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1 el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo, pues entonces no se trtrí de un ecución de segundo grdo). Pr resolver un ecución de segundo grdo, cuy epresión generl es, como y hemos visto: +b+c=0, hy que despejr l. Esto se consigue medinte un lrgo proceso cuy epresión finl es l siguiente: b b c Posibles forms de l ecución de segundo grdo. Tods ls ecuciones de segundo grdo se pueden resolver con l ecución generl de l solución que hemos visto. Pero hy lguns ecuciones de segundo grdo que, por su form, se pueden resolver ms fácilmente por otros métodos. Veremos lgunos csos continución. Ecuciones sin término en : son de l form +c=0. En ests ecuciones se despej, y se obtienen los vlores de, si los hy. Ejemplos: ) -7=0 b) 7-0=0 c) +0=0 Ecuciones que son producto de vrios fctores: son de l form: k(-p)(-q)=0. Teniendo en cuent que pr que el producto de vrios fctores se cero es necesrio que lguno de los fctores vlg cero, en ests ecuciones hy que igulr todos los fctores cero pr encontrr ls soluciones. Ejemplos: ) (-)(+)=0 b) 7(+)(-)=0 Ecuciones sin término independiente: son de l form: +b=0. Ests ecuciones se pueden fctorir scndo fctor común. Un solución es =0 y l otr solución se obtiene resolviendo l ecución +b=0. Ejemplos: ) 7 -=0 b) +0=0 Número de soluciones. El rdicndo, es decir, l epresión que prece dentro de l rí, b -c, se llm discriminnte de l ecución. El número de soluciones depende del signo de ést epresión: - Si el discriminnte es positivo, entonces l ecución tiene dos soluciones reles y distints. - Si el discriminnte es cero, entonces l ecución tiene un solución únic, que se llm solución rel doble. - Si el discriminnte es negtivo, entonces l ecución no tiene solución rel.

2 el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES BICUADRADAS Ls ecuciones bicudrds son ecuciones polinómics de curto grdo que se reducen, plicndo ls regls de ls trnsformciones de ecuciones, l form: +b +c=0 con > 0 Ests ecuciones se resuelven hciendo el cmbio: =, obteniéndose l ecución de º grdo: +b+c=0 Un ve clculdos los vlores de, se clculn los vlores de etryendo l rí cudrd. Según el signo de ls soluciones de, se pueden obtener hst cutro soluciones. Ejemplo: Clcul ls soluciones de l ecución: - +6=0 9 9, 0 6 ECUACIONES RACIONALES (CON LA X EN EL DENOMINADOR) Un ecución con denomindores lgebricos se llm ecución rcionl. Pr resolverl hy que trnsformrl en un ecución enter (sin denomindores), multiplicndo los dos miembros de l ecución por el m.c.m. de los denomindores. Como est operción no conduce un ecución equivlente, tenemos que comprobr si se hn producido soluciones etrñs, es decir, que ls soluciones que obtenemos no sen rí de ningún denomindor. Ejemplo: Resuelve l ecución:. El m.c.m. de los denomindores es. Entonces: 0 6 Ambs soluciones son válids. EJERCICIOS 7.- Resuelve ls siguientes ecuciones rcionles: ) ) ) ) ) 8 0 6)

3 el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. 7) 0 8) 8 9) 7 0) ) ) Soluciones: ) =/ ) = ) = 7 ) = ) = -/, 6) = 7) =, =0 no 8) =½ 9) = 0) sin solución ) =, -/ ) = 0, - ECUACIONES RADICALES (IRRACIONALES) Ls ecuciones rdicles son quells en ls que l incógnit prece en lguno de sus términos, bjo el signo rdicl. Resolveremos ecuciones con rdicles cudráticos. Pr resolverls, bst seguir los siguientes psos: º. Se ísl un rdicl en uno de los miembros, psndo los restntes términos, rdicles y no rdicles, l otro miembro. º. Se elevn l cudrdo los dos términos. (Si qued todví lgún rdicl, se repiten los dos psos nteriores). º. Se resuelve l ecución obtenid. º. Se comprueb cuáles de ls soluciones obtenids son válids, sustituyéndols en l ecución dd. Ejemplos: Resuelve ls ecuciones: ) ( no 0 ( si vle) vle) b) 0 ( si vle) ECUACIONES EXPONENCIALES Un ecución eponencil es quell en l que l incógnit está en el eponente. Pr resolver ecuciones eponenciles, demás del cálculo mentl, se utilin distintos métodos según el tipo de ecución. Cundo los dos miembros de l ecución se pueden epresr como potencis de l mism bse, hy que tener en cuent ls propieddes de ls potencis: 0 =, -m = m (m > 0) º. El producto de dos potencis de l mism bse es otr potenci con l mism bse y que tiene como eponente l sum de los eponentes: m n = m+n. º. El cociente de dos potencis de l mism bse es otr potenci con l mism bse y que tiene como eponente l rest de los eponentes: m : n = m-n. º. L potenci de un potenci es otr potenci con l mism bse y que tiene como eponente el producto de los eponentes: ( m ) n = mn. º. El producto de dos potencis con el mismo eponente es otr potenci que tiene por bse el

4 el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. producto de ls bses y por eponente el mismo: mb m =(b) m. º. El cociente de dos potencis con el mismo eponente es otr potenci que tiene por bse el cociente de ls bses y por eponente el mismo: m :b m =(:b) m. 6º. L potenci de eponente negtivo de un cociente es igul l mism potenci con eponente positivo de l invers del cociente: (/b) -n =(b/) n. Ejemplo: 8. 7 Descomponiendo 8 en fctores primos, qued:. Como son dos potencis de igul bse, hn de ser igules los eponentes, por tnto: = 7, que tiene por solución =. - Todos los términos con incógnit se pueden epresr en función de lgún número elevdo dich incógnit. Ejemplo: 0 Como., qued 0 denomindores, se tiene: 0 0. Llmndo ; usndo ls propieddes de ls potencis y quitndo y, será ecución qued: y y 0 0, que tiene por soluciones 8 y 0. Como 0 bien. De puede ser negtiv. 8 result =. De ECUACIONES LOGARÍTMICAS y. Sustituyendo en l y, qued 8 o 0 no se obtiene solución, y que un potenci no Pr resolver un ecución logrítmic se deben plicr ls propieddes de los logritmos hst conseguir epresrl en l form: log A log B, siendo A y B epresiones lgebrics. Por trtrse de logritmos igules con igul bse se deduce que: A = B. log no se puede clculr, sólo es válid l solución Ejemplo: log-log=log log log log log log Como. Así que es imprescindible comprobr ls soluciones, porque unque stisfgn l ecución A = B, pueden no stisfcer l ecución inicil, debido que lgún logritmo crec de sentido. Alguns ecuciones eponenciles sólo se pueden resolver tomndo logritmos, puesto que no se reducen potencis de igul bse. Ejemplo:. Aplicndo logritmos: log log log log log log obtenemos '. y despejndo, OTRAS ECUACIONES INCOMPLETAS Ls ecuciones de tercer grdo en ls que flt el término independiente, b c 0, y ls de curto grdo en ls que fltn los dos últimos términos, b c 0, se pueden resolver tmbién reduciéndols ecuciones de segundo grdo. Pr ello se oper del siguiente modo:

5 el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. b 0 c 0 b c 0 b c 0 L ecución tiene como soluciones =0 y ls que se obtengn l resolver l ecución de segundo grdo resultnte. Ejemplo: Resuelve l ecución: + 6 = RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR FACTORIZACIÓN L epresión (-)(+)(-)=0 es un ecución de tercer grdo que podemos resolver plicndo un técnic que y conocemos: igulndo cd fctor cero: En generl, si en un ecución de culquier grdo, escrit en l form P()=0, el polinomio P() se puede descomponer en fctores de primer y segundo grdo, entonces bst con igulr cero cd uno de los fctores y resolver ls ecuciones resultntes. Pr ello, ls ecuciones de tercer grdo o grdo superior deben tener ríces enters, que siempre se encuentrn entre los divisores del término independiente. (Ls podemos encontrr plicndo el teorem del resto o el teorem del fctor). EJEMPLOS: Resuelve ls ecuciones: ) + --=0 ) + --=0 Soluciones: ) =,-,- ) =, 7, 7

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