SISTEMAS MECANICOS EJEMPLO 1.- SISTEMA MECANICO TRASLACIONAL. Carrito que se desplaza en línea recta en dirección horizontal.

Transcripción

1 SISTEAS ECANICOS EJEPLO.- SISTEA ECANICO TRASLACIONAL Carrito que e deplaza en línea recta en dirección horizontal. Ft) 0 yt) Objetivo: Determinar la repueta dinámica del deplazamiento del carrito yt) ante una variación de la fuerza aplicada Ft). Supoicione:.- Deplazamiento medido con repecto a una condición de referencia que e la poición de equilibrio..- Deplazamiento y velocidad medido con repecto a un marco de referencia inercial 3.- Elemento maa, reorte y amortiguador) ideale 4.- No hay fricción vicoa. Contante: aa [lbf] Coeficiente de amortiguación vicoa [lbf/ft/eg)] Contante de Hooke [lbf/ft] Variable: Ft) Fuerza Aplicada [lbf] yt) Deplazamiento [ft] vt) velocidad at) aceleración 40

2 ODELO ATEATICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES F R t) F A t) Ft) Ley de Newton F t ) F t ) F t ) F t ) ) R A Ecuacione contitutiva F R t ) y t ) ) F A t ) v t ) 3) F t ) a t ) 4) d yt) v t ) 5) d yt) a t ) 6) odelo completo del itema: d yt) d yt) F t ) y t ) 7) 4

3 ODELO ATEATICO EN FUNCION DE TRANSFERENCIA F d y d y y 8) Retando 8) de 7): d y t) d y t) F t ) y t ) 9) Tomando Tranformada de Laplace: F ) Y ) Y ) Y ) 0) Y ) F ) ) Y ) F ) ) i hacemo ξωn ; ωn Y F n ξω ω ) ) k ω 3) ) n n donde ω n ξ 4 k 4

4 DIAGRAA DE LOQUES F) k Y) Forma general F) k ω n ξω ω ) n n Y) k ξ 4 ω n k ganancia ξ ω n coeficiente de amortiguamiento relativo frecuencia natural 43

5 EJEPLO.- SISTEA ECANICO ROTACIONAL El itema etá formado por un eje al cual le etá adoado un ventilador. TORQUE T VELOCIDAD ANGULAR ω Objetivo: Determinar la repueta dinámica de la velocidad angular ωt) del eje ante una variación del torque aplicado Tt). Supoicione:.- Deplazamiento angular medido con repecto a un ángulo de referencia epecificado en un marco de referencia inercial..- El momento de inercia e contante. 3.- Exite fricción rotacional. 4.- El coeficiente de fricción e contante. Contante: J omento de inercia del eje y ventilador [ g m ] Coeficiente de fricción [ N m / rad/eg ] Variable: Tt) Torque aplicado [ N m ] T D t) Torque de opoición [ N m ] ωt) Velocidad angular [ rad / eg ] αt) Aceleración angular [ rad / eg ] 44

6 ODELO ATEATICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES Ley de Newton T t dω t ) ) TD t ) J 4) Ecuacione contitutiva T D ω t ) 5) odelo completo del itema: T t dω t ) ) TD t ) J 6) T D ω t ) 7) ODELO ATEATICO EN FUNCION DE TRANSFERENCIA Sutituyendo 7) en 6): dω t ) T t ) ω t ) J 8) Etado etacionario: T dω ω J 9) 45

7 Retando 8) 9) y ecribiendo en variable de perturbación T ω d t ) t ) ω t ) J 0) Tomando Tranformada de Laplace T ) ω ) J ω ) ) Agrupando término queda la iguiente Función de Tranferencia: ω ) T ) Forma general J ) ω ) T ) k τ Sitema de er Orden 3) donde: k, τ J DIAGRAA DE LOQUES T ) k τ ω ) 46

8 EJEPLO 3.- SISTEA ECÁNICO DE DOS ASAS COLGADAS y t) g y t) ft) g Objetivo: Determinar la repueta dinámica del deplazamiento vertical de la maa, y t), o de la maa, y t),ante una variación de ft). Supoicione:.- Deplazamiento medido con repecto a una condición de referencia que e la poición de equilibrio..- Deplazamiento y velocidad medido con repecto a un marco de referencia inercial 3.- Elemento maa, reorte y amortiguador) ideale Contante:, aa de lo cuerpo, Contante de lo reorte, Coef. de fricción vicoa g contante de gravedad Variable: y t), y t) Deplaz. vertical de maa ft) Fuerza aplicada v t), v t) Velocidade de la maa a t), a t) Aceleración de la maa 47

9 Diagrama de cuerpo libre F reorte Famort y t) F reorte g F amort y t) ft) g ODELO ATEÁTICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES Ley de Newton d y t ) f t ) g Freorte Famort 4) g d y t ) Freorte Famort Freorte Famort 5) 48

10 Ecuacione contitutiva Freorte F amort t ) y t ) y t )) 6) dy t ) dy t ) t ) ) 7) F reorte F t ) y t )) 8) dy t ) t ) 9) amort d yt) v t ) 30) d yt) a t ) 3) odelo completo del itema: dy [ ] t ) dy t ) f t ) g y t ) y t ) d y t ) 3) dy t ) dy t ) dy t ) g [ y t ) y t )] y t ) 33) d y t ) 49

11 ODELO ATEÁTICO EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Ecribiendo en variable de perturbación: f t ) dy [ ] t ) dy t ) d y y t ) y t ) t ) 34) dy t ) dy t ) dy t ) d y [ y t ) y t )] y t ) 35) t ) Aplicando Tranformada de Laplace a la ecuacione 34) y 35): F [ Y ) Y )] [ Y ) Y )] Y ) ) 36) [ Y ) Y )] [ Y ) Y )] Y ) Y ) Y ) 37) Reagrupando término en amba ecuacione: ) Y ) ) Y ) F ) 38) ) Y ) ) Y ) ) ) 0 39) 50

12 Depejando una variable y utituyendo la ecuación en la otra e obtienen la Funcione de Tranferencia: ) ) )) ) ) ) ) F ) Y 40) o ) ) ) ) F ) Y 4) 5