Diseños en cuadrados de Youden

Transcripción

1 Capítulo 9 Diseños en cuadrados de Youden 9.1. Introducción Hemosestudiadoqueeneldiseñoencuadradolatinosetienequeverificarquelos tres factores tenganelmismo númerodeniveles,es decir quehaya elmismonúmerode filas,decolumnasydeletraslatinas.sinembargo,puedesucederqueelnúmerodeniveles disponiblesdeunodelosfactoresdecontrolseamenorqueelnúmerodetratamientos,en este caso estariamos ante un diseño en cuadrado latino incompleto. Estos diseños fueron estudiadosporw..youdenyseconocenconelnombredecuadradosdeyouden. Consideremos de nuevo el experimento sobre el rendimiento de la semilla de trigo, en el que se está interesado en estudiar 4 tipos de semillas y se desea eliminar estadísticamente elefectodeltipodeinsecticidayabono.perosupongamosquesólosedisponede3tipos de abono. Para realizar este experimento se decidió utilizar un cuadrado de Youden con 4 filas,lostiposdeinsecticidas(i1,i,i3,i4),3columnas,lostiposdeabono(a1,a,a3)y4 letras latinas, los tipos de semillas(a, B, C, D). Los datos correspondientes se muestran enlatabla5-15ydanlugaralejemplo5-3 Tabla 5-15DatosparaelEjemplo5-3 Cuadrado de Youden Abonos Insecticidas a1 a a3 i1 A 3 B 5 C 16 i B 18 C 15 D 17 i3 C 19 D 5 A 18 i4 D 1 A 1 B 0 Observamosqueestediseñoseconvierteenuncuadradolatinosiseleañadelacolumna 1

2 Diseños en cuadrados de Youden D,A,B,C.Engeneral,uncuadradodeYoudenpodemosconsiderarlocomouncuadrado latinoalquelefaltaalmenosunacolumna.sinembargo,uncuadradolatinonoseconvierte en un cuadrado de Youden eliminando arbitrariamente más de una columna. Un cuadrado de Youden se puede considerar como un diseño en bloques incompletos balanceado y simétrico en el que las filas corresponden a los bloques. En efecto, si asignamos el factor principal a las letras latinas, un factor secundario, el que tiene el mismo número de niveles que el factor principal, alasfilas, un factor secundario, el que tiene menor número de niveles que el factor principal, a las columnas, entonces, un cuadrado de Youden es un diseño en bloques incompletos balanceado y simétrico en el que a) Cada tratamiento ocurre una vez en cada columna. b) La posición del tratamiento dentro de un bloque indica el nivel del factor secundario correspondiente a las columnas. c) El número de réplicas de un tratamiento dado es igual al número de tratamientos por bloque. Elmodeloestadísticoparaestecuadrado 1 es y ijk =µ+τ i +β j +γ k +ǫ ijk,,...,i,..., coni= yk<i k=1,...,k, (9.1) donde µeslamediaglobal. τ i eselefectoproducidoporeli-ésimotratamiento.dichosefectosestánsujetosa larestricción i τ i=0. 1 Seguimos la notación empleada en el Capítulo 4 referente a los diseños en bloques incompletos balanceados.

3 9.1 Introducción 3 β j es el efecto producido por el j-ésimo bloque. Dichos efectos están sujetos a la restricción j β j=0. γ k eselefectoproducidolak-ésimaposición(columna).dichosefectosestánsujetos alarestricción k γ k=0.cadaposiciónocurreunavezencadabloqueyconcada tratamiento. ǫ ijk sonvariablesaleatoriasindependientescondistribución(0,σ). El análisis de modelo se realiza de la misma manera que en el diseño en bloques incompletos balanceados, añadiéndole el cálculo de la suma de cuadrados correspondiente a la posición. En este diseño la variabilidad total SCT se descompone en donde SCT =SCTr +SCBl+SCC+SCR SCTr eslasumadecuadradosajustadadelostratamientos,cuyaexpresióncoincide con la correspondiente a los diseños en bloques incompletos balanceados, es decir siendo SCTr = K I λi T i (9.) λ=r K 1 I 1 T i eltotalajustadodeli-ésimotratamiento,calculadoenlasubsección??del Capítulo 4, que en este modelo tiene la siguiente expresión donde T i =y i.. 1 K n ij y.j.,,,i (9.3) i) y i.. se obtiene sumando las observaciones en las que la letra latina se ha fijadoalniveli. ii) y.j. se obtiene sumando las observaciones correspondientes al bloque j- ésimo.

4 4 Diseños en cuadrados de Youden 1 sieltratamientoiocurreenelbloquej n ij = 0 enotrocaso otamos que 1 K n ij y.j., es el valor medio de los totales de los bloques que contienen al tratamiento i-ésimo. SCBleslasumadecuadradosdelosbloques,quetienelasiguienteexpresión SCBl= y.j. K y... (9.4) SCC eslasumadecuadradosdelascolumnas,quetienelasiguienteexpresión SCC= K k=1 y..k y... (9.5) donde y..k se obtiene sumando las observaciones correspondientes a la columna k- ésima. SCT eslasumadecuadradostotal SCT = K k=1 y (.)jk y... (9.6) donde y (.)jk indicalaobservacióncorrespondienteala filaj ylacolumna k,independientemente de la letra que corresponda. Los grados de libertad correspondientes a cada suma de cuadrados son: 1paraSCT. I 1paraSCTr. 1paraSCBl.

5 9.1 Introducción 5 K 1paraSCC. I K+paraSCR. La tabla AOVA se presenta a continuación: Tabla 5-16.TablaAOVAparaundiseñoencuadradodeYouden Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados variación cuadrados libertad medios F exp I K Ti SCTr MCTr Trat ajusta. I 1 λi I 1 MCR y.j. Bloq-no-ajust. K y... 1 K y..k Columnas I y... K 1 k=1 Residual SCT SCTr SCR I K+ I K+ SCBl SCC TOTAL jk y (.)jk y... 1 Al igual que en el diseño en bloques incompletos balanceados, puede resultar de interéscontrastartambiénlaigualdaddelefectodelosbloques,paraellolasct sedebe descomponer de la siguiente forma donde SCT =SCTr+SCBl +SCC+SCR SCTreslasumadecuadradosdelostratamientos,quetienelasiguienteexpresión SCTr= I yi.. K y... (9.7) SCBl es la suma de cuadrados ajustada de los bloques, que tiene la siguiente expresión

6 6 Diseños en cuadrados de Youden SCBl = R λ B j (9.8) siendo Reselnúmerodevecesquecadatratamientosepresentaeneldiseño. B j eseltotalajustadodelj-ésimobloque,dadoporlasiguienteexpresión B j =y.j. 1 I n ij y i..,,, (9.9) R La tabla AOVA se presenta a continuación Tabla 5-17.TablaAOVAparaundiseñoencuadradodeYouden Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados variación cuadrados libertad medios F exp Trat-no-ajustad. I yi.. K y... I 1 R Bj SCBl MCBl Bloq-ajustad. 1 λ 1 MCR K y..k Columnas I y... K 1 k=1 SCR Residual SCT SCTr I K+ I K+ SCBl SCC TOTAL jk y (.)jk y... 1 Para una mayor información sobre estos diseños véase Cochran& Cox(1957). A fin de ilustrar este modelo pasamos a resolver el Ejemplo 5-3, para ello organizamos los datos en forma tabular de la siguiente manera

7 9.1 Introducción 7 Tabla 5-18DatosparaelEjemplo5-3 Cuadrado de Youden Abonos k y (.)jk Insec a1 a a3 y.j. y.j. i1 A B C i B C D i3 C D A i4 D A B y..k y..k Tabla Tratamientos Observaciones y i.. yi.. A B C D Los valores de los parámetros del modelo son: I==4, K=R=3, =IR=K=1, λ=r K 1 I 1 =3 3 =. Las sumas de cuadrados necesarias para el análisis de la varianza se calculan como sigue: SCT = 4 3 k=1 y (.)jk y... = =17,91

8 8 Diseños en cuadrados de Youden SCBl= SCC= 4 3 k=1 SCTr = y.j. K y... = =46,5 y..k I y... = =1,66 K 4 λi T i = 3(37,33) 4 =89 donde los totales ajustados de los tratamientos se calculan utilizando la siguiente expresión Porlotanto T i =y i.. 1 K n ij y.j.,,,i (9.10) T 1 = (53) 1 3 ( )= 6,66 T = (63) 1 3 ( )= 7,33 T 3 = (50) 1 3 ( )= 8,66 T 4 = (63) 1 3 ( )= 8 Lasumadecuadradosdelerrorsecalculacomo SCR=SCT SCTr SCBl SCC=5 El análisis de la varianza resultante se presenta en la siguiente tabla: Tabla 5-0.TablaAOVAparalosdatosdelEjemplo5-3 Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados variación cuadrados libertad medios F exp Trat. corregidos Bloques-no-corregidos Columnas 1.66 Residual TOTAL

9 9.1 Introducción 9 Sirealizamoselcontrasteal5%ycomparamoselvalordelestadísticodecontratecon elcorrespondientevalordelaf teórica(f 0,05;3,3 =9,8)concluimosquelosefectosdelos tratamientos(tipo de semilla) no son significativos. Si se quiere analizar también el efecto de los bloques, tendremos que calcular la suma de cuadrados de tratamientos y la suma de cuadrados ajustada de los bloques, es decir SCTr= 4 SCBl = yi.. K y... = =45,58 R 4 λ B j = 3(39,11) 4 =89,66 donde los totales ajustados de los bloques se calculan utilizando la siguiente expresión Porlotanto B j =y.j. 1 I n ij y i..,,, (9.11) R B 1 = (64) 1 3 ( )= 8,66 B = (50) 1 3 ( )= 8,66 B 3 = (6) 1 3 ( )= 6,66 B 4 = (53) 1 3 ( )= 6,66 El análisis de la varianza resultante se presenta en la siguiente tabla Tabla 5-1.TablaAOVAparalosdatosdelEjemplo5-3 Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados variación cuadrados libertad medios F exp Trat-no-corregidos Bloques corregidos Columnas 1.66 Residual TOTAL

10 10 Diseños en cuadrados de Youden otamos que al nivel de significación del 5% tampoco son significativos los efectos del tipo de insecticida. Bibliografía utilizada García Leal,. & Lara Porras, A.M.(1998). Diseño Estadístico de Experimentos. Análisis de la Varianza. Grupo Editorial Universitario. Lara Porras, A.M.(000). Diseño Estadístico de Experimentos, Análisis de la Varianza y Temas Relacionados: Tratamiento Informático mediante SPSS. Proyecto Sur de Ediciones.