Control de recepción. Capítulo Introducción. 2. Curva característica. 3. Plan de muestreo simple. 4. Plan de muestreo doble

Transcripción

1 Capítulo 2 Control de recepción 1. Introducción 2. Curva característica 3. Plan de muestreo simple 4. Plan de muestreo doble 5. Plan de muestreo secuencial 6. Plan de muestreo rectificativo 7. Plan Military Standard 105E ANEXO El Proceso de Bernoulli 0 Apuntes realzados por el Profesor Ismael Sánchez para la asignatura: Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad, de la titulación de Ingeniería de Telecomunicaciones. Universidad Carlos III de Madrid 1

2 2 Control de recepción 2.1. Introducción Llamaremos lote a un conjunto elevado de artículos del que tenemos que decidir si adquirimos o rechazamos en función de la proporción de artículos defectuosos que tenga. Normalmente, un lote tiene un número de artículos demasiado elevado para poder inspeccionar todos ellos, por lo que sólo será factible el análisis de un conjunto de esos artículos extraídos del lote. Llamaremos muestra al conjunto de artículos que extraemos del lote y que serán los únicos que examinaremos para ver si son defectuosos o aceptables. Esta es con frecuencia la situación en el suministro de artículos manufacturados. Los artículo son suministrados en lotes, los cuales pueden ser examinados bien por el fabricante antes de su envío, o bien por el comprador antes de aceptarlos. Esta inspección consiste en examinar una muestra o conjunto de muestras de los lotes y tomar una decisión en función de la evidencia observada en la muestra. En este tema estudiaremos la selección de este tamaño muestral de manera que las conclusiones que se obtengan del análisis de la muestra puedan ser extendidas al lote completo con cierta fiabilidad. Por tanto, tomaremos una decisión sobre el lote completo en función de lo que observemos en la muestra. Enlamayoríadelos procedimientos supondremos que el lote es muy grande comparado con el tamaño de la muestra y, por tanto, a efectos prácticos podría considerarse que el lote es una población de tamaño infinito. Existe una gran variedad de procedimientos estadísticos para la realización de este muestreo de aceptación. Aquí se describirán sólo los más importantes. Por ejemplo, un procedimiento sencillo para realizar el muestreo consistiría en la extracción de una única muestra de cada lote y aceptar el lote entero si en la muestra hay menos de cierto número de artículos defectuosos. Ejemplos más sofisticados podrían ser tomar muestras sucesivas de pequeño tamaño y en cada muestra tomamos la decisión de aceptar el lote, rechazar el lote o seguir muestreando. El muestreo de aceptación se realiza cuando no es factible, o es antieconómico, la inspección del 100 % de los artículos. Por ejemplo, los ensayos requeridos pueden ser muy caros o incluso pueden requerir la destrucción del artículo. En otras ocasiones, la inspección puede necesitar mucho tiempo. En productos de alta precisión suele ser habitual la inspección de todos los artículos. Existe todo un sector de la industria dedicado al diseño de instrumentos de medida que permitan una inspección rápida o incluso automatica. El muestreo de aceptación puede dividirse en dos tipos fundamentales: Muestreo por atributos: cuando en la inspección los artículos se dividen en defectuosos y en no defectuosos, según cumplan con un conjunto de requerimientos establecidos. Muestreo por variables: en la inspección se mide una variable cuantitativa: longitudes, pesos, etc, y se evalúa la distancia entre dicha cantidad y la requerida en las especificaciones. En este tema centraremos nuestra atención en el muestreo por atributos por ser el más frecuente, aunque muchos de los principios de este tipo de muestreo también son aplicables al muestreo por variables Curva característica Un muestreo de aceptación será eficaz si las conclusiones que se extraen de la muestra son muy similares a las que se extraerían si se examinase todo el lote. Es decir, que si el lote tiene

3 OC(p) 2.2 Curva característica 3 un número reducido de artículos defectuosos, la muuestra también los tenga; o si el lote tiene una proporción elevada de artículos defectuosos, la muestra también los tenga. La eficacia de un procedimiento de muestreo de aceptación se resume en la llamada curva característica, curva OC o curva característica de operaciones (en inglés Operating Characteristic curve o más conocida por OC curve). La curva característica es un gráfico que expresa, para un plan de muestreo concreto, la probabilidad de aceptar un lote en función del procentaje p de artículos defectuosos existentes en el lote. Llamemos OC(p) a esta probabilidad. Nótese que p es una propiedad del lote: es la probabilidad de que un artículo extraído al azar del lote sea defectuoso.. Si p =0aceptaremos siempre ese lote, pues cualquier muestra que extraigamos estará libre de artículos defectuosos. Por tanto, OC(0) = 1. Asímismo, si todos los artículos son defectuosos (p = 1) rechazaremos siempre ese lote, pues cualquier muestra que se extraiga tendrá todos los artículos defectuosos. Por tanto, la probabilidad de aceptar el lote será cero: OC(1) = 0. Si un lote se acepta en función del resultado de la observación de una muestra y 0 <p<1, está claro que se ha de estar siempre dispuesto a aceptar artículos defectuosos, pues incluso si en la muestra no hay artículos defectuosos, el lote sí podría tenerlos si p>0. Supongamos que la proporción de artículos defectuosos que se está dispuesto a admitir para un lote es p A. En ese caso, aceptamos un lote si su proporción de artículos defectuosos es p p A y rechazamos el lote si p>p A. Un plan de muestreo ideal debería llevar siempre a aceptar un lote que tenga una proporción de defectuosos p p A, es decir OC(p p A )=1. Por el contrario, si p>p A dicho plan ideal debería siempre llevar a rechazar el lote, por tanto OC(p >p A )=0. La curva característica de este plan ideal sería la expresada en la figura Curva característica de operación Proporción de defectuosos Prop. de defectuosos admisible Figura 2.1: CurvaOCdeunplandemuestreoideal Un plan ideal no podrá establecerse nunca. La razón está en que la proporción de artículos defectuosos del lote, p, es un dato desconocido, puesto que no examinamos el lote sino sólo una muestra. Una vez extraída una muestra de tamaño n de un lote de tamaño N >> n,la proporción de artículos defectuosos que se encuentren en la muestra puede no coincidir con la proporción que se encuentre en el lote. Supongamos que se tiene un lote no admisible por tener una proporción de defectuosos alta, p>p A. El comprador de ese lote puede tener mala suerte

4 4 Control de recepción y seleccionar una muestra con muy pocos artículos defectuosos, llevándole a adquirir un lote no admisible. Análogamente, un lote con muy pocos artículos defectuosos, p p A puede ser rechazado si se selecciona una muestra donde, por azar, haya muchos artículos defectuosos. Por tanto, en un muestreo de aceptación siempre existe el riesgo de tomar una decisión equivocada. Vemos, además, que las equivocaciones son en dos sentidos: rechazar lotes buenos (riesgo para el vendedor) y aceptar lotes malos (riesgo para el comprador). La efectividad de un plan de muestreo se determinará por la capacidad de minimizar estos dos riesgos. Gráficamente, equivale a diseñar un plan de muestreo cuya curva OC no se aleje mucho de la curva ideal mostrada en la figura 2.1 anterior. El objetivo de un diseño de un plan de muestreo es, pues, doble: 1. Garantizar que, aplicando dicho plan, lotes con un porcentaje de defectuosos bajo se acepten con una probabilidad muy alta. Esto es equivalente a decir, que a la izquierda de p A la curva OC(p) se aproxime a la unidad. 2. Garantizar que lotes con un porcentaje de defectuosos alto sean aceptados con una probabilidad muy baja. Por tanto, a la derecha de p A la curva OC(p) correspondiente se aproxime a cero. Veamos esta idea con un ejemplo. Supongamos que un comprador está dispuesto a aceptar aquellos lotes que tengan un porcentaje de defectuosos menor o igual al 6 % (p A =0,06). Supongamos que dicho comprador aplica el siguiente plan: se toma una muestra de n =50 artículos de un lote y se acepta el lote entero si se encuentran 3 ó menos artículos defectuosos en dicha muestra. Si llamamos p al porcentaje de artículos defectuosos del lote (número desconocido) y p al porcentaje de artículos defectuosos observados en la muestra, el plan descrito anteriormente equivale a aceptar lotes cuya muestra tenga un porcentaje de defectuosos p menor o igual a p A =0,06. Vamos a obtener la curva OC de este plan, y así poder juzgar si ese plan es adecuado o no. Llamaremos d al número de artículos defectuosos encontrados en la muestra. Entonces, p = d /n = d /50. El número de artícuos defectuosos de la muestra, d es una variable aleatoria, pues variará de unas muestras a otras. Dependiendo de la muestra podremos encontrar cero, uno, dos y hasta un máximo de d = n =50 artículos defectuosos. Por el mismo motivo, p será también una variable aleatoria. Su valor variará de unas muestras a otras. Si suponemos que el tamaño del lote, N, es muy grande comparado con el tamaño de la muestra, n, podemos aplicar el modelo de distribución binomial para determinar la probabilidad de cada uno de dichos valores de d. Estrictamente, el número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n extraída de un lote de tamaño N, en el que hay una proporción de artículos defectuosos p, sigue un modelo de distribución llamada distribución hipergeométrica. Si N es muy grande comparado con el tamaño de la muestra n, puede utilizarse como aproximación el modelo de distribución binomial, en la que se supone que la muestra es extraída de una población de dimensión infinita. En esta sección supondremos que N es suficientemente grande y utilizaremos la distribución binomial como modelo de probabilidad de d. Tendremos, por tanto, que el número de artículos defectuosos d en una muestra de tamaño n procedente de una población donde la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es de p es d B(n, p).

5 2.2 Curva característica 5 A partir de este modelo de probabilidad podemos ya obtener la curva OC. Veamos primeramente el caso en que la proporción de artículos defectuosos del lote es precisamente p = p A =0,06. En este caso, aceptaríamos el lote si lo exáminásemos entero. Sin embargo, la decisión se tomará en base al resultado de la muestra de tamaño n =50. El número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño 50 será d B(50, 0,06). La probabilidad de obtener 0, 1, 2 ó 3 artículos defectuosos (que será cuando se acepte el lote) se puede evaluar con la función de probabilidad de la binomial. En el modelo binomial, la probabilidad de que la variable aleatoria d B(n, p) tome el valor r es ³ P (d = r) = nr p r (1 p) n r ; r =0, 1,..., n. Estas probabilidades se resumen en la tabla 2.1: r =número de art. defectuosos P (d = r) P (d r) P (d >r) Cuadro 2.1: Número de artículos defectuosos en una binomial B(50,0.06) En la primera columna de esta tabla están distintos valores de artículos defectuosos, desde r =0 hasta r =3. En la segunda columna se encuentra la probablidad de encontrar dichos artículos defectuosos. Por ejemplo, la probabilidad de que en la muestra haya exactamente d =3artículos defectuosos (p = d /50 = 0,06 = p A ) es muy baja, tan solo del 23,1 %. La segunda columna muestra la probabilidad acumulada de obtener valores menores o iguales a los señalados. Esta columna se ha construido sumando los valores de la columna de la izquierda hasta el valor r considerado. Por ejemplo, la probabilidad de obtener 3 artículos defectuosos o menos (3,2,1, ó ninguno) es del 64,7 %. La última columna es la complementaria de la anterior (P (d >r)=1 P (d r)) y refleja la probabilidad de obtener un número de artículos defectuosos superior al indicado. Por ejemplo, la probabilidad de obtener más de tres artículos defectuosos es del 35,3 %. Si el plan de muestreo determina que se acepta el lote si en la muestra hay tres artículos defectuosos o menos, se aceptará este lote con una probabilidad del 64,7 %. Por tanto, en este plan de muestreo OC(p = p A =0,06) = 0,647. Por tanto, con este plan, un lote aceptable se acepta sólo el 64,7 % de las veces, pues el resto de las veces las muestras extraídas darán una visión pesimista del lote (más de tres artículos defectuosos de cincuenta). El gráfico 2.2 extiende los valores de la tabla anterior amásvaloresder. En este gráfico puede verse que, aunque este lote sea aceptable (p = p A )la probabilidad de obtener muestras donde p >p A no es baja. Por ejemplo, la probabilidad de encontrar una muestra con un 8 % de artículos defectuosos (lo que equivale a d =4)essuperioral16%. En este ejemplo, el lote contenía una porporción de artículos defectuosos que estaba justo en el límite de lo admisible (p = p A =0,06). En el caso en que el lote contenga un 10 % de artículos defectuosos (p =0,10 >p A ) el lote sería claramente rechazable. Sin embargo, es posibe que con el presente plan se acepte. Para verlo basta con usar la distribución binomial para evaluar la probabilidad de obtener tres o menos artículos defectuosos en una muestra de tamaño 50 de dicho lote. Los resultados se recogen en la tabla 2.2:

6 6 Control de recepción Probabilidad 0,24 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 0 Distribución binomial Número de defectuosos Muestra: n=50 p=0.06 Figura 2.2: Función de probabilidad de una distribución B(50, 0,06). r =número de art. defectuosos P (d = r) P (d r) P (d >r) Cuadro 2.2: Número de artículos defectuosos en una binomial B(50,0.10) Vemos en esta tabla que la probabilidad de aceptar este lote no admisible con el presente plan es del 25,1 %, que es la probabilidad de encontrar una muestra con tres o menos artículos defectuosos. Este será otro punto más de la curva característica de este plan: OC(p =0,10) = 0,251. Este lote se rechazará, por tanto, el 74,9 % de las veces. La figura 2.3 muestra más valores correspondientes a la binomial B(50,0.10). Hasta ahora hemos visto el caso de un lote con una proporción de artículos defectuosos igual a la máxima admisible, donde hemos visto que se aceptaba sólo el 64,7 % de las veces con el plan propuesto. Hemos visto también el caso de un lote cuya poporción de artículos defectuosos era superior al límite admisible y que, por azar de la muestra, podía aceptarse el 25,1 % de las veces. Por último, vamos a ver el caso en que el lote tiene una proporción de artículos defectuosos menor a la máxima admisible. Supongamos ahora que la proporción de artículos defectuosos es de sólo p =0,03, la mitad de la proporción máxima admisible p A. En este caso, la probabilidad de obtener hasta tres artículos defectuosos en una muestra de tamaño 50 viene recogida en la tabla 2.3 Vemos en esta tabla que la probabilidad de aceptar el lote es del 93,7 %. Por tanto, OC(p = 0,03) = 0,937. Con este dato ya serían cinco los puntos que se han obtenido para el plan de muestreo. Estos cinco puntos se recogen en la tabla 2.4.

7 2.2 Curva característica 7 Probabilidad 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 0 Distribución binomial Número de defectuosos Muestra: n=50 p=0.10 Figura 2.3: Función de probabilidad de la distribución B(50, 0,10). r =número de art. defectuosos P (d = r) P (d r) P (d >r) Cuadro 2.3: Número de artículos defectuosos en una binomial B(50,0.03) De esta forma se podrían obtener más puntos de la curva OC. Para ello, basta con calcular, para distintos valores de p, la probabilidad de obtener tres defectuosos o menos con ayuda de la binomial B(50,p). La figura 2.4 muestra la representación gráfica de esta curva utilizando los cinco datosanterioresasícomoloscorrespondientesalospuntosp =0,15, 0,20 y 0,30, los cuales se han obtenido siguiendo el mismo procedimiento anterior. En esta figura, la curva OC se muestra superpuesta a la correspondiente a la del hipotético plan ideal. De esta curva OC puede deducirse que, dado un plan de muestreo, tanto el comprador como el vendedor corren sus riesgos. El comprador corre el riego de adquirir un lote que sea peor de lo que mostraba la muestra y por tanto quedarse con un lote con un porcentaje de defectuosos superior al que estaría dispuesto a admitir. Por otra parte, el vendedor corre el riesgo de que un lote bueno parezca malo porque en la muestra aparecieron una proporción de defectuosos muy superior a la del lote. p OC(p) =P (d 3) 0,00 1,000 0,03 0,937 0,06 0,647 0,10 0,251 1,00 0,000 Cuadro 2.4: Probabilidad de aceptar un lote con una proporción de artículos defectuosos p. Plandemuestreo:se extrae una muestra de tamaño 50 y se acepta el lote si hay tres o menos artículos defectuosos en la muestra.

8 OC(p) 8 Control de recepción 1.2 Curva característica de operación 1 plan ideal ejemplo Proporción de defectuosos p=0.06 Figura 2.4: Por esta razón, para determinar un plan de muestreo, el comprador y el vendedor deben acordar un plan que sea justo para ambos. Es decir, deben negociar un plan de muestreo con una curva OC que les interese a ambos. Negociar una curva OC puede ser complicado, por lo que el acuerdo entre comprador y vendedor se suele limitar a fijar unos pocos puntos de ella. En primer lugar, el comprador debe especificar el nivel de calidad que le gustaría que le suministrase el vendedor. La proporción de artículos defectuosos de un lote que es aceptable para el comprador se le denomina nivel de calidad aceptable (NCA, y en inglés AQL, acceptable quality level) y corresponde al valor p A mencionado anteriormente. La probabilidad de que un lote de calidad aceptable sea rechazado por azar de la muestra se denomina riesgo del vendedor y la denotaremos por α. Este riesgo coincide con la probabilidad de rechazar el lote cuando p = p A y es igual a α =1 OC(p A ). Por tanto: α = riesgo del vendedor=probabilidad de rechazar un lote con p = p A. Usualmente, un plan de muestreo se diseña de forma tal que este riesgo α esté cercano al 5 %. En el caso del plan de muestro del ejemplo anterior, este riesgo coincide con la probabilidad de rechazar el lote cuando p = p A =0,06 y es igual a α =1 OC(p A )=0,353 (ver tabla 2.1), por lo que dicho plan sería difícilmente aceptado por un vendedor. Por otra parte, para determinar la probabilidad de aceptar un lote de mala calidad, el comprador debe también decidir qué nivel de calidad es absolutamente inaceptable. A la proporción de artículos defectuosos en un lote que es inaceptable para el comprador se le denomina nivel de calidad rechazable (NCR, en inglés se suele denominar limiting quality level -LQL- o lot tolerance percentage defective -LTPD). A esta proporción de defectuosos inaceptable la denotaremos por p R. Normalmente p R /p A está entre 4 y 10. La probabilidad de que un lote de nivel de calidad rechazable sea aceptado por azar de la muestra se denomina riesgo del comprador y se le denota por β. Usualmente, los planes de muestreo se diseñan de forma tal que este riesgo sea alrededor del 10 %. Por tanto:

9 2.3Plandemuestreosimple 9 β = riesgo del comprador=prob. de aceptar un lote con p = p R =OC(p R ). En el ejemplo anterior, si tomamos p R =4p A =0,24, se obtiene que el riesgo del comprador es β =OC(0,24) 0, por lo que dicho plan es muy ventajoso para el comprador mientras que no lo es para el vendedor. En la práctica, los planes de muestreo se determinan fijando a priori los valores α, p A,βy p R. Habitualmente, los valores de α están alrededor del 5 % y β alrededor del 10 %. A continuación se describirán diferentes alternativas para diseñar un plan de muestreo. Estos planes son los siguientes: Plan de muestreo simple: se toma una muestra y se rechaza el lote si en la muestra hay más de cierto número de artículos defectuosos Plan de muestreo doble: similar al simple. Si el número de artículos defectuosos deja duda sobre la aceptación del lote se toma una segunda muestra Plan de muestreo secuencial: se amplía la muestra artículo a artículo y se decide si se acepta el lote, se rechaza o se sigue muestreando. Plan de muestreo rectificativo: los lotes rechazados se revisan al 100 % y los artículos defectuosos se sustituyen por artículos aceptable. Plan Military Standard 105E: conjunto de tablas que determina el plan de muestreo según diferentes características de los lotes Plan de muestreo simple El muestreo simple es el tipo de plan más sencillo. Consiste en tomar una muestra de tamaño n de cada lote y aceptar dicho lote si el número de artículos defectuosos no supera cierto número predeterminado c. A dicha cantidad c se le denomina número de aceptación. El plan utilizado como ejemplo en la sección anterior, consistente en extraer 50 artículos y rechazar si hay más de 3 defectuosos, es un ejemplo de este tipo de plan. Prefijadosunovaloresdep A,p R,αy β puede ser imposible encontrar un plan que se ajuste a nuestros requerimientos. Sin embargo, se puede encontrar alguna aproximación razonable. Un programa estadístico puede ayudarnos a encontrar una solución a un determinado plan de muestreo. Una forma fácil de diseñar el plan es utilizando las propiedades de la distribución binomial, como se expuso en la sección anterior. También puede utilizarse la aproximación a la normal si el tamaño muestral es suficientemente grande. Veamos a continuación un ejemplo. Ejemplo 1: Se desea diseñar un plan de muestreo simple con los siguientes parámetros: p A =0,02; α = 0,05; p R =0,04; β =0,05. El resultado del plan será la determinación del tamaño muestral n y del número de aceptación c. Vamos a suponer que el tamaño muestral n que hay que calcular

10 10 Control de recepción será lo suficientemente grande como para poder utilizar la aproximación a la normal (y tal que np(1 p) > 5). Sea d el número de artículos defectuosos de la muestra. Entonces d B(n, p) N (np, np(1 p)). Los valores p A =0,02 y α =0,05 significan que la probabilidad de rechazar un lote con una proporción de defectuosos igual a p A =0,02 es α =0,05. Es decir: Estandarizando: Ã P (d >c) = P P (d >c p = p A =0,02) = 0,05. d np A p npa (1 p A ) > c np A p npa (1 p A )! =0,05 Consultando las tablas de la N(0, 1) vemos que el valor que deja a la derecha un área igual a 0.05 es z α =1,64. Por tanto: c np A z α = p =1,64. (2.1) npa (1 p A ) Despejando c y aplicando que p A =0,02 se obtiene: p c = np A + z α npa (1 p A ) (2.2) 0,02n +0,23 n. (2.3) Análogamente, de las especificaciones de p R =0,04 y β =0,05 se obtiene que la probabilidad de aceptar un lote con un porcentaje de defectuosos del 4 % será de β =0,05. Por tanto Estandarizando: Ã P (d c) =P P (d c p = p R =0,04) = 0,05. d np R p npr (1 p R ) c np R p npr (1 p R )! =0,05. DelastablasdelanormalN(0, 1) se obtiene que el valor que deja a la izquierda un área igual a 0.05 es z β = 1,64. Entonces: Despejando c se obtiene: z β = Igualando (2.2) y (2.5) se obtiene que c np p R = 1,64. (2.4) npr (1 p R ) p c = np R + z β npr (1 p R ) (2.5) 0,04n 0,32 n (2.6) p p np A + z α npa (1 p A )=np R + z β npr (1 p R ) n (p A p R )= ³ p p n z β pr (1 p R ) z α pa (1 p A ) Ã p p! 2 z β pr (1 p R ) z α pa (1 p A ) n = (2.7) p A p R

11 2.4Plandemuestreodoble 11 Sustituyendo en (2.5) se tiene que n 759. c 22. Por tanto, el plan que se busca es el siguiente: se toma una muestra de tamaño n = 759 elementos. Se rechaza el lote si se encuentran más de c =22artículos defectuosos en dicha muestra. Para el diseño de planes de muestreo simple con α =0,05 y β =0,10 puede aplicarse también el plan JIS Z Esta norma consiste en la aplicación de una tabla que proporciona, para unos valores de p A y p R, unos valores de n y c que satisfacen, aproximadamente, las condiciones requeridas. Ejemplo 2: Se desea diseñar un plan de muestreo simple utilizando la norma JIS Z 9002 (plan japonés) con los siguientes parámetros: nivel de calidad aceptable=0.4 % de artículos defectuosos; nivel de calidad rechazable=2 % nivel de calidad aceptable=0.32 % de artículos defectuosos; nivel de calidad rechazable=4.6 % En el primer caso, la Tabla determina que n = 300 y c =3. Se inspeccionan 300 artículos y se rechaza el lote si hay más de 3 artículos defectuosos. En el segundo caso, nos encontramos con una flecha en la celda correspondiente. Siguiendo la dirección de la flecha encontramos que n = 100 y c =1. Inspeccionamos 100 artículos y rechazamos si hay más de un artículo defectuoso. Estos resultados se pueden comparar con los que se obtendrían con la aproximación normal del ejemplo 1. Utilizando las expresiones (2.7) y (2.5) se tiene que (cálculos hechos con Matlab) para p A =0,004,α=0,05; p R =0,02; β =0,10 n 313,c 3, para p A =0,0032,α=0,05; p R =0,046; β =0,10 n 71,c 1. En el primer caso es aproximadamente el mismo plan. En el segundo caso hay una diferencia en n, debido a que el tamaño muestral no es lo suficientemente grande para usra la aproximación alanormal Plan de muestreo doble El plan de muestreo doble es una extensión del simple. Se extrae primeramente una muestra de tamaño n 1 y se cuenta el número de artículos defectuosos d 1. Si este número es muy elevado, digamos superior a cierto valor c 2, el lote se rechaza. Por el contrario, si el número d 1 es muy bajo, menor o igual que cierto valor c 1 (<c 2 ), el lote se acepta. Sin embargo, si el número de defectuosos

12 12 Control de recepción d 1 se encuentra entre estos valores extremos: c 1 <d 1 c 2 seconcluiráquelamuestranoarroja evidencia suficiente para tomar la decisión. En ese caso, se toma una segunda muestra de tamaño n 2 y se evalúa el número de defectuosos de dicha muestra. Si d 1 + d 2 es mayor que cierta cantidad c 3 el lote se rechaza definitivamente. En caso contrario se acepta. La figura?? muestra un esquema de este plan de muestreo. Para la selección de los valores n 1,n 2,c 1,c 2 y c 3 existen tablas. Véase, por ejemplo Duncan (1971) capítulo 8. El primer tamaño muestral n 1 suele ser mucho menor que el que se requiere en el muestreo simple. Por esta razón, aunque este plan es de aplicación algo más compleja que el anterior, es más económico, pues permite reconocer en la primera muestra a los lotes muy malos o muy buenos. Figura 2.5: El diseño de planes de muestreo dobles es, en general, complejo. Este diseño se puede simplificar con la ayuda de tablas publicadas. Para ver su utilización usaremos un ejemplo. Ejemplo 3: Vamos a diseñar un plan de muestreo doble con n 1 = n 2 para lotes de tamaño 5000 con un p A =0.01; α =0,05; p R =0,045; β =0,10. En las tablas, la notación empleada es p 1 p A y p 2 p R. Ennuestrocasosetieneque R = p 2 p 1 = 0,045 0,01 =4,5. Buscando este valor en la columna correspondiente a R vemos que el plan más cercano es el PLAN 5: c 1 =2,c 2 = c 3 =4. Tenemos así, por tanto, los números de aceptación de cada muestra. Para obtener el tamaño muestral n 1 se han de mirar las columnas correspondientes a Approximate values of n 1 p, donde P a es la probabilidad de aceptar un lote con una proporción de defectuosos p. Si utilizamos la información del vendedor, aceptaremos con probabilidad 1 α un lote con

13 2.5Plandemuestreosecuencial 13 proporción de defectuosos p = p A =0,01. Por tanto tendremos que P a =1 α =0,95 Utilizaríamos, entonces, la columna correspondiente a P a n 1 p =1,16. Por tanto: =0,95. Para el plan 5 se tiene que n 1 p = n 1 p A =1,16 n 1 = 1,16 p A = 1,16 0,01 = 116. El plan de muestreo es, entonces: Se extrae una muestra de tamaño n 1 =116 y se cuenta el número de artículos defectuosos d 1. Si d 1 2seaceptaellote. Si d 1 > 4 se rechaza el lote. Si 2 <d 1 4 se extrae una segunda muestra de tamaño n 2 =116 y se cuenta el número de artículos defectuosos d 2. Si d 1 + d 2 > 4 se rechaza el lote, en caso contrario se acepta. Una segunda opción es haber utilizado, en las columnas de Approximate values of n 1 p la información del comprador, es decir, se acepta con probabilidad β un lote de p = p R. En este caso tendríamos: P a = β =0,10, y para el plan 5 tendríamos n 1 p =5,39. Por tanto, n 1 p = n 1 p R =5,39 n 1 = 5,39 p R = 5,39 0, Han de ser las partes implicadas quienes decidan cuál de las dos opciones usar. Una tercera alternativa es utilizar un punto intermedio, es decir, decidir cómo ha de ser el lote (valor de p) que se acepta con probabilidad 50 % Plan de muestreo secuencial La idea del muestreo doble puede extenderse al muestreo secuencial. En este caso el tamaño muestral se va aumentando unidad a unidad. Después de cada observación se decide si el lote se acepta, se rechaza o se continúa muestreando. Primero, y al igual que en los planes anteriores, se han de fijar las cantidades α, p A,β y p R. El plan viene caracterizado por tres constantes que

14 Número de defectuosos acumulado 14 Control de recepción dependen de los anteriores parámetros. Estas constantes h 1,h 2 y s se obtienen de la siguiente forma: µ 1 α ln β h 1 =, pr (1 p A ) ln p A (1 p R ) µ 1 β ln α h 2 =, pr (1 p A ) ln p A (1 p R ) µ 1 pa ln 1 p R s =. pr (1 p A ) ln p A (1 p R ) Después de inspeccionar cada artículo se tendrá un tamaño muestral acumulado n y un número de artículos defectuosos acumulado d. Entonces, si d>sn+ h 2 se rechaza el lote y si d sn h 1 se acepta el lote. En caso contrario se inspecciona un artículo más y se repite el proceso. Esta regla de decisión puede verse gráficamente en la siguiente figura. En esta figura, (sn + h 2 ) y(sn h 1 ) constituyen dos rectas paralelas de manera que al cruzarlas se toma la decisión de rechazar o aceptar el lote. 7 Plan de muestreo secuencial 6 d=sn+h2 5 Rechazar lote 4 3 Continuar inspeccionando 2 d=sn-h1 1 0 Aceptar lote Tamaño muestral acumulado 2.6. Plan de muestreo rectificativo En este tipo de plan, cualquier lote que sea rechazado es sometido a una inspección al 100 % y se sustituyen todos los artículos defectuosos por artículos buenos (lote rectificado). De esta manera, el comprador recibe dos tipos de lotes. El primer tipo de lote corresponde a aquellos que han superado la etapa de muestreo, por lo que contendrán una pequeña proporción de artículos

15 AOQ 2.6Plandemuestreorectificativo 15 defectuosos. El segundo tipo de lotes serán aquellos que han sido revisados al 100 % y rectificados. De estos dos tipos de lotes puede calcularse la calidad media de salida ( en inglés average outgoing quality AOQ), que es la proporción media de atículos defectuosos que recibe el comprador. Supongamos que un lote tiene una proporción p de artículos defectuosos antes de ser inspeccionado. Si p =0está claro que AOQ=0. Si, por el contrario, p =1, todos los lotes serán sometidos a inspección al 100 % y rectificación por lo que de nuevo AOQ=0. Entre medias de estos dos valores el AOQ tendrá un máximo, que llamaremos AOQL (averageoutgoingqualitylimit).sip es baja laaoqserábajaypróximaap, pues casi todos los lotes se aceptarán. A medida que p aumenta también aumentará AOQ, aunque en menor proporción, pues los lotes rechazados se revisan y rectifican. A partir de cierto valor de p el número de lotes rechazados comenzará a ser ya una proporción importante de los lotes. Puesto que todos estos lotes rechazados se rectifican, la AOQ bajará de nuevo. La AOQ será por tanto una curva semejante a la que se muestra en la figura Curva de calidad media de salida (AOQ) AOQL Proporción de defectuosos Figura 2.6: Plan de muestreo rectificativo. Calidad media de salida Existen tablas para diseñar un plan de muestreo rectificativo. Las más conocidas se deben a Dodge y Roming. Por esta razón, a este tipo de plan se le conoce también como plan Dodge- Romig. Estas tablas pueden usarse de varias maneras, dependiendo de la información que se utilice. Puede fijarse un tamaño del lote N, la calidad promedio que se desea -AQL- (en porcentaje de defectuosos), el nivel de calidad rechazable y el riesgo del comprador. Entonces se obtiene el tamaño de la muestra n, el número de aceptación c y el nivel de calidad rpomedio máxima que se obtiene - AOQL-. También puede entrarse con el AOQL y el tamaño del lote y se obtiene la calidad promedio, n y c. Ejemplo 4: Para un lote de tamaño 5000, diseñar un plan de muestreo rectificativo con p R =0,04, β=0,10 que permita aceptar lotes que tengan, como máximo un porcentaje de defectos del 1%. Cuál será la calidad promedio?

16 16 Control de recepción Consultando la Tabla se obtiene que n = 130 y c =2. Unos lotes se aceptarán como resultado de la inspección, y por tanto tendrán cierto porcentaje de artículos defectuosos. Otros lotes se revisarán al 100 % y se sustituirán los artículos defectuosos por otros aceptables. Esos lotes no tendrán, entonces, artículos defectuosos. En promedio, el porcentaje medio de defectuosos será inferior al 0.41 % Plan Military Standard 105E La estandarización de los procedimientos de muestreo de aceptación comenzó a producirse durante la II gerra mundial por el ejercito en EEUU. Dicho estándar se denominó Mílitary Standard (MIL STD). Desde entonces, el plan Military Standard se ha convertido en el estandar más popular. El plan original, el Miltary Standard 105A fue diseñado en La última revisión, el plan Military Standard 105E data de Existe una versión civil de este plan militar, el plan AN- SI/ASQC Z1.4, pero supone sólo pequeñas modificaciones de éste. Este estándar ha sido también adoptado por la International Organization for Standarization bajo la denominación ISO Este estándar cubre tres tipos de muestreo: simple, doble y múltiple. Para cada tipo de muestreo existen planes específicos dependiendo del nivel de calidad que el comprador espera del vendedor. En este tema nos ocuparemos sólo de los planes simples. Para un mismo tamaño de lote y un mismo nivel de calidad aceptable (NCA o AQL o valor p A ) se especifican tres planes de inspección: 1. Normal: para aquellos casos en los que la calidad que se espera del proveedor es similar al NCA 2. Reducido: para aquellos casos en los que la calidad esperada sea muy alta (p <p A ).Eneste tipodemuestreo,eltamañomuestralesinferioralplannormal. 3. Riguroso: implica un elevado tamaño muestral. Se utiliza cuando se espera una calidad inferior a la AQL (p >p A ). Existen una serie de reglas que determinan el plan de muestreo anterior. Estas reglas pueden resumirse en los siguientes puntos: El plan de inspección normal se realizará al comienzo de la tarea de inspección. Cambio de plan normal a riguroso: se pasará de inspección normal a rigurosa si dos de cinco lotes consecutivos han sido rechazados. Cambio de plan riguroso a normal: se pasará de control riguroso a normal cuando se acepten cinco lotes consecutivos Cambio de plan normal a reducido: se pasará de muestreo normal a reducido si no se rechaza ningún lote durante diez lotes seguidos.

17 2.7 Plan Military Standard 105E 17 Cambio de plan reducido a normal: se pasará de muestreo reducido a normal si un lote es rechazado. También puede volverse al plan normal cuando el número de defectuosos no lleva ni a aceptar ni a rechazar el lote. Si se está en el plan de inspección riguroso durante más de diez lotes, la inspección debe concluir y se debe proponer el vendedor que aumente los niveles de calidad de su producción. Este conjunto de reglas se resumen en la figura 2.7 El plan MIL STD 105E varía también en función del coste del muestreo, existiendo varios niveles según el coste de inspección. Estos niveles son: Costedeinspecciónalto:NivelI. Coste de inspección estándar: Nivel II. Costedeinspecciónbajo:NivelIII. Niveles especiales (por ejemplo, en ensayos destructivos): Niveles S-1 a S-4 Los planes están diseñados teniendo en cuenta el riesgo del vendedor, AQL o p A.Elriesgodel comprador β y p R no se tienen en cuenta explicitamente al utilizar las tablas, pero los valores de β son muy pequeños si p R > 5p A. Para aplicar el plan hay que seguir los siguientes pasos (consideramos muestreo simple): 1. Decidir el AQL o p A. 2. Determinar el nivel de inspección en función de su coste (nivel I, II, III, o niveles especiales). 3. Con el tamaño del lote y el nivel de inspección anterior ir a la tabla de códigos y encontrar el código de inspección. 4. Determinar el plan de inspección (normal, riguroso (o estricto) y reducido). 5. Con el código de inspección y el plan de inspección, acudir a la tabla correspondiente: Tabla de inspección normal, reducida o estricta, y encontar el plan de muestreo. 6. Tomar la muestra y ejecutar la inspección. Con el resultado evaluar un posible cambio de plan. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 5: Se desea diseñar un plan de muestreo con el plan japones JIS Z 9002 y con MIL STD 105E con las siguientes características: p A =0,004; α =0,05; β =0,10; p R =0,05. Lotes de 1000 unidades. Para elaborar el plan japonés acudimos a la Tabla. Con los valores p A =0,4% y p R =5% encontramos que se han de tomar muestras de tamaño 80 y rechazamos el lote si encontramos más de un artículo defectuoso (c >1) (latablamuestraelmáximonúmerodedefectuososadmisibles).

18 18 Control de recepción Para diseñar el plan MIL STD supondremos un nivel II (coste estándar). En la Tabla leemos el código de inspección, que es J. Si utilizamos el plan de muestreo normal acudiremos a la tabla. En esa tabla, con el código J y un valor de p A =0,4% nos encontramos con una flecha. Por tanto utilizaremos el primer plan en la dirección de la flecha. En este caso el plan pasará de código J a código K; se inspeccionan 125 artículos y se rechaza el lote si se encuentran c 2 artículos defectuosos. Se acepta si se encuentra un defectuoso o ninguno. Ejemplo 6: Un producto se recibe en lotes de 2000 unidades. El AQL es 0.65 %. Se desea diseñar un plan de muestreo de nivel II para inspección normal, reducida y rigurosa (o estricta). De la Tabla deducimos que el código de inspección es K. Inspección normal: En ella se obtiene n = 125. Se rechaza si hay 3 ó más defectuosos. Se acepta en caso contrario Inspección rigurosa: Se obtiene n = 125, igual que antes, pero se rechaza con 2 ó más defectuosos Inspección reducida: Ahora n =50. Se rechaza con 3 ó más artículos defectuosos. En ese caso el siguiente lote seguiría inspección normal. Se acepta con 1 ó ningún artículo defectuosos. Si se observan 2 artículos defectuosos podríamos aceptar o no, según lo aconsejasen las circunstancias. En cualquier caso, si se observan 2 artículos defectuosos habría que pasar plan normal para inspeccionar el siguiente lote.

19 2.7 Plan Military Standard 105E 19 Figura 2.7: Plan MIL STD 105E. Reglas para el cambio de nivel de muestreo

20 20 Control de recepción APÉNDICE:ElprocesodeBernoulli Supongamos un experimento cuyo resultado puede resumirse enlapresenciaoausenciadecierto atributo. El experimento tendrá, por tanto, dos únicos resultados, que serán complementarios. Por ejemplo: analizar si una pieza es defectuosa o aceptable, averiguar si una persona simpatiza con el candidato A o no, descubrir si una persona ha desarrollado cierta enfermedad o no, conseguir terminar cierto procedimiento con éxito o no conseguirlo, etc. Muchos experimentos de interés en ingeniería pueden ser descritos en términos de observar cierto atributo o no observarlo. Este tipo de experimento recibe el nombre de experimento de Bernoulli. Llamemos x al resultado de un experimento de Bernoulli. Entonces x tendrá dos valores, que denotaremos por x =0si no se observa el atributo de interés, y x =1si observamos el atributo de interés. Antes de realizar el experimentonosabremosquévalortendráx, por lo que x es una variable aleatoria. Esta variable aleatoria recibe el nombre de variable aleatoria de Bernoulli. Vamos a describir esta variable aleatoria de Bernoulli. Si llamamos p a la probabilidad de que al realizar un experimento de Bernoulli observemos el valor x =1, y llamamos q =1 p, la función de probabilidad de esta variable de Bernoulli es n p(x) = p si x =1; q si x =0. Es fácil deducir que si x es una variable de Bernoulli E(x) = 1 p +0 q = p Var(x) = (1 p) 2 p +(0 p) 2 q = p(1 p) =pq Si deseamos repetir un experimento de Bernoulli tendremos una sucesión de variables aleatorias de Bernoulli x 1,x 2,... todas ellas con la misma función de probabilidad. En estadística, a una sucesión de variables aleatorias se le denomina proceso (o proceso estocástico) independientemente de cómo sean esas variables aleatorias. A una sucesión de variables aleatorias de Bernoulli procedentes de repetir un mismo experimento de Bernoulli, se le denomina proceso de Bernoulli. Puesto que en un proceso de Bernoulli se tiene una sucesión de variable de Bernoulli idénticas, procedentes de repetir un mismo experimento, un proceso de Bernoulli, debe tener las siguientes características: 1. El experimento sólo tiene dos resultados posibles, que pueden interpretarse como ausencia o presencia de cierto atributo de interés. 2. El resultado de cada experimento es independiente del resultado obtenido en repeticiones anteriores. Esta hipótesis de independencia también uede interpretarse como ausencia de memoria: el proceso no recuerda los resultados de los anteriores experimentos. 3. El proceso es estable, en el sentido de que en cada repetición P (x =1)=p. Cuando se posee una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticas se les suele denotar por iid (independientes e idénticamente distribuidas). Variables aleatorias asociadas al proceso de Bernoulli La sucesión de variables que se obtienen al repetir un experimento de Bernoulli puede analizarse desde varios puntos de vista, obteniéndose diferentes variables aleatorias. Si analizamos una sola

21 2.7 Plan Military Standard 105E 21 de las variables del proceso de Bernoulli, tenemos la ya conocida variable de Bernoulli. Por el contrario, si sumamos los valores de n variables de Bernoulli tendremos una variable aleatoria llamada binomial. Si contamos el número de repeticiones de un experimento de Bernoulli que realizamos hasta que obtenemos una repetición en la que se observa el atributo por primera vez, tendremos la llamada variable aleatoria geométrica. A continuación veremos estas dos distribuciones con más detalle. Variable aleatoria binomial Supongamos, por ejemplo, un proceso productivo que produce artículos con un porcentaje de defectuosos p. Supongamos que el proceso es estable (el porcentaje de artículos defectuosos no aumenta ni disminuye a lo largo del tiempo; lo que ocurriría, por ejemplo, si la maquinaria se fuese deteriorando o el proceso productivo fuese mejorando por cambios tecnológicos). Supongamos asímismo que la aparición de un artículo defectuoso es impredecible, y por tanto independiente de la producción anterior. Si asignamos a cada artículo con una variable de Bernoulli x i que toma el valor 1sielartículoi-ésimoesdefectuosoy0 en caso contrario tendremos que la sucesión x 1,x 2,..., x i,..., será un proceso de Bernoulli. Supongamos ahora que deseamos extraer n artículos de la producción. Queremos saber cuántos artículos defectuosos tendremos en esos n artículos seleccionados. A priori, no sabremos cuántos artículos serán defectuosos hasta que no les hagamos las pruebas pertinentes. Aunque el proceso produzca una proporción de defectuosos p, en una muestra concreta puede haber más o menos artículos defectuosos de dicha proporción, dependiendo del azar en la selección de los n artículos. Sea x= número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n. La variable x será una variable aleatoria que puede tomar valores entre 0 y n. Esta variable x recibe el nombre de variable aleatoria binomial (o que sigue una distribución binomial) y se simboliza como x B(n, p). En un contexto más general, una variable aleatoria binomial x B(n, p) se define como el número de sucesos observados en n realizaciones de un experimento de Bernoulli (estable e independiente). La función de probabilidad de una variable binomial es: ³ p(r) =P (x = r) = nr p r (1 p) n r ; r =0, 1,..., n; (2.8a) donde ³ nr n! = r!(n r)!. El cálculo de la media y la varianza de una variable binomial se puede obtener aplicando la definición de estas medidas características en (2.8a). Otra forma más sencilla es escribiendo la variable binomial como la suma de las n variables de Bernoulli x 1,x 2,..., x n : x = x 1 + x x n. Como E(x i )=p, Var(x i )=pq, i =1,.., n y por la independencia de estas variables de Bernoulli x i es fácil deducir que nx E(x) =E (x 1 + x x n )= E(x i )=np, Var(x) =Var (x 1 + x x n )= i=1 nx Var(x i )=npq. i=1

22 22 Control de recepción Variable aleatoria geométrica Supongamos, por ejemplo, que tenemos un conjunto muy elevado de artículos. Supongamos también que nuestro objetivo es detectar si existen artículos defectuosos. Si existe un porcentaje de artículos defectuosos de p 100 %, cuántos artículos tendremos que analizar para que encontremos un primer artículo defectuosos? Llamaremos x = número de artículos analizados hasta encontrar el primer artículo defectuosos. Lavariablex será una variable aleatoria, pues dependerá de la suerte que se tenga al seleccionar los artículos. La variable x se denomina variable aleatoria geométrica (o distribución geométrica) y puede tomar los valores x =1, 2,... hasta, idealmente, infinito (x =1representa que el primer artículo ya es defectuosos). Más genéricamente x es el número de repeticiones de un experimentos de Bernoulli que hay que ejecutar para observar el atributo de interés por primera vez. La función de probabilidad de una variable geométrica es P (x = r) =q r 1 p; r =1, 2,... la variable aleatoria geométrica tiene las siguietes propiedades E(x) = 1 p, Var(x) = q p 2. Ejemplo: supongamos que una máquina produce un 1 % de artículos defectuosos. Cuántos artículos se producirán por término medio hasta que se produzca un artículo defectuoso? El número de artícuos hasta el primer defectuosos es una variable geométrica con p =0,01. Por tanto, por término medio se producirán 1/p = 100 artículos (99 aceptables y el último defectuoso). El número medio de repeticiones del experimento ANTES de encontrar el primer atributo será E(x) 1=1/p 1=q/p.