MATEMÁTICAS I, Grado en Ingeniería Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica.

Transcripción

1 MATEMÁTICAS I, Grado en Ingeniería Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Politécnica Superior de Sevilla Curso - Boletín n o. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.. Resolver los siguientes sistemas por el método de Gauss. < x + x + x = a) x x + x = x x + x = x y + z w = >< x + y z w = c) x + y z + w = > x w = < e) g) x x = x + x = x + x = x x + x = x + x + x = < b) x + x + x = x + x + x = x + x + x = < b + c = d) a + b c = a + b + c = < f) h) x x = x x = 9 x + x = x x + x = x + x x =. Sin usar lápiz y papel, determinar cuáles de los siguientes sistemas homogéneos tienen soluciones no triviales. < x x + x x = < x + x x = x y = a) x + x x + x = b) x x = c) x y = x + x + x x = x =. Resolver los siguientes sistemas homogéneos, por cualquier método < a) x y z = x + y z = x + y + z = >< b) > v + w x = u + v w + x = u + v + w x = u v + w x =. Resolver los siguientes sistemas, donde a; b y c son constantes. a) x + y = a x + y = b < b) x + x + x = a x + x = b x + x = c. Para qué valores de a el sistema (S) no tiene solución, tiene exactamente una solución o in nitas soluciones? < x + y z = (S) x y + z = x + y + (a )z = a +

2 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. Para qué valores de a el sistema (S) tiene soluciones no triviales? (a )x + y = (S) x + (a )y =. Demostrar que si ad a b bc = ; entonces la forma escalonada reducida de la matriz A = c d es la matriz identidad. Dadas las matrices A = ; B = ; C = ; D = ; E = Calcular, cuando sea posible a) D E b) E T D T c) A(BC) d) (DA) T e) C T B A T f) ( AC) T + D T 9. Dadas las matrices A = y B = Calcular, sin realizar el producto 9 de las dos matrices completamente a) La segunda columna de AB b) La primera columna de BA c) La tercera columna de AA. En cada apartado, determinar las matrices A, x y b que expresen el sistema de ecuaciones dados como una ecuación matricial Ax = b x y + z w = < x + x + x = >< x + y z w = a) x x + x = b) x + y z + w = x x + x = > x w =. En cada apartado, expresar la ecuación matricial como un sistema de ecuaciones lineales a) x x x = b). En cada apartado encontrar la forma escalonada y escalonada reducida de la matriz de orden tres cuyos elementos son a) a ij = i + j b) a ij = i j c) a ij = si ji jj > si ji jj w x y z =. Sean A = ; B = ; C = 9 ; a = y b =

3 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla Comprobar que se veri can las siguientes igualdades a) (AB)C = A(BC) b) (a + b) C = ac + bc c) A(B C) = AB AC d) A T T = A e) (A + B) T = A T + B T f) (ac) T = ac T g) (AB) T = B T A T h) (AB) = B A. Sean A y B M n (R); es cierto que (AB) = A B? Justi car la respuesta.. En cada apartado, usar la información para calcular A. a) A = b) (A) = c) (I + A) =. Sea A =. Calcular A ; A y A A + I Se tiene que veri car que A A + I = (A I)? Es cierto que (A B) = A AB + B? Justi car la respuesta.. Demostrar que si una matriz A regular cumple la ecuación A A + I = O, entonces A = I A. Dadas las matrices A = ; B = Encontrar matrices elementales F ; F ; F ; ; F ; tales que ; C = F A = B; F B = A; F A = C; F C = A 9. Calcular, en el caso de que exista, la inversa de cada una de las siguientes matrices a) e) b) f). Considerar la matriz A = c) g) d) 9 9 a) Encontrar matrices elementales F y F tales que F F A = I b) Escribir A como un producto de dos matrices elementales. c) Escribir A como un producto de dos matrices elementales.

4 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. Expresar la matriz A = en la forma A = EF GU, donde E; F y G son matrices elementales y U está en la forma escalonada.. En cada apartado, encontrar las condiciones que deben satisfacer las b i para que el sistema tenga solución < a) < x x = b b) x x = b. Considerar las matrices A = c) x x + x = b x x + x = b x + x x = b y x = x x x x x x = b x + x + x = b x + x + x = b a) Demostrar que la ecuación Ax = x se puede escribir como (A I) x = y usar este resultado para resolver Ax = x b) Resolver Ax = x. Resolver la ecuación matricial X =. Encontrar todos los valores de a; b y c para los que la matriz A es simétrica (a b + c) (a + b + c) A = (a + c). Encontrar todos los valores de a y b para los que las matrices A y B no son invertibles simultáneamente. a (+b ) A = B = (a b + ). Sea A una matriz simétrica. a) Demostrar que A es simétrica. b) Demostrar que A A + I es simétrica.

5 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla Solución de los ejercicios del boletín n o. < x =. a) x = x = x = + >< y = c) z = > w = < x = = s b) x = = s con s R. x = s < a = = con ; R. d) b = = + = c = x = + t e) El sistema es incompatible. f) x = t < x = g) x = t x = t. a) y c). t con t R.. En ambos casos utilizaremos el método de Gauss. con R. con t R. h)el sistema es incompatible. a) El sistema es C.D. y la única solución es x = y = z =. u = t= s= >< v = t + s b) con t; s R. w = t > x = s. Aplicaremos en ambos casos el método de Gauss. a) La única solución es x = a 9 b; y = 9 b < x = a c b) La única solución es x = a b x = c a + b. Si a = (o equivalentemente, a = y a = ) el sistema es C.D., si a =, el sistema es C.I., si a = a, el sistema es incompatible.. El sistema posee soluciones no triviales si y sólo si a = ó a =.. Sugerencia distinguir los casos a = y a =. a)d E = b) E T D T = c) A(BC) = 9 e) C T B A T = 9 d) (DA) T = 9 f)( AC) T + D T =

6 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla 9. a). a) b) c) x x x = < x x + x =. a) x + x + x = x + x + x =. a) U = b) U = = ; U r = 9 9 >< b) > b) y U r = I c) w x + z = w + y z = w + x + y + z = w + x + y + z = y U r = I x y z w =. Sólo se expondrán los resultados de las igualdades. a) (AB)C = A(BC) = b) (a + b) C = ac+bc = c) A(B C) = AB AC = e) (A + B) T = A T + B T = g) (AB) T = B T A T =. En general la igualdad es falsa. Por ejemplo, si A = (AB) = A B. a) A =. a) A = b) Sí, pues AI = IA = A b) A = d) (AT ) T = A = f) (ac) T = ac T =, A = A = h) (AB) = B A = c) A = 9, A A + I = c) En general no es cierto. Sólo se veri caría si A y B conmutan. 9 9 y B = 9 9, se tiene

7 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. Sugerencia multiplicar por A los dos miembros de A A + I = O.. a) F = F =, F = F = b) F = F ( ) = 9. a) A = c) A = e) A = ; F = F () = b) La matriz A no tiene inversa. d) La matriz A no tiene inversa. f) A = g) La matriz A no tiene inversa porque no es cuadrada.. a) F = F = y F = F () = b) A = F F () c) A = F ( ) F (). A = EF GU; siendo E = F ; F = F ( ) ; G = F () ; y U =. a) b b =. b) b + b b =. c) El sistema tiene solución para cualquier valor de los b i. Además para cada b el sistema tendrá solución única. < x = < x = t. a) La única solución es x = b) La solución es x = x = x = t. X = 9. a = ; b = 9; c =. a = ; b = 9. Sugerencia Hallar la traspuesta.

8 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla Boletín n o. El espacio vectorial R n. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de R. (a) Todos los vectores de la forma (a; ; ). (b) Todos los vectores de la forma (a; ; ). (c) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a + c (d) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a + c +. Determinar si el espacio solución del sistema Ax = es una recta que pasa por el origen, un plano que pasa por el origen o sólo el origen. Si es un plano, encontrar su ecuación general; si es una recta, encontrar sus ecuaciones paramétricas. (a) A = (b) A = (c) A = 9. Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de u = (; ; ) y v = (; ; )? (a) (; ; ) (b) (; ; ) (c) (; ; ) (d) (; ; ).. Expresar cada uno de los siguientes vectores como combinación lineal de u = (; ; ), v = (; ; ) y w = (; ; ) (a) ( 9; ; ) (b) (; ; ) (c) (; ; 9) (d) (; ; ).. En cada apartado, determinar si los vectores dados generan R. (a) v = (; ; ), v = (; ; ) y v = (; ; ) (b) v = (; ; ), v = (; ; ) y v = (; ; ) (c) v = (; ; ), v = (; ; ), v = (; ; ) y v = (; ; ). Explicar, por inspección, por qué los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes (a) v = ( ; ; ), y v = (; ; ) (b) v = (; ), v = (; ) y v = ( ; ). Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R son linealmente independientes? (a) (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; ; ) (b) (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; ; ). Determinar si los vectores ( ; ; ) ; (; ; ); ( ; ; ) pertenecen a un mismo subespacio de R de dimensión menor que tres El vector (; ; ) está en el mismo subespacio? 9. Para qué valores de los vectores ; ; ; ; ; ; ; forman un conjunto linealmente dependiente en R?. a) Expresar (a; a b; a + b) como una combinación lineal de (; ; ) y (; ; ) b) Expresar (a + b + c; a + b c; a + b + c) como una combinación li-neal de (; ; ) y (; ; ) c) Expresar (; ) como una combinación lineal de (; ); (; ) y (; ) de dos formas diferentes.

9 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla 9. Explicar, por inspección, por qué los siguientes conjuntos de vectores no son bases en los espacios vectoriales R y R respectivamente. (a) v = (; ), v = (; ) y v = ( ; ) (b) v = (; ; 9) y v = (; ; ). Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R? a) (; ) ; (; ) b) (; 9) ; ( ; ) c) (; ) ; (; ). Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para R? a) f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g b) f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g c) f(; ; ) ; (; ; ); ( ; ; )g. En los siguientes apartados, determinar la dimensión y una base para el espacio solución del sistema < x + x x = x + y + z = >< x + x a) x x + x = b) + x + x = x x + x = x + x x = c) x + y z = x + y z = > x + y + z =. Determinar bases para los siguientes subespacios de R (a) El plano x y + z = (b) El plano x y = (c) La recta x = t; y = t; z = t (d) Todos los vectores de la forma (a; b; c), donde b = a + c. Expresar Ax como una combinación lineal de los vectores columnas de A a) b) c). En cada apartado, determinar si b está en el espacio columna de A y, en caso a rmativo, expresar b como una combinación lineal de las columnas de A a) A =, b = b) A =, b = c) A =, b =. En cada apartado, encontrar una base para el espacio nulo de A a) A = b) A = c) A =

10 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla 9. En cada apartado, encontrar el rango y la dimensión del subespacio nulo de la matriz y comprobar que se veri ca que el teorema de la dimensión. a) A = b) A = c) A =. Qué condiciones deben satisfacer b ; b ; b ; b ; b para que el siguiente sistema lineal tenga solución? x x = b >< x x = b x + x = b x > x = b x + x = b. Analizar como el rango de A varía con t t t a) A = t b) A = t t. Para qué valores de s el espacio solución del sistema (S) es sólo el origen, un subespacio de dimensión uno o un subespacio de dimensión dos? < x + y + sz = (S) x + sy + z = sx + y + z =

11 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla Solución de los ejercicios del boletín n o.. a) (a; ; ) R a R ; sí es un subespacio s.v. b) W = (a; ; ) R a R ; no es subespacio. c) W = (a; b; c) R b = a + c sí es subespacio vectorial. d) W = (a; b; c) R b = a + c + ; no es subespacio vectorial.. a) S = L f( ; ; )g, es una recta que pasa por el origen. b) S = f(; ; )g c) S = L f(; ; ) ; ( ; ; )g, es un plano que pasa por el origen.. a) w = u + v b) w no es combinación lineal de u y w c) w = u + v d) El vector es combinación lineal de cualesquiera vectores, en particular = u + v. a) t = u v w b) t = u + v + w c) t = u + w d) = u + v + w. a) Los vectores fv ; v ; v g constituyen una base. b) Estos tres vectores no generan R c) Los vectores fv ; v ; v ; v g constituyen un sistema generador que no es base.. a) Son l.d. por ser proporcionales. b) Como dim R =, en R no puede haber conjunto de tres vectores que sean l.i., luego estos tres vectores son l.d.. a) Los vectores son l.i. b)los vectores son l.i.. Los tres vectores sí pertenecen a este subespacio vectorial de dimensión dos, pero (; ; ) = H 9. Si = y = los vectores son l.i. y si = ó =. a) (a; a b; a + b) = a (; ; ) + b (; ; ) b) (a + b + c; a + b c; a + b + c) = (a + c) (; ; ) + b (; ; ) los vectores son l.d. c) Hay in nitas formas (; ) = ( +t)(; )+ t (; )+t (; ) ;siendo t R Haciendo t = obtenemos que (; ) = (; ) + (; ) y haciendo t = obtenemos (; ) = (; ) + (; ).

12 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. a) En R no puede haber más de dos vectores independientes, luego los vectores fv ; v ; v g son linealmente dependientes y no pueden constituir base. b) Los vectores v y v son independientes pero no pueden generar a todo R, que sabemos que tiene dimensión tres.. Sólo la pareja de vectores del apartado a) es l.i y por lo tanto es una base.. Los tres conjuntos de vectores son bases de R. S = N(A) a) B S = f(; ; )g y dim S = b) B S = f( ; ; ; ) ; (; ; ; )g y dim S =. c) B S = f(; ; )g y N(A) =.. Determinar bases para los siguientes subespacios de R a) B S = f(; ; ) ; ( ; ; )g b) B S = f(; ; ) y (; ; )g c) B S = f(; ; )g d) B S ={(; ; ) y (; ; )g. a) = +. b) = + +. c) = +.. a) b R(A), de hecho b = a a, donde a y a son las columnas de A b) b = R(A) c) b R(A), b = a + (t )a + ta, siendo t R. a) B = f( ; ; )g b) B = f( ; ; )g c) B = f(; ; ) ; (; ; )g

13 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla 9. a) N(A = L f(; 9; ; )g, dim N(A) = y rg(a) =. Se veri ca rg(a) + dim N(A) =. b) N(A = L f( ; ; ; ) ; (; ; ; )g, dim N(A) = y rg(a) =. Se veri ca rg(a) + dim (N(A)) =. c) N(A = L f(; ; ) ; (; ; )g, dim N(A) = y rg(a) =. Se veri ca rg(a) + dim (N(A)) =. < b b + b =. Ha de veri carse que b + b b = b b + b = Estas son las condiciones que tiene que cumplir b para que el sistema tenga solución. También se puede decir que son las ecuaciones implicitas del subespacio R(A) R.. a) Si t = ; rg(a) = ;si t = ; rg(a) = ; si t = y t = ; rg(a) = b) Si t = ó t =, rg(a) = ; si t =, rg(a) = ; si t =, rg(a) =.. Si s = y s = entonces el sistema tiene sólo la solución trivial (; ; ). Si s = ; rg(a) = y dim N(A) = Si s = ; rg(a) = y dim N(A) =

14 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla Boletín n o Ortogonalidad y mínimos cuadrados. Determinar si el vector ( ; ; ; ) es ortogonal al subespacio de R, W = L f(; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; 9; )g. Para qué valores de k son ortogonales los vectores u y v? a) u = (; ; ) y v = (; ; k) b) u = (k; k; ) y v = (k; ; ). Determinar una base de W?, siendo W = L f(; )g. Encontrar unas ecuaciones paramétricas para W?, sabiendo que W está determinado por la ecuación x y z = Idem si W = L f(; ; )g. Sea A =. (a) Encontrar bases para el espacio columna de A y para el espacio nulo de A T (b) Comprobar que todo vector en el espacio columna de A es ortogonal a todo vector en el espacio nulo de A T. Encontrar una base para el complemento ortogonal del subespacio generado por los vectores (a) v = (; ; ) ; v = (; ; ); v = (; ; ) (b) v = (; ; ) ; v = (; ; ) (c) v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ); v = ( ; ; ; ). Demostrar que si u y v son vectores ortogonales tales que kuk = kvk = entonces ku vk = p. Comprobar que los vectores v = ; ; ; v = ; ; ; v = (; ; ) forman una base ortonormal para R. Expresar cada uno de los siguientes vectores como una combinación lineal de v ; v ; v a) (; ; ) b) (; ; ) 9. Transformar la base fu ; u g en una base ortonormal. a) u = (; ) ; u = (; ) b) u = (; ) ; u = (; ). Sea S = Lfu ; u g; un subespacio de R ; determinar una base ortonormal S. a) u = (; ; ) ; u = ( ; ; ) b) u = (; ; ) ; u = (; ; ). Encontrar la proyección ortogonal de u sobre el espacio vectorial generado por el vector a a) u = ( ; ); a = ( ; ) b) u = (; ; ) ; a = (; ; ). a) Encontrar todos los escalares k tales que kkvk =, siendo v = ( ; ; ) b) Encontrar dos vectores en R con norma uno cuyo producto escalar con (; ) sea cero. c) Demostrar que existe una in nidad de vectores en R con norma uno cuyo producto escalar con (; ; ) es cero.

15 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. Encontrar la distancia entre u y v, siendo a) u = ( ; ); v = ( ; ); b) u = (; ; ) ; v = (; ; ). Sea W = L ; ; ; (; ; ). Expresar el vector w = (; ; ) en la forma w = w + w, donde w W y w W?.. Repetir el ejercicio anterior con W = L f(; ; ) ; (; ; )g y w = (; ; ). Repetir el ejercicio anterior siendo ahora W = L f(; ; )g y w = ( ; ; ). Encontrar la solución por mínimos cuadrados del sistema lineal Ax = b y hallar la proyección ortogonal de b sobre el espacio columna de A a) A = ; b = b) A = ; b = c) A = ; b = 9. Determinar la proyección ortogonal de u sobre el subespacio W = L fv ; v g (a) u = (; ; ); v = ( ; ; ); v = (; ; ) (b) u = (; ; ); v = ( ; ; ); v = ( ; ; ) 9. Hallar la proyección ortogonal del vector u = (; ; ; ) sobre el espacio solución del sistema x + x + x = x + x + x =. Sea W el subespacio de R de ecuación x y + z = (a) Encontrar una base para W (b) Encontrar la distancia entre el punto P (; ; ) y el subespacio W. Deteminar cuáles de las siguientes matrices son ortogonales. Para las que lo sean, encontrar su inversa. " p # p p p p p p p a) p p b) c) p p d) p p p p p p p p. Determinar a; b; c tales que la matriz A sea ortogonal. son únicos los valores de a; b; c? A = a p p b p p c p p. Si medimos cuatro veces el peso de un cuerpo, obtenemos los siguietes resultados p = ; p = ; p = ; p = Cúal es el valor que asignaríamos al peso según el método de los mínimos cuadrados?

16 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. Se ha observado en una granja que la producción diaria de huevos está relacionada con las cantidades de dos comidas jas x y x, por y = c x + c x ; con c ; c R. Para determinar la relación se ha realizado un programa de investigación donde se han obtenido los siguientes datos y x x Encontrar la mejor aproximación utilizando el método de los mínimos cuadrados.. Dados los puntos ( ; ); (; ); (; ); (; ). Ajustar a una recta por el método de los mínimos cuadrados. Repetir la operación ajustando a una parábola.. Unos grandes almacenes obtienen los siguientes datos relacionando el número de ventas con el de ventas anuales Número de vendedores 9 Ventas anuales (en millones de euros) Emplear el método de los mínimos cuadrados para ajustar los datos a una recta. Utiliza esta recta para estimar el número de ventas con vendedores.. Encontrar la ecuación cúbica y = ax + bx + cx + d que mejor se ajusta a la nube de puntos ( ; ); ( ; ); (; ); (; ); (; ); (; ). En un experimento para determinar la capacidad de orientación de una persona, se coloca a un individuo en una habitación especial y después de un cierto tiempo en ella se le pide que encuentre el camino de salida en un laberinto. Los resultados que se obtienen son Tiempo en una habitación (horas) Tiempo en salir del laberinto (minutos)..... Encontrar la recta que mejor se aproxime a los datos anteriores y estimar el tiempo que tardaría en salir una persona que hubiera permanecido en la habitación horas.

17 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla Solución de los ejercicios del boletín n o.. v no es ortogonal a W. a) k = b) k = ó. B W? = f( ; )g < x = t. a) Unas ecuaciones parámetricas de W? son y = t z = t con t R. < x = b) Unas ecuaciones paramétricas de W? t y = t z = s s con t; s R. a) B R(A) = f(; ; ) ; (; ; )g, B N(A T ) = f(; ; )g b) Sugerencia veri car que las bases de R(A) y N(A T ) son ortogonales.. a) B W? = f(; 9; )g. b) B W? f(; ; ) ; (; ; )g. c) B W? = f( ; ; ; ) ; (; ; ; )g Nota Observese que dim(w ) + dim(w? ) = n. ku vk = (u v) (u v) = u u v u u v + v v = kuk {z} = luego ku vk = p. u {z} v + kvk = + =, {z} = =. Veri car que v v = v v = v v = y kv k = kv k = kv k =. a) (; ; ) = v + v + v. b) (; ; ) = v 9 v + v. n 9. a) fw ; w g = p ; p ; p ; p o. b) fw ; w g = f(; ); (; )g.. a) fw ; w g = n p ; p ; b) fw ; w g = n (; ; ) ; p o ; p ; p ; o ; p ; p

18 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. Sea S = Lfag; a) proy S (u) = ;.b) proys (u) = 9 ; 9 ; 9. a) k = y k =. b) p ; p y p ; p. c) Todos los vectores v = (x; y; z) R ortogonales al vector (; ; ) deben pertenecer al plano que pasa por el origen y su ecuación es x y + z =. De estos vectores debemos encontrar aquellos que tienen norma uno. Por tanto, deben pertencer a la esfera de centro el origen y radio uno (cuya ecuación es x + y + z = ). Es decir, los vectores de norma unidad y ortogonales al vector (; ; ) son los que están en la intersección del plano con la esfera y esta intersección tiene in nitos vectores.. a) d(u; v) = p. b) d(u; v) = p.. w = ; ; y w = 9 ; ;.. w = (; ; ) y w = (; ; ).. w = (; ; ) y w = ( ; ; ).. a) x = ; x = 9=, b = proy R(A) b = ( ; ; ) b) x = =; x = =. b = proy R(A) b = ( ; ; ) c) x = ; x = ; x = 9;. b = proy R(A) b = (; ; 9; ). a) proy W u = u b)proy W u = ( ; ; ) 9. proy W u = (; ; ; ). a) B = f(; ; ) ; ( ; ; )g q b) Nos están pidiendo que calculemos kproy W?(v)k =, siendo v = (; ; ). a) Si, Q = Q t b) No c) Si, Q = Q t d) No es cuadrada.. (a; b; c) = ; q ; p y (a; b; c) = q ; ; p. p = p + p + p + p

19 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla 9. La pseudosolución es c =, c =.. a) y = x + b) y = x + x +.. y = 9 9x Con vendedores se estima un volumen ventas de 9 millones de euros.. y = 9x x + x +.. y = 9x+9. Si una persona permanece horas en la habitación, el tiempo estimado para salir del laberinto es

20 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla Boletín n o.diagonalización de matrices.. Obtener los autovalores y bases para los subespacios propios asociados a cada autovalor de las siguientes matrices 9 a) b) c) d) e) f). Calcular los autovalores de la matriz A = g) 9. Encontrar los autovalores y bases para los subespacios propios asociados de la matriz A, siendo A =. Encontrar los autovalores y autovectores de A, siendo A =.. Determinar cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables a) b) c) d) e). Determinar si las siguientes matrices son diagonalizables y en caso a rmativo encontrar una matriz de paso P y obtener P AP a) b) c).. Encontrar una matriz cuadrada de orden dos cuyos autovalores sean y y tal que V () = L f(; )g y V () = L f(; )g. Encontrar una matriz cuadrada de orden tres cuyos autovalores sean y y tal que V () = L f(; ; )g y V ( ) = (x; y; z) R x z =. 9. Sean A = y B =. Hallad A y B (sugerencia diagonalizar previamente A y B).

21 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. Diagonalizar las siguienets matrices simétricas. a) b) c) d) e). Los autovalores de una matriz simétrica A; de orden tres, son ; y y los subespacios propios asociados son V () = L f(; ; )g ; V ( ) = L f(; ; )g Obtener una base para V () y averiguar cuál es la matriz A.. De una matriz simétrica de orden tres se sabe que tiene por autovalores y y que V () = (x; y; z) R x + y + z = Obtener la matriz.

22 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla Solución de los ejercicios del boletín n o.. a) = ; m =, V () = L f(; )g. b) = p ; = p V ( ) = L ( p ; ). y V ( ) = L ( p ; ). c) = ; m =. V () = R, cualquier base, por ejemplo, f(; ) ; (; )g. d) = ; m =. V ( ) = R y f(; ) ; (; )g una base de V ( ). e) = ; = y = V ( ) = L f(; ; )g ; V ( ) = L f(; ; )g. V ( ) = L f( ; ; )g. f) = ; m =. V ( )) = L f(; ; )g g) = ; m =. V ( ) = L f( ; ; )g.. = ; m =.. Autovalores de A = y =. Los autovalores de A = = y = ( ) =. Los subespacios coinciden V () = L f( ; ; ) ; ( ; ; )g ; V ( ) = L f(; ; )g. Los autovalores de A son ; y y los de A son sus inversos ; y V A () = V A () = L f(; ; )g, V A () = V A ( ) = L f(; ; )g y V A() = V A ( ) = L f(; ; )g.. a) A no es diagonalizable, pues = ; m = = =. b) A no posee ningún autovalor real y es no diagonalizable en R. c) A no es diagonalizable, pues = ; m = =, y = ; m = = =. d) Los autovalores son todos distintos ; ; y, y la matriz es diagonalizable. e) No es diagonalizable, pues = ; m = = = y =, m =.. a) P =, D = b) La matriz no es diagonalizable, pues = ; m = = = c) P =, D =. A =. A = 9. A =., B =.

23 Boletines -. Matemáticas I, Grado en Ingeniería, Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. EPS Sevilla. a) P = P = D = D = b) P = D = c) d) P = y D =. V () = L f(; ; g ; A =. A = e) P = y D =