Teoremas que se derivan de las ecuaciones de Poisson y Laplace.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina Teoremas que se derivan de las ecuaciones de Poisson y Laplace. Identidades de Green Consideremos dos campos escalares u = u(r) y v = v(r).teniendo en cuenta que se cumple que (fa) =( f) A + f( A) (f = f(r) es un campo escalar y A = A(r) es un campo vectorial), se debe verificar que: (u v) = u v + u ( v) = u v + u 2 v () (v u) = v u + v ( u) = v u + v 2 u (2) y si restamos las ecuaciones () y (2), se obtiene la ecuación siguiente: (u v v u) =u 2 v v 2 u (3) Consideremos ahora un volumen τ limitado por una superficie cerrada S. Sean un vector unitario normal a S en cada punto y dirigido hacia el exterior de τ. Si integramos la ecuación () en el volumen τ y aplicamos el teorema de la divergencia, se obtiene: u ( v n) ds = u v S S ds = ( u v + u 2 v ) dτ (4) τ A la ecuación (4) se la conoce como primera identidad de Green. Si ahora integramos la ecuación (3) en el volumen τ y aplicamos de nuevo el teorema de la divergencia, se obtiene:

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 ( (u v v u) nds = u v ) S S v u ds ( = u 2 v v 2 u ) dτ (5) τ La ecuación (5) es conocida como segunda identidad de Green. En las ecuaciones (4) y (5) u v = u n y = v n representan las derivadas direccionales de u y v a lo largo del vector n. Teorema de unicidad Consideremos una región del espacio τ que está limitada interiormente por N superficies cerradas (i =,...,N) y exteriormente por una superficie cerrada S 0 (que puede ser una superficie esférica de radio R ), tal y como se muestra en la figura adjunta. Sea n el vector unitario normal a las superficies (i =,...,N) que está dirigido hacia el exterior de τ. Supongamos que existen cuerpos cargados dentro de τ y/o fuera de τ (esto es, dentro de las superficies (i =,...,N) y fuera de la superficie S 0 ). Sea ρ = ρ(r) la densidad volumétrica de carga. El teorema de unicidad establece que dados dos campos escalares φ (r) y φ 2 (r) que son solución de la ecuación de Poisson en τ (esto es, 2 φ (r) = ρ(r) ɛ 0 y 2 φ 2 (r) = ρ(r) ɛ 0 se cumple que, o bien φ (r) =φ 2 (r) o bien φ (r) cuando r τ), si = φ 2(r) cuando

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 r (i =0,...,N), entonces se verifica que φ (r) =φ 2 (r)+k si r τ, siendo K una constante que puede ser cero. Esto es, el teorema de unicidad nos dice que la solución a la ecuación de Poisson en τ es única salvo una constante aditiva si se especifican de antemano los valores del potencial (condición de Dirichlet) o de su derivada normal (condición de Neumann) en las superficies que limitan a τ, tanto interior como exteriormente. Para demostrar el teorema de unicidad, definimos primero un nuevo campo escalar ψ(r) =φ (r) φ 2 (r) en la región τ, y a continuación, aplicamos la primera identidad de Green en τ a u(r) = v(r) =ψ(r). De acuerdo con la ecuación (4), se obtiene: S ψ ψ ds = N i=0 ψ ψ ds = τ ( ψ 2 + ψ 2 ψ ) dτ (6) ya que S = N i=0 es la superficie total que limita a τ. Ahora bien, la suma de integrales de superficie de la ecuación (6) vale: N i=0 ψ ψ ds = N i=0 (φ φ 2 ) ( φ φ ) 2 ds =0 (7) ya que, de acuerdo con el enunciado ( del )] teorema de unicidad, o bien (φ φ 2 )] Si =0obien φ φ 2 =0(i =0,...,N). Por otro lado, la función ψ que aparece en la ecuación (6) verifica que: si r τ. 2 ψ(r) = 2 (φ (r) φ 2 (r)) = 2 φ (r) 2 φ 2 (r) = ρ(r) + ρ(r) =0 (8) ɛ 0 ɛ 0

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 Pues bien, si sustituimos los resultados obtenidos en las ecuaciones (7) y (8) en la ecuación (6), se llega a que: ψ 2 dτ =0 (9) τ Ahora bien, como ψ 2 0 en τ, para que se cumpla la ecuación (9), será necesario que ψ(r) = (φ (r) φ 2 (r)) = 0 si r τ, y en consecuencia, será necesario que φ (r) φ 2 (r) =K si r τ, con lo cual, queda demostrado el teorema de unicidad. La constante K será nula si se verifica que φ (r) =φ 2 (r) sobre al menos una de las superficies (i =0,...,N). Sólo podrá ser K distinta de cero cuando la condición impuesta sobre todas las superficies (i =0,...,N) sea la condición φ (r) = φ 2(r). Corolario al teorema de unicidad Consideremos un conjunto de N conductores cargados. Sea τ la región limitada interiormente por las superficies (i =,...,N) de los N conductores cargados y limitada exteriormente por la superficie esférica S 0 de radio R.Sean el vector unitario normal a las superficies (i =0,...,N) dirigido hacia fuera de τ. A partir del teorema de unicidad, se puede enunciar el siguiente corolario: Si se especifica de antemano en cada uno de los N conductores, o bien el potencial, o bien la carga, existe una única

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 solución a la ecuación de Laplace en τ que se anula en el infinito y cumple las condiciones impuestas sobre los conductores. Para demostrar el corolario, vamos a suponer que φ (r) y φ 2 (r) son dos funciones potencial que satisfacen las condiciones del enunciado, lo cual significa que: φ (r) y φ 2 (r) son solución de la ecuación de Laplace en τ, esto es: 2 φ (r) = 2 φ 2 (r) =0 si r τ (0) Sobre la superficie del conductor i-ésimo (i =,...,N), o bien se cumple que: φ (r) =φ 2 (r) =V i si r () donde V i es el valor especificado a priori del potencial, o bien se cumple que: φ ds = φ 2 ds = Q i (2) ɛ 0 donde Q i es el valor especificado de la carga ya que φ j = φ j n] Si = E j n] Si = σ j /ɛ 0 ] Si (j =, 2), siendo σ j ] Si (j =, 2) la densidad superficial de carga sobre la superficie cuando el potencial vale φ j (j =, 2). Sobre la superficie S 0 (esto es, en el infinito) se cumple que: ] φ (r) =φ 2 (r) =0 si r S 0 (3) Apliquemos ahora la ecuación (6) a la función ψ(r) =φ (r) φ 2 (r) en la región τ situada entre los conductores. Para este caso, la suma de integrales de superficie de (6) vale:

6 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 N ψ ψ i=0 ds = ψ ψ S 0 ds + N ( φ (φ φ 2 ) i= φ ) 2 N ( ) ( φ φ ] Si φ 2 ] Si ds i= ds = S 0 ψ ψ ds + φ 2 ds ) =0 (4) donde se ha tenido en cuenta que ψ] S0 =0(de acuerdo con la ecuación (3)), que los potenciales φ y φ 2 son constantes sobre las superficies de los conductores, y que sobre la superficie del i-ésimo conductor (i =,...,N), o bien se cumple la ecuación (), o bien se cumple la ecuación (2). Por otro lado, debido a la ecuación (0), se cumple que 2 ψ = 2 φ 2 φ 2 =0, con lo cual, la ecuación (6) particularizada para este caso concreto queda reducida nuevamente a: ψ 2 dτ =0 (5) τ lo cual significa que ψ(r) =0en la región τ, yqueψ(r) =K en τ, siendo K una constante. Pero como ψ(r)] S0 =0(ya que el origen de potencial se ha tomado en el infinito, tanto para φ (r) como para φ 2 (r)), se cumple que K =0, y en consecuencia que φ (r) =φ 2 (r), con lo cual, queda demostrado el corolario al teorema de unicidad.

7 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 7 Teorema del valor medio. Consideremos un cuerpo cargado que crea un potencial φ(r) y un campo eléctrico E(r). Elteorema del valor medio establece que dada una región esférica libre de carga situada alrededor del cuerpo cargado, el valor del potencial φ(r) en el centro de la región esférica coincide con el valor medio del potencial en los puntos de la superficie que limita a la región esférica. Para demostrar el teorema, supondremos que la región esférica libre de carga está centrada en el punto P de vector de posición r 0, y tiene radio a (vea la figura adjunta). Asimismo, llamaremos τ esfera a la región esférica y ala superficie que la limita. A continuación, aplicaremos la segunda identidad de Green en τ esfera a los campos escalares u(r) =φ(r) y v(r) = r r 0 (vea la ecuación (5)). El resultado que se obtiene es: [ ( ) ( ) ] φ(r) φ(r) n ds = r r 0 r r 0 [ ( ) ( ) φ(r) 2 r r 0 r r 0 τ esfera ] 2 φ(r) dτ (6) donde n es un vector unitario normal a cada punto de y dirigido hacia fuera de dicha superficie. Si tenemos en cuenta que (r r 0 ) Sesfera = an yque r r 0 Sesfera = a, la primera de las dos

8 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 8 integrales de superficie de la ecuación (6) se puede reescribir: ( ) ( ) r r0 φ(r) n ds = φ(r) n ds = r r 0 r r 0 3 ( an ) φ(r) n ds = φ(r)ds (7) a 3 a S 2 esfera donde se ha hecho uso del resultado obtenido en el apartado a) del problema 2 del Boletín 0. En cuanto a la segunda de las integrales de superficie de la ecuación (6), esta integral es nula ya que: ( ) φ(r) n ds = E n ds = r r 0 a S ( ) esfera Q(Sesfera ) =0 (8) a ɛ 0 donde se ha utilizado la ley de Gauss, y se ha tenido en cuenta que la carga Q( ) almacenada en el interior de la superficie es nula (recuerde que τ esfera es una región libre de carga de acuerdo con el enunciado del teorema del valor medio). Por otro lado, la integral de volumen de la ecuación (6) se puede reescribir: τ esfera [ ( ) ( ) ] φ(r) 2 2 φ(r) dτ = r r 0 r r 0 4π φ(r)δ(r r 0 )dτ = 4πφ(r = r 0 ) τ esfera (9) ( ) donde se ha tenido en cuenta que 2 r r 0 = 4πδ(r r 0 ) (resultado obtenido en el tema 0), que r 0 τ esfera,yque 2 φ(r) =

9 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 9 0 si r τ esfera (recuerde que al ser τ esfera una región libre de carga, el potencial satisface la ecuación de Laplace en dicha región). Si ahora introducimos las ecuaciones (7), (8) y (9) en la ecuación (6), se llega a que: φ(r)ds = 4πφ(r = r a S 2 0 )= esfera φ(r = r 0 )= φ(r)ds (20) 4πa 2 La ecuación (20) nos dice que el valor del potencial en el punto P coincide con el promedio del potencial en los puntos de la superficie esférica centrada en P, con lo cual, queda demostrado el teorema del valor medio. Corolario al teorema del valor medio A partir del teorema del valor medio, se puede enunciar el siguiente corolario: El potencial eléctrico no puede alcanzar máximos ni mínimos en las regiones libres de carga (esto es, en las regiones donde el potencial satisface la ecuación de Laplace), con lo cual, los máximos y mínimos del potencial estarán localizados necesariamente en las regiones donde reside la carga eléctrica. La demostración del corolario se hace por reducción al absurdo. Supongamos que existe un punto P situado en una región libre de carga en la que el potencial alcanza, por ejemplo, un máximo.

10 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 0 En ese caso, siempre es posible encontrar una esfera centrada en P de radio ɛ suficientemente pequeño en cuya superficie S ɛ el potencial es menor que en el punto P, o lo que es lo mismo, φ(r) <φ(p ) si r S ɛ (vea la figura adjunta). Pero si el potencial en todos los puntos de S ɛ es menor que el potencial en P, eso significa que el valor medio del potencial en S ɛ también será menor que el potencial en P, y este hecho entra en contradicción con el teorema del valor medio, y por tanto, con que el punto P está en una región libre de carga. Como se llega a una contradicción, podemos afirmar que no es posible que el potencial en P alcance un máximo. Utilizando un razonamiento análogo, es fácil demostrar que el potencial en el punto P tampoco puede alcanzar un mínimo. Una consecuencia directa del corolario al teorema del valor medio es el llamado teorema de Earnshaw. Este teorema establece que una carga puntual en presencia de un campo eléctrico no puede mantenerse en equilibrio estable cuando solamente está sometida a fuerzas electrostáticas, a menos que esté situada en un punto ocupado por otras cargas. Para demostrar el teorema, hay que tener en cuenta que para que la carga se encuentre en situación de equilibrio estable en presencia del campo eléctrico, es preciso que su energía electrostática sea mínima en el punto de equilibrio. Si la carga q se encuentra en el punto de vector de posición r en una región donde existe un potencial eléctrico φ(r), la energía electrostática vendrá dada por U e (r) =qφ(r). ParaqueU e (r) alcance un mínimo, será necesario que φ(r) alcance un mínimo (si q>0) o un máximo (si q<0). Pero de acuerdo con el corolario al teorema del valor medio,

11 c Rafael R. Boix y Francisco Medina φ(r) sólo podrá alcanzar máximos o mínimos en los puntos ocupados por otras cargas, con lo cual, los puntos de equilibrio estable sólo podrán ser aquéllos ocupados por otras cargas, y esto demuestra el teorema de Earnshaw. Una conclusión que puede extraerse de este teorema es que para que una carga puntual se encuentre en equilibrio estable en presencia de otras cargas y en un lugar distinto al que ocupan estas cargas, es preciso que sobre la carga puntual actúen fuerzas distintas a las fuerzas electrostáticas. Teorema de reciprocidad. Vamos a considerar dos situaciones independientes que no se dan simultáneamente en el tiempo. En la primera situación un cuerpo que ocupa una región volumétrica acotada τ está cargado con una densidad volumétrica de carga ρ (r) (vea la figura adjunta). Vamos a llamar φ (r) y E (r) al potencial y al campo eléctrico creados por el cuerpo cargado respectivamente.

12 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 En la segunda situación un cuerpo que ocupa una región volumétrica acotada τ 2 está cargado con una densidad volumétrica de carga ρ 2 (r) (vea la figura adjunta). Vamos a llamar φ 2 (r) y E 2 (r) al potencial y al campo eléctrico creados por este segundo cuerpo cargado. El teorema de reciprocidad para el campo electrostático establece que: ρ (r)φ 2 (r)dτ = ρ (r)φ 2 (r)dτ (2) τ τ 2 Con vistas a demostrar este teorema, consideremos un volumen esférico τ esfera centrado en el origen de coordenadas de radio R +. Sea la superficie esférica que limita a τ esfera yseanun vector unitario normal a cada punto de y dirigido hacia fuera de dicha superficie. Vamos a aplicar la segunda identidad de Green en τ esfera alos campos escalares u(r) =φ (r) y v(r) =φ 2 (r) (vea la ecuación (5)). El resultado que se obtiene es:

13 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 [φ (r) φ 2 (r) φ 2 (r) φ (r)] n ds = S esfera [ φ (r) 2 φ 2 (r) φ 2 (r) 2 φ (r) ] dτ (22) τ esfera La integral de superficie de la ecuación (22) se puede reescribir como: [φ (r) φ 2 (r) φ 2 (r) φ (r)] n ds = [φ 2 (r)e (r) φ (r)e 2 (r)] n ds (23) donde se ha tenido en cuenta que E (r) = φ (r) yquee 2 (r) = φ 2 (r). Como los volúmenes τ y τ 2 están acotados en el espacio, dado que la superficie está situada en el infinito, sobre los puntos de los cuerpos cargados con densidades de carga ρ (r) y ρ 2 (r) se verán como cargas puntuales. En ese caso, se va a cumplir que φ i (r) Sesfera R (i =, 2) yquee i(r) Sesfera (i =, 2). Y como ds R 2 Sesfera R 2, se verificará que la integral de superficie de la ecuación (23) se anula ya que: [φ 2 E φ E 2 ] n ds 0 si R (24) R Cuando la carga total de los dos cuerpos cargados sea nula, también será nulo el término monopolar del desarrollo multipolar del potencial creado por dichos cuerpos, y en ese caso, la integral de superficie de la ecuación (24) decaerá a cero al menos como R 3 cuando R.

14 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 En cuanto a la integral de volumen de la ecuación (22), esta integral se puede reescribir: [ φ (r) 2 φ 2 (r) φ 2 (r) 2 φ (r) ] dτ = τ esfera { } φ (r)ρ 2 (r)dτ + φ 2 (r)ρ (r)dτ (25) ɛ 0 τ 2 τ donde se ha tenido en cuenta que 2 φ i (r) = ρ i(r) ɛ 0 si r τ i (i =, 2) yque 2 φ i (r) =0si r / τ i (i =, 2). Si ahora sustituimos las ecuaciones (24) y (25) en (22), se llega a que: φ (r)ρ 2 (r)dτ + φ 2 (r)ρ (r)dτ =0= τ 2 τ ρ (r)φ 2 (r)dτ = ρ (r)φ 2 (r)dτ τ τ 2 con lo cual, queda demostrada la ecuación (22) que formula el teorema de reciprocidad. El teorema de reciprocidad puede ser aplicado a distribuciones lineales y superficiales de carga, y también a conjuntos de cargas puntuales. En el caso de distribuciones lineales y superficiales de carga, la ecuación (22) puede seguir siendo utilizada si se sustituyen las integrales de volumen por integrales de línea y superficie respectivamente, y si se sustituyen las densidades volumétricas de carga por densidades de carga lineales y superficiales respectivamente. En cuanto a los conjuntos de cargas puntuales, la ecuación (22) se puede utilizar si en dicha ecuación se expresan las densidades volumétricas de carga mediante una combinación lineal de funciones delta de Dirac.