UTILIDAD RELATIVA DE UN SISTEMA DE MEDICIÓN

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1 UTILIDAD RELATIVA DE UN SISTEMA DE MEDICIÓN G. Américo Rivas C. Prof. De la Escuela de Ingeniería Industrial. Área de Postgrado. Maestría en Ingeniería Industrial. Universidad de Carabobo e. Mail: Resumen En este artículo se plantea la necesidad de disponer de una medida de la calidad relativa de un Sistema de Medición. Medida relativa por cuanto se hace con relación a la variación en un producto determinado de un proceso de producción dado. Se discute y analiza el proceso de desarrollo de los datos que se generan en un estudio del Sistema de Medición empleado para determinada característica de calidad. Como resultado del análisis, se deriva una medida de la utilidad relativa de una medición. Abstract This paper poins out the necessity of assessing the relative usefulness of a measurement for a specific product. Before such a relative measure of usefulness can be obtained, one will have to have an estimate of the product variation and a framework for comparing the error of measurement with product variation. This framework and a statistic for measuring the relative usefulness of a measurement, are given in this paper INTRODUCCIÓN. Uno de los aspectos más importante en el área de la evaluación de un Sistema de Medición es el tema relacionado con la capacidad de discriminación de tal sistema. El tema del presente trabajo se relaciona con la obtención de una medida de la efectividad relativa a un producto determinado, de un sistema de medición. UTILIDAD RELATIVA DE UNA MEDICIÓN. El estimado de la Desviación Estándar del Sistema de Medición proporciona una medida absoluta del Error de la Medición. Sin embargo, esto no es suficiente para calificar la utilidad relativa de esa medición para un determinado producto o proceso. Para poder obtener esa medida relativa es necesario, en primer lugar, disponer de un estimado de la variación del producto. Una vez que se dispone de tal estimado, entonces se debe definir la forma en que se compararán tales estimados. Como se establece en el Manual del curso Análisis de los Sistemas de Medición (Ing. G. Américo Rivas C, ver referencia 2): Varianza Obs.= Varianza del Producto + varianza del Error de Medición Esta relación puede reflejarse bajo la figura de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el valor de σ obs.

2 En la medida en que la desviación estándar del producto es mayor que la del sistema de medición, aquella será la que aporte más a la desviación estándar observada. Ahora bien, si se producen mejoras continuas en el proceso, entonces llegará un momento en que prevalecerá la desviación estándar del sistema de medición. En el momento en que eso ocurra ya el sistema de medición no podrá detectar la variación en el producto, y entonces es el momento en que la prioridad debe ser la mejora del sistema de medición. Por lo que se ha expuesto, es muy importante tener una, manera de evaluar la utilidad relativa de una medición. Para eso se necesita discutir con algún detenimiento, las características que rodean el estudio de un sistema de medición. Cuando se hace un estudio del sistema de medición, se selecciona una muestra aleatoria del proceso de producción. Supóngase que la misma es de P artículos. Sean x l, x 2,... x P, los valores verdaderos de cierta característica de calidad x, en tales artículos. Estos valores son una muestra aleatoria de una población cuya media es µ y cuya varianza es σ p 2. A cada uno de estos artículos se le hace "r" lecturas. Para mantener el análisis lo más simple posible, supóngase que para cada parte i se hacen r = 2 lecturas. Cuando se hace la j-ésima lectura sobre el i-ésimo artículo, la lectura correspondiente, y ij será igual a en donde e ij es el error de medición, cuya mediase asume que es iguala cero y su varianza es σ m 2. Los e ij se consideran v.a. no correlacionadas entre sí, e independientes de los valores verdaderos de las partes, x i, por lo tanto Bajo estos supuestos: 1. Todas las observaciones tienen la misma media (p). 2. Las observaciones no son estadísticamente independientes. Esta dependencia estadística es el reflejo de una realidad: las 2 lecturas hechas sobre la misma parte están ligadas a su valor verdadero, alrededor del cual varían, de acuerdo al valor de σ m 2. La dependencia mencionada permite definir el llamado Coeficiente de Correlación Intraclase, ρ 1, (Ver Scheffé, Referencia 6) Recuérdese que

3 De todo esto se deduce que las "r" variables aleatorias que conforman las lecturas hechas sobre la misma parte no son independientes, y que su Coeficiente de Correlación es ρ 1. En resumen, las variables aleatorias se pueden considerar variables aleatorias bidimensionales, cuyo Coeficiente de Correlación es ρ 1. En la metodología estadística es usual suponer que las variables aleatorias consideradas en el modelo, siguen una distribución Normal. Bajo este supuesto adicional, las v.a. antes mencionadas se pueden considerar Bi-variables Normales. MODELO NORMAL B1-VARIABLE. El modelo Normal Bi-variable tiene 5 parámetros que son, µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 y el Coeficiente de Correlación ρ, que en el contexto que se está analizando es el ya definido Coeficiente de Correlación Intraclase. La función de densidad de probabilidad de la distribución Normal Bi-variable es Cuando esta superficie, con la forma parecida a una campana, se intercepta con un plano paralelo al eje X-Y, se generan curvas planas, cada una de las cuales es una elipse. Estas elipses son las curvas de contorno las cuales permiten representar de una forma más sencilla, la función de densidad de probabilidad de la distribución Normal Bi-variable. En las figuras que siguen, se muestra la función de densidad de la Normal Bi-Variable, con Sigmas iguales y Coeficiente de Correlación igual a 0,80, y las curvas de contorno de esa misma función de densidad, las cuales permiten describir de manera más sencilla dicha función.

4 La ecuación de cada una de estas elipses (ver Brownlee, referencia 4), es Cuando ρ es igual a cero, se obtiene la ecuación de una elipse cuyos ejes principales son paralelos a los ejes de coordenadas. Sin perder generalidad y para simplificar el análisis, se considerará que Por otra parte, los parámetros σ 1 y σ 2 son iguales, debido a que las lecturas que se hacen sobre cada parte pertenecen a la misma población. Para simplificar la expresión de la ecuación de la elipse, se considerará que σ 1 = σ 2 = 1. Bajo estos supuestos, la ecuación de la elipse se simplifica a la expresión

5 En el Apéndice se demuestra que esta ecuación corresponde a una elipse cuyo eje principal forma un ángulo de 45 con el eje de las abscisas. A1 girar los ejes 45, y 1 y y 2 se convierten en z 1 y z 2, y la ecuación de la elipse queda como Observe que, efectivamente, el eje principal mayor de la elipse forma 45 con el eje de las abscisas. Es conveniente destacar que cuando la variable bi-dimensional considerada se forma con las lecturas hechas sobre la misma parte, como es el caso que se analiza, siempre será verdad que σ 1 = σ 2, y el ángulo será de 45. Si los valores de las medias µ 1 y µ 2 no son iguales a cero, el cambio consiste, simplemente, en una la relación traslación de los ejes. Al sustituir en la ecuación IX, las funciones trigonométricas por sus valores sen 45 = 1/ 2, cos 45 = 1/ 2, se obtiene la ecuación de la elipse cuyos ejes principales son paralelos a los ejes de coordenadas A1 dividir por (1 - ρ 2 ), queda Como esta es la ecuación de una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, el valor de la constante debe ser (1- ρ 2 ). En consecuencia, la longitud del eje mayor es 2 (l + ρ), mientras que la longitud del eje menor es 2 (l - ρ). GRÁFICO DE LA RELACIÓN DE DISCRIMINACIÓN. Si se desea ver reflejado en un solo gráfico, la variación dentro de las lecturas repetidas sobre la misma parte y la variación debida al proceso de producción, se puede tomar la idea de Wheeler-Lyday (ver referencia número 3), de colocar en un gráfico X-Y, los puntos que corresponden a los valores de para cada parte, esto es, para i = 1, 2,..., p. El gráfico resultante mostrará la dispersión de los datos alrededor del diagonal. De acuerdo a lo que se desarrollara antes, estos puntos deben ajustarse a una elipse, cuyo eje principal mayor tiene una longitud igual a 2 (l + ρ) y el eje principal menor tiene una, longitud igual a 2 (l - ρ).

6 En el gráfico, la variación perpendicular a la diagonal refleja la variación debida al sistema de medición solamente, mientras que la variación a lo largo de la diagonal refleja la variación debida tanto al sistema de medición como al producto. El error en la medición puede representarse como un cuadrado cuyo lado es de longitud 2 (l - ρ). Si la elipse se encierra dentro de un rectángulo formado por tantos cuadrados como haga falta, entonces este número de cuadrados representa el poder o capacidad de discriminación de las mediciones hechas, relativa al producto que se ha medido. Esta capacidad de discriminación se puede medir mediante la relación Esta relación representa el número de categorías diferentes en que el sistema de medición puede clasificar los valores verdaderos del producto, x 1. RELACIÓN CON EL CRITERIO DEL %R&R Según ese criterio, para que el sistema de medición sea aceptable, la desviación estándar del sistema de medición, σ m, debe ser menor o igual que el 10% de la desviación estándar observada, σ obs El Coeficiente de Correlación de la Normal Bi-variable es el Coeficiente de Correlación Intraclase definido en la ecuación V como El criterio anterior (ecuación XII) es equivalente a En consecuencia, el Sistema de Medición es aceptable si

7 Con base al mismo criterio, se considera que puede usarse el equipo si la relación (σ m / σ obs ) ó 0,30. Para este caso, el criterio equivalente es APÉNDICE. En la referencia 4 se establece la ecuación de las elipses que representan las líneas de contorno de una distribución Normal Bi-variable como Estas elipses tienen el centro en el punto cuyas coordenadas son (µ 1, µ 2 ). Para simplificar la expresión, se supondrá que estos valores son iguales a cero, es decir, que la elipse tendrá su centro en el origen de las coordenadas. Como se ha desarrollado en el presente trabajo, en la situación que se analiza, estas elipses provienen de una distribución Normal Bi-variable con Sigmas iguales, es decir, que σ 1 es igual a σ 2. Se asumirá que estos parámetros son iguales a 1. Estas simplificaciones conducen a una expresión de la forma que es la ecuación de una elipse con su eje principal mayor formando un ángulo dado, 0, con el eje de las abscisas. Para derivar la ecuación de una elipse con ejes principales paralelos a los ejes de coordenadas, deben girarse los ejes de coordenadas un ángulo iguala 0. Sean z l y z 2, las coordenadas en este nuevo sistema de coordenadas. Entonces, los valores de y 1 y y 2, expresados en función de z l y z 2 son como sigue (ver Lehmann, referencia 5): A1 hacer estas sustituciones en la ecuación II y después de agrupar términos, se obtiene

8 Como la elipse con ejes principales paralelos a los ejes de coordenadas no tiene término en z 1 z 2, entonces se iguala a cero tal coeficiente, en la ecuación anterior, lo cual conduce a que el ángulo 0 = 45. BIBLIOGRAFÍA 1. Measurement Systems Analysis Reference Manual, AIAG, Detroit, Michigan, Rivas C., G. Américo (1996), Análisis de los Sistemas de Medición. Manual de Referencia. CEATE. Universidad de Carabobo. 3. Wheeler, D. J., Lyday, R.W. (1989): Evaluating the Measurement Process. 4. K. A. Brownlee, Statistical Theory and Methodology in Science and Engineering, Tercera Edición Lehmann, Charles H., Geometría Analítica, Editorial Limusa Scheffé, Henry, (1959), The Analysis of Variance, Wiley.