Tangencias y puntos de intersección con una recta. Otros problemas de cónicas
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- Raquel Fuentes Rivero
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1 CURVAS CÓNICAS La elipse. La hipérbola y la parábola. Tangencias y puntos de intersección con una recta. Otros problemas de cónicas TEMA7 Objetivos y orientaciones metodológicas El curso pasado estudiamos las propiedades de estas curvas, los elementos que intervienen en ellas y la construcción de las mismas. En esta unidad temática se resuelven una serie de problemas relacionados con ellas con objeto de que el alumno tenga un conocimiento completo de las cónicas. Al desarrollo de esta unidad temática se pueden dedicar tres clases. '..JUU.IRSE 1. Trazadode la tangente y la normal en un punto de la elipse (Fig. 1) La tangente a la elipse en un punto M de ella es la recta t, bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores MF y MF'. La normal a la elipse enm es la perpendicularn a la tangente t. En la figura no se construye la elipse que - - está definida por los ejesab y CD. F' B 2. Tangentes a la elipse desde un punto exterior P (Fig. 2) La elipse está dada por el eje mayor AB y los focosf yf'. o Fig. 1. Sabiendo que la circunferencia focal es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes, tenemos que buscar un punto en ella que, unido con Y, resulte ser una cuerda de la circunferencia de centro P y radio PY. Según esto, se trazan la circunferencia focal de centro Fy la de centropy radio hasta el otro focoy, las cuales se cortan en los puntos M y N; se unen estos puntos con y y se trazan las mediatrices de los segmentos Y-M y Y-N, las cuales pasarán por Py serán las tangentes a la elipse. Los puntos de tangencia se obtienen al unir M y N con el focof, que es el centro de la focal. Fig. 2. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 73
2 3. Tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada d (Fig. 3) Si las tangentes han de ser paralelas a una dirección d, el punto P de la figura anterior está en el infinito y la circunferencia de centro P y radio hasta el foco Y (que no es centro de la focal) tiene radio infinito, y se convierte en una recta que pasa por Y y es perpendicular a la dirección dada. Las mediatrices t y t 2 de los segmentos Y-M y Y-Nson las tangentes y los puntos TI y T 2 son los de tangencia. Fig Puntos de intersección de una recta con una elipse (Fig. 4) Sean la rectary la elipse dada por sus elementos, focos y vértices. Sabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a una focal y pasan por el otro foco, el problema se reduce a hallar los centros de estas circunferencias. En la figura se traza la focal del focof, de radio za, y se halla el simétrico Y del foco F' respecto a r; se traza una circunferencia auxiliar cualquiera de centro O en la recta t que pase por los puntos F' y F;, la cual corta a la focal en los puntos 1 y 2; la cuerda 1-2 y la recta Ft-F", se cortan en el centro radical e ; r desde C, se trazan las tangentes a la focal y los puntos de tangencia TI y T 2 se unen conf, lo cual da los centros Z,y 1 2 en t, que son los puntos donde la recta t corta a la elipse y a la vez centros de circunferencias tangentes a la focal de Fy que pasan por el otro foco Y. Fig Problema: dada una elipse por una pareja de diámetros conjugados A'B' y C'D', hallar los ejes (Fig. 5) Por el centro O se traza la perpendicular aa'b' y se lleva OP = OA'; se une P con e' y se traza la circunferencia de centro O y diámetro Pó": con centro en O y radio O O se traza la semicircunferencia ROS; uniendo O conr y S se obtienen los ejes de la elipse en posición La magnitud de ellos es: a = 01 Yb = OH, que se llevan sobre cada uno de ellos respectivamente. o Fig DIBUJO TÉCNICO JJ - Bachillerato
3 6. Radios de curvatura. Construcción de la elipse por arcos de circunferencia (Fig. 6) En la figura se ha obtenido el centro de curvatura C p correspondiente al puntop de la elipse. Repitiendo esta operación para cuantos puntos se quiera, podemos construir la elipse por arcos de circunferencia tangentes entre sí, con ayuda de los centros de curvatura obtenidos. Se traza primero la normal en el punto P, en la cual estará el centro de curvatura y que sabemos es la bisectriz de los radios vectoresr y r j ; la normal corta al eje mayor en el punto S; por este punto se traza la perpendicular a la normal, la cual corta enn a la recta OP; por N se traza la perpendicular al eje mayor y ésta corta en C p a la normal. En la figura se ha obtenido también C p empleando el eje menor; por Sj se traza la perpendicular a la normal y desde M, la perpendicular al eje menor que corta en Cp a la normal. El segmento Cp-P es el radio de curvaturar., 7. Divisiónde la elipse en partes iguales Primer procedimiento (Fig. 7) Se conocen los diámetros conjugados EK y TV. Se traza la semicircunferencia de diámetro EK y ésta se divide en el número de partes iguales que se desee, puntos E, F, G, H, I, J y K; estos puntos se refieren a EK por medio de perpendiculares aeky se tienen los puntos E, 1,2, O, 3, 4 y K; por estos puntos se trazan paralelas al diámetro conjugado TVhasta que corten a la elipse en los puntos de divisiónpy Q, R Y S, Ty V, L Y M, Ny U G A F F' B F'ig. 7. Segundo procedimiento (Fig. 8) Fig. 6. Como la elipse no se puede dividir directamente en arcos de igual longitud, se divide la circunferencia afín con ella de diámetro2a = AB. En la figura se ha dividido la semicircunferencia en 9 partes iguales y los puntos 1', 2'..., 8' se han referido a la elipse por medio de afinidad. Fig. 8. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 75
4 !-4.IilBÉBBDkA 8. Trazado de la tangente y la normal a la hipérbola en un punto P de ella (FIQ. 9) La tangente a la hipérbola en un puntop es la rectat, bisectriz de los radios vectores I y II La normal a la curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente t. 10. Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada r (Rg. 11) Como en la elipse, se traza por un foco F' la perpendicular a la dirección I, la cual corta a la circunferencia focal del foco F en los puntos N y M. Las tangentes t y t' son las mediatrices de los segmentos F'My F'N. En la figura se trazan también las asíntotas, que son las mediatrices de los segmentosf'q y F'R. / o F A N Fig Tangentes a la hipérbola desde un punto exterior (Fig. 10) Se trazan la circunferencia focal de centro F y la circunferencia de centro el punto P, dado, y que pasa por el otro foco F'; estas dos circunferencias se cortan en los puntosny M, que, unidos conf', nos dan los segmentos NF' y MF'; las mediatrices de estos segmentos pasan por P y son las tangentes a la hipérbola. Los puntos de tangencia TI y T 2 se obtienen uniendof con N y Mhasta que corten a las tangentes. Fig Trazado de las asíntotas de la hipérbola a partir de la circunferencia principal (Fig. 12) Las asíntotas pasan por el centro O de la curva; por lo tanto, se trata de trazar las tangentes a la hipérbola desde el punto o. La circunferencia principal, de centro O y radio a = OA, corta a la de diámetro OF' en los puntosny NI' Las rectas ONy ON I son las asíntotasa y a'. También se obtienen uniendo el punto O con los puntos 1 y 2, donde corta a la circunferencia de diámetro FF' (radio = c) la perpendicular por B al eje real. El triángulo l-b-o es rectángulo y sus lados son a, b y c. F' Fig. 10. Fig DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato
5 12. Puntos de intersección de una recta con una hipérbola (Fig. 13) La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias tangentes a una circunferencia focal y que pasan por el otro foco que no es centro de la focal. Es decir, los puntos de intersección de la recta t y de la hipérbola son los centros de las circunferencias tangentes a la focal de F y que pasan por los puntosf' y E; simétrico def' respecto de la.recta. r. En la figura se resuelve este problema de tangencias ya estudiado. Los puntos de intersección son Il e Iz. 14. Obtención de puntos de una hipérbola definida por las asíntotas y un punto P de ella Primer procedimiento (Fig. 15) Se traza por P una recta cualquiera, que corta a las asíntotas en los puntos A y D; tomando De = PA se obtiene otro punto e de la curva. De la misma forma, otra recta que pase por P corta en N y M a las asíntotas; se toma MH = NP Yse tiene otro puntoh a de la curva. F' Fig Problema (Fig. 14) Una hipérbola está determinada por la distancia focal 2c = 50 mm. y su eje rea12a = 35 mm. Determinar los puntos de intersección con una recta que pasa por un foco y forma un ángulo de 22 30' con el eje real. Solución: Como la recta pasa por un foco, el simétrico de él respecto de la recta es él mismo, con lo que se reduce el problema a buscar los puntos de la recta r que son centros de circunferencias tangentes a la focal de F', que pasan por F y son tangentes a la recta perpendicular a la dada por F. Este problema se resuelve en la figura como un problema de tangencias. Los puntos de intersección son I 1 e Iz. Fig. 15. Segundo procedimiento (Fig. 16) Por el punto P se traza una recta cualquiera MN; se trazan MD y NE paralelas a una dirección cualquiera y el punto medio e del segmento DE es de la curva. De la misma forma, MA y NE, paralelas, y el punto medio G del segmentoae es de la curva; NF ymi, paralelas, yel punto medio S de FI es de la curva; lo mismo ocurre con el punto O Trazando por P las paralelas PL y PK a las asíntotas, se tiene la rectalky la tangente a la hipérbola en P es paralela a LK B Fig. 14. Fig. 16. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 77
6 15. Trazado de la tangente y la normal en W1 punto M de la parábola (Fig. 17) La tangente t en un punto M de la parábola es la -- bisectriz de los radios vectores MN y MF; la normal n es perpendicular a la tangente. d t, 17. Tangente a la parábola paralela a una dirección dada (Fig. 19) La tangente ha de ser paralela a la direcciónd; por el foco se traza la perpendicular ad, la cual corta enm a la directrizd y en1ala tangente en el vértíce r, La tangente pasa por el punto 1 y su punto de tangencia es T, en la paralela por M al eje de la curva. Obsérvese que la perpendicular por F a la direcciónd es una circunferencia de radio infinito, precisamente la circunferencia de radio PF de la Fig. 18, pero en este caso el puntopes impropio. o Fig Tangentes a la parábola desde un punto exterior (Fig. 18) Sea el puntop; se traza la circunferencia de radiopfy centro enp, la cual corta a la directrizd, que en la parábola hace de circunferencia focal de radio infinito, en los puntos 1 y 2. Las mediatrices de los segmentos l-fy 2-F son las tangentes t y t. 2 Los puntos de tangencia T y T 2 se obtienen trazando por 1 y 2 los radios vectores que son paralelos al eje. Las tangentes halladas cortan a la tangente t v en el vértice Ven los puntos 3 y4, que son los pies de las perpendiculares trazadas por el foco a las tangentes. t, Fig Puntos de intersección de una recta con una parábola (Fig. 20) El procedimiento es el mismo que para las otras cónicas ya estudiadas. Con centro en un punto O de la recta r, se traza la circunferencia que pase por F y que pasará también por el simétrico F de F respecto a r; desde el punto C; centro radical, se traza la tangente Gr-Ty este segmento se lleva sobre la directriz d, con lo que se obtienen los puntos A y B; las paralelas al eje por A y B dan los puntos de interseccíón J, e 1 2 de la rectar con la parábola. Fig. 1B. Fig. ~O. 78 DIBUJO TÉCNICO 11- Bachillerato
7 19. Determinación de los elementos de la parábola, conociendo dos tangentes y sus puntos de contacto (Figs. 21 y 22) En la Fig. 21 se indica la forma de obtener un punto cualquiera T" de la parábola, así como su tangente t". Los datos son las tangentes t y t 2 Y sus puntos de contacto T y T, 2 Se unen los puntos T y T 2 Yel punto medio M de este segmento se une conn; la rectamnes la dirección d818j8, S8 toma un punto cualquierapde recta T T 2 Ypor él se trazan las paralelas a las tangentes, que cortan a éstas en los puntos 1 y 2; la recta 1-2 es la tangente t" en el punto T", que se obtiene al trazar por P la paralela a la dirección del eje, la En la Fig. 23 se conocen las tangentes t y t 2 Ylos puntos de tangencia T y T, 2 Las tangentes se cortan en Ny este punto, unido con el M, medio de T -T, 2 nos dala dirección del eje, Se traza una perpendicular cualquiera CC' a la dirección del eje y por C y C', las paralelas a las tangentes dadas, que se cortan enb; unimosb conny obtenemos B' en la cuerda T -T ; 2 por B' pasa el eje de la curva, del cual conocemos ya su dirección, Para hallar el vértice, por B' trazamos paralelas a las tangentes; uniendo los puntos R y R 2 tenemos el vértice V y su tangente, El foco se obtiene trazando por R o R 2 la perpendicular a la tangente respectiva, N Fig. 21. En la Fig. 22 se hace aplicación de la construcción anterior para construir la parábola por puntos a partir de los mismos datos, Fig Centro de curvatura en el vértice de una parábola (Fig. 24) El centro de curvatura en el vértice de una parábola es el punto C del eje, siendo C F = VF. v v 9 p/2 p/2-1 V F C v o P d t v Fig. 22. Fig. 24. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 79
8 21. Radios de curvatura y construcción de la parábola por arcos de circunferencia (Fig. 25) En primer lugar, hay que determinar varios puntos de la curva para unirlos después con arcos de circunferencia. El punto P, es de la curva; se traza la normal P 1-1, que es la bisectriz de los radios vectoresr y r 1 del punto P 1 ; esta normal corta en 1 al eje y por este punto se traza la perpendicular a la normal, que corta en Al al radio vector i 1; por Al se vuelve a trazar otra perpendicular, en este caso al eje, la cual corta a la normal en el punto C 1, centro de curvatura de la parábola en el punto R. El radio de curvatura es C 1 -P. 1 Se toma otro punto P, y se hacen las mismas operaciones. El punto T de tangencia de los dos arcos estará en la recta C 1 -C Problema (Fig. 26) Dados una tangentet, un puntopy el foco Fde una parábola, determinar: 10. La directriz y el eje. 20. El punto de tangencia de la tangente. 30. Los puntos de intersección de la parábola con una recta que pasa por F y es perpendicular al eje. 40. Los centros de curvatura en el vértice, en el punto P y en los puntos de intersección hallados. Construcción de la curva por arcos de circunferencia. El punto P dista 10 mm. de la tangente, y el focof, 30 mm. de la tangente y 20 mm. del puntop. Hágase aplicación de las propiedades dadas en el estudio de la parábola. d v d Fig. 25. Fig DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato
9 ACTIVIDADES '..JUiiLJBSJii 1. Se da una elipse por su eje mayor 2a = 80 mm. y su eje menor 2b = 50 mm. Se pide: Delerminar un punto A de ella. Trazar la tangente a la curva en este punto. Dibujar un cuadrante de la curva por puntos aplicando su definición. Dibujar un cuadrante de la curva por medio de haces proyectivos. Dibujar un cuadrante de la curva por medio de afinidad con las circunferencias de radio a y b. Trazar las tangentes a la curva desde un punto exterior cualquiera, determinando los puntos de tangencia. Sin construir la curva, determinar por afinidad una pareja de diámetros conjugados de la curva. 2. Una pareja de diámetros conjugados de la elipse miden 80 mm. y 50 mm. y forman un ángulo de 60 Se pide: Hallar los ejes de la curva. Dibujar un cuadrante de la curva por haces proyectivos. 3. Trazar la tangente a una elipse en un punto de ella, empleando la circunferencia principal (2a = 80 mm., 2b = 50mm.) 4. Trazar las tangentes a una elipse desde un punto exterior P empleando la circunferencia principal (2a = 80 mm., 2c = 70 mm.). 5. Trazar las tangentes a una elipse paralelas a una dirección dada -d- empleando la circunferencia principal. 6. Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco F, una tangente t con su punto de contacto Ty la magnitud2a. 7. Determinar los elementos de una elipse conociendo un focof, una tangente t y otra tangente ti con su punto de contacto T. 8. Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco P, una tangente t y las magnitudes a y b. 1. Una hipérbola está definida por 2a = 20 mm. y 2c = 50 mm. Se pide: Determinar un punto P cualquiera de la curva. Sin dibujar la curva, trazar la tangente en el punto P. Dibujar una rama de la curva. Fijar los vértices en el eje imaginario. Sin dibujar la curva, trazar las tangentes desde un punto exterior y determinar con exactitud los puntos de tangencia. Trazar las tangentes a la curva desde un punto impropio y determinar los puntos de tangencia. Trazar las asíntotas a la curva. Fijada una recta o dirección, indicar si es exterior o interior a la curva. 2. Trazar la tangente a la hipérbola en un punto P de ella, empleando la circunferencia principal. 3. Trazar las tangentes a la hipérbola desde un punto exterior P, empleando la circunferencia principal. 4. Trazar las tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dadad, empleando la circunferencia principal. 5. Determinar los demás elementos de una hipérbola conociendo los focosfy F'y una asíntotas. 6. Determinar los demás elementos de una hipérbola conociendo un focof, una asíntotas y la magnitud a. 7. Determinar los demás elementos de una hipérbola conociendo un foco F, una tangente t con su punto de contactoty la magnituda. 8. Determinar los elementos de una hipérbola conociendo un focof, una tangente t con su punto de contacto Ty la magnitud2c. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 81
10 !-A.PA&ÁBQJ.A 1. En una parábola, el focof está a 15 mm del vértice V Se pide: Construir la curva por puntos. Tomar un punto P de ella y trazar en él la tangente a la curva. Trazar las tangentes exterior. a la curva desde un punlo Trazar la tangente paralela a una dirección dada. 2. Determinar los elementos de la parábola conociendo la directriz d y dos puntos A y B de la curva. 3. Determinar los elementos de la parábola conociendo el focofy dos tangentes t 1 ytz' 4. Construir la parábola conociendo el foco F y dos puntos A y B de la curva. 5. Construir la parábola conociendo la directriz d y dos tangentes t. y t 2 82 DIBUJO TÉCNICO 11- Bachillerato
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