El campo eléctrico y la materia

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1 El campo eléctrico y la materia Tema 9 Curso Electrostática y dieléctricos El átomo como un dipolo eléctrico Los dieléctricos como distribución de dipolos. El vector polarización P. Susceptibilidad dieléctrica. Permitividad dieléctrica Campo creado por un medio dieléctrico polarizado El vector desplazamiento D Condiciones de frontera entre dieléctricos lgunos efectos eléctricos y mecánicos entre dieléctricos Medios conductores. Conductividad eléctrica. Electrostática y dieléctricos Faraday acuñó la palabra dieléctrico para describir el efecto de un aislante en un condensador Faraday observó que al situar un aislante entre las placas de un condensador, la capacidad del sistema, la energía almacenada y la carga aumentan un factor κ κ es una característica del medio En un dieléctrico las cargas no son libres como en un metal, están ligadas a los átomos o moléculas Cuando se aplica un campo eléctrico, el átomo o molécula se polariza (se desplaza la carga negativa respecto de la positiva y se forma un dipolo) Dipolo atómico inducido nube electrónica núcleo ~E 0 ~p = αε 0 ~E loc Átomo sin polarizar Átomo polarizado MODELO F = ee 0 = eqe 4πε 0d = e d 4πε 0a 3 d = 4πε0a3 E 0 e ρ e = e 4πa 3 q e = ρ4πd 3 = ed3 a 3 d ~p a α =4πε 0 a 3 Polarizabilidades atómicas Teoría cuántica α/4πε 0 H Li Na K Rb Cs en unidades de m He Ne r Kr Xe Ecuación de Schrödinger: ~ m ψ e 4πε 0 r ψ + ee 0zψ = Eψ Momento dipolar: ~p = hψ e~r ψi = 9 (4πε 0a 3 B)E 0 ~u z Polarizabilidad atómica: α = 9 4πε 0 a3 B = m 3 1

2 Moléculas polares Hay moléculas con momento dipolar permanente La unidad que caracteriza el momento dipolar es el debye: 1 D= C m. Moléculas grandes, mayor momento dipolar Materiales compuestos por moléculas polares: campos internos cuya magnitud depende de T Momentos dipolares moleculares 1.83 Molécula m. dip. (D) HF 1.75 HCl 1.04 HBr 0.80 H 0.83 H O NH ea B.5 <p z >/p Dipolo en un campo eléctrico ~τ = ~p E ~ U = ~p ~E = pe 0 cos θ Momento dipolar promedio h~pi = R e U/kT ~pdω R e U/kT dω Si tomamos el eje z como la dirección de E ~ = E0~u z hp zi = p R +1 1 e (pe0/kt )cosθ µ cos θd cos θ pe0 R +1 = p coth kt 1 e (pe0/kt )cosθ d cos θ kt pe pe/3kt pe/kt Esta es la fórmula de Langevin. Si se hace la aproximación coth z 1 z + z 3 llegamos a la fórmula de Langevin- Debye α = α 0 + p 3kT Polarización y carga de polarización Para incluir el efecto de la polarizabilidad atómica es necesario introducir un nuevo campo, el campo de polarización ~P (~r) La polarización es una vectorial de la posición en el dieléctrico ~P (~r) se define como la densidad media de momentos dipolares ~P (~r)d 3 ~r = NX ~p i i=1 Potencial de un dipolo V (~r) = 1 ~r ~p V (~r) = 1 (~r ~r i ) ~p i 4πε 0 r 3 4πε 0 ~r ~r i 3 La contribución al potencial de un conjunto de dipolos dv (~r) = 1 NX (~r ~r i ) ~p i 4πε 0 ~r ~r i=1 i 3 ' 1 (~r ~r 0 ) ~P (~r 0 )d 3 ~r 0 4πε 0 ~r ~r 0 3 Potencial de un medio polarizado " V (~r) = 1 P ~ ~nds 0 ~ 0 ~P # (~r 0 )d 3 ~r 0 V (~r) = 1 (~r ~r 0 ) ~P (~r 0 )d 3 ~r 0 4πε 4πε0 ~r ~r 0 ~r ~r 0 0 ~r ~r 0 3 Potencial en términos de las cargas de polarización V (~r) = 1 σbds 0 ρbd 3 4πε 0 ~r ~r 0 + ~r 0 ~r ~r 0 Densidades de carga de polarización σ b = ~P ~n ρ b = ~ ~P Densidades de carga de polarización σ b = ~P ~n ρ b = ~ ~P

3 El vector desplazamiento Las ecuaciones fundamentales de la electrostática son ~ ~E =0 y ~ E ~ = ρ/ε0 Estas ecuaciones son correctas en el vacío y en un medio dieléctrico l analizar un medio dieléctrico es conveniente separar ρ(~r) =ρ f (~r)+ρ b (~r) Pero ρ(~r) =ε 0 ~ ~E = ρ f (~r) ~ ~P La combinación ~D = ε 0 ~E + ~P es un nuevo vector denominado campo desplazamiento Se cumple la ley de Gauss con las cargas libres ~ D ~ = ρf ~D d S ~ =(q f ) enc Dieléctricos lineales Un aislante con P proporcional a E es un medio lineal dieléctrico Se utilizan diversos parámetros que relacionan E, P y D: Parámetro Susceptibilidad Permitividad Constante dieléctrica símbolo χ e ε κ Ecuación constitutiva ~P = χ e ε 0 ~ E ~D = ε ~ E κ = ε/ε 0 Dos relaciones adicionales de interés son: ε = ε 0 (1 + χ e ) κ =1+χ e χ e es siempre positivo ya que los dipolos atómicos se alinean con E de forma que P apunta en la dirección de E. sí, ε > ε 0 y κ > 1 para cualquier material dieléctrico. En el vacío, χ e =0,ε = ε 0 y κ =1 En la materia, los parámetros macroscópicos están determinados finalmente por las propiedades atómicas. Otras propiedades dieléctricas Piroelectricidad: al aumentar la temperatura, aparece un campo eléctrico en la superficie del cristal (turmalina, el iman Ceylon, 1703) Ferroeléctricos: materiales en los que la polarización espontánea puede alterarse mediante un campo eléctrico aplicado Ferroelásticos: materiales en los que tensiones mecánicas alteran la polarización espontánea Piezoeléctrico: material en los que la aplicación de una tensión genera cargas eléctricas en su superficie (efecto piezoeléctrico directo, Pierre Currie, 1880) Electrostricción: acoplamiento secundario en el que la tensión es proporcional al cuadrado del campo eléctrico; frecuentemente implica un efecto piezoeléctrico inverso (energía eléctrica se convierte en mecánica; Lippman, a partir de principios termodinámicos, Currie experimentalmente en 1881) Polarización 0 Qué es esla la ferroelectricidad? Fotografía de una memoria FRM de 64Mb O Voltaje 1 Campo eléctrico Energía Los materiales ferroeléctricos muestran una polarización espontánea con el campo eléctrico aplicado debido al desplazamiento atómico del átomo centrado en cuerpo en la estructura de la perovskita (BO 3 ). El estado de polarización se mantiene al desaparecer el campo aplicado. B Estructura BO 3 Los Los ferroeléctricos ferroeléctricospresentan presentandos dos estados estados estables, estables, base base de de aplicaciones aplicacionesde de memoria memoria 3

4 Moléculas polares En un gas diluido (moléculas sin interacción), ~P = nα ~ E, χ e = nα/ε 0 y κ =1+nα/ε 0 de donde la susceptibilidad adquiere la expresión (fórmula de Langevin-Debye): χ e = np 3kTε 0 Moléculas no polares partir de un modelo de oscilador clásico ~p = ~qδ~r = q ~ E mω 0 La susceptibilidad es χ e = nq ε 0 mω0 Para el hidrógeno, en condiciones normales de presión y temperatura ω 0 = s 1 (λ ' 100 nm) y n = m 3 χ e = Materia condensada El campo responsable de la polarización de una molécula en un medio denso no es el campo macroscópico aplicado ~E 0 este campo se le denomina campo local o campo molecular ~E loc~ La forma de calcular E loc es dividir el dieléctrico en dos regiones: una esfera de radio alrededor del punto donde queremos calcular el campo y el resto del dieléctrico (que puede tratarse como un continuo). Finalmente se aplica el principio de superposición. El campo local puede descomponerse en las siguientes contribuciones (figura): ~E loc = ~E c + ~E d + ~E s + ~E i E c = V/d ~ Ed = ~ P/ε 0 ~E s (0) = 1 σb ~rd 3 ~r 4πε 0 r 3 = 1 πa 3 P ~ 4πε 0 a 3 Campo macroscópico ~E = ~ E c + ~ E d +1 1 cos θd cos θ = 1 ~P Campo local de Lorentz ~E loc = ~ E + 1 ~ P El campo de polarización en un medio polarizado à vale P ~P = n~p = nα ~E + ~! De la relación entre P y E podemos deducir el valor de la susceptibilidad macroscópica χ e = nα/ε 0 1 nα/ Por tanto, la polarizabilidad atómica vale, en función de la susceptibilidad: α = ε 0 n χ e 1+χ e /3 = κ 1 n κ + El condensador con un dieléctrico condensadores D = σ f = Q V = Qd ε C = Q V = κε0 d el condensador plano Ecuación de Clausius-Mossotti El campo en el dieléctrico Tensión o carga constante 4

5 Propiedades dieléctricas de algunos aislantes Condiciones de contorno Material ire Poliestireno Lucita Plexiglás Teflón Mylar Papel Cuarzo fundido Pyrex gua Titanato de estroncio Constante dieléctrica a a κ Tensión dieléctrica E max 10 6 V/m ε 1 ~D d ~ S = q ε D 1 n D n = σf δ/ δ/ (Dn 1 Dn) + Sδ δ/ δ/ ~D d S ~ = σ f + δsδ ~E l ~D ρd 3 ~r ε1 ε ε 1 δ/ ε l δ/ 1 ε δ/ ε δ/ ~E d ~ l =(Et 1 Et )l + ~E d ~ l =0 Et 1 = Et Γδ 5