Superficie dada en forma explícita.
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- Jesús Samuel García Montero
- hace 7 años
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1 Prof. Anrea Capillo Análisis Mateático II Interales e superficie Recoreos la efinición e área e una superficie alabeaa. 3 ea la superficie sieno siple reular iaen e la función f : R R cuplieno la función f con las coniciones necesarias para efinir una superficie siple a través e su conjunto iaen. efinios el área e eiante la siuiente epresión: Área f u f v u v La epresión anterior perite el cálculo el área e siepre que tenaos la superficie paraetriaa. Evaluareos ahora los casos en que la superficie está efinia eiante una ecuación cartesiana en fora eplícita o iplícita. uperficie aa en fora eplícita. i la superficie siple reular está aa eiante una ecuación eplícita icha ecuación será el tipo f Analiaos en prier luar el caso f En este caso poeos paraetriar la superficie e la siuiente anera: 3 h : R R / h f sieno la proección e la superficie sobre el plano. Utiliano la fórula para el cálculo el área e obteneos: Área Realiaos los cálculos para hallar el proucto vectorial e la epresión. 0 f 0 f
2 Prof. Anrea Capillo Análisis Mateático II i j k f f 0 f 0 f. Este vector resulta siepre istinto el vector nulo a que su tercera coponente es una constante istinta e cero. Por lo tanto para calcular el área e evaluaos la nora el vector obtenio. f f Reeplaano en la epresión resulta: Área f f sieno el recinto que resulta e proectar la superficie en el plano. Analiaos el caso En este caso poeos paraetriar la superficie e la siuiente anera: 3 h : R R / h sieno la proección e la superficie sobre el plano. Utiliano la fórula para el cálculo el área e obteneos: Área Realiaos los cálculos para hallar el proucto vectorial e la epresión. 0 0 i j k 0. Este vector resulta siepre istinto el vector 0 nulo a que su priera coponente es una constante istinta e cero. Por lo tanto para calcular el área e evaluaos la nora el vector obtenio.
3 Prof. Anrea Capillo Análisis Mateático II Reeplaano en la epresión resulta: sieno el recinto que resulta e Área proectar la superficie en el plano. 3 Analiaos el caso En este caso poeos paraetriar la superficie e la siuiente anera: 3 h : R R / h sieno la proección e la superficie sobre el plano. Utiliano la fórula para el cálculo el área e obteneos: Área Realiaos los cálculos para hallar el proucto vectorial e la epresión. 0 0 i j k 0. Este vector resulta siepre istinto el vector 0 nulo a que su seuna coponente es una constante istinta e cero. Por lo tanto para calcular el área e evaluaos la nora el vector obtenio. Reeplaano en la epresión resulta: 3
4 Prof. Anrea Capillo Análisis Mateático II sieno el recinto que resulta e Área proectar la superficie en el plano. uperficie aa en fora iplícita. i la superficie siple reular está aa en fora iplícita la ecuación que la escribe será el tipo 0 en este caso la superficie es la superficie e nivel 0 e la función. 0 uponeos que la función cuple las coniciones para efinir iplícitaente una función f recorar el teorea e las funciones efinias en fora iplícita o e Cauch-ini. En este caso poeos paraetriar la superficie e la siuiente 3 anera: h : R R / h f Recorano el análisis anterior el área e puee calcularse coo: Área f f En el caso e las funciones efinias iplícitaente las erivaas parciales quean aas por: f f Reeplaano en la epresión para el cálculo el área e obteneos: Área f f Por lo tanto poeos efinir el iferencial e superficie coo: 4
5 Prof. Anrea Capillo Análisis Mateático II i consieraos ahora que la función cuple las coniciones para efinir iplícitaente una función poeos paraetriar la superficie e la siuiente anera: / : 3 h R R h En este caso el área e puee calcularse coo: Área En el caso e las funciones efinias iplícitaente las erivaas parciales quean aas por: Reeplaano en la epresión para el cálculo el área e obteneos: Área Por lo tanto poeos efinir el iferencial e superficie coo: Análoaente si consieraos ahora que la función cuple las coniciones para efinir iplícitaente una función poreos calcular el área e eiante la siuiente epresión: Área Por lo tanto poeos efinir el iferencial e superficie coo: 5
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