <. =0 Este resultado os permite dar la siguiete defiició: Defiició 23 (Radio de covergecia) Sea C IR, C, el cojuto de los úmeros reales x dode la serie Σa x coverge. Se defie el radio de covergecia R de la serie como: I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

14 Si C está acotado, R = sup C. Si C o está acotado, decimos que el radio de covergecia es ifiito, es decir, la serie coverge absolutamete e IR. Al itervalo ( R, R) se le deomia itervalo de covergecia. Por el teorema aterior podemos asegurar la covergecia e los putos del itervalo de covergecia (o se puede afirmar ada e los extremos de éste). Los criterios de covergecia estudiados e las series de térmios positivos, e particular los criterios de la raíz y del cociete os proporcioa iformació para calcular el radio de covergecia de ua serie de potecias. Proposició 24 Dada ua serie de potecias Σa x, etoces el radio de covergecia es: Criterio de la raíz Si a (fiito o ifiito), R = a. Criterio del cociete Si a + a (fiito o ifiito), R = a + = a a a +. Ejemplos Estudiar la covergecia de las series:. 2. =2 x l. l ( + ) Por el criterio del cociete R = l Veamos la covergecia e los extremos: Para x =, se obtiee la serie alterada ( ) l afirmar que coverge pues Para x =, como < divergete. l l = 0 y además l =. O sea, coverge e x <. que por el teorema de Leibitz podemos es decreciete., por el criterio de comparació deducimos que la serie l es (x ) ( + ). Se trata de ua serie de potecias cetrada e x 0 =. Por tato, hacemos el cambio y y = x, covirtiédose e la serie cetrada e el 0. Tambié por el criterio del ( + ) cociete, obteemos el mismo radio pues ( + ) R = ( + )( + 2) =. ( ) E y =, (x = 0), queda que por el teorema de Leibitz es covergete. ( + ) E y =, (x = 2), la serie es covergete. I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

15 3. (2 + )x. Aplicado el criterio de la raíz, R = Veamos la covergecia e los extremos: Para x = 2, se trata de la serie alterada Para x = 2, la serie 2 + = ( ), que es divergete es divergete pues o verifica la codició ecesaria de covergecia. 9. Ejercicios. Estudia el carácter de las siguietes series: a) , b) , c)0,00 + 0, ,00 +, d)! + 2! + 3! +, e) , f) , g) , h) (2 ) 2 +, i) , j),3 + 3,5 + 5,7 +, k) [( 2 + )] /2, l) m) a!, ) α!, α R!, o) (!)2 2! + (2!)2 4! + + (!)2 (2)! +, p) 2 ( ) Estudia el carácter de las siguietes series: a)a a2 + a3 a4 + dode a > 0, b) , c) ( ) l, d) , e) ( ) (2 + ). ( + ) I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

16 3. Examia la covergecia de cada ua de las siguietes series geométricas. Si la serie coverge halla su suma: a) , b) , c) , d) Comprueba la covergecia y halla la suma de cada ua de las siguietes series: ( a) 2 + ) ( ) ( ) 3 +, b) ( + ) +, c) (3 2)(3 + ) +, d) , ( )! e) , f) (2 + ), g) ( + 2)( + 5). =0 5. Estudia la covergecia de las siguiete serie y calcula su suma co u error meor que 0,00. ( π 5 )2 2! + ( π 5 )4 4! ( π 5 )6 6! + 6. Estudia el carácter de las siguietes series segú los valores de x > 0: a) b) c) =0! x(x + )...(x + ),!x ( + x)( + 2x) ( + x), x ( + 2)( + 5) Se cosidera la serie dode a es u parámetro real. a , a) Estudia la covergecia segú los valores de a. b) Calcula la suma para a =. c) Calcula u valor aproximado de la suma, co u error meor que 0 2, para a =. 8. Hallar los radios de covergecias de las siguietes series de potecias y estudiar su comportamieto e los extremos de los itervalos de covergecia: + 2 a) x2, b) ( ) (2 + 3) 2 x x, c) 2 2, ( + )x (x ) 3 d) 3 2 x 2. e) 2, f),! I.T.I. MECÁNICA Curso 2006/07 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

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