Ejemplo de demostración de que cierto lenguaje es el lenguaje aceptado por un AFND.

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1 Ejemplo de demostración de que cierto lenguaje es el lenguaje aceptado por un AFND. Sea el siguiente autómata finito no determinista M: c q0 a b q1 b q2 Sea L = {x {a, b, c} /x es de la forma a(ba) k bc m, con k 0, m > 0}. Demostraremos que L(M) = L. Para ello, primero demostraremos que L L(M) y luego que L(M) L. Previamente, definimos los siguientes lenguajes auxiliares: - L q0 = {x {a, b, c} /q 0 ˆδ(q 0, x)} - L q1 = {x {a, b, c} /q 1 ˆδ(q 0, x)} - L q2 = {x {a, b, c} /q 2 ˆδ(q 0, x)} Es decir, cada lenguaje contiene las tiras que llegan al estado correspondiente. Puede observarse que L(M) es la unión de los lenguajes correspondientes a estados finales. Definimos las siguientes propiedades sobre una tira x {a, b, c} : 1

2 - P0) x es de la forma (ab) k, con k 0 - P1) x es de la forma a(ba) k, con k 0 - P2) x es de la forma a(ba) k bc m, con k 0, m 0 Demostramos primero que L(M) L. Esto es equivalente a demostrar que si w L(M), entonces w L, para cualquier tira w. Para ello, demostraremos por inducción completa en la cantidad de pasos que lleva reconocer w (denotada τ(w)), las siguientes propiedades: 1. Si w L q0 w cumple P0 2. Si w L q1 w cumple P1 3. Si w L q2 w cumple P2 Las tres inducciones deben hacerse al mismo tiempo dado que, como se verá, la demostración de la tesis inductiva en alguna de ellas utiliza la hipótesis inductiva de otra. Paso Base: consideramos las tiras más cortas que llegan a cada estado: - PB0) w L q0 y τ(w) = 0 (por def de M) w = ɛ w = (ab) 0 w cumple P0 - PB1) w L q1 y τ(w) = 1 (por def de M) w = a w = a(ba) 0 w cumple P1 - PB2) w L q2 y τ(w) = 2 (por def de M) w = ab w = a(ba) 0 bc 0 w cumple P3 Hipótesis Inductivas: suponemos que, dado un cierto h, para toda tira w tal que w se reconoce en h pasos o menos, se cumple: - HI0) si w L q0 w cumple P0 - HI1) si w L q1 w cumple P1 - HI2) si w L q2 w cumple P2 Tesis Inductivas: si las hipótesis inductivas son válidas, para toda tira w tal que w se reconoce en h + 1 pasos se cumple: 2

3 - TI0) si w L q0 w cumple P0 - TI1) si w L q1 w cumple P1 - TI2) si w L q2 w cumple P2 Demostración TI0) Si w L q0 entonces, por definición de δ, w = w b, con w L q1. Como τ(w ) = h, por la hipótesis inductiva HI1, w = w b con w = a(ba) k, con k 0. Entonces, w es de la forma a(ba) k b = (ab) k+1, y por lo tanto w cumple P0. TI1) Si w L q1 entonces, por definición de δ, w = w a, con w L q0. Como τ(w ) = h, por la hipótesis inductiva HI0, w = w a con w = (ab) k, con k 0. Entonces, w es de la forma (ab) k a = a(ba) k, y por lo tanto w cumple P1. TI2) Si w L q2, por la la definición de δ, w puede tener dos formas - w = w b, con w L q1. Como τ(w ) = h, por la hipótesis inductiva HI1, w = w b con w = a(ba) k, con k 0. Entonces, w es de la forma a(ba) k bc 0 = (ab) k+1 c 0, y por lo tanto w cumple P2. - w = w c, con w L q2. Como τ(w ) = h, por la hipótesis inductiva HI2, w = w c con w = a(ba) k bc m, con k 0 y m 0. Entonces, w es de la forma a(ba) k bc m c = (ab) k+1 c m+1, y por lo tanto w cumple P2. Entonces, por el principio de inducción completa, se cumplen las propiedades P1, P2 y P3 para toda tira w del alfabeto. En particular, la propiedad P3 es lo que se quería demostrar. Resta demostrar el recíproco de la propiedad anterior, es decir que si una tira pertenece a L, entonces es reconocida por el autómata. Demostraremos por inducción completa en el largo de la tira w, las siguientes propiedades: 1. Si w cumple P0 w L q0 2. Si w cumple P1 w L q1 3. Si w cumple P2 w L q2 3

4 Como puede verse, las propiedades que se demuestran aquí son las recíprocas de las demostradas en el paso anterior. Las tres inducciones deben hacerse al mismo tiempo dado que, como se verá, la demostración de la tesis inductiva en alguna de ellas utiliza la hipótesis inductiva de otra. Paso Base: consideramos las tiras más cortas cumplen cada una de las propiedades: - PB0) w cumple P0 y w = 0 w = ɛ (por def de M) w L q0 - PB1) w cumple P1 y w = 1 w = a (por def de M) w L q1 - PB2) w cumple P2 y w = 2 w = ab (por def de M) w L q2 Hipótesis Inductivas: suponemos que, dado un cierto h, para toda tira w/ w h se cumple: - HI0) si w cumple P0 w L q0 - HI1) si w cumple P1 w L q1 - HI2) si w cumple P2 w L q2 Tesis Inductivas: si las hipótesis inductivas son válidas, para toda tira w/ w = h + 1 se cumple: - TI0) si w cumple P0 w L q0 - TI1) si w cumple P1 w L q1 - TI2) si w cumple P2 w L q2 Demostración TI0) Si w cumple P0 entonces w es de la forma (ab) k = w b, con w = a(ba) k 1. Como w = h, por la hipótesis inductiva HI1, w = w b, con w L q1, y por la definición de δ w L q0. TI1) Si w cumple P1 entonces w es de la forma a(ba) k = w a, con w = (ab) k. Como w = h, por la hipótesis inductiva HI0, w = w a, con w L q0, y por la definición de δ w L q1. 4

5 TI2) Si w cumple P2, w = a(ba) k bc m, con k 0, m 0. - Si m = 0, w = a(ba) k b y entonces w = w b con w = a(ba) k. Como w = h, por la hipótesis inductiva HI1, w = w b con w L q1, y por la definición de δ, w L q2 - Si m > 0, w = a(ba) k bc m y entonces w = w c con w = a(ba) k bc m 1. Como w = h, por la hipótesis inductiva HI2, w = w c con w L q2, y por la definición de δ, w L q2 Entonces, por el principio de inducción completa, se cumplen las propiedades P1, P2 y P3 para toda tira w del alfabeto. En particular, la propiedad P3 es lo que se quería demostrar. 5

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