Sucesiones y series de números reales

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1 38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a, dode a = f() Por comodidad, diremos tambié que la sucesió es el cojuto ordeado de las imágees e R, { a = {a : N} R Defiició 38- Diremos que ua sucesió { a es acotada si existe algú K R+ tal que a K, para todo N Límite de ua sucesió Defiició 39- Diremos que la sucesió { a tiee por ite a, y lo deotaremos por para cada ε > 0 existe 0 N tal que 0 se verifica que a a < ε Diremos que Diremos que a = a, si a = +, si para cada K > 0 existe 0 N tal que 0 se verifica que a > K a =, si para cada K > 0 existe 0 N tal que 0 se verifica que a < K Para simplificar, escribiremos e ocasioes a L para represetar Operacioes co los ĺımites 40- Si existe el existe el existe el si b 0, existe el si a > 0, existe el (a + b ) y se tiee que (a b ) y se tiee que a = a R y existe el (a + b ) = a + b (a b ) = a b a a b y se tiee que b = a b a b y se tiee que a b = a b a = L b = b R, etoces, Los resultados so aálogos a los de la secció 33 Límites co ifiito para fucioes, de la págia 4, así como las idetermiacioes que se produce co estas operacioes Proposició 4- Sea { a, { b y { c L, etoces b c = L sucesioes uméricas Si a b = y a c = De { a y { b cumpliedo la codició a b =, se dice sucesioes equivaletes Proposició 4- Sea { a ua sucesió Si existe f: [, ) R tal que f() = a, N, y f(x) = L, etoces a = L x + Nota: Este último resultado es especialmete iteresate, pues puede aplicarse toda la teoría sobre fucioes al cálculo de ites de sucesioes: cotiuidad, derivació, L hôpital, Taylor, etc Subsucesioes Defiició 43- Llamaremos subsucesió de la sucesió { a a cualquier sucesió de la forma { aj j= = {a, a, a 3,, a j, }, dode a j { a y los ídices verifica que < < 3 < < j < Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

2 39 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Series de úmeros reales Proposició 44- Sea { a ua sucesió y { a j j= ua subsucesió de { a Si existe el a, etoces existe el a j y se tiee que j a j = a j Proposició 45- Sea {a i i= y {a k k= dos subsucesioes de la sucesió { a, tales que {a i i= {ak k= = { a Etoces, si a i = a k = L se tiee que a = L i k 3 Covergecia de sucesioes Defiició 46- Sea { a, ua sucesió de úmeros reales Si Si Si Si a = L R, diremos que { a a = + (ó ), diremos que { a a o existe, diremos que { a es covergete es divergete hacia + (ó ) es oscilate Ejemplo 47 Sea { a dode a = x Etoces, para cada x R elegido,, si x oscilate, si x a 0, si < x < covergete a 0, si x < = x =, si x = covergete a, si x = +, si x >, divergete a +, si x > Proposició 48- Toda subsucesió de ua sucesió covergete (divergete) es covergete (divergete), y coverge (diverge) hacia el mismo ite Demostració: Es otra forma de escribir la Proposició 44 Proposició 49- Toda sucesió covergete está acotada Defiició 50- Ua sucesió, { a, es moótoa creciete si a a +, N Ua sucesió, { a, es moótoa decreciete si a a +, N Proposició 5- Toda sucesió moótoa creciete y acotada superiormete es covergete Toda sucesió moótoa decreciete y acotada iferiormete es covergete Series de úmeros reales Defiició 5- Dada { a ua sucesió de úmeros reales, la sucesió { S defiida por S = a + a + + a, para cada N, se llama sucesió de sumas parciales de la sucesió { a ; y al par de sucesioes {{ a, { S se le deomia serie de térmio geeral a, y suele represetarse por Ejemplo La serie sucesió de sumas parciales a, tiee térmio geeral { y tiee S = = (+) como } Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

3 40 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Series de úmeros reales Carácter de ua serie Defiició 53- Diremos que la serie a es covergete, divergete u oscilate, si la sucesió { } S es respectivamete covergete, divergete u oscilate Si la serie coverge y S S, se dice que S es la suma de la serie y se escribe S = a Series geométricas 54- Las series de la forma a, co a R costate, so: Demostració: Cosideremos a) Divergetes, si a b) Covergetes, si a < c) Oscilates, si a S = a + a + + a + a y as = a + a a + a + restado ambas, obteemos que ( a)s = a a + y, por tato: Si a, teemos que S = a a+ a E cuyo caso S a a +, si a > + a = = a, si a < a, si a Si a =, teemos que S = + + ) + = y, por tato, S = = + Defiició 55- Diremos que dos series tiee el mismo carácter, y lo represetaremos por, si so simultáeamete covergetes, divergetes u oscilates Proposició 56- Sea a) a ua serie umérica Se tiee que a λa, para todo λ R {0} b) c) Si la serie es covergete (o es divergete), la serie a b j j= =k 0+ a, para todo k 0 N formada agrupado térmios cosecutivos, es decir, co b j = a j + + a j a j, es tambié covergete (o es tambié divergete) Series covergetes Proposició 57- Sea (a + b ) = a + a b y b dos series covergetes, etoces (a + b ) coverge y Codició ecesaria de covergecia 58- Si a es covergete etoces Demostració: Como S S y S = S + a, se tiee que a = S S y, por tato, a = 0 a = (S S ) = S S = S S = 0 Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

4 4 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Series de úmeros reales La serie armóica 59- La serie armóica,, diverge Solució: Verifica la codició ecesaria, pues = 0, pero o coverge Supogamos que sí coverge, es decir, que S = S R Etoces, para ε = 4, existirá u 0, tal que si 0 se verifica que S S = < 4 ; pero esto es absurdo ya que como los térmios de la sucesió so positivos se tiee que: S S = > > = = y o puede ser meor que 4 si es mayor que E cosecuecia, o coverge Además, como S + = S + +, la sucesió { S es moótoa creciete y o coverge, luego o está acotada superiomete, es decir, S + y la serie diverge 3 Series de térmios positivos Diremos que ua serie a es de térmios positivos si a 0, para todo N Teorema 60- Ua serie de térmios positivos a coverge si, y sólo si, la sucesió de sumas parciales { S está acotada superiormete Observació 6- El resultado aterior (así como los resultados siguietes sobre series de térmios positivos) so ciertos tambié para series que sólo sea de térmios positivos a partir de u térmio e adelate, es decir, que exista 0 N tal que a 0, para todo 0 Para verificarlo, basta teer e cueta que a a (apartado (b) de la proposició 56) = 0 Además, como a ( )a (apartado (a) de la proposició 56), para estudiar el carácter de ua serie a de térmios egativos o egativos a partir de u térmio e adelate, basta estudiar el carácter de la serie de térmios positivos ( )a 3 Criterios de comparació Primer criterio de comparació 6- Sea a y para todo N o a partir de u térmio e adelate, etoces: a) Si b) Si Ejemplo b coverge = a diverge = a coverge b diverge Estudiar el carácter de las series +3 y b series de térmios positivos tales que a b, 3 7 Solució: La primera es de térmios positivos pues + 3 > 0 para todo Además + 3 3, para todo, luego se tiee que +3 3, para todo Etoces, como 3 coverge, tambié la serie +3 coverge Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

5 4 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Series de úmeros reales Para la seguda, 3 7 > 0 para 3, luego es de térmios positivos a partir de 0 = 3 y 3 7 < 3, para todo 3, luego se tiee que 3 7 > 3, para todo 3 Etoces, como y esta diverge, la serie =3 3 7 diverge y, por tato, la serie Segudo criterio de comparació 63- Sea a y L, etoces: a) Si 0 < L < + = a b) Si L = 0 y a) b) c) Si L = + y a) b b coverge = a diverge = b) a coverge = b diverge = a coverge b diverge =3 3 = 3 =3 =3 3 7 diverge a b series de térmios positivos tales que b = b coverge a diverge Ejemplo Estudiar el carácter de la serie de térmios positivos Solució: Como = = 0, y diverge, se tiee que diverge Criterio de la itegral 64- Sea f: [, + ) R positiva, moótoa decreciete e itegrable e cada cerrado [, ], y sea a = f() Etoces a coverge + f(x) dx coverge Demostració: Por ser f moótoa decreciete, e cada itervalo [m, m + ], se verifica que y, por tato, que a m = Luego, m+ m S E cosecuecia, Ejemplo 65 a m = f(m) f(x) f(m + ) = a m+, a m dx + m+ m a + a + + a f(x) dx m+ m f(x) dx = b S + a S + f(x) dx + 3 Estudiar el carácter de las series a m+ dx = a m+ ya que f(x) dx + + f(x) dx S + a, + a a a3 a5 a f(x) dx > a + a a + lo que cocluye el resultado α, segú los valores de α > 0 Solució: Si α > 0: = f() para la fució f(x) = α x, fució que es positiva y decreciete e [, + ) Luego α + α x dx y la serie coverge si α > y diverge si α α Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

6 43 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Series de úmeros reales 3 Criterios de covergecia Los criterios de comparació ateriores so bueos, pero tiee el icoveiete de ecesitar de otra serie co la que comparar Los siguietes criterios de covergecia so e ocasioes meos decisorios que los de comparació, pero más secillos de usar puesto que sólo usa los propios térmios de la serie para obteer los resultados Criterio de la raíz (o de Cauchy) 66- Sea a ua serie de térmios positivos tal que Etoces: a) si L < = a coverge b) si L > = a diverge c) si L = el criterio o decide Demostració: a = L a) si L <, tomemos k > 0 tal que L < k <, etoces existe 0 N tal que para todo 0, se verifica que a k y por tato, que a k, de dode a k y a coverge ya que está = 0 = 0 = 0 mayorada que ua serie que coverge b) si L >, etoces existe 0 N tal que para todo 0, se verifica que a >, luego a > y la serie o puede coverger ya que a 0 Ejemplo Estudiar el carácter de la serie Solució: Coverge, pues: a = = = = < Nota: Si el criterio o decide, es decir que si para ua serie es L =, ésta puede ser tato covergete como divergete Por ejemplo, la serie es divergete mietras que es covergete, pero e ambas se cumple L = Criterio del cociete (o de D Alambert) 67- Sea a + = L Etoces: a a) si L < = a coverge b) si L > = a diverge a ua serie de térmios positivos tal que c) si L = el criterio o decide Ejemplo Estudiar el carácter de la serie Solució: Como la serie coverge a + = a (+)!!! =! ( + )! = + = 0 <, Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

7 44 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Series de úmeros reales Criterio de Raabe 68- Sea a) si R > = a coverge b) si R < = a diverge a ua serie de térmios positivos co ( a+ a )=R Etoces: c) si R = el criterio o decide Ejemplo- Estudiar el carácter de la serie Solució: Como a+ a = /(+) / = (+) Raabe, teemos que y la serie coverge ( a + a a y + a = ) ( = 4 Series de térmios cualesquiera (+) =, el criterio del cociete o decide Aplicado ) ( + ) = ( + ) ( + ) = + ( + ) + = ( + ) = = >, Defiició 69- Ua serie covergete a se dice absolutamete covergete si, y sólo si, la serie a es Teorema 70- Toda serie absolutamete covergete es covergete Ejemplo 7 Estudiar el caracter de la serie se Solució: Como la serie o es de térmios positivos (i egativos), o podemos aplicar los criterios de la secció aterior Veamos si coverge absolutamete, es decir, estudiemos la serie de térmios positivos Teemos que se() < y como coverge 4 Series de Leibitz coverge, tambié coverge se() y, e cosecuecia, se() Teorema de Leibitz 7- Sea { a ua sucesió de térmios positivos, moótoa decreciete y de ite cero Etoces la serie Defiició 73- Ua serie a +, para todo ( ) + a coverge a, se dice que es que es alterada si el sigo de a es distito del sigo de Ua serie a, se dice que es que es Leibitz si es alterada y verifica las codicioes del teorema de ( ) Leibitz Es decir, si es alterada, verifica la codició ecesaria de covergecia = 0 y la sucesió { a es decreciete se Ejemplo La serie armóica alterada, ( ) + es covergete Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

8 45 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR 3 Ejercicios Solució: Es ua serie alterada, ( )+ = cosecuecia, coverge (De hecho, la suma de esta serie es l ) = 0 y > +, luego es ua serie de Leibitz y, e Nota: Como e el caso de las series de térmios positivos, todos los resultados ateriores so aplicables a series que verifique las codicioes a partir de u térmio e adelate 3 Ejercicios Estudiar el carácter de las siguietes sucesioes, de térmio geeral a) a = ( ) b) a = + tg + l c) a = d) a = e) a = ( + ) e f) a = ( )+ +( ) + Estudiar, segú los valores de los parámetros, el carácter de las siguietes sucesioes a) a = (k + ) b) a = k ; k 0 c) a = ( ) l α d) a = l α ; α > 0 e) a = α (e ) β 3 Probar que la sucesió { e! =0 es decreciete para y deducir de ello que coverge 4 Usar la codició ecesaria de covergecia y los criterios de comparació, para estudiar el carácter de las siguietes series a) c) e) 3 b) 3e + d) ++ + f) 3 cos + tg + l ( ) + e 5 Estudiar el carácter de las siguietes series a) b) c) e) g) =! (+) d) l f) ( ) tg h) =0 e! ( ( + ( ) l +( ) + ) ) + + Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

9 46 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR 3 Ejercicios 6 Estudiar el carácter de las siguietes series, segú los valores de los parámetros a) c) e) g) i) x + b) ( k) ( ) ( ) k k ( ) + d) l α, α>0 f) tg ( a + θ ), 0<a< π h) (a+)! (a+)(a+) (a+), a / Z a (+ + + ), a>0, a e ( ) + (e α ) β ( ) (l α +, 0 < α < β j) = α +α, α 0 ) β 7 Usar la serie =0 x x! para ecotrar el!, e cada x R 8 Estúdiese, segú los valores de x R, el carácter de las series a) =0 (x ) + b) =0 (x 4) + c) ( x+ x) d) =0 ( ) ( ) + x 3x 9 Dada la serie =0 x ( + x, se pide: ) a) Para qué valores de x R la serie coverge? b) Hallar la suma de la serie e los x dode coverja 0 Sea a y b dos series de térmios positivos covergetes a) Demostrar que a coverge b) Demostrar que a b coverge c) Ecotrar ua serie de térmios positivos covergete para la que la serie a sea covergete y otra para la que sea divergete d) Qué se puede decir sobre el carácter de la serie a b? Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

10 47 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Aexo 4: Demostracioes Sucesioes de úmeros Series uméricas Demostració de: Proposició 4 de la págia 38 Proposició 4- Sea { a, { b y { c sucesioes uméricas Si L, etoces b c = L Demostració: ( b b c = a c = a Demostració de: Proposició 4 de la págia 38 b a ) ( ) a c = L = L a b = y a c = Proposició 4- Sea { a ua sucesió Si existe f: [, ) R tal que f() = a, N, y f(x) = L, etoces a = L x + Demostració: Si f(x) = L, etoces para cada ε > 0 existe K > 0 tal que si x > K, se verifica que f(x) L < ε x + E particular, para todo > K, se verifica que f() L < ε y, por tato, que L = El resultado es válido tambié si L = ± Demostració de: Proposició 44 de la págia 39 f() = a Proposició 44- Sea { a ua sucesió y { a ua subsucesió de { j a j= Si existe el y se tiee que etoces existe el j a j a j = a j a, Demostració: E efecto, si = L R, para cualquier ε > 0 existe 0 tal que para todo 0 se verifica que a L < ε, e particular, para todo j 0 se verifica que a j L < ε, luego j = L j Si = +, para cualquier K > 0 existe 0 tal que para todo 0 se verifica que a > K, e particular, para todo j 0 se verifica que a j > K, luego j j = + Aálogamete para = Demostració de: Proposició 45 de la págia 39 Proposició 45- Sea {a i i= y {a k k= dos subsucesioes de la sucesió { a, tales que {a i i= {ak { } k= = a Etoces, si a i = a k = L se tiee que a = L i k Demostració: Si a i = L, para cada ε > 0 existe tal que si se verifica que a i L < ε, y si a k = L, para i k cada ε > 0 existe tal que si se verifica que a k L < ε Luego tomado 0 = máx{, }, se tiee que para cada 0 : ó a = a i, para algú i, luego = i 0, de dode a L = a i L < ε ó a = a k, para algú k, luego = k 0, de dode a L = a k L < ε Aálogamete se hace si L = ± Demostració de: Proposició 49 de la págia 39 Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

11 48 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Aexo 4 Proposició 49- Toda sucesió covergete está acotada Demostració: Si { a coverge, existe L R tal que a L, es decir, para cada ε > 0, existe 0 N tal que si 0, etoces a L < ε Luego, para todo 0, se verifica que L ε < a < L + ε y, por tato, que a máx{ L ε, L + ε } E cosecuecia, si tomamos se verifica que a K, para todo N Demostració de: Proposició 5 de la págia 39 K = máx{ a, a,, a 0, L ε, L + ε }, Proposició 5- Toda sucesió moótoa creciete y acotada superiormete es covergete Toda sucesió moótoa decreciete y acotada iferiormete es covergete Demostració: Sea { a moótoa creciete y acotada superiormete Por estar acotada superiormete, existe L = sup{a : N} R y, por ser L el superior, para cualquier ε > 0, existe 0 N tal que L ε < a 0 L Como la sucesió es moótoa creciete, para todo 0, se verifica que a 0 a, luego para todo 0, es decir, a L L ε < a 0 a L < L + ε, Aálogamete, para las moótoas decrecietes y acotadas iferiormete Demostració de: Proposició 56 de la págia 40 Proposició 56- Sea a) a ua serie umérica Se tiee que a λa, para todo λ R {0} b) c) Si la serie es covergete (o es divergete), la serie a b j j= =k 0+ a, para todo k 0 N formada agrupado térmios cosecutivos, es decir, co b j = a j + + a j a j, es tambié covergete (o es tambié divergete) Demostració: Sea S = a, y deotaremos por S la suma parcial -ésima de la otra serie ivolucrada e cada apartado i= a) S = a = λa = λ a = λs, luego se tiee que i= i= i= fiito, ifiito o o existe si respectivamete b) Sea k 0 N fijo Para cada, se tiee luego S = k 0+ j=k 0+ a j = S = λ S y, por tato, S es fiito, ifiito o o existe, y viceversa k 0+ j= k 0 a j a j = S k0+ S k0, j= S = (S k 0+ S k0 ) = S k0 + S k 0+ E cosecuecia, S es fiito, ifiito o o existe si respectivamete existe, y viceversa S es S es fiito, ifiito o o Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

12 49 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Aexo 4 c) Basta teer e cueta que S = b = a + a + + a = S S = b + b = a + + a + a a = S S j = b + + b j = a + + a + + a j a j = S j, es decir, que { S j j= = { S j j= es ua subsucesió de { S Por tato, si el ite de { S existe y es fiito/ifiito, el ite de ua subsucesió suya existe y toma el mismo valor fiito/ifiito Demostració de: Proposició 57 de la págia 40 Proposició 57- Sea a y b dos series covergetes, etoces (a + b ) coverge y (a + b ) = a + b Demostració: Sea S = S = de dode, y, por tato, i= a i y S = S = S = (a i + b i ) = i= b i Etoces i= a i + i= b i = S + S, S = (S + S ) = S + S = S + S (a + b ) coverge y (a + b ) = a + b Demostració de: Teorema 60 de la págia 4 Teorema 60- Ua serie de térmios positivos { S está acotada superiormete a i= coverge si, y sólo si, la sucesió de sumas parciales Demostració: Como a 0 se tiee que S = S + a S, luego la sucesió de sumas parciales { S es moótoa creciete Etoces, = si { S está acotada superiormete, por ser moótoa creciete, es covergete, luego a coverge; = si { S o está acotada, por ser moótoa creciete, se tiee que S + luego a diverge a + y, por tato, o coverge Demostració de: Primer criterio de comparació 6 de la págia 4 Primer criterio de comparació 6- Sea para todo N o a partir de u térmio e adelate, etoces: a) Si b coverge = a coverge b) Si a diverge = b diverge a y b series de térmios positivos tales que a b, Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

13 50 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Aexo 4 Demostració: Como a b, se tiee S = a) Si b) Si j= a b = S y, etoces, j= b coverge = { S } está acotada superiormete = { S está acotada superiormete = a coverge a diverge = { S o está acotada superiormete = { S } o está acotada superior- mete = b diverge Demostració de: Segudo criterio de comparació 63 de la págia 4 Segudo criterio de comparació 63- Sea a y L, etoces: a) Si 0 < L < + = a b) Si L = 0 y a) b) c) Si L = + y a) Demostració: b b coverge = a diverge = b) a coverge = b diverge = a coverge b diverge b coverge a diverge a b series de térmios positivos tales que b = a) Si 0 < L < +, y tomamos ε = L, existe 0 N tal que si 0 se tiee que dode L + L < a b < L + L y, como b 0, se tiee 0 L b a 3L b a b L < L De para todo 0 Aplicado el Primer criterio de comparació a los casos 0 L b a y 0 a 3L b se obtiee el resultado b) Si L = 0, tomado ε =, se tiee que existe 0 N tal que si 0 etoces 0 a < b, y recaemos e el Primer criterio b c) Si L = +, basta itercambiar los papeles de a y b, pues etoces se tiee que a = 0 Demostració de: Criterio del cociete (o de D Alambert) 67 de la págia 43 Criterio del cociete (o de D Alambert) 67- Sea a ua serie de térmios positivos tal que Etoces: a) si L < = a coverge b) si L > = a diverge a + = L a Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

14 5 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Aexo 4 c) si L = el criterio o decide Demostració: a) Si L <, tomemos k = L + ε > 0 tal que L < k <, etoces debe existir 0 N tal que para todo 0 se verifica que a+ a k < y, por tato, que a + ka, para todo 0 Luego Sumado miembro a miembro, se obtiee a de dode = 0+ = 0+ a 0+ ka 0 a 0+ ka 0+ k a 0 a 0+3 ka 0+ k 3 a 0 a 0+4 ka 0+3 k 4 a 0 a = a 0+( 0) ka k 0 a 0 = 0+ a coverge, ya que la serie geométrica k 0 a 0 = a 0 k 0 = 0+ = 0+ b) Si L >, etoces 0 N tal que a+ a >, para todo 0, luego a < a +, para todo 0, y la serie diverge ya que a 0 k, k coverge ( k = k < ) Demostració de: Criterio de Raabe 68 de la págia 44 Criterio de Raabe 68- Sea a) si R > = a coverge b) si R < = a diverge c) si R = el criterio o decide Demostració: a ua serie de térmios positivos co ( a+ a )=R Etoces: a) Si R >, tomamos k > 0 tal que < + k < R, etoces existe 0 N tal que para todo 0 se tiee que ( ) a+ a > + k (a a + ) > a ( + k) ( )a a + > ka Luego y, sumado todo miembro a miembro, ( 0 )a 0 0 a 0+ > ka 0 ( 0 )a 0+ ( 0 + )a 0+ > ka 0+ ( 0 + )a 0+ ( 0 + )a 0+3 > ka 0+ ( )a ( )a > ka ( )a ()a + > ka ( 0 )a 0 a + > k(a 0 + a a ) = k(s S 0 ) Despejado, S < k (( 0 )a 0 a + ) + S 0 < k (( 0 )a 0 ) + S 0 = K costate, para todo 0, luego { S está acotada superiormete y a coverge Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

15 5 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Aexo 4 b) Si R <, etoces existe 0 N tal que para todo 0 se tiee que ( ) a+ a < (a a + ) < a ( )a < a + Luego de dode (0 )a 0 ( 0 )a 0 < 0 a 0+ < ( 0 + )a 0+ < < ( )a < ()a +, < a +, para todo 0, y, por tato, Como la serie miorate diverge, la serie Demostració de: Teorema 70 de la págia 44 ( 0 )a 0 = 0 < a diverge = 0 a + Teorema 70- Toda serie absolutamete covergete es covergete Demostració: Si a coverge, etoces, para cada ε > 0, existe 0 N tal que si 0, se verifica que a a +p < ε, para todo p N Pero, como a + a a p+ a + a a +p = a + a a +p < ε la serie a tambié coverge a + Demostració de: Teorema de Leibitz 7 de la págia 44 Teorema de Leibitz 7- Sea { a ua sucesió de térmios positivos, moótoa decreciete y de ite cero Etoces la serie ( ) + a coverge Demostració: Para demostrarlo, veamos que { S = {S {S coverge, probado que {S y {S coverge al mismo valor E efecto, los térmios S (+) y S (+), par e impar, de la sucesió de sumas parciales se obtiee de los ateriores térmios par e impar co S + = S + ( ) + a + + ( ) +3 a + = S + a + a + = S + (a + a + ) S + = S + ( ) + a + ( ) + a + = S a + a + = S (a a + ) Como { a es decreciete, a k a k+ 0 para todo k, etoces S + S, y S + S, para todo ; luego {S es creciete y {S es decreciete, y se tiee Además, como de se tiee que S S 4 S S + y S + S S 3 S S = S + ( ) + a = S a S, S S S S y, e cosecuecia, {S está acotada superiormete por S y {S está acotada iferiormete por S, luego coverge Cocluyedo, como existe el S, existe el S, a = 0 y S = S a, se tiee que luego 0 = a = (S S ) = S S ; S = S y { S coverge Prof: José Atoio Abia Via Grados de Ig Idustrial : Curso 0 03

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