CÁLCULO ELEMENTAL PROBLEMAS. Valor absoluto. Funciones y sus gráficas
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- Julio Tebar San Martín
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1 CÁLCULO ELEMENTAL PROBLEMAS Valor absoluto - Resolver las ecuaciones siguientes: (i) 2x 6 = x (ii) x + 8 = 3x 4 2- Resolver la inecuación 2x 3 4 Funciones y sus gráficas 3- Dada f(x) = 2x 2 x, hallar f( ), f(0), f(2), f(x + h) y f(x+h) f(x) h y h 0 { x sen x si x < 2, 4- Dada f(x) = 3x 2 hallar f ( ( + si x 2, 2), f π ) 2 y f(2) 5- Hallar los dominios de las funciones siguientes: donde x, h R (i) f(x) = 2x (ii) f(x) = 2x, x 3 (iii) f(x) = (2x )(x+3) x+3 (iv) f(x) = x + 2 (v) f(x) = 4 5 cos x 6- Si f(x) = 3x + 5 y g(x) = x, hallar las funciones f g y g f 7- Expresar cada una de las funciones siguientes como composición de dos: (i) f(x) = (x 2 + 5x + ) 5 (ii) f(x) = cos 3 x (iii) f(x) = sen x 3 (iv) f(x) = 5x 2 x 8- Representar gráficamente: (i) y + 2 = sen(x )
2 2 (ii) y = x 9- Averiguar si son iguales las funciones f y g en los casos siguientes: (i) f(x) = 2x2 +x x, g(x) = 2x + (ii) f(x) = 2x2 +x x ; g(x) = 2x +, x 0 0- Decidir si las funciones siguientes son pares, impares o ni pares ni impares: (i) f(x) = 3x 3 4 (ii) f(x) = x 3 + x (iii) f(x) = x Funciones inversas - Hallar f en los casos siguientes: (i) f(x) = 2x 3 (ii) f(x) = x 2 5, x 0 2- Hallar cuales de los tres pares de funciones siguientes están formados por funciones inversas la una de la otra: (i) f(x) = 5x + 3, g(x) = x 3 5 (ii) f(x) = 4 5 x + 4, g(x) = 5 4 x + 3 (iii) f(x) = x 2, x < 0; g(x) = x, x > 0 Límites de funciones 3- Probar usando la definición que: (i) lím x 2 (2x + ) = 5 (ii) lím x 2 x 2 2x+2 x 4 = (iii) lím x 0 x 4- Averiguar usando la definición si (i) lím x (2x 5) = 3 (ii) lím x 2 (x 2 + 2) = 6
3 3 (iii) lím x 2 2x 2 3x 2 x 2 = 6 Propiedades de los límites 5- Calcular los límites siguientes: (i) lím x 2 (2x 5 9x 3 + 3x 2 ) (ii) lím x (iii) lím x 2 x 3 3x+7 5x 2 +9x+6 x (iv) lím 2 +x 6 x 2 x 2 (v) lím x 2 x 4 x 4 (vi) lím x 3 x2 3x 2 x x ( ) x (vii) lím 2 3x+2 2 x x 2 +x 2 (viii) lím x 0 ( x x 2 ) 6- Calcular lím f(x) en los casos siguientes: x 0 { x si x < 0, (i) f(x) = x + 5 si x > 0 { x (ii) f(x) = 2 + si x < 0, x + si x > 0 7- Calcular lím x 3 f(x) donde f(x) = 2(x + ) si x < 3, 4 si x = 3, x 2 si x > 3 Continuidad 8- Comprobar si las funciones siguientes son continuas en x = : (i) f(x) = x2 +2x 3 x { x 2 +2x 3 si x, (ii) f(x) = x 6 si x = { x 2 +2x 3 si x, (iii) f(x) = x 4 si x =
4 4 { x+3 si x, (iv) f(x) = x 4 si x = (v) f(x) = 7x 3 + 3x 2 2 (vi) f(x) = 2 sen x tag x 9- Hallar los intervalos en los que las funciones siguientes son continuas: (i) f(x) = x2 x 2 4 (ii) f(x) = x 2 4 (iii) f(x) = cosec x (iv) f(x) = sen x { x sen si x 0, (v) f(x) = x 0 si x = 0 { 3 x si 2 x < 2, (vi) f(x) = x 2 si 2 x < 5 { 2 x si 2 x < 2, (vii) f(x) = x 2 si 2 x < Probar que las ecuaciones siguientes tienen al menos una raíz en los intervalos que se indican: (i) x x = en [, ] (ii) cos x sen x = x en [ 0, π 2 ] 2- Estudiar la continuidad de las funciones siguientes: (i) f(x) = x 3 7x + 3 (ii) f(x) = 3x x 2 x (iii) f(x) = x + 3 x (iv) f(x) = x 3 (v) f(x) = x+ { 2x 3 si x, x 2 2 si x > (vi) f(x) = 3 tag x 5 sen x cos x 22- Hallar el valor que se debe asignar a las funciones siguientes en x = 2 para que sean continuas en dicho punto: (i) f(x) = x2 x 2 x 2
5 5 (ii) f(x) = (iii) f(x) = sen πx x 2 { 5 x 2 si x < 2, 2x + 5 si x > Determinar si las funciones siguientes son continuas o no en los intervalos que se indican: (i) f(x) = x en [ 3, 0) y en [, 2] (ii) f(x) = { x 2 si 0 x < 2, 3x + si 2 x < 5 (iii) f(x) = x sen x en (0, π) { { x si x 0, 3x si x 0, 24- Sean f(x) = y g(x) = 2 si x = 0, 2 si x = 0 en x = 0 aunque f y g son discontinuas en ese punto Probar que f +g es continua 25- Hallar dos funciones f y g tales que f sea discontinua en x =, pero fg sea continua en ese punto { x + si x 2, 26- Probar que la función f(x) = x 2 es continua por la izquierda en 2, si x > 2, pero no por la derecha 27- Hallar las constantes a y b para que las funciones siguientes sean continuas: x 2 + ax + si x < 5, (i) f(x) = 8 si x = 5, bx + 3 si x > 5 { x a si x > 0, x, (ii) f(x) = x b si x = Tangentes 28- Hallar la fórmula de la pendiente de la tangente a la gráfica de f(x) = x 2 y usarla para calcular esta pendiente en el punto (4, 6) 29- Derivar usando la definición la función f(x) = x 30- Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la gráfica de f(x) = x de abscisa 2 en el punto 3- Probar que la función f(x) = x no es derivable en x = 0
6 6 Técnicas de derivación 32- Derivar las funciones siguientes: (i) f(x) = (3x 2 )(2x 3 + 7) (ii) f(x) = 4x 7 3 x 2 (iii) f(x) = x 2 sen x (iv) f(x) = x cos x (v) f(x) = sec x tag x (vi) f(x) = sen x cos x 33- Para qué valores de A y B la función y = Ax cos x + Bx sen x satisface la relación y + y = 3 cos x? La regla de la cadena 34- Derivar las funciones siguientes: (i) f(x) = 4 x 3x (ii) f(x) = sen(3x 2 + 5x 7) (iii) f(x) = cos x ( 3 x + 4) 6 (iv) f(x) = cos 4 (3x + ) 2 (v) f(x) = tag 7x ( 4x) 5 (vi) f(x) = sec x 3 (vii) f(x) = sen(2 cos x) (viii) f(x) = cos x 2 (ix) f(x) = 3 x x (x) f(x) = log(5x 2 + 2x + ) (xi) f(x) = sen x + log x (xii) f(x) = e x2 +x (xiii) f(x) = e 3x sen x (xiv) f(x) = x2 x
7 7 (xv) f(x) = (x + ) 2x (xvi) f(x) = x r con r R (xvii) f(x) = ( e x x ) 2 (xviii) f(x) = log log x (xix) f(x) = x log x (xx) f(x) = (sen x) x (xxi) f(x) = arc tag x (xxii) f(x) = arc sen( x) 35- Hallar las abcisas de los puntos de la gráfica de la función f(x) = x 3x con tangente horizontal 36- Dada una función f tal que f (x) =, derivar las funciones siguientes: x (i) g(x) = f(x 2 ) (ii) g(x) = f ( x) ( (iii) g(x) = f 2 3 x ) (iv) g(x) = f ( ) 2x+ x 37- Sea f una función tal que f(2) = 3 y f (x) = x Si g(x) = x 2 f ( x x ), hallar g (2) Derivación implícita 38- Hallar y en los casos siguientes: (i) x 2 y + 2y 3 = 3x + 2y (ii) sen(x 2 + y) = y 2 (3x + ) (iii) + = x y 39- Hallar y en los casos siguientes: (i) x 2 + y 2 = 0 (ii) 7x + 5y 2 =
8 8 Valores extremos de una función continua 40- Hallar los valores críticos de las funciones siguientes: (i) f(x) = 4x 3 5x 2 8x + 20 (ii) f(x) = x2 x 2 (iii) f(x) = 2x /2 2x 3/2 (iv) f(x) = x + con x [ 5, 5] 4- Hallar los extremos absolutos de las funciones siguientes: (i) f(x) = x 4 2x con x [, 2] (ii) f(x) = x 2/3 (5 2x) con x [, 2] (iii) f(x) = 2 (sen2 x + cos x) + 2 sen x x con x [ 0, π 2 ] 42- Se construye una caja de base cuadrada tal que la longitud del lado de la base más la altura es 0 cm Hallar el volumen máximo de esta caja 43- Hallar dos números no negativos tales que la suma de uno más el doble del otro sea 2 y su producto sea máximo 44- Demostrar que el rectángulo de perímetro fijo y área máxima es el cuadrado 45- Dadas las constantes a, a 2,, a n, hallar el valor de x que hace mínima la suma S(x) = (a x) 2 + (a 2 x) (a n x) Explicar por qué la función f(x) = debe alcanzar un mínimo en el intervalo ( ) sen x cos x 0, π 2 Demostrar que si alcanza el mínimo en x = θ, entonces tag θ = 2 3 El teorema del valor medio 47- Probar que: (i) sen x sen y x y para todos x, y R (ii) tag x tag y x y para todos x, y ( π 2, π 2 ) 48- Demostrar que dado x R, existe c entre 0 y x tal que cos x = x sen c Como cos x aplicación calcular lím x 0 x 49- Sean f(x) = + y a < 0 < b Probar que no existe c (a, b) tal que f(b) f(a) = x f (c)(b a)
9 9 50- Dado a > 0, probar que la ecuación x 3 + ax = 0 tiene exactamente una solución real Crecimiento 5- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes así como sus puntos críticos determinando si son máximos, mínimos o ni máximos ni mínimos: (i) f(x) = x 3 + 3x 2 + (ii) f(x) = x x 2 +3 (iii) f(x) = x 2 + (iv) f(x) = x 2/3 (2x 5) (v) f(x) = 2 cos x x (vi) f(x) = tag 2 x con x [ π 4, π 4 ] 52- Hallar a, b y c para que la función f(x) = ax 2 + bx + c tenga un máximo relativo en (5, 2) y su gráfica corte al eje OY en (0, 3) Convexidad 53- Estudiar convexidad, concavidad y puntos de inflexión de las funciones siguientes: (i) f(x) = x 3 + 3x + (ii) f(x) = x2 2 + sen x con x [ ] 0, π 2 2 (iii) f(x) = 2x x (iv) f(x) = x2 3x x+ (v) f(x) = x 4/3 (x 27) (vi) f(x) = sen 2x + cos x con x [0, π] 4 Límites infinitos y asíntotas 54- Calcular los límites siguientes: (i) (ii) 3x lím 3 5x+9 x + 5x 3 +2x x lím 3 +57x+30 x x 5 000
10 0 3x (iii) lím 2 2x x + x (iv) lím x 2 3x 5 x 2 (v) lím x 2 + 3x 5 x 2 x (vi) lím 2 4x+3 x 3 + x 2 6x+9 (vii) lím x 0 + x 2 x+ (viii) lím x + x sen x ( x sen x) 55- Hallar las asíntotas de las gráficas de las funciones siguientes: (i) f(x) = 3x+5 7 x (ii) f(x) = x x (iii) f(x) = x3 + x 3 +8 (iv) f(x) = 8 x + 27 x+4 Dibujo de curvas 56- Dibujar la gráfica de las funciones siguientes: (i) f(x) = x2 x 2 x 3 (ii) f(x) = (x 2) 0 3(x+) (iii) f(x) = cos x 2 sen x (iv) f(x) = x 2 +2 (v) f(x) = x 2/3 (x 7) (vi) f(x) = x x 2 + (vii) f(x) = log x x (viii) f(x) = xe x (ix) f(x) = e x2 (x) f(x) = log x2 x
11 Optimización 57- Hay que cercar una zona rectangular dentro de un terreno en forma de triángulo rectángulo con catetos de 4 y 2 metros Los lados del rectángulo deben estar sobre los catetos Hallar el área máxima que puede tener dicha zona 58- Maximizar el volumen de una caja hecha cortando cuatro cuadrados iguales en las esquinas de una lámina metálica de 24 centímetros de ancho y 45 de largo 59- Hallar las dimensiones de un rectángulo de 64 metros cuadrados de área para que el perímetro sea mínimo 60- Dada una esfera de radio R, hallar el radio r y la altura h del cilindro circular recto con mayor área lateral que se puede inscribir en la esfera 6- Dos ciudades A y B distantes 2 kilómetros están situadas a 5 y 3 kilómetros, respectivamente, de una autopista larga y recta Se pretende construir una carretera desde A a la autopista y luego hasta B Hallar la longitud mínima de la carretera que cumple con esos requerimientos Regla de L Hôpital 62- Calcular los límite siguientes: cos (i) lím 3 x x 0 sen 2 x (ii) lím x 0 x sen x x 3 (iii) (iv) lím x + x tag x a+sec x lím x π b+tag x 2 (v) lím x 0 + ( x sen x) ( cos x) sen 4x (vi) lím x 0 x 3 cos x (vii) lím x + x/x (viii) lím x + (ix) lím x 0 (e x + x) /x con a, b R ( + k x) x con k R
12 2 Integración inmediata 63- Calcular las primitivas siguientes: (i) sec x tag x (ii) (x 5 3x 2 7) (iii) 7 2x 5 (iv) sen x 3+2 cos x (v) 3 5 x (vi) cotag ( 2x) (vii) e 5x (viii) xe x2 (ix) 2x+ x 5 (x) 4 x 2 (xi) x 2 4x+0 (xii) 2x+5 x 2 +4x+5 (xiii) tag 3 ax El área como límite de una suma 64- Hallar el área bajo la curva y = 4x 3 + 2x en el intervalo [, 2] Las sumas de Riemann y la integral definida 65- Calcular 4x 2 El teorema fundamental del Cálculo, integración por cambio de variable 66- Hallar la derivada de: (i) F (x) = x (2t 3) dt 7 (ii) F (x) = x 2 3x x tag t dt
13 3 67- Calcular: (i) 4x 2 (ii) 2 x Calcular las primitivas siguientes: (i) x 2x + (ii) 3 x+ x (iii) 4 x 2 (iv) x El teorema del valor medio del cálculo integral 69- Hallar un valor de c como en el enunciado del teorema del valor medio del cálculo integral para f(x) = sen x en [0, π] Área comprendida entre dos curvas 70- Hallar el área de la región limitada por: (i) las curvas y = x 3 e y = x 2 x en [0, ] (ii) la curva y = x 2 4x y el eje OX (iii) la recta y = 3x y la curva y = x 3 + 2x 2 (iv) la curva x = 4y y 2 y la recta x = 2y 3 (v) la curva y = sen x y el eje OX en [0, 2π] (vi) las curvas y = x 4 3x 2 e y = 6x 2 (vii) las curvas y = 2x 3 + x 2 x e y = x 3 + 2x 2 + 5x (viii) las curvas y = 4x e y = x 2 5 y las rectas x = 0 y x = 4 (ix) el eje OY y la curva x = y 3 3y 2 4y Demostrar que el área de la región definida por las desigualdades x 2 + y 2 8, x y e y 0 es igual a π
14 4 Volúmenes 72- Hallar el volumen del sólido de revolución que se forma girando: (i) la región bajo la curva y = x 2 + en [0, 2] alrededor del eje OX (ii) la región limitada por la parábola y = x 2 y la recta y = x alrededor del eje OX, del eje OY y de la recta y = 2 (iii) la región limitada por la curva y = x 3 + x 2 + y las rectas x = y x = 3 alrededor del eje OY (iv) la región limitada por las rectas y = x, y = 2x y x = alrededor del eje OX (v) la región bajo la curva y = x 3 + x 2 en [0, π] alrededor del eje OX (vi) la región limitada por las curvas y = x 2 e y = x 3 alrededor del eje OX (vii) la región bajo la curva y = sen x en [0, π] alrededor del eje OX (viii) la región bajo la recta y = 2x en [0, ] alrededor del eje OY (ix) la región limitada por la parábola y = x 2, el eje OY y el eje OX positivo alrededor del eje OY (x) la región limitada por las curvas y = x 3 e y = 2 x 2 y la recta x = alrededor de la recta x = Longitudes y áreas 73- Hallar la longitud de los arcos de curva siguientes: (i) y = x 3/2 en [0, 4] (ii) x = 3 y3 + 4y desde y = hasta y = Hallar el área de la superficie de revolución engendrada al girar alrededor del eje OX el arco de curva y = x 3 en [0, ] Integración por partes 75- Calcular las primitivas siguientes: (i) xe x (ii) log x
15 5 (iii) x 2 e x (iv) e 2x sen x (v) arc sen x (vi) x cos 2 x 76- Se sabe que f(0) = 3 y que π 0 (f(x) + f (x)) sen x = 0 Hallar f(π) El método de las fracciones simples 77- Calcular las primitivas siguientes: (i) x 2 6x+3 (x 2) 3 (ii) x 4 +2x 3 4x 2 +x 3 x 2 x 2 (iii) 3x 3 x (x 2 +) 2 (iv) 5x 2 +2x+4 (x+) 2 (x 3) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) x 2 +4x 23 (x 2 +4)(x+3) x 2/3 x 5/3 3 cos x 4 sen x e x 2e 2x 5e x 3 sec 2 x 4+tag x (x) sen x cos x sen x+cos x (xi) (xii) sec x tag x x(3 log x)( log x) Integrales impropias 78- Demostrar que la integral + x p converge si p > y diverge en caso contrario 79- Estudiar si las integrales impropias siguientes convergen o divergen, calculándolas cuando converjan: (i) + 0 xe 2x (ii) 0 ex
16 6 (iii) 0 (x ) 2/3 (iv) π sec x π/2 (v) 3 0 x 2 (vi) + (vii) + 2 e x x x log x (viii) 0 2x x 2 + (ix) 0 2 x (x) + xe x (xi) log x 0 (xii) + e x log 2 x 80- Razonar si es correcto o no el cálculo siguiente: [ x = ] = [ ( )] = 2 2 x 8- Calcular 2 f(x) donde f(x) = 0 { 4 x 3 si 0 x, 4 (2 x) 3 si < x < 2 Sucesiones y límites 82- Hallar el límite de las sucesiones convergentes siguientes: (i) a n = 00 n (ii) a n = 2n2 +5n 7 n 3 (iii) a n = 3n4 +n 5n 4 +2n 2 + (iv) a n = n2 e n (v) a n = log n n 2 (vi) a n = n log n 83- Demostrar que las sucesiones siguientes no tienen límite: (i) a n = ( ) n
17 7 (ii) a n = n5 +n n 4 +n 2 +3 (iii) a n = cos nπ 84- Demostrar que las sucesiones siguientes convergen y calcular sus límites: (i) a n = n n (ii) a n = n! n n 85- Probar que la sucesión a n = 3 5 (2n ) (2n) es convergente 86- Probar la convergencia de las sucesiones siguientes, bien demostrando que son crecientes y acotadas superiormente, o viendo que son decrecientes y acotadas inferiormente: (i) a n = log n+ n (ii) a n = 4n+5 n (iii) a n = n n Series 87- Probar que las series siguientes son convergentes y calcular su suma: (i) (ii) 2 k k 2 +k 88- Probar que la serie ( ) k no es convergente El criterio de la integral, p-series 89- Estudiar si las series siguientes son o no convergentes: (i) (ii) (iii) k k e k/5 (iv) ( k 3 e k k )
18 8 (v) (vi) (vii) (viii) (ix) k=2 (x) log k k 2 ( k) k k k 2 + k 2 k 3 +2 k log 2 k arc tag k k 2 + Criterios de comparación 90- Estudiar si las series siguientes son o no convergentes: (i) (ii) (iii) (iv) (v) 3 k + k 5 k! 2 k 5 3k+2 k(3k 5) Criterios del cociente y de la raíz 9- Hallar el carácter de las series siguientes: (i) (ii) (iii) k=2 2 k k! k k k! log k k
19 9 (iv) (v) k! 4 7 (3k+) k 5 0 k Series alternadas, convergencia condicional y absoluta 92- Hallar el carácter de las series siguientes: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) ( ) k k ( ) k+ log k k ( ) k+ arc tag k sen k 2 k ( ) k+ k 2 k 3 + ( ) k+ k 2 k ( ) k+ k! k k 93- Demostrar que la serie k=0 Series de potencias x k k! es convergente para todo x R 94- Demostrar que la serie k!x k converge solo para x = 0 k=0 95- Hallar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las series de potencias siguientes: (i) (ii) (iii) (2x) k k x k k ( k+ ) k 2 k x k
20 20 (iv) k=0 (v) (vi) (x+) k 3 k k!(x ) k 5 k (k!) 2 x k k k Series de Taylor y Maclaurin 96- Obtener el desarrollo en serie de Maclaurin de f(x) = cos x 97- Hallar el polinomio de Maclaurin de grado 5 de f(x) = e x y usarlo para aproximar e Utilizar el teorema de Taylor para hallar la precisión de esta aproximación 98- Hallar la serie de Taylor de f(x) = log x en c = y demostrar que f está definida en puntos para los que dicha serie no converge Probar que el desarrollo en serie de Maclaurin re- { e /x 2 si x 0, 99- Sea f(x) = 0 si x = 0 presenta a f solo en x = Hallar el número de términos del desarrollo de Maclaurin de f(x) = e x que se necesitan para aproximar 3 e con 3 cifras decimales exactas
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