Solución de ecuaciones algebraicas y trascendentes: Método de Aproximaciones sucesivas *

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1 Solución de ecuaciones algebraicas y trascendentes: Método de Aproximaciones sucesivas * Ing. Jesús Javier Cortés Rosas M. en A. Miguel Eduardo González Cárdenas M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM ** 2006 Resumen Introducción. Definición del método. Criterio de convergencia y su interpretación geométrica. 1. Introducción El método de Aproximaciones sucesivas representa la esencia de los procesos iterativos ya que permite definir una ecuación de recurrencia que, en aparencia, no tiene sentido práctico desde el punto de vista algebráico, pero que resulta muy práctica si se toma un valor inicial y se mejora a través de las iteraciones. Sin embargo, el método como tal no es ciento por ciento aplicable para cualquier ecuación algebraica o trascendente; sin embargo, se utiliza como base para completar otros métodos abiertos. 2. Definición del método Aproximaciones sucesivas es un método abierto, es decir, no requiere de un intervalo que atrape una raíz, sino que requiere de un valor X 0 que representa un valor aproximado a la raíz y de cuya cercanía al valor real dependerá la velocidad en que se cumpla con una tolerancia preestablecida. Una forma sencilla de definir un método de aproximaciones sucesiva consiste en despejar de una ecuación a la variable independiente; esto se aplica particularmente en ecuaciones que por su forma no permite despejar fácilmente a la incógnita. Por ejemplo, la ecuación X 2 + 7X e X = 0 no puede logarse un despeje sencillo, algebraícamente hablando. Desde un punto de vista iterativo, la ecuación puede expresarse como: * También llamado De punto fijo ** Profesores de tiempo completo del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la División de Ciencias Básicas 1

2 Análisis numérico 2 X 2 + 7X e X = 0 = X = ex X 2 En efecto, algebraícamente hablando, el despeje anterior no aporta mejora en la solución de la ecuación. Sin embargo, si se define en forma iterativa: 7 X i+1 = ex i X 2 i 7 donde X i es un valor inicial y X i+1 es un valor corregido que, en un escenario favorable, tendrá una cantidad de error menor con respecto a la raíz de la ecuación. El proceso iterativo se detendrá cuando entre dos aproximaciones sucesivas (de aqui el nombre del método) se satisfaga la tolerancia preestablecida. No obstante la aparente facilidad que se muestra, como se verá posteriormente, el método no es ciento por ciento eficaz en todas las ecuaciones. Con el fin de dar formalidad matemática, se propone el siguiente desarrollo: Sea f(x) una función algebraica o trascendente: f(x) = 0 (1) Sin alterar la ecuación, se suma en ambos miembros la variable independiente: Definiendo al término: Sustituyendo 3 en 2 se tiene: f(x) + X = X (2) G(X) = f(x) + X (3) G(X) = X (4) La ecuación 4 representa el método de Aproximaciones sucesivas, por lo cual debe expresarse en forma iterativa: X i+1 = G(X i ) (5) La aplicación del método consiste en proporcionar una aproximación inicial a la raíz de la ecuación (que puede obtenerse por medios gráficos o al detectar un cambio de signo en la función tabular) y sustituirla en la ecuación 5, obteniéndose una nueva aproximación. De nuevo deberá sustituirse la última aproximación hasta que la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas satisfaga determinada tolerancia preestablecida. Es importante aclarar que aún y cuando se utilice la ecuación de recurrencia 5 las raíces corresponden a la función original f(x). 3. Criterio de convergencia y su interpretación geométrica La obtención del criterio de convergencia [1]del método de Aproximaciones sucesiva constituye su principal aportación. En la práctica es común encontrar funciones con varias raíces que cuando se desea aplicar el método para determinar cada una de ellas se encontrará que su aplicación no siempre arroja los resultados deseados.

3 Análisis numérico 3 Geométricamente, la ecuación 5 representa a la curva Y = G(X) y a la recta con pendiente unitaria Y = X. El punto donde la curva y la recta son iguales, es decir, en su intersección, en su proyección en el eje horizontal corresponde a la raíz, de acuerdo a la figura 1. Figura 1: Interpretación geométrica del método de Aproximaciones sucesivas [2] Sea f(x) una ecuación algebraica o trascendente que tiene como raíz real al número a, sustituyendo en la ecuación 4. a = G(a) (6) Restando a la ecuación 6 la ecuación 5: Multiplicando el segundo miembro de 7 por el factor unitario: a X i = G(a) G(X i 1 ) (7) a X i = G(a) G(X i 1) a X i (a X i ) (8) Aplicando el teorema del valor medio del cálculo diferencial: Sustituyendo la ecuación 9 en la ecuación 8: Despejando G (τ): G (τ) = G(a) G(X i 1) ; X i 1 τ a (9) a X i = G (τ)(a X i ); X i 1 τ a (10) G (τ) = a X i ; X i 1 τ a (11) En el segundo miembro de la ecuación 11 puede observarse que su denominador debe ser mayor que el numerador, toda vez que X i 1 posee un mayor error que X i ya que es una aproximación previa. Esto implica que: G (τ) = a X i < 1 (12) En consecuencia, el método convergerá si se cumple que: G (τ) < 1; X i 1 τ a (13)

4 Análisis numérico 4 Donde τ representa la primera aproximación a la raíz de la ecuación. Resulta importante verificar este criterio antes de iniciar la búsqueda de la raíz a través de las iteraciones. Por otra parte, en la ecuación 11 cuando el denominador no es mayor que el numerador, es decir, el valor X i posee un mayor error que X i 1, ocurre que el método no está convergiendo. En conclusión, el método no converge en la aproximación τ si: G (τ) > 1; X i 1 τ a (14) Los procesos de convergencia y divergencia pueden explicarse en las siguientes gráficas; en todas ellas, el éxito o fracaso del método depende del valor de G (τ). Figura 2: Convergencia monotónica [2] Figura 3: Convergencia oscilatoria [2] 4. Conclusiones Como ya se ha mencionado, la principal aportación del método de Aproximaciones sucesivas es la determinación del criterio de convergencia, ya que se debe aplicar a todos los métodos abiertos o de punto fijo. El método como tal no suele ser muy popular, precisamente por el hecho de no funcionar en la gram mayoria de las ecuaciones a las que se les propone resolver. No obstante, es una opción válida para ser utilizado.

5 Análisis numérico 5 Figura 4: Divergencia monotónica [2] Figura 5: Divergencia oscilatoria [2] Referencias [1] Rafael. Iriarte Vivar. Métodos numéricos [2] Raymond. Chapra, Steven. Canale. Métodos Numéricos para Ingenieros

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