Series de números reales

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1 Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos el criterio de la raíz + 3 es covergete. b) Aplicamos el criterio de la raíz ) 3 Por tato, la serie es covergete. c) Aplicamos el criterio de la raíz, E cosecuecia, la serie es covergete. d) Aplicamos el criterio de la raíz: a d) e +) e) + ) ) ) e + de lo que se deduce que la serie es covergete. e) Aplicamos el criterio de la raíz ) +. ) <. 3 e e / 0 < <. Por tato, la serie + ) ) + + ) e < y, e cosecuecia, la serie es covergete. Ejercicio. series: a) b) 5) c) +) 3! Aplicar el criterio del cociete para estudiar la posible covergecia de las siguietes d) ) ) e)! Solució.

2 a) Aplicamos el criterio del cociete: a + a Por tato, la serie es covergete. b) Aplicamos el criterio del cociete, + Por tato, la serie es covergete. c) Aplicamos el criterio del cociete, a + a +) + 5) + 5) +) +) 3 + +)! +) 3! + ) < <. 3 ) + + e + 3 <, y, por tato, la serie es covergete. Observa que e el último paso hemos utilizado la regla del úmero e. d) Aplicamos el criterio del cociete y, por tato, la serie es covergete. e) Aplicamos el criterio del cociete: )3+) )4+) ) ) + + )! + ) +! de lo que se deduce la covergecia de la serie < + ) e < Ejercicio 3. Aplicar el criterio de comparació para estudiar la posible covergecia de las siguietes series: a) log) b) e) ) f) +) c) d) g) 3 +), la serie o es cover- Solució 3. a) Comparamos co la serie log) que o es covergete. Como gete. b) Comparamos co la serie armóica : +) + ) + ).

3 Por tato, las dos series tiee el mismo carácter y, e cosecuecia, la serie o es +) covergete. c) No es covergete. La serie se comporta igual que la serie armóica d) Comparamos co la serie covergete. Por tato, la serie es covergete. e) Comparamos co la serie covergete ). ) 4. Por tato, las dos series tiee el mismo carácter y, e cosecuecia, la serie es covergete. f) No es covergete porque. g) Comparamos co la serie covergete 7/6 7/6 y, por tato, la serie es covergete. 3 + ) + ) Ejercicio 4. Aplicar el criterio de codesació para estudiar la posible covergecia de las siguietes series: a) log) b) log)) c) log)) loglog)) Solució 4. a) Aplicado el criterio de codesació, la serie tiee el mismo carácter que la serie log ) log ) log) y esta última serie o es covergete comparado co. b) Aplicado el criterio de codesació log )) log)). y esta última serie es covergete compárase co ). c) El térmio geeral es decreciete y covergete a cero. Estamos e codicioes de aplicar el criterio de codesació. La serie tiee el mismo carácter de covergecia que la serie log ) log log ) ) log) log log)) que, a su vez y por el criterio de comparació por paso al límite, se comporta igual que log). Esta última serie ya sabemos que o es covergete véase el Ejercicio??). Ejercicio 5. a) b) + + c) log) Solució 5. Discutir la covergecia de las siguietes series de úmeros reales: d) 3 ) e) 3 ) 3

4 a) No es covergete porque a +. + b) No es covergete porque el térmio geeral o tiede a cero: +. c) Como log) para 3, se tiee que log), para cualquier 3. La serie covergete y, el criterio de comparació os dice que tambié lo es. log) d) El térmio geeral o coverge a cero y, por tato, la serie o es covergete. e) Aplicamos el criterio del cociete 3+) ) + y, por tato, la serie es covergete. 3 ) ) 3 + < 3 Ejercicio 6. Discutir la covergecia de las siguietes series de úmeros reales: a)! b) d) ) )3+) c) e) + 4 ) +) +) Solució 6. a) Aplicamos el criterio del cociete y, por tato, la serie es covergete. b) Comparamos co la serie +)!! 3 )3+) y, por tato la serie es covergete. c) Comparamos co la serie 3, + 0 < 3 )3 + ) 9 + +) +). 3 E cosecuecia, las dos series tiee el mismo carácter de covergecia. Puesto que la serie 3 es covergete, ambas lo so. d) No es covergete porque el térmio geeral o coverge a cero: ) ) 3 e L y el segudo límite vale ) Por tato el térmio geeral de la serie coverge a e /3 0. e) Aplicamos el criterio de la raíz L ) 3 3 / es 4

5 y, por tato, la serie es covergete. 4 ) 4 4 < Ejercicio 7. a) 3 e b) + 3+ ) c)!) )! d) 3 5 +) Estudiar la covergecia de las series e) + ) f) 3 5 ) 4 6 +) g) ) Solució 7. a) Aplicamos el criterio de la raíz covergete. b) Aplicamos el criterio de la raíz 3 e 3 e e < y, e cosecuecia, la serie es y, por tato, la serie es covergete. c) Aplicamos el criterio del cociete [+)!] +)!!) )! + )!! y, por tato, la serie es covergete. d) Aplicamos el criterio del cociete )+3) 3 5 +) ) + )!! y, e cosecuecia, la serie es covergete. e) Aplicamos el criterio de la raíz + ) < )! + )! + ) + ) + ) 4 < ) ) + 3) < y, por tato, la serie es covergete. f) Aplicamos el criterio del cociete a + a ) + 0 < 3 5 )+) 4 6 +)+4) 3 5 ) 4 6 +) pero, como + +4, el criterio del cociete o decide. Ya que hemos calculado a + a, aplicamos el criterio de Raabe a ) + + ) 3 a > 5

6 y, por tato, la serie es covergete. g) Aplicamos el criterio del cociete pero + +5 a + a 4 6 +) ) +5) ) + + 5, por lo que el criterio del cociete o decide. Aplicamos el criterio de Raabe a ) + + ) 3 a > y, e cosecuecia, la serie es covergete. Ejercicio 8. Discutir la covergecia de las siguietes series de úmeros reales: a) ) 0 + b) d) log ) ) ) c) log e) 3 log) ) + + f) ) e Solució 8. a) No es covergete porque el térmio geeral o coverge a cero. b) Aplicamos el criterio de Raabe y llegamos a ) a + a 4 +3 la o covergecia de la serie. c) Comparamos co la serie armóica log ) + log y, por tato, la serie o es covergete. d) Podemos escribir el térmio geeral de la forma: ) + 3 a log log , de lo que se deduce + ) log + loge) ) + ). + Comparado co la serie se obtiee la covergecia de la serie dada. e) Comparamos co la serie log) ya que 5/3 a + log) 5/3 Y aplicado el criterio de codesació a la serie log) se obtiee que es covergete, luego 5/3 la de partida tambié lo es. f) No hay más que aplicar el criterio de Laeibitz para series alteradas. E Ejercicio 9. a) + +5). b) +log). Solució 9. Estudia el carácter de las siguietes series: 6

7 a) Aplicamos el criterio de la raíz, cosiderado como a + +5). Tedremos etoces que estudiar el límite de { a } y compararlo co ; esto es ) a ) + / + 5 ) sucesió que preseta ua idetermiació del tipo por lo que aplicamos la regla del úmero e: ) a e < Por tato la serie dada es covergete. b) Aplicamos el criterio del cociete, cosiderado como a +log) ; de esta forma, habrá que estudiar el límite de la siguiete sucesió y compararlo co el valor: a + + log + ) a + ) + + log + ) + log) + log + ) + log) + log) ) ) + ) Fialmete, si calculamos el límite de cada uo de los tres factores que teemos, el primer factor es claro que coverge a o hay más que dividir el umerador y deomiador por log + )), el segudo factor coverge a e basta aplicar la regla del úmero e) y el tercero coverge a cero. Por tato: a + a 0 < a es covergete. E Ejercicio 0. a) a a b) a a Estudiar, segú los valores de a > 0 la covergecia de las siguietes series: Solució 0. a) Sólo teemos e cueta 0 < a < puesto que e para a es la serie armóica que o coverge, y para a > el térmio geeral o coverge a cero. Etoces, para 0 < a < aplicamos el criterio de la raíz y obteemos que la serie es covergete. b) Sólo teemos e cueta 0 < a < puesto que para a el térmio geeral o coverge a cero. Etoces, para 0 < a < aplicamos el criterio de la raíz y obteemos que la serie es covergete. Suma de series Ejercicio. Suma, si es posible, las siguietes series 5 a) 0 0 b) + ) ) c) 3 7

8 Solució. a) Usado la suma de ua progresió geométrica b) La suma es puesto que la serie es la mitad de la del Ejemplo??. c) De uevo utilizamos la suma de ua progresió geométrica ) 3 0 ) 3 0 ) 3 Ejercicio. Suma, si es posible, las siguietes series a) + 3) + 4) 0 b) c) 5 3 ) + 3. Solució. a) Calculamos las sumas parciales usado la descomposició e fraccioes simples del térmio geeral: ) + 3) + 4) + 3) + 4) ) ) + + b) Aprovechamos que estamos sumado ua progresió geométrica: c) Dividimos e dos progresioes geométricas y sumamos: Ejercicio 3. Solució 3. Suma la serie de úmeros reales Esta serie se suma haciedo uso de que umerador del térmio geeral de la forma siguiete: + +! e, y para ello descompoemos el! ) 8

9 + + α ) + β + γ e igualado coeficietes obteemos que α, β y γ. Por tato la suma de la serie que existe por el criterio del cociete) es: + + ) +!!! +! )! + e + e + e ) 4e. )! +! 9

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