Set de Ejercicios N 4. Ayudantías MAT-022.

Transcripción

1 Set de Ejercicios N 4. Ayudatías MAT-. Departameto de Matemáticas, UTFSM *. Semestre 6. Ates de comezar, u breve relato extraído del libro El curioso mudo de las matemáticas de David Wells (p. 4): Hay que recordar las series de Taylor. Durate la revolució rusa, el físico matemático Igor Tamm fue apresado por vigilates aticomuistas e u pueblo cercao a Odessa, adode había ido para coseguir comida a cambio de algo. Ellos creía que era u agitador comuista atiucraiao y lo llevaro ate su líder. Cuado le pregutaro qué hacía para gaarse la vida, él respodió qie era matemático. El jefe del pelotó, si termiar de creérselo, empezó a colocarse la correa co las balas y las graadas alrededor del cuello. Muy bie, dijo, calcula el error que se produce cuado la aproximació de las series de Taylor a ua fució se truca después de térmios. Hazlo y quedarás libre; falla y te fusilaremos. Letamete Tamm calculó la respuesta e el polvo co dedo tembloroso. Cuado hubo termiado, el badido echó u vistazo a la respuesta y le dejó seguir su camio. Tamm gaó el Premio Nobel de física e 958, pero uca logró descubrir la idetidad de aquel líder de badidos ta isólito.. Ejercicios de Repaso. Ecuetre las siguietes atiderivadas arcta x + x dx y 3x, x f(x)dx dodef(x) = e x, x >. Haciedo la sustitució u = arcta x se tiee que arcta x dx = udu = u + x + C = (arcta x) + C. * Coordiació de Ayudatías MAT-

2 Atiderivado e cada tramo, se tiee x 3 x + C, x F (x) = f(x)dx = e x + C, x > pero recordado que la atiderivada de ua fució es cotiua, ecesariamete se tiee que x 3 x + + C, x F (x) = C = F (x) = + C = F (x) = x x + e x + C, x >.. Discuta la covergecia o divergecia de las series: el valor de la serie + + ( ) ( + ). + Por comparació co la serie armóica ( ) la serie diverge. Por criterio del cuociete la serie coverge, pues ( + )e (+) e = + y e. Además, ecuetre e = e <. Nótese que x + x(x + ) = x + x + etoces + + ( ) ( + ) = ( ( ) + + ) = ( ( ) + por ser serie telescópica. 3. Verifique que si a, b R y r < so costates dadas, etoces Además, determie el valor de = +. Por el criterio del cuociete (a( + ) + b)r + (a + b)r = r a + a + b a + b = r <. La idea etoces es deter- por lo tato, la serie coverge. + Sea S = = + = S +, dode S = = miar S. Para ello hay al meos dos métodos: ) + ( )+ = + (a + b) r coverge. =

3 Primera Forma: Sabemos que = cuado x <. Etoces, derivado esta expresió co respecto a x, se tiee: x = de dode S = 6. Seguda Forma: Notemos que x = x ( x) = S = , = ( = 4, ) luego S = etoces (restado ambas expresioes) S = = = 3 de dode S = 6.. Ejercicios Resueltos 4. Demuestre la siguiete idetidad trigoométrica de Lagrage cos(kθ) = + se[( + )θ] se θ y co esto, verifique que k= se[( + )θ] se( θ) dθ = π. Los detalles de la demostració de la idetidad trigoométrica queda propuestos, pero esecialmete lo que se usa es la suma de la progresió geométrica z k = z+ z k= para z = cos θ + i se θ, el teorema de De Moivre y luego basta sacar parte real (y u poco de trigoometría básica). Para la itegral, otemos que por lo tato cos(kθ)dθ = π k se(kθ) = si k se[( + )θ] ( π ) se( θ) dθ = cos(kθ) ( dθ = π π ) = π. k= 3 =

4 5. Calcular f(), sabiedo que f(π) = y que Primeramete calculamos la itegral f (x) se xdx = f (x) se x = π f (x) cos xdx = f(x) cos x [f(x) + f (x)] se xdx = 5. f (x) se xdx. Itegrado por partes, se tiee f (x) cos xdx = f (π) se π f () se π f(x) se xdx = f(π) + f() Por lo tato, reemplazado e la expresió dada (y recordado que f(π) = ) se tiee: [f(x) + f (x)] se xdx = f(π) + f() = + f() = 5 = f() = 3. f (x) cos xdx f(x) se xdx. 6. Determie el radio de covergecia de = x ( + 3)! y su suma. (+4)! (+3)! = + 4 = etoces el itervalo de covergecia para la serie es R. x Sea g(x) = ( + 3)!, etoces = x 3 g(x) + + x + x = = x! = ex = g(x) = 7. Determie la serie de Taylor e toro a de la fució Derivado y evaluado e, se tiee: p(x) = x 4 5x 3 + x + 6x 7. e x x x x 3, x, x =. p() = 3, p () = =, p () = = 4, por lo tato, p () = 48 3 = 8, p () = 48, p (i) () =, i 5 p(x) = (x ) +!! (x ) + 8 3! (x ) (x )4 4! = 3 + (x ) (x ) + 3(x ) 3 + (x ) 4. 4

5 8. Determie el itervalo de covergecia de las siguietes series de potecias: a z ( < a < ),!(x a) (z + 3) y ( + ). = = a (+) = a (+) = a + = a a = a etoces el itervalo de covergecia es todo R. ( + )! = ( + ) =! etoces el radio de covergecia es y la serie coverge sólo e x = a. ( + ) ( + ) + = etoces el radio de covergecia es y el itervalo de covergecia cotiee al itervalo ] 5, [. Ahora debemos aalizar los extremos. z = 5: = = ( ) ( + ) = serie covergete por el criterio de Leibiz. z = 5: ( + ) = serie divergete por p-serie co p =. = Por lo tato, la serie coverge e el itervalo [ 5, [. = ( ) + + = 3. Ejercicios Propuestos 9. Sea f() = /4 ta xdx para etero. Demostrar que a) f( + ) < f(). b) f() + f( ) = para >. c) + < f() < si >.. Pruebe que si x es u etero o egativo, se tiee ( + x)( + x + )( + x + ) = (x + )(x + ). 5