Dificultad [2] Solución 1. Sean A y B disjuntos y cerrados. Entonces A = adh(a) y B = adh(b), y por tanto, A adh(b) = adh(a) B = A B =.

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1 5.1 Sea (E, d) un espació métrico y A y B subconjuntos de E. Demuéstrese que 1. si A y B son disjuntos y ambos cerrados, entonces están separados. 2. si A y B son disjuntos y ambos abiertos, entonces están separados. Dificultad [2] 1. Sean A y B disjuntos y cerrados. Entonces A = adh(a) y B = adh(b), y por tanto, Así, pues, A y B están separados. 2.a (Primera demostración). A adh(b) = adh(a) B = A B =. Sean, ahora, A y B disjuntos y abiertos; probaremos que A adh(b) = mostrando que ningún punto de la adherencia de B puede pertenecer también a A. En efecto, si x adh(b) entonces para todo r > 0, la bola abierta B(x, r) tiene intersección no vacía con B; es decir B(x, r) B para todo r > 0 y por tanto, B(x, r) A para todo r > 0 puesto que A y B son disjuntos. Así, pues, x int(a) y, como A es abierto, A = int(a) y x A. Así, pues, A adh(b) = ; de forma análoga se prueba que adha B =. y concluímos que A y B están separados. 2.b (Segunda demostración). Sean A y B disjuntos y abiertos y pongamos F = A B. Puesto que A = A F, A es abierto en (F, d) por ser intersección de un abierto en (E, d) con F. Del mismo modo, B es abierto en (F, d) y por lo tanto A yb están separados. separados (Teorema 5.1.3). 2.c (Tercera demostración). Sean A y B disjuntos y abiertos; entonces F = A B es abierto en (E, d). Por lo tanto, A y B son disjuntos y abiertos en (F, d) (Teorema 3.3.3), luego están separados (Teorema 5.1.3).

2 5.2 Sea (E, d) un espacio métrico y A y B dos subconjuntos separados. Demuéstrese que 1. si A B es abierto, entonces A y B son abiertos; 2. si A B es cerrado, entonces A y B son cerrados. Dificultad [1] Sea F = A B. 1. Puesto que A y B están separados, son abiertos en (F, d) y, puesto que F es abierto por ser unión de abiertos, también A y B son abiertos en (E, d) 2. Similar, mutatis mutandis.

3 5.4 Proporcionar un ejemplo que revele que el interior de un conjunto conexo no es, en general, conexo. En (R 2, d 2 ) considérense los conjuntos A = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + y 2 1} y B = {(x, y) R 2 : (x + 1) 2 + y 2 1} Entonces A B es un conjunto conexo (compruébese) y, sin embargo, int(a B) = B(( 1, 0), 1) B((1, 0), 1) que no es conexo por ser unión de abiertos disjuntos.

4 5.5 Sean A y B dos subconjuntos no vacíos y cerrados. Probar que si A B y A B son conexos, entonces A y B son conexos. Compruébese mediante un ejemplo que si A y B no son cerrados, entonces la afirmación anterior puede ser falsa. Dificultad [3] Por reducción al absurdo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A no es conexo. Entonces A = S T con S, T y S T. Ahora A B = (S T) B = (S B) (T B) y puesto que (S B) (T B) uno de ellos, o ambos, debe ser vacío porque en caso contrario A B no sería conexo. Pongamos, entonces, que S B = (de forma similar se haría si T B = ), entonces A B = (S T) B = S (T B) y veamos que S (T B). En efecto, por una parte se tiene que S yt son cerrados en (A, d) y, puesto que A es cerrado, también S y T son cerrados en (E, d). Así que S y T B son cerrados en (E, d). Además S (T B) = (S T) (S B) = con lo que A B es unión de cerrados no vacíos y disjuntos y, por lo tanto, no conexo en contra de la hipótesis. Tómese A = [0, 1) [2, 3] y B = [1, 3]. A es no conexo y, sin embargo, A B = [0, 3] y A B = [2, 3] son conexos.

5 5.6 Sean A y B subconjuntos conexos de (E, d) y A B. Si C es abierto y cerrado en el subespacio (B\A, d), demostrar que A C es conexo. Dificutlad [4] Si C = o C = B \ A la proposición es evidentemente cierta. Sea, pues, C y C B \ A y supongamos que A C no es conexo. Entonces, A C = S T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, deberá ser A S o A T. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A S; entonces T C. Llamemos ahora M al complementario de C en B \ A. Es decir B \ A = C M con C M =. Naturalmente C y M son no vacíos y están separados porque, por hipótesis, ambos son abiertos y cerrados en B \ A, de manera que T y M están separados porque T C. Ahora se tiene que B = (B \ A) A = (C M) A = M (A C) = M S T = (M S) T, y T y M S son no vacíos y separados porque T está separado de M y de S. Así, B no es conexo en contra de la hipótesis. La figura siguiente muestra la situación.

6 5.7 Probar que si A y B son subconjuntos conexos de (E, d) no disjuntos, entonces A B es conexo. Dificultad [2] (Primera resolución) Puesto que A B, A y B no están separados, de aquí que A B es conexo. (Teorema 5.2.5). (Segunda resolución sin usar el teorema) Supongamos que A B no es conexo. Entonces A B = S T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A S o bien A T; supongamos, sin pérdida de generalidad, que A T. Del mismo modo, B es también conexo, así que o bien B S o bien B T, pero si fuera B S, entonces T sería vacío, así que debe ser B T. Pero entonces A S y B T, de manera que A y B estarían separados y A B =, en contra de la hipótesis.

7 5.8 Si A y B con conjuntos conexos y A B entonces A B es conexo. Dificultad [2] (Primera resolución) Puesto que A B, A y B no están separados, de aquí que A B es conexo. (Teorema 5.2.5). (Segunda resolución sin usar el teorema) Supongamos que A B no es conexo. Entonces A B = S T con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A S o bien A T; supongamos, sin pérdida de generalidad, que A T. Del mismo modo, B es también conexo, así que o bien B S o bien B T, pero si fuera B S, entonces T sería vacío, así que debe ser B T. Pero entonces A S y B T, de manera que A y B estarían separados y A B =, en contra de la hipótesis.

8 5.9 Sean A 1, A 2,...,A n conjuntos conexos y A i A i+1 i = 1, 2,...,n 1 Demostrar que n i=1 A i es conexo. Dificultad [2] Puesto que A 1 A 2 y ambos son conexo, se tiene que A 1 A 2 es conexo. Por la misma razón, puesto que (A 1 A 2 ) A 3 y ambos son conexos, se tiene que A 1 A 2 A 3 es conexo. Por recurrencia, pues, es trivial ver que n i=1 A i es conexo.

9 5.11 En el plano, cualquier segmento es un conjunto conexo. Mostrar que el conjunto de puntos del plano con, al menos una coordenada irracional es conexo. (Una demostración) Para cada a R Q, consideremos las rectas R a = {(a, y) : y R} y S a = {(x, a) : x R}. Ambos conjuntos son conexos y, además, R a S a = (a, a), de manera que el conjunto es conexo. C a = {(a, y) : y R} {(x, a) : x R} Además, para cualquier a R Q, se tiene que C e C a = {(a, a), (a, e), (e, a), (e, e)}; luego C e es conexo y corta a todo C a. Ahora R 2 Q 2 = C e y es conexo. (Otra demostración) a R Q C a Fijemos (e, e) y sea (x, y) R 2 Q 2. Si y es irracional, la poligonal [(e, e), (e, y), (x, y)] está contenida en R 2 Q 2 y es un conjunto conexo por ser unión de dos segmentos con un punto común. Si y es racional, entonces x es irracional y la poligonal [(e, e), (x, e), (x, y)] está contenida en R 2 Q 2 y es un conjunto conexo por ser unión de dos segmentos con un punto común. Ahora R 2 Q 2 es unión de todas las poligonales (que tienen un punto común), por lo tanto es conexo.

10 5.13 Probar que un espacio métrico (E, d) es conexo si y sólo si todo subconjunto propio de E tiene frontera no vacía. Supongamos que A es un subconjunto propio de E y que frt(a) =. Entonces A = int(a) frt(a) = int(a). Por lo tanto A es abierto y cerrado en (E, d) y E no es conexo. Recíprocamente, si E no es conexo, existe un subconjunto propio A E abierto y cerrado en (E, d); es decir, A = A = int(a) lo que implica que frt(a) =

11 5.14 Si A y B son subconjuntos del espacio (E, d) tales que A es conexo, y A B y A (E \ B) ; demuestra que A frt(b) Supongamos que A frt(b) =. Entonces y Así, pues, A B = A int(b) A (E \ B) = A ext(b). A = (A B) (A (E \ B)) = (A int(b)) (A ext(b)) Ahora, puesto que int(b) y ext(b) están separados (son dos abiertos disjuntos), se tiene que A int(b) y A ext(b) están separados, de manera que A es unión de dos conjuntos no vacíos y separados y, por lo tanto, no es conexo.

12 5.15 Sean A y B conjuntos conexos y A B. Si C es una componente conexa de B \ A, demostrar que B \ C es conexo. Supongamos que B \ C no es conexo. Entonces B \ C = S T con S y T no vacíos y separados. Ahora, puesto que A B \ C = S T y A es conexo, necesariamente es A S o A T. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A S; entonces T A = de modo que T (B \ C) \ A = (B \ A) \ C y, puesto que C es una componente conexa de B \ A, se tiene que (B \ A) \ C y C están separados, de manera que T y C están separados. Así, pues, B = (B \ C) C = T (S C) y B no sería conexo, en contra de la hipótesis. La figura siguiente muestra la situación.

13 5.16 Demostrar que las componentes conexas de un conjunto A son conjuntos cerrados en el subespacio (A, d) No es cierto, en general, que las componentes conexas de A sean abiertos en (A, d) (póngase un ejemplo), pero sí es cierto si el número de componentes conexas es finito; demuéstrese. Sea C una componente conexa de A. Entonces C A, de manera que C C A = C y, por tanto, C A es conexo. Pero, puesto que C es el mayor conjunto conexo que contiene a cualquiera de sus puntos, resulta que C = C A y C es cerrado en (A, d). Nota: no es cierto que C sea cerrado en (E, d). Considérese por ejemplo, dos abiertos conexos y disjuntos. Considérese Q en la recta real. Entonces para todo x Q, se tiene que C(x) = {x} y C(x) no es abierto en (Q, d). Si hay un número finito de componentes conexas, entonces y A = n i=1 C n n C k = A \ i=1,i k C n de manera que C k es abierto en (A, d).

14 5.18 Sea A un conjunto conexo, abierto y cerrado en (E, d). Demostrar que A es una componente conexa de E. Por coherencia, suponemos que A no es vacío. Sea, entonces, x A y llamemos C a la componente conexa de E que contiene a x. Puesto que A es conexo y x A, se tiene que A C. Supongamos que A C; entonces A C = A es abierto en C por ser A abierto em E y también cerrado en C por ser A cerrado en E. Así, pues, A es un subconjunto propio, abierto y cerrado en C, de manera que C no es conexo. Absurdo, porque C es una componente conexa.

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