Matemática Discreta. Tema 1: 2. Pedro Reyes. Matemática Discreta. {2,4} arista múltiple Introducción a la Teoría de Grafos 1 2. Grafo plano Tema 1: 4

Transcripción

1 Tma : rafo: V conjunto d vértics A conjunto d aristas MATEMÁTICA DISCRETA Nocions básicas Subgrafos. Opracions con grafos Formas d dfinir un grafo A B F C vértics E D aristas V = {A,B,C,D,E,F} A = {{A,B}, {A,D}, {A,F}, {B,F}, {C,E}, {D,E}, {E,F}} Tma : Tma : Variants d grafos: rafo: V = {,,,,,} A = {{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}} {,} arista múltipl Rprsntación gráfica Inmrsión multigrafo Tma : rafo plano Tma :

2 Variants d grafos: Variants d grafos: {,} arista múltipl sudografo grafo simpl (no admit aristas múltipls ni lazos) {,} lazo o bucl grafo dirigido o digrafo (las aristas son pars ordnados d vértics) (,) s arista, pro (,) no lo s digrafo múltipl o multigrafo dirigido (digrafo con aristas múltipls) sudo digrafo o sudografo dirigido (digrafo con aristas múltipls y/o lazos) Tma : Tma : Variants d grafos: Tma : 7 grafo pondrado (las aristas llvan asignadas un pso) CO 8 SE 87 9 H 9 CA 0 JA 99 R 9 9 MA AL Tma : 8 vértics adyacnts v, v V, v ~ v vértics pars impars aristas incidnts ={v, v } A v y v incidn n la arista valncia o grado d un vértic v δ(v) δ : V N δ()=, δ()=, δ()=, δ()=, δ()=, δ()= vértic aislado

3 Tma : 9 Propidads d la valncia: n= V ) 0 δ(v) n- ) Un grafo no pud tnr simultánamnt vértics d valncia 0 y d valncia n- ) La suma d las valncias d los vértics s igual al dobl dl númro d aristas: v V δ(v) = A (lma dl aprtón d manos) Tma : 0 Adyacncia n digrafos valncia o grado d ntrada δ (v) valncia o grado d salida δ s (v) δ ()=, δ s ()=, δ ()=, δ s ()=, δ ()=, δ s ()=, δ ()=, δ s ()=, δ ()=, δ s ()=0 Algunos grafos spcials Algunos grafos spcials rafo trivial: No tin ninguna arista. rafo bipartito: V rafo rgular: Todos los vértics tinn la misma valncia. Si k=n- s llama grafo complto (K n ) K grafo ciclo K K δ(v)=k ( v V) grafo k-valnt o k-rgular grafo camino K V = V V A : = {v,v }, v V, v V rafo bipartito complto: (K n,m ) V Tma : Tma : K, K, C P

4 y =(V,A ) s subgrafo d y S V (S): subgrafo inducido por S V V A A S Tma : Tma : (S) y =(V,A ) un subgrafo d Eliminación d vértic =(V,A), v V subgrafo rcubridor d si V =V v Tma : Tma :

5 Eliminación d vértic =(V,A), v V Eliminación d arista =(V,A), A -v -v = (V-{v}) Tma : 7 Tma : 8 Eliminación d arista =(V,A), A rafo complmntario = (V, A ) - - = (V,A-{}) A A Tma : 9 Tma : 0 K n =

6 Unión d grafos y = (V,A ) disjuntos (V V = φ) = (V,A ) a b = (V V,A A ) Intrscción d grafos = (V V, A A ) b a b c c b Suma d grafos: Vértics: V V Aristas: A A {{v,v } / v V, v V } Tma : d d d d Tma : + Opracions con grafos: rafo d lína rafo ruda W n = K + C n K + C = a Dado a 7 a a a 0 a a 8 a 9 V = {v, v,, v n } A = {a, a,, a m } L() = (L(V), L(A)) a L() a 9 L(V) = A = {a, a,, a m } L(A) {a i,a j } L(A) si, n l grafo, las aristas a i y a j son incidnts n un vértic. a a a a 0 a a Tma : W Tma : a a a 8 a 7 a a

7 V={,,,,,} A={{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,}} V={,,,,,} A={{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,}} n v vértics, n a aristas Lista d adyacncias o lista d listas Lista formada por n v listas. {{,,,},{,,},{,,},{,},{,},{,}} Tma : Tma : V={,,,,,} A={{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,}} n v vértics, n a aristas Matriz d adyacncia Ad: Matriz d ordn n v n v si v i s adyacnt a v j a ij = 0 n caso contrario V={,,,,,} A={{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,}} n v vértics, n a aristas Matriz d adyacncia Propidads: Es cuadrada y simétrica La suma d cada fila (o columna) s l grado dl vértic corrspondint La diagonal s nula Tma : 7 Tma : 8 7

8 V={,,,,,} A={{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,}} n v vértics, n a aristas Matriz d incidncia In: Matriz d ordn n v n a In = si v i s vértic d la arista a j b ij = 0 n caso contrario V={,,,,,} A={{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,}} n v vértics, n a aristas Matriz d incidncia Propidads: No tin por qué sr ni cuadrada ni simétrica La suma d cada fila s l grado dl vértic corrspondint In = Tma : 9 Tma : 0 La suma d cada columna val Tma : Matriz d adyacncia d un digrafo V={,,,,} A={(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,)} Ad: Matriz d ordn n v n v a ij = si (v i, v j ) s una arista 0 n caso contrario Tma : Matriz d adyacncia d un digrafo Propidads: V={,,,,} A={(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,)} Es cuadrada pro no tin por qué sr simétrica La suma d cada fila s l grado d salida dl vértic corrspondint La suma d cada columna s l grado d ntrada dl vértic corrspondint La diagonal s nula

9 Matriz d adyacncia d un sudografo Ad: Matriz d ordn n v n v a ij = i j i=j V={,,,} A={{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,}} númro d vcs qu aparc la arista {v i,v j } dobl dl númro d vcs qu aparc l lazo {v i,v i } Matriz d adyacncia d un sudografo Propidads: V={,,,} A={{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,}} Es cuadrada y simétrica La suma d cada fila (o columna) s l grado dl vértic corrspondint La diagonal no tin por qué sr nula Tma : Tma : Matriz d adyacncia d un grafo pondrado Ad: Matriz d ordn n v n v a ij = pso d la arista {v i, v j } y =(V,A ) son isomorfos ( ) f : V V biyctiva {u,v} A {f(u),f(v)} A f() = c b f() = c f() = a d f() = d f() = b a Tma : Tma : 9

10 Invariants: Si y son isomorfos ( ) dbn tnr n común: númro d vértics númro d aristas grados d los vértics númro d ciclos d igual longitud númro d componnts conxas rafo autocomplmntario: Si h 8 c 7 f a d f()=a, f()=b,. f(8)=h g b Tma : 7 tc. Tma : 8 Lista d grados d un grafo Lista d grados (,,,,) Rlación d adyacncias {,,,,} δ()=, δ()=, δ()=, δ()=, δ()= Lista d grados d un grafo Dos grafos pudn tnr la misma lista d grados y no sr isomorfos. a b f c d Listas d grados (,,,,,) Tma : 9 Tma : 0 No son isomorfos. El primr grafo contin -ciclos y l sgundo no. 0

11 Lista d grados d un grafo No simpr una scuncia numérica dcrcint rprsnta una lista d grados d un grafo. Cuando sto ocurr s dic qu la scuncia numérica s una scuncia gráfica. La scuncia numérica dcrcint (a,a,...,a p ) (con a >0,p>) s una scuncia gráfica si, y sólo si, también lo s la qu rsulta d fctuar las siguints opracions: ) Eliminar l primr lmnto (a ) d la lista. ) Rstar una unidad a los primros a lmntos d la nuva lista. ) Ordnar n sntido dcrcint la nuva lista. Torma d Havl-Hakimi Lista d grados d un grafo Una scuncia numérica dcrcint rprsnta una lista d grados d un grafo si l siguint algoritmo dvulv una lista d cros: Algoritmo d Havl-Hakimi P. Lr la lista dcrcint (a,a,...,a p ). P. Mintras l primr lmnto sa a >0 P. Eliminar l lmnto a d la lista. P. Rstar a los primros a lmntos d la nuva lista. P. Ordnar (dcrcint) la nuva lista. Tma : Tma : P. Rtornar la lista (a,a,...). Algoritmo d Havl-Hakimi (,,,,,) P. (,,,,) Algoritmo d Havl-Hakimi P. Lr la lista dcrcint (a,a,...,a p ). P. Mintras l primr lmnto sa a >0 P. Eliminar l lmnto a d la lista. P. Rstar a los primros a lmntos d la nuva lista. P. Ordnar (dcrcint) la nuva lista. P. Rtornar la lista (a,a,...). P. (,,,,0) P. (,,,0) P. (,,0,0) P. (,0,0) P. (,-,0) P. (,0,-) P. (0,-) P. Lr la lista dcrcint (a,a,...,a p ). P. Mintras l primr lmnto sa a >0 P. Eliminar l lmnto a d la lista. P. Rstar a los primros a lmntos d la nuva lista. P. Ordnar (dcrcint) la nuva lista. P. Rtornar la lista (a,a,...). (,,,,) s una scuncia gráfica (,,,,) (,,,,) P. (,,,) P. (,,,0) P. (,,0) P. (0,0,0) Tma : (,,,,,) no s una scuncia gráfica P. (-,-) Tma :

12 Algoritmo d Havl-Hakimi Algoritmo d Havl-Hakimi P. Lr la lista dcrcint (a,a,...,a p ). (,,,,) P. Lr la lista dcrcint (a,a,...,a p ). (,,,,) P. Mintras l primr lmnto sa a >0 P. Eliminar l lmnto a d la lista. P. Rstar a los primros a lmntos d la nuva lista. P. Ordnar (dcrcint) la nuva lista. P. Rtornar la lista (a,a,...). (,,,,) P. (,,,) P. (,,,0) P. (,,0) P. (0,0,0) P. Mintras l primr lmnto sa a >0 P. Eliminar l lmnto a d la lista. P. Rstar a los primros a lmntos d la nuva lista. P. Ordnar (dcrcint) la nuva lista. P. Rtornar la lista (a,a,...). (,,,,) P. (,,,) P. (,,,0) P. (,,0) P. (0,0,0) Tma : Tma : Algoritmo d Havl-Hakimi P. Lr la lista dcrcint (a,a,...,a p ). (,,,,) P. Mintras l primr lmnto sa a >0 P. Eliminar l lmnto a d la lista. P. Rstar a los primros a lmntos d la nuva lista. P. Ordnar (dcrcint) la nuva lista. P. Rtornar la lista (a,a,...). (,,,,) P. (,,,) P. (,,,0) P. (,,0) P. (0,0,0) Tma : 7