LA DERIVADA. Introducción:

Transcripción

1 LA DERIVADA Introucción: Fue Isaac Newton que estuiano las lees el movimiento e los planetas que Kepler había escubierto meio siglo antes, llegó a la iea e incremento e una función como se nos ofrece en os ejemplos; la velocia la aceleración e los cuerpos en movimiento, conceptos básicos e la Dinámica. En el Cálculo Diferencial es funamental comprener esta iea e incremento que se asocia a la noción e erivaa ha permitio a lo largo e los siglos hallar soluciones a problemas como eterminar la ecuación e rectas tangentes a una curva calcular los valores máimos o mínimos e las funciones. La erivaa epresa la variación e las funciones entre os puntos mu cercanos se aplica a situaciones físicas como el cálculo e la velocia e un móvil, conocia su le e movimiento como también a la solución e otros problemas ligaos a economía, emografía, costos, ingeniería, etc. La interpretación geométrica e la erivaa la ientifica como la peniente e la tangente a una curva en un punto ao. 0

2 LA DERIVADA SÍNTESIS TEÓRICA: I. DEFINICIÓN:. Analítica: Sea f() una función aa. La erivaa e con respecto a, enotaa por, se o bien efine por lim 0 lim Η 0 f ( ) f ( ) con tal e que este límite eista. a la erivaa se le llama también coeficiente iferencial la operación e calcular la erivaa e una función se enomina iferenciación. si la erivaa e una función eiste en un punto particular, significa que f es iferenciable en ese punto. La erivaa e f() con respecto a también se enota por símbolos tales como f ( ),, ( f ), ', f '( ) representa un símbolo no eberá interpretarse como un cociente.. Geométrica : la erivaa e una función representa la peniente e la tangente a la curva f() en el punto cua abcisa es. II. METODOS DE DERIVACION Daas las múltiples aplicaciones e la erivación a iferentes isciplinas e la eucación superior, se hace necesario estuiar las formas en que se presenta esta operación el cálculo iferencial en ellas, así sacarle el máimo provecho. Eisten os métoos e erivación: a) Derivación por pasos b) Derivación por fórmulas Caa uno e estos métoos se utilizan según las coniciones el problema a resolver, como es el primer métoo que se analizará más aelante en el caso e la economía, como la tasa e cambio e una función, o variación o incremento e la función proucción, etc. 0

3 También se asocia el concepto e erivaa en física, aplicaa a la velocia e un cuerpo en movimiento, la velocia meia e instantánea, etc. III. DERIVACION POR PASOS: Proceimiento: º) Sea f() una función real erivable. º) Cálculo e ( ) : reemplazar ( ) en lugar e. º) Restar f() a ambos laos e la iguala. º) Despejar, iviir por º) Hallar el límite cuano lim 0 Ejemplo: Hallar la erivaa aa la función Solución; º Sea f ( ) º f ( ) ( ) ( ) º f ( ) f ( ) ( ) º f ( ) f ( ) º f ( ) f ( ) lim 0 0

4 III. DERIVACIÓN POR FÓRMULAS: Propieaes sobre las funciones erivaas e funciones reales:, ) Se esigna por; f ( ) ) Derivaa e una constante; () 0 ) Derivaa e la función ientia; ( ) ) Derivaa e una constante por una función; ( cu) ) Derivaa e una suma /o resta; ( u v w) 6) Derivaa e un proucto; ( u v) u v v u u 7) Derivaa e un cuociente; v v 8) Derivaa e una potencia; ( u ) nu n n u u c v v u u c w u v 9) Derivaa e una raíz; ( u ) u u u 0) Regla e la caena; f ( u) f ( u) ln ) Derivaa el logaritmo; ( u) u ) Derivaa e eponencial; ( e ) sen cosu ) ( u) u e u u u u u 0

5 cos sen u ) ( ) ) ( u) tg sec 6) ( c u) u u 7) ( u) tg csc u u u sec secu tgu 8) ( u) u csc cscuc tgu u 0

6 EJERCICIOS RESUELTOS DEL METODO POR PASOS ) Sea. Hallar: a) erivaa por pasos b) analice que sucee para c) ecuación e la tangente en P(,9) ) ecuación e la recta tangente en P(,6) Solución: a) aplicano proceimiento e la erivaa por pasos f ( ) f ( ) lim 0 ( ) ( ) ( ) b) la ecuación e la recta, es la erivaa representaa por f ( ) luego f ( ) 6 representa la peniente e la recta tangente en para f ( ) c) la ecuación e la recta tangente en P(,9) se obtiene consierano la peniente m6 la ecuación e la recta aos estos os elementos: m( ) 9 6( ) 6 9 ) para obtener la ecuación e la recta tangente en P(,6) se evalúa la erivaa(m) en luego f ( ) 8 6 8( )

7 ) Hallar para f ( ), > 0 eterminar la cotangente en P (, ). Solución: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim 0 evaluano la erivaa en P (, ) con 0,, ) Calcular la ecuación e la tangente en P (, ) para la función 7 Solución: f ( ) ( ) ( ) 7 0 ( ) 0 lim (0 ) evaluano la erivaa para ( 0 ) 6 m en evaluamos la función 7 68 la ecuación e la recta tangente en es 6 7 0

8 ) Sea. Calcular la ecuación e la curva tangente en la abcisa; 0 e. Solución: ( ) ( 6 6( ) 6 lim (6 0 ( ) 6 6 ( ) ) 6 ( ) ) ( ) evaluano la curva en 0,o sea en P(0,), se obtiene la peniente m0 por lo tanto la ecuación peia es 0( 0) evaluano la curva en ( ) 9, o sea en P(,9) se obtiene la peniente m, por lo tanto la ecuación peia es 9 ( ) 9 8 0

9 9 0 EJERCICIOS I Determinar la primera erivaa, usano las operaciones básicas e erivación; ) ' ) 7 ' ) ( ) ( ) ' ) ( ) ( ) 6 ' ) ( ) 0 ( ) 9 0 ' 6) ( ) 6 ( ) ( ) 6 ' 7) 8) ' 9) ' 0) ' ) ( ) ( ) ( ) ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ' ) ( ) ' ) '

10 6) 7) ( ) ' ' ( ) 6 ( ) 8) 9 ' ( 9) II. En los siguientes ejercicios aplicar las propieaes e las erivaas antes mencionaas; ) ' ( ) ) ' ) ' ( ) ) sen ( ) ' sen(6 ) ) tg sen ' sen ln 6) ( ) ' ' cot g 7) ln( sen ) 8) ln( ) ' 9) e ' e ( ) 0) e cos ' e (sen cos ) 0 0

11 ) sen ' ( ) sen 6 cos ) Acos ( ω t φ ) ' Aω sen( ωt φ ) ) ln( ) ' ( ) ln ) a, a cte. ' a ln ln a ) ' 6) ' ( ) 7) ( 7) ' 6( 7) 8) ( 9 ) ' 08( 9 ) 9) 0) ) ' ' ' ( ) ( ) 9 ( ) ) ( ) ' ( ) ) ) ) ' ) ' ( ) 0

12 ) 6) 9 ' ' 6 ( 9 ) 7) ( ) 9 ' 9 ( ) 8) ' ( ) 9) ' 0) ) ' ' ( ) ( ) ) cos ' sen ) sen ' cos ) cos ' sen III. Aplicar las fórmulas e erivación e funciones trigonométricas; ) sen ) 7cos ) tg ) 6c tg ) sec 6) csc 7) sen 8) sec 0

13 9) sen 0) tg ) c tg ) tg ) sen ) sen ) sen 6) cos sen 7) cos 8) sen 9) sen ( ) 0) sen ( ) ) sen cos ) sen tg ) csc c tg ) sen cos cos ) cos sen sen 6) sen 7) sen cos 8) sen 9) csc 0) ) sen ) cos sec ) tg sen cos sec ) cos sen ) tg 6) sec 7) c tg 8) csc 9) cos cos 9 0) ) a b c 0

14 ) ) a ln ln ) c tg ) arcsen 6) e cos 7) tgh 8) sen m m 9) t( a ) r 0) ln ) a b c ) e arcsen ) senh ) ) cosh ln 6) 7 e 7) e ( ) 8) e 9) e ( ) 6) tg tg tg 60) ( a b) e 6) 6) ln log 6) 6) cos cos a a 66) 8 8 ( ) 67) 69) a bt ct ( t) 68) t sen cos sen cos b ( ) a ( ) 70) arctg 0

15 7) arct ln 7) e ln 7) ln 7) cos cos 7) sen cos tg 76) 77) ( z) cos ω 78) ln 79) arcsen 80) ln e 8) ln 8) arctg arc cot g 8) cos sen e 8) sen cos sen 8) tg sen ln 86) e 87) arctg 88) arccos 89) arcsen( ) 90) arcsen 9) arccos 9) a arcsen a 9) ln( sen ) Respuestas: ) ' cos ) ' 7sen ) ' sec ) ' 6cosec ) ' sec tan 6) ' cosec cot an 7) ' (sen cos ) 0

16 8) ' sec ( tan) 9) ' (sen cos ) 0) ' tan ) ' cot an tan ) ' tan ) ' 6sen cos ) ' 6sen cos ) ' sen cos 6) ' sensen cos cos 7) ' cos sen 8) ' sen sen cos ' sen cos 9) ( ) ( ) 0) ' ( cos( ) )( ) ) ' sen ) ' cos tan sen sec ) ' cosec cot an cot an ) ' sen ) ' cos sen cos 6) ' sen 0 sen cos 7) ' sen 8) ' cos cot an cosec 9) ' cosec sen 0) ' sen cos sen ) ' sen cos sec ) ' sec ( tan ) tan sec tan ) ' sec ( sec ) ) ' cos ) ' 6tan( tan ) 6) ' 0sec tan ( cot an ) 7) ' cot an 6 0

17 cos eccot an cos ec 8) ' / 9) ' cos ( ) sen sen 0) ' ) ' a b ) a ln ) ) cot an ( cot an ) ) arcsen 6) e ( cos sen ) 7) tanh sen cos 8) sen m m m 9) t( a ) m r 0) b( c ) ( a b) ) ( c ) e ) e arcsen ) senh cosh senh ) cosh cosh ) ln 6 6) e ( 7 ) 7) e ( ) 8) e ( ) 9) e b 60) a b 6 6) tan e 6) ( ) 7 0

18 ln 6) sen 6) cos 6) a ( ) ( ) 7 66) ( ) bt ct a 67) t 68) b ( a b) 69) sen cos 70) arctan ln arctan 7) e ln ln 7) e 7) ( ) 7) cos ( ) 7) ' 9 sen tg 6 sen 76) 6ω cos ω z sen ω z 78) arcsen 79) 80) 8) 77) ( ( ) ( ) arctan 8) sensen 8) coscos 8) cos 8) sen cos 8 0

19 86) 87) 9 88) 89) 90) 9 9) arccos 9) ( a ) cos sen 9) ln( sen ) 9 0

20 DERIVACION IMPLICITA SINTESIS TEORICA: Las funciones e la forma f() epresan a eplícitamente en términos e, pueen erivarse o iferenciarse e acuero con las reglas vistas anteriormente, apropiaas al tipo particular e funciones. Sin embargo, eisten ecuaciones en las que intervienen e, e la forma f(,)0, que no se presenta a eplícitamente en términos e no pueen manipularse e manera que se logre ese propósito, como es el caso e la función F (, ) en que ambas variables aparecen como argumentos e F, está epresaa la relación entre, pero no está efinia eplícitamente en términos e. Tales ecuaciones efinen a como una función e en el sentio e que para caa valor e ha un corresponiente valor e que satisface la ecuación. En consecuencia, se ice que la ecuación etermina a como una función implícita e. En general ( f ) ) ( f '( ) Es posible calcular a partir e tales ecuaciones meiante el métoo e la erivación implícita que inica erivar caa término en la relación implícita aa, con respecto ala variable inepeniente. Proceimiento: la erivaa e con respecto a se obtiene erivano la ecuación f(,)0 término a término, consierano a como una función e espejano luego en la ecuación resultante, la erivaa. 0 0

21 Ejemplo:. Determinar en la ecuación 0. Solución; Derivano con respecto a 0 ( ) EJERCICIOS RESUELTOS ) Obtener para la ecuación a 0 Solución: erivano con respecto a a ( a) a 0 a a a ) Determinar para la ecuación sen cos tg 0 Solución: erivano con respecto a cos cos sen sen sec cos cos sen sen sec 0 0

22 ) Calcule si Solución: Derive caa término con respecto a ( aplicano erivaa implícita ) ( ) () 0 espejano ) Determinar para la ecuación sen cos tg 0 Solución: erivano con respecto a cos cos sen sen sec cos cos sen sen sec 0 ) Calcule si ln( ) 7 Solución: aplicamos propiea el logaritmo e un proucto ln ln 7 erivamos con respecto a ( ) (ln ) (ln ) (7) por regla e erivaas 0 0

23 EJERCICIOS PROPUESTOS Aplique el proceimiento inicao para iferenciación implícita verifique los resultaos: Respuestas b ) b a a ) arctan ( ) ( ) ) e ln c e ) arctan ln( ) ) 6) 0 7) a 8) tan 9) 0) ) ( ln ) ( ln ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos ' ' a ' ) ) ) c ) 6) 7) a 8) 9) 0) cos tg sen 0 ) cos ec sec tg c tg 0 0

24 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Una e las razones e aborar el Cálculo Diferencial en las carreras e Ingeniería e Ejecución es por la utilia e sus aplicaciones. Para esto, eisten moelos matemáticos que facilitan la resolución e problemas cotiianos o interpretar ciertas situaciones complejas. A continuación se ofrece una serie e problemas que son posibles e resolver meiante el moelo e máimos mínimos e una función e acuero al criterio e la seguna erivaa. Proceimiento:. Sea f() una función real continua. Determinar. Hacer 0 obtener los valores críticos c. Determinar ' '( ). Evaluar con los valores críticos c eaminar los signos obtenios ' '( ) 0 6. a) Si c entonces eiste un Punto mínimo (Min) ' '( ) 0 7. b) Si c entonces eiste un Punto máimo (Ma) ' '( ) 0 8. c) Si c entonces eiste un punto e inflección (Inf) Evaluar la función original con los valores críticos eterminar los puntos críticos, es ecir ) ( c Ejemplo: Sea Determinar sus puntos críticos. ' 9 ' :/ ()()0 c c '' 6 ''() 6 0 entonces eiste Punto mínimo (Min) ''() 6 0 entonces eiste Punto máimo (Ma) '' 0 entonces eiste Punto e inflección (Inf) i ( ) 8 por lo tanto Min (,8) ( ) Ma(,) ( ) 6 Inf (,6) Representa estos puntos en un gráfico para observar estos puntos críticos. 0

25 INTERPRETACION DE LA PRIMERA DERIVADA Dos e las interpretaciones clásicas e las erivaas se an en términos e la velocia e un cuerpo en movimiento, e la tasa e cambio e una función. Ambas interpretaciones tuvieron su origen en el estuio e iversos problemas e Física e Matemáticas, sin embargo, ese entonces han encontrao aplicación en muchas áreas.por ejemplo, el análisis marginal en Economía se comprene más fácilmente en términos e la tasa e cambio e una función. I. VELOCIDAD DE UN CUERPO EN MOVIMIENTO Consieremos un cuerpo o una partícula que se mueve a lo largo e una traectoria rectilínea. Sea t el tiempo meio a partir e algún instante fijo, s la istancia e la partícula ese un origen fijo sobre la recta, sieno s positiva o negativa según sea el sentio e su esplazamiento con respecto al origen. Supóngase que la istancia ese el origen se a en términos el tiempo meiante una función s f(t), enominaa le el movimiento. Supóngase también que al cabo e cierto tiempo t t, la partícula se encuentra a una istancia st a partir el origen 0, supongamos aemás que urante el siguiente intervalo e tiempo aún más el origen. t icha partícula recorre una istancia s alejánose s La relación e cambio respecto el tiempo al cociente es constante, e moo que istancias iguales siempre t se recorren en tiempos iguales e tiempo, se ice que el movimiento es uniforme. Al cociente s se le enomina velocia el móvil en cualquier instante t. t s Si el movimiento no es uniforme, el cociente variará a meia que cambie t a no puee representar la t velocia en cualquier instante. En cambio lo que representa es la velocia meia e la partícula urante el intervalo e tiempo particular t. Es ecir, la velocia meia urante el intervalo t es s t s a meia que el intervalo e tiempo t se aproima a cero, este valor promeio e la velocia puee tener t a un límite. Si así ocurre, se ice que icho límite es la velocia instantánea en el tiempo t t. En consecuencia la velocia instantánea en el tiempo es s lim t 0 t pero por efinición lim t 0 s t es la primera e f(t) en el punto erivaa t tt 0

26 Ejemplo : La istancia e un tren meia ese su punto epartia, cuano viaja a lo largo e una vía recta, está aa por la ecuación s 6t t en la cual s es la istancia en kilómetros, t el tiempo en horas. a) evaluar la istancia recorria al cabo e horas. b) Evaluar la velocia al cabo e horas. Solución: consierano la ecuación s 6t t al cabo e hr. s 6 68 km recorrios s la velocia se calcula como lim (t ) t t 0 s al cabo e hr. t km por hr. t Ejemplo : Uno e los juegos en un parque e iversiones es el e Pruebe su fuerza, en el que suena una campana si una palanca es golpeaa con un martillo con la suficiente fuerza para impulsar una bola e hierro hacia arriba, que se esliza en un poste vertical, hasta llegar a la campana montaa en el etremo superior. Cuano es golpeaa la palanca con una fuerza e kilogramos, la istancia a la que se encuentra la bola, meia ese la base el poste, está aa por la epresión s,t 0t, en one s es la istancia al pie el poste en metros, t es el tiempo en minutos que transcurre ese que la palanca es golpeaa. a) si la campana está situaa en lo alto e un poste e, m. Será suficiente una fuerza e kg para hacer que suene? b) A que istancia e la base el poste estará la bola al cabo e 0 segunos, segunos, minuto 7 segunos, respectivamente?. Solución: s a) la velocia será cero cuano la bola eje e ascener sobre el poste, t s,t 0t t al resolver la ecuación s 0 t se obtenrá el tiempo que la bola emplea en subir hasta el punto más alto por lo tanto, t 0, 6 min. 0 así mismo s, 0, 9m 8 6 e moo que no basta esta fuerza para tocar la campana. 6 0

27 b) Si t0 seg entonces s, 0, 7m 9 si t seg entonces s, 0, 7m 6 si t minuto entonces s, 0, m en irección escenente si t7 seg entonces s, 0 0 o sea, la bola ha regresao a la base el poste. 6 II. TASA DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN La interpretación e una erivaa como la relación e cambio instantánea e una función es aplicable en problemas económicos aministrativos. Tales aplicaciones comprenen los conceptos e costo marginal, ingreso marginal elasticia en la teoría microeconómica ahorro propensión marginal al ahorro propensión marginal al consumo, en la teoría macroeconómica. Sean p q las letras que esignan las magnitues e os variables relacionaas, consiérese a q como una función e p, es ecir qf(p). q la razón es la relación e cambio instantánea e q con respecto a p, o bien, la tasa e cambio e q con p respecto a p. la relación e cambio instantánea e una cantia variable q con respecto a una cantia variable relacionaa p, q equivale a la erivaa e q respecto a p, esto es. p la epresión tasa e cambio e una función es matemáticamente equivalente a erivaa e la función. q Si la variable q puee epresarse como función el tiempo, entonces es la rapiez e cambio p o tasa e t cambio respecto al tiempo. 7 0

28 APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA ( Análisis Marginal ) En los estuios económicos se escribe la variación e una cantia con respecto a otra cantia en términos e los conceptos e valor meio (o promeio) valor marginal. Un valor meio o promeio epresa la variación e sobre un intervalo e valores e, que frecuentemente abarca ese cero hasta cierto valor seleccionao. Un valor marginal, se refiere a la variación e en el margen, para pequeñas variaciones e a partir e un valor ao. Los conceptos económicos e promeio marginal corresponen respectivamente a los conceptos matemáticos más generales e la relación e cambio meia e una función sobre un intervalo, e relación e cambio instantánea, o sea, la erivaa e una función.. COSTOS: Sea C el costo total e proucir comercializar uniaes C() c( ) el costo promeio o costo meio por unia es C( ) C incremento meio el costo por unia e aumento e proucción es t el costo marginal es el valor límite el costo promeio por artículo etra cuano este número e artículos etra C tiene a cero. lim C' 0 el costo total el costo marginal se representan meiante líneas rectas. Consieraciones acerca e las funciones lineales e costo: costo total a b, a > 0, b 0 el costo promeio quea representao por la rama e una hipérbola equilátera, el primer cuarante, con asíntota horizontal a costo promeio b a costo marginal a costo marginal meio b Consieraciones acerca e las funciones e costo cuaráticas: costo total a b c, a > 0, b 0, c 0 c costo promeio a b 8 0

29 costo marginal a b c costo marginal meio a el costo total se representa por la parte e una parábola corresponiente al primer cuarante. el costo promeio se representa por la rama e una hipérbola situaa en el primer cuarante. el costo marginal se representa por una línea recta. ) Sea la función e costo total la función proucia. Determinar el costo promeio el costo marginal. Solución; 0 el costo promeio es el costo marginal es EJERCICIOS RESUELTOS 0 0, en la cuál representa el costo total,, la cantia 0, a meia que aumenta la proucción se incrementa el costo total, como lo inica el gráfico siguiente A meia que se eleva la proucción, el costo promeio unitario primero ecrece espués crece, mientras que el costo marginal o tasa e aumento el costo total siempre es creciente, como lo inica el siguiente gráfico 9 0

30 ) Un fabricante e cierto artículo escubre que a fin e proucir e estos artículos a la semana, el costo total está ao por C 00 0,0. Cuál es el costo si prouce 00 uniaes a la semana? Cuál es el costo si se incrementa la proucción semanal?. Solución: Datos; Sea 00 (proucción semanal) entonces el costo está ao por C 00 0,0(00) 00 el costo promeio es 00 $ 00 Si el fabricante consiera cambiar la tasa e proucción e 00 a ( 00 ) uniaes por semana, en one representa el incremento en la proucción semanal, el costo es; C C 00 0,0(00 ) 00 0, ,0( ) [ 00 ( ) ] o sea el costo etra eterminao por la proucción e los artículos aicionales es C ( C C) C ,0( ) 6 0,0( ) 00 el costo promeio por artículo e las uniaes etras es C 6 0,0 o sea que; si la proucción semanal crece e 00 a 0 artículos 0 el costo promeio e los 0 artículos aicionales es C 6 0,0(0) $7,0 si el incremento es e 00 a

31 el costo promeio etra es $ 6, 0 por caa uno C costo marginal correspone a C C lim 0 lim (6 0,0 ) 6 0 ) Sea la función e costo C ( ) 0,00 0, Determine el costo marginal como una función e. Evalúe el costo marginal cuano la proucción está aa por 0, Solución: El costo marginal está ao por C C' C' ( ) 0,00 ( 0,00 0, 0 000) 0,6 0 esta función, el costo marginal, a el costo promeio por artículo e crecimiento e la proucción si 0 C '(0) (0,00)(0) (0,6)(0) 0 7, si 00 C ( ) (0,00)(00) (0,6)(00) 0 0 si 0 C '( ) (0,00)(0) (0,6)(0) 0 7, en resumen; a meia que se hace mu grane, los costos empiezan a aumentar a meia que la capacia e las uniaes e proucción eistentes llegan a gastarse empieza necesario invertir en una nueva planta o maquinaria o pagar horas etras a los trabajaores, etc. por lo regular, el costo marginal primero ecrece al aumentar la proucción luego se incrementa e nuevo. ) Sea la función e costo artículos. C ( ) ,. Determine el costo marginal el costo promeio e proucir Solución: el costo marginal es el costo promeio es C' ( ) 0 0, C( ) 000 C( ) 0 0, 0

32 . INGRESOS: sea p f() cualquier función e emana, tal que p representa el precio unitario o por artículo el número e uniaes venias. se enota como R() al Ingreso Total como R p f () mientras más artículos puea vener la empresa, más bajo puee fijar el precio, entre más alto se fije el precio, en general, menor será el volumen e las ventas. R R se efine Ingreso Marginal como R' ( ) lim 0 Ejemplo : Sea la función e emana 0 en la cual se representa el precio unitario, el número e uniaes. Determinar el ingreso total marginal. Solución: espejamos para conocer el precio unitario el ingreso total R es R R el ingreso marginal es representano gráficamente los ingresos respecto al número e uniaes Note que: a meia que la cantia aumenta, el ingreso total también aumenta al principio, posteriormente isminue. en cambio tanto el ingreso meio como el ingreso marginal ecrecen linealmente cuano crece la cantia. Ejemplo : Sea la función e ingreso aa por R( ) 0 0,0, en one es el número e artículos venios. Determine el ingreso evalúelo para 00. Solución: 0

33 R' ( ) (0 0,0 ) erivano la función ingreso 0 0,0 esto nos a el ingreso marginal cuano se vene un número arbitrario e artículos. Si 00 obtenemos un ingreso marginal e R '( ) 0 (0,0)(00) 6 Así que, cuano se venen 00 artículos, cualquier incremento pequeño en las ventas provoca un aumento en los ingresos e $6 por artículo. Ejemplo : Determine el ingreso marginal cuano 00 si la ecuación e emana es p. Solución: epresano p como función e la función e ingreso R() está aa por el ingreso marginal será 00p 000 p 0 0,0 R( ) p (0 0,0) 0 0,0 R' ( ) 0 0, 0 cuano el volumen e ventas es 00, el ingreso marginal está ao por R '(00) 0 (0,0)(00). UTILIDADES MARGINALES: La utilia que una empresa obtiene está aa por la iferencia entre sus ingresos sus costos. Si la función e ingreso es R() cuano se venen artículos, si la función e costo es C() al proucirse esos mismos artículos, entonces la utilia P() obtenia por proucir vener artículos está aa por P( ) R( ) C( ) La erivaa P '( ) se enomina la utilia marginal representa la utilia aicional por artículo si la proucción sufre un pequeño incremento. 0

34 Ejemplo : La ecuación e emana e cierto artículo es p 0, 80 la función e costo es C( ) Calcule la utilia marginal cuano se proucen venen 0 uniaes en el caso e que se prouzcan venan 00 uniaes. Solución; La función e ingreso está aa por R( ) p (80 0, ) R( ) 80 0, por lo tanto la utilia generaa por la proucción venta e artículos está aa por P( ) R( ) C( ) (80 0, 60 0, ) (000 0) 000 la utilia marginal es P '( ) P '( ) (60 0, 000) P' ( ) 60 0, si 0 P '(0) 60 0, 0 0 es ecir, la utilia etra por artículo aicional cuano la proucción se incrementa en una pequeña cantia es $0. Si 00 P '(00) 60 0, 00 0 es ecir, un pequeño incremento en la proucción a como resultao una péria e $0 por unia aicional.. ELASTICIDAD: la elasticia η e una función f(), se efine como la tasa e cambio proporcional e con respecto a. p Se simboliza efine como η p La elasticia es inepeniente e las uniaes en las cuales se mien las variables Ejemplo : Calcule la elasticia e la emana si la ecuación e emana es Solución: k Si entonces p p p p k La elasticia es η p k p p k p k con kcte>0. p 0

35 La elasticia e la emana es por tanto constante en este caso, es igual. Esto significa que un pequeño incremento porcentual en el precio siempre llevará a un ecrecimiento porcentual igual a la emana. Ejemplo : Calcule la elasticia e la emana si 00(0 p) para caa valor e p. a) p b) p c) p6 Solu ón: en este ci caso 00 p p p por consiguiente η ( 00) p 00(0 p) p η 0 p la elasticia e la emana varía, epenieno el precio p a) si p η 0, (0 ) cuano el precio p, el ecrecimiento porcentual en la emana es un cuarto el incremento porcentual en el precio. b) si p η (0 ) cuano p, un pequeño incremento en el precio a un incremento porcentual igual en la emana. 6 c) si p6 η, (0 6) la isminución porcentual en la emana es una vez meia el incremento porcentual en el precio cuano p6. Ejemplo : La función e emana e cierto proucto es p 0 0,, one uniaes son venias a un precio p caa una. Utilice la elasticia e la emana para eterminar si un aumento en el precio aumentará o isminuirá el ingreso total si la emana es; a) 900 uniaes b) 600 uniaes. Solución: para calcular η ; por lo tanto a) cuano 900 η p 0, 0 0, p 00 p 0, 00 η 0 0

36 como η <, la emana es elástica un incremento en el precio a por resultao una isminución en el ingreso total. 00 b) cuano 600 η 0 como η >, la emana es inelástica por tanto un incremento en el precio causará que aumente el p ingreso η 0 p 6 0

37 EJERCICIOS PROPUESTOS DE OPTIMIZACION I. Determinar los puntos etremos e las funciones siguientes, en forma gráfica analítica verifique los resultaos ) 6 min, ) 8 min, 6 ( ) ) 8 min (,) ) 6 ) 6 8 6) min (, 8) ma(, ) inf(,6) 7) 9 min (, ) ma(,7) inf(0,) 8) 6 8 min (, ) ma(, )inf(,) 9) min (, 7) ma(,7) inf(0,) 0) 9 inf(,6) min(,0) ma(,) ) 9 6 ma (,) inf(, ) min(, ) inf(,) ) ( ) inf(,0) ) ( ) ) inf( 0,0) ) ( ) ma(0,6) min(,0) inf 6, 9 6) ma(0,), min(,), inf(,) 7 0

38 7) 7 ma ( 0,0) mi(, )inf(, ) 6 8) 9 ma (, ) min(,0) 9) 0) ) ) ma(, ), min(, ) min (, ) no tiene valores etremos 6 ) ( ) 8 0

39 PROBLEMAS CON ENUNCIADO DE OPTIMIZACION.. El costo promeio e fabricar cierto artículo es artículos proucios. Encuentre el valor mínimo e C. 8 C, en one es el número e (Rp: para el valor ) El costo e la proucción anual e un artículo es C 000, en one es el 0 tamaño promeio el lote por serie e proucción. Encuentre el valor e que hace mínimo a C.. El costo e proucir artículos e cierto proucto es C( ) (ólares). Determine el valor e que hace el costo promeio por artículo un mínimo. (Rp:.000). La función e costo para una empresa, está aa por C ( ) Calcule la proucción en la cual; a) el costo marginal es mínimo (Rp:0) b) el costo promeio es mínimo (Rp:). Una empresa prouce mensualmente tonelaas e un metal precioso con un costo total C ao por C ( ) 0 7 ólares. Encuentre el nivel e proucción one el costo marginal alcanza su mínimo. 6. La función e emana para cierto bien está ao por p e para 0 8, one p es el precio por unia es el número e uniaes peias. Determine el precio p la cantia para los cuales el ingreso es máimo. (Rp: ; p ) e 0 7. Repita el ejercicio 6 para la le e emana p e para

40 8. Una empresa vene toas las uniaes que prouce a US caa una. El costo total e la empresa C por proucir uniaes está ao en ólares por C 0, 0,00. a) Escriba la epresión para la utilia total P como una función e. b) Determine el volumen e proucción e e moo que la utilia P sea máima. c) Cuál es el valor e la utilia máima? 9. Para caa una e las siguientes funciones e costo promeio obtenga el valor mínimo el costo promeio mínimo emuestre que icho costo promeio mínimo,, el costo marginal el costo promeio son iguales a) 8 b) ln c) 0 8 ) e) 0 0. La empresa enominaa fábrica e máquinasherramientas e precisión tiene una función e costo total representaa por la ecuación, en one representa el costo total, la cantia proucia. a). Qué ecuación representa la función e costo marginal? b) Cuál es la ecuación e la función e costo promeio? En qué punto este costo promeio alcanza su valor mínimo? 0 0