Sección 2.5. Gráficas de Funciones Transformaciones en el plano

Transcripción

1 Sección 2.5 Gráficas de Funciones Transformaciones en el plano

2 Funciones Pares e Impares Las funciones se clasifican como pares o impares dependiendo del tipo de simetría que reflejan sus gráficas. Terminología Definición Ejemplo Tipo de simetría f es una función par f(-x) = f(x) para todo x en el dominio de la función f(x) = x 2 con respecto al eje de y f es una función impar f(-x) = - f(x) para todo x en el dominio de la función f(x) = x 3 con respecto al origen

3 Ejemplos Determinar si cada función es par, impar o ninguno. a) Si f(x) = 3x 4 2x 2 + 5, f( x) = 3( x) 4 2( x) f(-x) = 3x 4 2x = f(x) por lo tanto, f, es una función par. b) Si f(x) = 2x 5 7x 3 + 4x f( x) = 2( x) 5 7( x) 3 + 4( x) f( x) = 2x 5 + 7x 3 4x = f(x), por lo tanto, f es una función impar.

4 Ejemplo (cont.) c) Si f(x) = x 3 + x 2, entonces d) Si f(x) = x entonces

5 Desplazamiento Vertical Funciones que se forman sumando o restando un valor real positivo c a otra función pertenecen a una misma familia h(x)= f(x) + c h(x)= f(x) c Cada h(x) es un desplazamiento vertical de c unidades de la gráfica de y = f(x).

6 Desplazamiento Vertical (cont)

7 He aquí la gráfica de f(x) = x 2, junto a la gráfica de g(x) = x and h(x) = x 2 4. Ejemplo En notación de funciones, los desplazamientos verticales de f(x): g(x) = f(x) + 4 h(x) = f(x) 4

8 Si f(x) tiene las siguientes transformaciones g(x) = f(x) + 4 h(x) = f(x) 4 Ejemplo (cont) La notación nos indica que si: (2,4) pertenece a f(x) (2,8) pertenece a g(x) (2,0) pertenece a h(x)

9 Ejemplo Sea g(x) = f(x) - 7, si (4, -5) y (-2, 10) pertenecen a la gráfica de f, cuál es la transformación de estos puntos para g? Solución:

10 Desplazamiento Horizontal Funciones que se forman de la siguiente forma g(x) = f(x c) h(x) = f(x + c) se llaman desplazamientos horizontales de la gráfica de y = f(x). Tomen nota de la dirección del desplazamiento según se observa en la siguiente ilustración:

11 He aquí la gráfica de f(x) = x 2, junto a las de g(x) =f(x 4)=(x 4) 2 ; h(x) =f(x+2)=(x + 2) 2. Si (3, 9) f(x) (7, 9) g(x)=(x 4) 2 (1, 9) h(x) =(x + 2) 2 Ejemplo Los desplazamientos verticales y horizontales se conocen como traslaciones.

12 Desplazamiento horizontal(cont)

13 Trace la gráfica de g(x) = (x 2) 2 +1 Práctica De la ecuación observamos que la gráfica de f(x) = x 2 se ha trasladado 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba. Cada punto de la gráfica sufre la siguiente transformación: (x,y) (x +2, y+1)

14 Dada la gráfica de y = f(x), la gráfica de y = f(x) Reflexión se construye reflejando la gráfica de f(x) sobre el eje-de-x. Dado f(x) = x 2 construimos g(x)=-f(x) tomando cada punto, dejando la abscisa igual y cambiando el signo de la ordenada Si 2, 4 f x, 2, 4 f(x)

15 Sea f el segmento de recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, 4). Esboce la gráfica de: -f(x) f(x + 1) -f(x + 1) Práctica

16 Estiramiento y compresión vertical Dado y = f(x), si se construye una nueva función g(x) = cf(x) cuando c > 1 ; ó g(x) = cf(x) cuando 0 < c < 1. entonces, la función nueva será un estiramiento vertical o una compresión vertical de la gráfica de y = f(x).

17 Estiramiento y compresión vertical Un estiramiento vertical es un estiramiento de la gráfica alejándose del eje de x. g(x) = cf(x) when c > 1 Una compresión vertical es un encogimiento de la gráfica hacia del eje de x. g(x) = cf(x) when 0 < c < 1.

18 Estiramiento y compresión vertical

19 Ejemplo Aquí se muestra f(x) = x 2, junto a las gráficas de f(x) = 4x 2 f x = 1 4 x2

20 Aquí se muestran las tablas de valores de las 3 funciones Ejemplo Cada punto de g(x) sufre la siguiente transformación: (x,y) (x,4y) Cada punto de h(x) sufre la siguiente transformación: (x,y) (x, y 4 )

21 Ejemplo Aquí se muestra f(x) = x 3, junto a las gráficas de f(x) = 5x 3 f x = 0. 1 x3

22 Aquí se muestran las tablas de valores de las 3 funciones Ejemplo Cada punto de g(x) sufre la siguiente transformación: (x,y) (x,5y) Cada punto de h(x) sufre la siguiente transformación: (x,y) (x, y 10 )

23 Estiramiento y compresión horizontal Dado y = f(x), si se construye una nueva función g(x) = f(cx) cuando c > 1 ; ó g(x) = f(cx) cuando 0 < c < 1. Entonces, la función nueva será un estiramiento o una compresión horizontal de la gráfica de y = f(x).

24 Compresión horizontal

25 Estiramiento horizontal

26 Ejemplo v(x) = x 3-4x La ecuación cuya gráfica es una traslación 2 unidades hacia arriba de v(x): w(x) = x 3-4x + 2 una traslación 3 unidades hacia abajo de v(x) w(x) = x 3-4x - 3 una traslación 4 unidades hacia la derecha de v(x) w(x) = (x-4) 3-4(x-4)

27 Ejemplo v(x) = x 3-4x Estirar verticalmente por un factor de w(x) = 2(x 3-4x) = 2x 3-8x Comprimir v(x) horizontalmente por un factor de 3 w(x) = (3x) 3-4(3x) = 27x 3-12x Reflejar sobre el eje de x: w(x) = -(x 3 4x)

28 Funciones definidas por partes A veces más de una expresión se necesita para definir una función. Tales funciones se conocen como funciones definidas por partes. Por ejemplo, la siguiente función, f, se define usando tres expresiones diferentes:

29 Funciones definidas por partes (cont.) Para x 1, la gráfica de f coincide con la gráfica de y = 2x + 5. Evaluamos esta ecuación para dos puntos en los cuales la x es menor que 1. Para 1 < x < 1,, la gráfica de f coincide con la gráfica de y = x 2. Evaluamos esta ecuación para algunos puntos en los cuales la x está entre -1 y 1. Para x 1, la gráfica de f coincide con la gráfica de y = 2. Para cualquier x mayor que uno el valor de la y es 2. Notar que la gráfica pasa la prueba de la línea vertical.

30 Funciones definidas por partes (cont.) Para f(x) definida como se muestra a la derecha, hallar f(-5), f(2) y f(4). f x = x + 2, si x 1 4, si 1 < x < 3 x + 4, si x 3

31 Para f(x) definida como se muestra a la derecha, hallar f(-5), f(2) y f(4). Grafique la función. Ejemplo

32 Para la gráfica necesitamos dos puntos de referencia en cada recta Ejemplo (cont.) x f(x)

33 Hallar el dominio y el alcance de f(x) Ejemplo (cont.)

34 Ejemplo de Valor Absoluto Trazar la gráfica de f(x) = 2x 3 Note que 2x 3 es no-negativo para x 3 2, por lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = 2x 3. Evaluemos y = 2x 3, para algunos valores: 0 x y

35 Ejemplo (cont.) Debemos determinar para cuales valores y = 2x 3, es negativo: 2x 3 es negativo para x < 3 2, por lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = 2x 3. Evaluemos y = (2x 3), para algunos valores: x y