AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

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1 GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo el teorem fundmentl del cálculo. Interpretr decudmente el concepto de integrl definid y plicrlo decudmente prolems propios de l economí. INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo geométricmente con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f(x) en un intervlo B=[,] CONCEPTO: Si f es continu y no negtiv en un intervlo cerrdo [,] el áre de un región limitd por l gráfic de f, el eje x y ls rects verticles x= y x= viene dd por: Are = f(x)dx Se ve que f es un función continu, positiv (por encim del eje x), l región R está limitd con x= y x=, podemos hllr el áre de l región R por medio de un integrl definid. L regl de Brrow dice que l integrl definid de un función continu f(x) en un intervlo cerrdo [, ] es igul l diferenci entre los vlores que tom un función primitiv G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervlo. Ejemplos Clculr ls siguientes integrles definids plicndo l regl de Brrow.

2 Ddo el intervlo B=[, ] en el que, pr cd uno de sus puntos x, se define un función f (x) que es myor o igul que, se llm integrl definid de l función entre los puntos y l áre de l porción del plno que está limitd por l función, el eje horizontl OX y ls rects verticles de ecuciones x = y x = y se denot como: A = f(x)dx L cul se puede hllr prtir del teorem fundmentl del cálculo integrl:. Prte I: Se f un función integrle en el intervlo B=[,]B, se define un nuev función F x F(x) = f(t)dt Donde F es continu en el intervlo [,]. Tl que F (x) = f(x). Prte II: Si F es un ntiderivd de f, entonces: Propieddes de l integrl definid: [ f(x) ]dx = F() f() L integrl definid cumple ls siguientes propieddes:. Tod integrl extendid un intervlo de un solo punto, [, ], es igul cero. Esto es: f(x)dx =

3 . Cundo l función f (x) es myor que cero, su integrl es positiv; si l función es menor que cero, su integrl es negtiv.. L integrl de un sum de funciones es igul l sum de sus integrles tomds por seprdo. Esto es: [ f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx. L integrl del producto de un constnte por un función es igul l constnte por l integrl de l función (es decir, se puede «scr» l constnte de l integrl). Esto es: cf(x)dx = c f(x)dx. Al permutr los límites de un integrl, ést cmi de signo. Esto es: Ejemplo : f(x)dx = f(x)dx Clculr el áre limitd por l función f(x) = + x en el intervlo B=[,] Gráficmente tenemos: f(x) x Donde deemos clculr el áre de l región somred, pr esto plicmos l integrl definid: A = f(x)dx = [ + x ]dx Pr clculr dich integrl deemos plicr el teorem fundmentl del cálculo integrl que en su primer prte nos dice que deemos conocer l integrl indefinid de l función: [ + x ]dx = x + x + c Ahor plicremos l segund prte del teorem que nos dice que pr otener l integrl definid deemos evlur l función en los límites de integrción y clculr l diferenci entre dichos vlores (restndo siempre el vlor de evlución en el intervlo inferior del vlor de evlución en el intervlo superior ( F()-F()) Por lo tnto: A = [ + x ]dx = [() + () ] = [6 + 9] [ + ] = 7 = 8 [() + () ] = [6 + ] [ + ] En conclusión el áre requerid es de.666 uniddes cudrds. Ejemplo : Clculr el áre generd entre l función g(x) = (x ) en el intervlo [-,] Gráficmente tenemos: y x - Pr clculr el áre plicmos l integrl definid: A = (x ) dx = x = [ ] [ ]

4 = [ ] [ ] = = =. Por lo tnto el áre requerid es de. uniddes cudrds NOTA: Teng en cuent que dx = + c, est integrl se clcul plicndo l técnic de sustitución.ejemplo (x ) x Hllr el áre de l región cotd por l curv f(x)= u ls rects x=- y x=.. TRAZO DE LA REGIÓN: Se dee trzr l región pedid. En este ejemplo f es positiv y continu.. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: El áre de l región R viene dd por: Áre =. EVALUACION DE LA INTEGRAL: Áre = dx = x = [()] [( )] = 8 + = u Se puede oservr que est región es rectngulr. Se puede utilizr: A=*h=(-(-))()==* =u Ejemplo Hllr el áre de l región cotd por l curv f(x)=x + x cotd por [,-]. TRAZO DE LA REGIÓN dx. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Ls rects x=- y x= dividen l región en dos prtes. A y A. El áre de l región verde viene dd por: A = A + A. EVALUACIÓN INTEGRAL: A = (x x)dx + A = (x x)dx + (x x)dx (x x)dx = [ X + X ] + [X + X ] = - ( ) + ( ) + + =

5 = 67 u es el áre de l región somrd ÁREAS ENTRE DOS CURVAS QUE NO SE CORTAN CONCEPTO: Se considern dos funciones: f(x) y g(x) en el intervlo [,] solo si f(x) es myor que g(x). El áre de l región R viene dd por: A = (f(x) g(x))dx Tnto los límites de integrción como ls vriles dependen de x El áre de l región R viene dd por: d A = (f(y) g(y))dy c Tnto los límites de integrción como ls vriles dependen de y Ejemplo : Determinr el áre de l región por: f(x)=x g(x)=x- y ls rects x=-6 y x=-. TRAZO DE LA REGIÓN. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL:. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: A = (x (X ))dx = 6 (x X + ))dx 6 [ X X + X] 6 = ( ) ( ) + ( ) - ( 6 ) + ( 6 ) ( 6) = = 96 u es el áre de R ÁREAS DE REGIONES GENERADAS POR DOS CURVAS QUE SE CORTAN CONCEPTO: Pr ests regiones no se es ddo los límites de integrción que serín los puntos de corte entre dos gráfics. Pr encontrrlos st hllr los x y los y pr los cules f=g. EJEMPLO

6 El áre de l región R viene dd por: El áre de l región R viene dd por: d A = (f(x) g(x))dx A = (f(y) g(y))dy c f y g son positivs y continus en un intervlo y g son positivs y continus en un intervlo cerrdo [,] con f(x)>g(x) cerrdo [c,d] con f(y)>g(y) Determinr el áre de l región por: f(x)=x g(x)= x x. TRAZO DE LA REGIÓN Tenemos que encontrr los límites de integrción, pero en l gráfic podemos decir que esos límites lo determinn los puntos de intersección de f y g. Como dijimos nteriormente, estos se hlln de l siguiente form: X (X ) =. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: X (X )(X + ) = Luego, x=,,- son los puntos de ms funciones. Después de esto podemos estlecer l integrl que nos permitirá hllr el áre de l región pedid: A = (x (x x ))dx + (x (x x ))dx = ( x + x )dx + ( x + x )dx. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: EJEMPLO [ X + X ] + [X + X ] = ( ) + ( ) = 8() + () () = 6 6 = 8 =El áre de l región es 8 u Determinr el áre de l región por: f(x)= x + x g(x)= x x x. TRAZO DE LA REGIÓN 6

7 Si oservmos l figur nterior, l región complet se divide en dos regiones, R y R, determinds por los puntos de corte de ms funciones. De estos puntos de corte se puede otener el áre totl de l siguiente form:. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: x x x = x + x x 8x = x(x ) = x(x ) = Luego, x=,-, son los puntos de ms funciones. Después de esto podemos estlecer l integrl que nos permitirá hllr el áre de l región pedid: A =. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: (x x x ( x + x))dx + ( x + x (x x x))dx [ X x ] = (x 8x)dx + (8x x )dx + [x + X ] = ( ) ( ) = 6 = 6 =El áre de l región es 6 u + () ( ) TALLER DE APLICACIÓN INTEGRALES DEFINIDAS. clculr: ls siguientes integrles definids. ( x x + ) 8 8. ( x x + ) dx c. (x + x ) dx dx d. x (cos x + ) dx e. x dx f. ( x + ) dx g. ( 8x + x ) dx h. x x dx. Hllr el áre limitd por l curv y = x x y el eje x en el intervlo [,]. Encontrr el áre de l región limitd por el eje x y l curv y = x x el intervlo [,] 7

8 . Hllr el áre limitd por ls curvs y rects que se indicn (elorr l figur):. y = 9 x, y = x + RTA. 6 Uniddes de superficie. y = x, y = 8 x RTA. Uniddes de superficie C. y = x +, y = X, x =, x = d. Clculr el áre comprendid entre ls curvs de ls funciones f(x) = x x + y g(x) = x e. Clculr el áre limitd por l curv y = x -x + 6 y l rect y = x. not: solo desrrolln hst el punto 8

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