Sobre una acotación de Burgess para sumas parciales de Gauss

Transcripción

1 Sobre una acotación de Burgess ara sumas arciales de Gauss Universidad Autónoma de Madrid htt:// Salamanca, 29 de julio de 2009

2 Índice 1 Sumas generales 2 Sumas mixtas 3 Prueba

3 Sumas exonenciales y de caracteres Sumas generales Trigonométrica = e ( f (n) ), De caracteres = χ ( f (n) ) 1 n N 1 n N con e(x) = e 2πix y χ = carácter de Dirichlet. Caso lineal Trigonométrica Trivial (núcleo de Dirichlet) e ( αn + β ) C mín ( N, α 1) 1 n N Caracteres Sumas largas (Pólya-Vinogradov) Sumas cortas (Burgess)

4 Sumas largas caracteres (Pólya-Vinogradov) Técnica de comletación + sumas de Gauss q χ(n)e(an/q) n=1 Se uede cambiar cualquier rango de sumación or otro mayor, a cambio de introducir una fase lineal en los sumandos y de erder un logaritmo en la estimación. χ(n) C(log q) q χ(n)e(an/q) C q log q 1 n N χ = carácter de Dirichlet módulo q. n=1 Sumas cortas de caracteres (Burgess) Hölder χ(p(n)/q(n)) + RH en F

5 Sumas mixtas cortas S(N, H) = χ(n)e(αn) N<n N+H con χ = carácter de Dirichlet módulo rimo. Partial Gauss Sums. Bull. London Math. Soc. 20 (1988) D.A. Burgess: Para α = k/ S(N, H) H 1 1/r 1/4(r 1) log 2, r = 2, 3,... Simlificación en la rueba y ligera mejora Para α R S(N, H) H 1 1/r 1/4(r 1) (log ) 1/r, r = 2, 3,...

6 Dónde aarecen las sumas mixtas? Análisis de Fourier: f (x) a k e(kx/t ) χ(n)f (n) χ(n)e(kn/t ) Un ejemlo de sumas mixtas cortas (Promedio de funciones L) El símbolo de Legendre es un carácter en cada una de sus variables m larga n corta ( m n ) = n n corta m=1 ( m n ) f (m) Fourier + cambio sumación Suma mixta corta

7 La rueba: ideas generales Sumando or artes χ(n)e(αn) χ(n)e(kn/) orque α k < 1 e((α k/)n) no llega a oscilar. La rueba sigue las ĺıneas de la simlificación de Iwaniec-Kowalski ara las sumas cortar uras. Una idea clave (ya resente en los trabajos I.M. Vinogradov) es aumentar artificialmente el número de untos de sumación. Reetir varias veces una suma trigonométrica o de caracteres uede ser una buena idea si sabemos reordenar el resultado de modo que el método alicado lo interrete como un romedio.

8 h muy equeño en comaración con H χ(n)e ( k n ) N<n N+H N<n N+H χ(n + h)e ( k n + h ) Reetimos AB (mucho menor que H) veces la misma suma S = 1 A B χ(n + ab)e ( k n + ab ) AB n = ax, χ(an) = χ(a)χ(n) S 1 AB a=1 b=1 N<n N+H x=1 ν(x) su γ B b=1 χ(x + b)e ( γ x + b ), ν(x) = {a A : N < ax (mod ) N + H}

9 Primer romedio artificial S 1 ν(x) su AB γ x=1 B b=1 χ(x + b)e ( γ x + b ). Es suficiente ara las sumas uras (Iwaniec-Kowalski) ero no ara las mixtas. Segundo romedio artificial S 1 AB x=1 ν(x) su γ B γ+/b β=γ B b=1 orque e ( γ x+b ) no llega a oscilar en b si γ β. χ(x + b)e ( β x + b )

10 S 1 A x=1 ν(x) su γ γ+/b β=γ B b=1 χ(x + b)e ( β x + b ) Promedio artificial Ventaja: los resultados en media son más sencillos que los untuales Desventaja: argumento y coeficientes más comlicados ν(x) = múltilos (módulo ) hasta Ax en un intervalo de longitud H. Trivial ν 1 = AH, Elemental ν 2 AH (arox.) Coeficientes en media ν t := ( ν(x) t ) 1/t (AH) 1/t

11 Alicando Hölder, r Z +, y comletando la suma en β S χ(x + b)e ( β x + b ) 2r. x=1 β=1 b B Hemos erdido al alicar Hölder y añadir términos en la suma en β ero ahora odemos evaluar el resultado: Término diagonal: 2 B r No diagonal: B 2r 1 sumas x=1 χ(g(x)) 1/2 (Weil) Otimización Para B = 1/(2r 2) se tiene 2 B r = 3/2 B 2r 1 y eligiendo también A de forma ótima, se tiene el resultado.

12 Comentarios 1 Se odría extender el resultado a todos los módulos comuestos? Ni siquiera en el caso de sumas uras de caracteres se ha conseguido ara cualquier r. 2 Probablemente el caso de caracteres reales es esecial orque siemre se uede asar al caso libre de cuadrados usando los símbolos de Legendre. 3 Se odría usar alguna variante ara mejorar los romedios de funciones L reales en media?