En este capítulo estudiaremos algunos métodos numéricos para estimar el valor de una integral definida b I =

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1 CAPÍTULO. INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN En este cpítulo estudiremos lgunos métodos numéricos pr estimr el vlor de un integrl definid I fd () Integrl en l cul el intervlo de integrción [, ] es finito, y f es un función de un vrile rel y vlor rel continu en [, ]. Según el teorem fundmentl del Cálculo, pr un función f con ls crcterístics F f pr todo indicds ntes, eiste un ntiderivd F de f en [, ], es decir, () () [,], y fd F F () () () El prolem pr usr los métodos nlíticos de integrción es que, es posile que F no se pued epresr en términos de funciones elementles, o unque F se conozc eplícitmente, ést no se pued evlur fácilmente. Ejemplos de tles integrles son: d ln d + ( ) + d e d tnd ln d e d sen( ) cos d + d sen d + d ( 9 ) d tnd sen d d + sen d Lo nterior motiv el uso de los métodos de integrción numéric que estudiremos en lo que sigue; los primeros que considerremos se sn en l proimción de l función f medinte polinomios interpolntes.

2 MÉTODOS NUMÉRICOS. ALGUNAS FÓRMULAS CERRADAS DE NEWTON-COTES Supongmos que queremos estimr el vlor de I fd () donde l función f es continu en el intervlo finito [, ]. Un mner de hcer ésto se indic continución: Empezmos dividiendo el intervlo [, ] en N suintervlos de igul longitud, [, ], [, ],..., [, ],..., [, ] +, donde los N+ puntos,,..., N de l prtición se otienen prtir de l fórmul + h,,,..., N siendo h. Nos referiremos h como el tmño de pso. N N N Nótese que, N, y que h +, culquier se,,..., N. Ahor ien, si pn() f( j) Lj() función f en los nodos N j,,..., N es el polinomio de interpolción de Lgrnge pr l, entonces N f() d pn() d f( j ) L j() d f( j ) L j() j De est form se otiene un fórmul del tipo N j d donde f N () d A jf ( j ) j A L j () d, j,,..., N j Un fórmul del tipo nterior, pr proimr el vlor de fd (), es llmd un fórmul de cudrtur (cerrd) de Newton-Cotes. En muchos csos, en lugr de proimr l función f en el intervlo completo [, ] por un sólo polinomio interpolnte, usndo todos los nodos,,..., N, más ien l proimmos

3 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA por trmos medinte polinomios interpolntes usndo dos, tres o más nodos consecutivos. Estudiremos solmente tres de estos últimos tipos de proimciones: L regl de los Trpecios, l regl de Simpson y l regl de Simpson. 8.. Regl de los Trpecios: Corresponde ést l cso en que l función f se proim en cd suintervlo [, + ],,,..., N, medinte el polinomio de interpolción linel de Lgrnge, p (), usndo los nodos y +. FIGURA. Como el polinomio de interpolción de Lgrnge es entonces () f( ) + f ( ) p () () f d p d + f ( ) + f ( ) + ( ) d + f( ) f ( ) ( ) + ( ) f + + ( ) + f ( ) ( ) + ( + ) f ( + ) ( ) ( ) + f ( + ) ( + ) f ( ) + f ( + ) ( ) +!#"# $!##" ## $ ncho ltur promedio + + d d + +

4 MÉTODOS NUMÉRICOS Pero h +, sí que y entonces es decir, + [ ] h fd f + + () ( ) f ( ) [ + ] h I f d f d f + N + () () ( ) f ( ) N () ( ) + ( ) + ( ) fd h N f f f Si N >, l fórmul nterior se conoce como regl compuest de los Trpecios. En el cso N, cso en el cul h, dich fórmul se reduce [ ] f d f + f () () () fórmul que se conoce como regl simple de los Trpecios. Algoritmo. (Regl de los Trpecios) Pr proimr l integrl I f() d, usndo l regl de los Trpecios: Entrd: f(), los etremos y de l integrl, un entero positivo N. Slid: Un proimción AI de I. Pso : Tomr h. N Pso : Tomr AIO f() + f(). AI (Inicilizción de l sum pr los puntos,,,..., N ) Pso : Pr,,..., N, seguir los psos y : Pso : Tomr + h Pso : Tomr AI AI + f() Pso 6: Tomr ( + AI) haio AI.

5 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Pso 7: Slid: "Un vlor proimdo de l integrl pr N suintervlos es AI". Terminr. Error de fórmul en l regl de los Trpecios: Recordndo l fórmul pr el error en l interpolción, tenemos que si p () es el polinomio de interpolción linel de Lgrnge pr l función f en los nodos y +, entonces pr [, + ], el error l proimr f() medinte p (), es y entonces donde () () () () E f p + d f d p d E () () () ( )( )! + f ( ξ () ) ( )( ) ξ es un número que depende de y () ( )! ξ + +,. f ( ξ() ) d Luego el error en l proimción otenid l usr l regl de los Trpecios en el intervlo, +, que se denomin error locl, es [ ] E + f + ( ξ () )( )( ) d Como g() ( )( + ) no cmi de signo en el intervlo [ ] teorem del vlor medio ponderdo pr integrles, se tiene que + E ( ξ ) pr lgún ( ) ( ξ ())( )( + ) f d f ( + ) f ( ) ξ + + +,. ξ + ( ) ( ) + + ( ) + + Fctorizndo, grupndo y teniendo en cuent que h +, otenemos, +, entonces por el pr lgún ( ),. ξ + E h f ( ξ)

6 6 MÉTODOS NUMÉRICOS Teorem del vlor medio ponderdo pr integrles: Si f es un función continu en [, ], g es un función integrle en [, ] y g () no cmi de signo en [, ], entonces c, tl que eiste ( ) ()() () () fgd fc gd Cundo en el teorem nterior g (), éste se convierte en el teorem del vlor medio pr integrles. L demostrción del teorem del vlor medio ponderdo pr integrles puede ser consultd en Kincid, 97, págins y. El error totl l plicr l regl de los Trpecios, es decir, el error que se comete l plicr l,, es regl de los Trpecios sore todo el intervlo [ ] E T N N N h h E f () suponemos continu en el intervlo [, ]. ( ξ ) f ( ξ ), ξ (, ) ( ) Nf ξ h h N () h f () ξ + pr lgún ξ (, ) l iguldd se dee l plicción del teorem del vlor intermedio l función f, que L fórmul nterior del error en l regl de los Trpecios indic que si f es un función linel, entonces l regl de los Trpecios es ect, es decir, E pr todo,,..., N, y que si f() c + d, entonces f () c y f () pr todo [, ]. Volviendo l fórmul pr el error totl, E T, tenemos que si entonces E T () f L pr tod [, ] ( ) h h N f () NL h ξ L (recuerde que h ) N El resultdo nterior se indic escriiendo ET O( h ) Definición. (Notción O-grnde) Supongmos que lim F() L, de cuerdo con l siguiente definición: ( ) R. Se dice que F () converge L cundo con rpidez de convergenci O G(), si eiste un constnte positiv K, independiente de, tl que

7 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7 F () G () L K ( ) pr suficientemente pequeño. Si este es el cso escriimos F () L OG () En el cso de l regl simple de los Trpecios, tenemos que h y sí que ET O( h ), en este cso. h ET f () ξ, pr lgún ξ (, ) +... Regl de Simpson [ ] : En este cso se proim l función f en cd suintervlo, +,,,..., N, medinte un polinomio de interpolción de Lgrnge de grdo menor o igul que dos, usndo los nodos, +, +. Oserve que, en este cso, el número de suintervlos N dee ser pr, N. FIGURA. Como el polinomio de interpolción de Lgrnge de grdo menor o igul que dos, usndo los nodos, + y +, es entonces () ( ) ( )( ) + + ( )( + ) f + f ( + ) ( + )( + ) ( + )( + + ) ( )( + ) + f ( + ) ( )( ) p + + +

8 8 MÉTODOS NUMÉRICOS + + () () f d p d + + f ( ) ( )( ) + + f ( + ) ( )( ) f ( + ) ( )( ) ( ) ( + ) ( + ) Evlundo, grupndo y teniendo en cuent que h, otenemos Luego + f () ( ) ( ) f ( ) f ( ) fd +!#"# $ 6!####"#### $ ncho ltur promedio ( ) + ( ) + ( ) f f f h 6 h f + f + f + + [ ( ) ( + ) ( + ) ] es decir, () () ()... () I f d f d + f d+ + f d N N { [ f ( ) f ( ) f ( ) ] [ f ( ) f ( ) f ( ) ]... [ f ( N ) f ( N ) f ( N) ]} h N N h f d f f f + f () () + () + ( ) + ( ) Si N m, con m un entero, m, l fórmul nterior se conoce como regl compuest de Simpson. Lo de viene de que en l fórmul otenid, h prece multiplicd por. En el cso prticulr N, se tiene que h, y l fórmul nterior se reduce

9 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 9 f d + f + f 6 () () + f () fórmul que se conoce como regl simple de Simpson. Algoritmo. (Regl de Simpson regl de Simpson : ) Pr proimr l integrl I f() d, usndo l Entrd: f, () los etremos y de l integrl, un entero positivo pr N m. Slid: Un proimción AI de I. Pso : Tomr h m N. Pso : Tomr AIO f() + f() AI (Inicilizción de l sum pr los nodos +, N,,..., m ) AI (Inicilizción de l sum pr los nodos AI N,,..., m ) Pso : Pr i,,..., m, seguir los psos y : Pso : Tomr + ih. Pso : Si i es impr ( i + ), entonces tomr AI AI+ f(), de lo contrrio ( i ) tomr AI AI+ f()., Pso 6: Tomr ( + + ) h AIO AI AI AI. Pso 7: Slid: "Un vlor proimdo de l integrl pr N m suintervlos es AI". Terminr.

10 MÉTODOS NUMÉRICOS Error de fórmul en l regl de Simpson : Como el término ( )( )( ) + + que prece en l formul de error l interpolr por un polinomio de interpolción de Lgrnge (de grdo menor o igul que ) usndo los nodos, +, +, cmi de signo en el intervlo [, + ], no podemos otener un fórmul pr el error l plicr l regl de Simpson usndo el teorem del vlor medio ponderdo pr integrles; sin emrgo se puede demostrr, ver Kincid, 97, págins 7 y 8, que el error l empler l regl de Simpson en el intervlo [, + ], llmdo error locl, está dd por E h f 9 ξ +. N donde y (, ),,,...,N h ( iv ) ( ξ ) Entonces el error l plicr l regl de Simpson error totl, E T, es sore todo el intervlo [ ],, es decir, el E T h 9 E,,..,N h N p N 8 ( ) f N p E p N p h N 9 8 h f 9 ( iv ) f ( ) f ( iv ξ ) p + () ξ ( iv ) ( ξ ) p, ξp ( p, ( p+ ) ) ( iv ) () ( iv ξ h f ) () ξ, ξ (,) ( (*) L iguldd se dee l cmio de vrile p: si, entonces p, y si N, entonces p N ) Esto implic que l regl de Simpson es ect cundo se plic polinomios de grdo menor o igul que, que es un grdo más de lo que er de esperrse, y que estmos proimndo l función f por medio de polinomios de grdo menor o igul que dos. Si ( iv ) () L pr to [ ] f d,, entonces

11 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. sí que ET O( h ) h N E f ( iv ) h T () NL h ξ L En el cso N, (recuerde que h N ( ) ( ) () ( ) h ( iv E ) iv T f () ξ f ξ, con ξ, ), sí que ET O( h ).. Regl de Simpson : De l mism form que se otuvieron ls regl de los 8 Trpecios y l regl de Simpson [ ], se puede interpolr l función f en cd suintervlo, +,,,..., N (lo que requiere que N se un entero positivo múltiplo de, es decir, N m, m un entero positivo), medinte un polinomio de interpolción de Lgrnge de grdo menor o igul que tres, p (), usndo los nodos,,, Entonces FIGURA. + + () () f d p d

12 MÉTODOS NUMÉRICOS y se otiene Así que + f () ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) fd +!#"# $ 8!#######"####### $ ncho ltur promedio [ ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ] h f + f + f + f 8 es decir, () () + () () f d f d f d f d 6 N N { [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ] f ( ) f ( ) f ( ) f ( 6) [ ] [ f ( N ) f ( N ) f ( N ) f ( N) ]} h N N N h fd f f f + f + f 8 () () + () + ( ) + ( ) + ( ) Si N m, m, m un entero, l fórmul nterior se conoce como regl compuest de Simpson. 8 En el cso N, cso en el cul h, dich fórmul se reduce ( ) + f() d f f + f + f 8 + ( ) + + f + f () + ( ) + f + f () fórmul que se conoce como regl simple de Simpson. 8 Al igul que en el cso de l regl de Simpson, se puede demostrr que el error l proimr el vlor de l integrl fd () por medio de l regl de Simpson en el 8 intervlo [ ], +, es decir, el error locl, es

13 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA h 8 y entonces el error totl es h N ( iv ) ( ), (, ),,,..., N E f ξ, ξ + E T N h f p h N f 8 8 p ( iv ) ( iv ( ξ ) + ) () ξ h N f h f 8 8 ( iv ) ( iv () ξ ) () ξ pr lgú n ξ (, ) Si ( iv ) () L pr [ ] f tod,, entonces ( iv E f ) T h () h ξ L 8 8 sí que ET O( h ), como en l regl de Simpson. Si N, entonces h y E sí que ET O( h ) T ( iv hf ) () ξ 8 ( ) ( ) () ( ) ( iv ) iv f () ξ f ξ pr lgú n ξ, 8 68, en este cso. Ejemplo. Use ls regls de los Trpecios, Simpson y Simpson 8 simples y compuests con N 6, pr estimr I sen d Cuál es un cot pr el error en l estimción, en cd cso? (desprecie los errores de redondeo) Solución: En este ejemplo f () sen, que es un función continu en todo R, por tnto se stisfcen tods ls hipótesis pr que se puedn plicr ls regls de integrción numérics vists.

14 MÉTODOS NUMÉRICOS CASO SIMPLE: En este cso N pr l regl de los Trpecios, N pr l regl de Simpson y N pr l regl de Simpson. 8 i) Según l regl de los Trpecios: [ ( ) ( )] I sen d f + f sen + sen ii) Según l regl de Simpson : I d + f () + f + f () ( ) + sen sen sen + sen iii) Según l regl de Simpson : 8 ( ) + I sen d f f + ( ) + + f + f () sen ( ) + sen + sen + sen Cuál de ests proimciones es l mejor? Estudiemos el error pr cd cso. i) Regl de los Trpecios: En este cso Como f () sen, entonces h E T f () ξ con ξ,, h

15 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA luego y entonces () sen cos sen( ), () cos( ) ( iv f () sen( ), f ) () 8cos( ) f f ( ) () ( ) < pr todo f cos, E T h f () ξ. 9 <. lo que no grntiz que el vlor otenido proime l vlor ecto con lgun cifr deciml ect. ii) Regl de Simpson : En este cso y como entonces E T h ( iv f ) () ξ pr lgún ξ 9,, h 6 ( iv f ) () ( ) < pr todo 8cos 8, h E f ( iv ) 6 T () 9 ξ 9 8. < lo que segur un precisión de por lo menos dos cifrs decimles ects en l proimción otenid plicndo l regl simple de Simpson. iii) Regl de Simpson : En este cso 8 entonces E T h ( iv f ) () ξ pr lgún ξ 8,, h 9 h E f ( iv ) 9 T () ξ < lo que grntiz un precisión de por lo menos dos cifrs decimles ects en l proimción otenid usndo l regl de Simpson. 8

16 6 MÉTODOS NUMÉRICOS Según ests estimciones de error, se esper que l mejor proimción se l otenid por l regl de Simpson, pero pr dr un respuest definitiv deemos conocer el vlor 8 ecto de l integrl dd. CASO COMPUESTO CON N 6 : Si N 6, entonces h y los puntos de l N 8 prtición son,,,,,, Entonces tenemos: i) Regl de los Trpecios: Según est regl En este cso el error es y como entonces [ f ( ) f ( ) ] h I sen d + + ( ) f f f f f f f h ET Nf () f () ξ 8 6 ξ pr lgú n ξ, E T 8 () pr tod f, ( 6)( ). < 8 lo que grntiz un precisión de por lo menos un cifr deciml ect en l proimción clculd. ii) Regl de Simpson : Según est regl [ f ( ) f ( ) f ( ) ] h I sen d ,, h { f ( ) f( 6) [ f( ) f( ) f( ) ] [ f( ) f( ) ]}

17 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7 El error en l proimción es y como E T h ( iv ) h ( iv () ) h Nf f ( iv () f ) () ξ ξ ξ pr lgún ξ, h f pr tod, 8 8 y ( iv ) () entonces 8 E T 8. < lo que grntiz un precisión de por lo menos cutro cifrs decimles ects en l proimción clculd. iii) Regl de Simpson : En este cso 8 [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ] h I sen d , h { f ( ) f( 6) [ f( ) f( ) ] [ f( ) f( ) ] f( ) } El error en l proimción pr este cso es E T h 8 Nf ( iv ) ( () ξ iv f ) () ξ pr lgún ξ, y entonces 8 E T ( 6)( 8) 97. < 8 lo que grntiz un precisión de por lo menos tres cifrs decimles ects en l proimción clculd. De ests tres ultims proimciones, se esper que l mejor se l dd por l regl de Simpson, que es l que tiene menor cot de error. Como el vlor ecto de I sen d sen , entonces el error soluto rel en ls proimciones otenids, pr el cso de ls regls compuests, es:

18 8 MÉTODOS NUMÉRICOS sen d , pr l regl de los Trpecios. sen d , pr l regl de Simpson. sen d , pr l regl de Simpson. 8 Instrucciones en DERIVE: TRAPECIO( f (), N,,, ): Us l regl de los Trpecios con N suintervlos pr proximr el vlor de l integrl fd (). SIMPSON( f (), N,,, ): Us l regl de Simpson entero positivo PAR) pr proximr el vlor de l integrl fd (). con N suintervlos (N dee ser un Pr el ejemplo nterior, proxime ls epresiones TRAPECIO( ( sin) SIMPSON( ( sin),,,, 6 ).,,,, 6 ); Los vlores otenidos por ls regls de los Trpecios, Simpson y Simpson vlores de N, 8, y 6 se muestrn en l TABLA. siguiente., pr 8 N Regl de los Trpecios Regl de Simpson Regl de Simpson TABLA.

19 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 9 Se recomiend usr l regl de Simpson es impr se pueden cominr ls regls de Simpson regl de los Trpecios. Pr el ejemplo, oserve que si N 8, entonces h N 8 con h.. Si el número de suintervlos y Simpson. 8, mejor que usr l 8 Un propiedd muy importnte de ls fórmuls de integrción (cerrds) de Newton-Cotes es l estilidd con respecto los errores de redondeo. Por ejemplo, supongmos que plicmos l regl de Simpson con N m suintervlos un función f en [, ], y determinemos un cot pr el error de redondeo cumuldo ocsiondo por l plicción de dich regl. ~ Si el vlor clculdo de f ( ) se not por f ( ), es decir, ( ) f ( ) f ~ +, pr,,..., N m donde denot el error de redondeo correspondiente f ( ), entonces l plicr l regl de Simpson l función f deemos clculr l epresión h m m f f m f f + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Por lo tnto el error de redondeo cumuldo E R, l usr l regl de Simpson sí que y entonces E R m m h E R m + E R m + m m h h + m + + m + m, es

20 MÉTODOS NUMÉRICOS Ahor ien, si los errores de redondeo están cotdos uniformemente por, es decir pr todo,,..., N m, entonces pero h N m E R [ m ( m ) ] h h m mh 6, sí que mh, y por lo tnto Luego un cot pr el vlor de E R es ( ) ( ) E R, que es un cot independiente de h, lo que implic que el procedimiento de l regl de Simpson es estle cundo h tiende cero. Ejemplo. Use l regl de Simpson con N 6 pr estimr l longitud L del rco de l curv y cos comprendid entre los puntos, y,. Solución: Como y cos, dy sen, entonces d L + sen d (Integrl elíptic de segund clse) Es clro que l función f () + sen cos es continu en el intervlo finito,. Así que podemos plicr l regl de Simpson pr proimr el vlor de L. Si N 6, entonces h N 6, y entonces los puntos de l prtición y los vlores ( ) + ( ) f sen correspondientes, son los que se dn en l TABLA. siguiente: f ( ) 7 TABLA. 7

21 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Por consiguiente h L + sen d f + f 6 + f + + f ( ) ( ) ( ) ( ) De cuerdo con l fórmul de error en l plicción de l regl de Simpson que E h T M M 8 6 8, se tiene siendo M un constnte tl que f ( iv) () M pr tod,. Se puede verificr que el menor vlor pr M es 7, sí que E T lo que segur un precisión de por lo menos un cifr deciml ect en l proimción otenid. En situciones como l del ejemplo, donde l función f () + sen tiene derivd difícil de clculr, podemos estimr el error teniendo en cuent que Si N 6, entonces h 7 6 ( ) ET O h. 7 < y l proimción otenid es L. 898 con E T 9., lo que segur un precisión de por lo menos cinco cifrs decimles ects en l proimción otenid. Ejemplo. Determine los vlores de N y h necesrios (de cuerdo con l teorí) pr proimr e send de mner que el error en l plicción de l regl de Simpson y determine l proimción (desprecie los errores de redondeo). no se myor que

22 MÉTODOS NUMÉRICOS Solución: Semos que el error en l plicción de l regl compuest de Simpson es E T h N ( iv ) f (), donde (, ) y h ξ ξ 9 N N De cuerdo con est fórmul, deemos empezr por conocer un cot pr ( iv f ) () intervlo [, ], siendo f () e sen. en el Como () sen cos ( sen cos) f e + e e + ( ) ( ) ( ) f e sen + cos + e cos sen e cos y entonces () cos sen ( cos sen) f e e e ( ) () ( ) ( ) ( ) iv f e cos sen + e sen cos e sen e sen ( v) () ( + ) f e sen e cos e sen cos, sí que ( v f ) () sen + cos sen cos 6. [, ] Ahor, ( iv f ) e sen ( iv f ) () e sen ( iv ) ( ) f e sen.... luego en ocurre el mínimo de ( iv f ) () e sen en el intervlo [ ],, pero ( iv ) () < [ ] f e sen pr tod,, sí que el máimo de [, ] ocurre en, es decir, ( iv f ) () en el intervlo f pr todo ( iv ) () e sen e sen 9. 8 < [, ]

23 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Así que finlmente, E T h N N ( ) N 8 6 y entonces deemos encontrr N, tl que 6N. L solución de est desiguldd es N > y como N dee ser pr, entonces el menor vlor de N es N 6. Si N 6, entonces h 6. y l regl de Simpson e sen d. 9 d Como E T <, entonces (desprecindo los errores de redondeo) l proimción clculd tiene un precisión de por lo menos tres cifrs decimles ects, que son 9, y. Si integrmos por prtes, otenemos e sen d , sí que l proimción clculd es stnte uen.. INTEGRACIÓN DE ROMBERG L integrción de Romerg es un método numérico pr otener un estimción del vlor de un integrl definid con se en dos o más plicciones de un fórmul como l de los Trpecios (o Simpson) emplendo diferentes tmños de pso, pero que es mejord l cominrse con el proceso de etrpolción de Richrdson. Pr estudir l etrpolción de Richrdson se puede consultr Burden, 98, págins El procedimiento de Romerg pr proimr fd (), consiste en lo siguiente: Aplicmos l regl de los Trpecios sucesivmente pr tmños de pso h vriles, sí: ( m ) h ( m suintervlos)..., h N suintervlo, h,..., h h h (m suintervlos), h h (m suintervlos), hn N N ( m N suintervlos) donde N es lgún entero positivo. Al reemplzr h por h en l regl de los Trpecios, otenemos

24 MÉTODOS NUMÉRICOS h h fd i i () f ( ) + f ( ) + f ( + ih ) f ( ξi) ih ξ i h. donde ξ i es tl que + < < + ( + ) i Si denotmos R, h f+ f+ f+ ih i ( ) ( ) ( ) entonces l vrir,,..., N, otenemos ls proimciones medinte l regl de los Trpecios [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ] h R, f + f f + f es decir, Ahor, [ ( ) ( ) ( ) ] h R, f + f + f + h ( ) + ( ) + + f f f [ ( ) + ( )] + ( ) + ( ) f f f R, R, + hf + h h R, f () + f () + f ( + ih ) i h { f () + f () + [ f ( + h) + f ( + h) + f ( + h) ]} ( ) ( ) + ( ) f f f f + f + 8 ( ) + ( ) f f f f + + f + es decir, R R h f h h,, + + f + + En generl, se puede demostrr que

25 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA i R, R, + h f + h,,,...,n i Pr ilustrr est primer prte del procedimiento, proimemos l integrl 9868 d ln... (. ) medinte los números de Romerg con,, ( N ) R, : R, +. R ( ) 7 7, R, Se oserv que ls proimciones R, vn cercándose l vlor ecto de l integrl, pero con lentitud. Pr celerr l convergenci, usmos hor etrpolción de Richrdson y un resultdo que nos muestr otr form pr el error en l plicción de l fórmul de los Trpecios: () f () + f () + f ( + ih ) () () fd ( ) ( ) ( ) h h h iv [ f f ] f + ξ 7 i!######"###### $!####### error "####### $ R, pr lgún ξ con < ξ <,,,..., N. Cominndo l ecución con l ecución [ ] h fd () R f () f () + 7 ( ) h f ( ) ( ) iv, ξ h ( ) h fd ( iv () R [ f () f () ] f ), + ( ξ ) 7 [ f () f () ] h R, ( ) h f ( ) ( ) iv ξ, y que h h

26 6 MÉTODOS NUMÉRICOS o se con l ecución [ ] fd () R f () f () + h ( ) h f ( ) ( ) iv, ξ podemos eliminr el término que contiene f () () 7 f, pr otener Luego [ ] ( iv () ) ( iv ( ) ),, hf ξ h f ( ξ ) fd R R + 7 R R fd 6 [ ] ( iv ) ( iv [ hf ( ) ) hf ( ) ] ( iv ) ( iv [ ( ξ ) ) ( ξ ) ],, ( iv () hf ) ( iv + ( ξ ) h f ) ( ξ ) R, R, ξ ξ, y que h h. R, R, + h f f y sumiendo que f ( iv ) está cotd en [, ], entonces R, R, () Oh ( ) fd +,,,..., N Pr continur con el procedimiento de Romerg, definimos: R, R, R, pr,,..., N Se puede demostrr que ls proimciones R,,,,..., N corresponden ls proimciones otenids por l Regl de Simpson con h h. Pr el ejemplo, tenemos R R,, R R R,, R,, Aplicndo sucesivmente el proceso de etrpolción de Richrdson, otenemos

27 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7 j Rij, Ri, j R i, j pr cd i,,...,n y j,...,i j j con error socido de orden Oh ( i ). Recuerde que i R, R, + h f + h,,,..., N i y que [ ( ) ( )] R, f + f El orden en que se clculn los R ij, es (por fils): R R R R,,, & N, R R R,, N, R R, N, % R N,N donde pr clculr R, necesitmos conocer R, y R, ; pr clculr R, necesitmos conocer R, y R, ; pr clculr R, necesitmos conocer R, y R, ; etc. Así que el uso ms eficiente de est tl se logr relizndo los cálculos por fils de modo que con plicr un sol vez más l regl de los Trpecios (pr clculr R, ) se pued clculr l siguiente fil. Es decir, el orden en que se clculn los elementos es R,, R,, R,, R,, R,, R,,.... Se puede demostrr, ver Rlston, 96, págins -, que los términos de l digonl convergen l vlor ecto de l integrl siempre y cundo los vlores R, converjn este número. Se esper, en generl, que l sucesión { R } sucesión { R,}., converj mucho más rápido que l El procedimiento de Romerg se termin cundo, prefijd lgun tolernci ε>, se stisfg que R, R, < ε y se tom R, como l proimción l vlor de l integrl.

28 8 MÉTODOS NUMÉRICOS Pr el ejemplo, tenemos: R, R R,, con Como R R, R,. 7<., d. 67 <. entonces el vlor clculdo R, 999., proim l vlor ecto de l integrl con un precisión de dos cifrs decimles ects ( y 9). Algoritmo. (Método de Romerg) Pr encontrr un vlor proimdo de I f() d usndo el método de integrción de Romerg: Entrd: f, () los etremos y, y un entero positivo N. Slid: Los números de Romerg R, R, R,..., R, R,..., R I.,,, N, n, NN, Pso : Tomr h, Pso : Slid: R,. h [ f() f() ] + R, Pso : Pr i,,..., N, seguir los psos -8: i R, R, h f. h Trpecios) Pso : Tomr + + ( ) Pso : Pr j,...,i, tomr ( ) (proimción usndo regl de los R, j j R, j R, j (Etrpolción de Richrdson) j

29 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 9 Pso 6: Slid: Los números de Romerg R, j, j,,..., i. h Pso 7: Tomr h (cmir l longitud del suintervlo). Pso 8: Pr j,,..., i tomr R R., j, j Pso 9: Terminr Este lgoritmo sólo utiliz dos vectores en memori pr clculr los números de Romerg.. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Vimos en l sección. que l fórmul de los Trpecios es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que uno y que ls regls de Simpson y son ects pr 8 polinomios de grdo menor o igul que tres. Otr form de deducir fórmuls de integrción numéric que sen ects pr todos los polinomios de hst cierto grdo, se estudi continución: Supongmos que queremos otener un fórmul de integrción numéric del tipo fd Af+ Bf+ E f!##"## $!"$ () () () T() FORMULA ERROR TOTAL (.) de modo que dich fórmul se ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que uno, es decir, tl que el error ET () f cundo f () se un polinomio de grdo menor o igul que uno. Cómo se determinn los coeficientes A y B? Pr generr ecuciones que permitn determinr los coeficientes A y B, oserve que: Si f + con, R, entonces ()

30 6 MÉTODOS NUMÉRICOS () ( + ) () () () E f E f d Af Bf T T ( ) d A( ) B( ) d A B d A B E + E () ( ) T T es decir, Así que E ( + ) E ( ) E ( ) T T + E ( + ) pr todo, R si y sólo si E T () T T y E () T es decir, l fórmul uscd es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que uno si y sólo si l fórmul es ect pr ls funciones polinómics ásics de grdo menor o igul que uno: f() y f (). De cuerdo con lo nterior, pr determinr los coeficientes A y B, en l fórmul uscd, st sustituir f () por y f () por en l ecución (.) con ET () f. Hciendo dichs sustituciones, otenemos ET () d A B E T () d A B es decir, se otiene el sistem linel de dos ecuciones en ls dos incógnits A, B: A + B A + B Como este sistem tiene solución únic A B () ( ) ( ), entonces l fórmul otenid es [ ] fd f + f que es l y conocid regl simple de los Trpecios pr f en [,] (verifique que est fórmul no es ect pr todos los polinomios de grdo dos!).

31 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6 El trjo relizdo ntes en el intervlo [, ] puede hcerse, sin pérdid de generlidd, en el intervlo [, ], pues l función linel [, ] [, ] t λ() ( ) λ : t t+ es uno uno y sore, demás λ( ), λ( ) ( λ () λ () como yud pr construir l función λ () t., ). Ve l FIGURA. t ( ) t Si en l integrl FIGURA. () fd hcemos el cmio de vrile ( ) t+, entonces ( ) En generl, l función linel d dt y () (( ) )( ) ( ) ( ) ( ) f d f t + dt f t + dt [, ] [, ] λ : cd t λ() t ( ) d c t c + es uno uno y sore, y demás λ() c y λ() d ( λ ( ) λ ( ) () fd c, d). Si en l integrl

32 6 MÉTODOS NUMÉRICOS hcemos el cmio de vrile otenemos ( ) + d c t c ( ) ( ) d c f t dt d c f d c t c + dt f() d λ() d c Oserve que como λ es linel en t, si f () es polinomil, entonces f λ () t es tmién polinomil en t y del mismo grdo. Por consiguiente, l ectitud de un fórmul no se lter l hcer el cmio de vrile indicdo ntes, es decir, si un fórmul de integrción numéric es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que m en l vrile cd, d c ( ) en [, ], tmién lo será pr todos los polinomios correspondientes en l vrile t en [ ] y recíprocmente. Como ejemplo, supongmos que queremos determinr los coeficientes A, B y C de modo que l fórmul f +!###" # ## $ () d Af() + Bf Cf() fórmul se ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que dos. Siguiendo l mism ide del ejemplo nterior se tiene que: l fórmul uscd será ect pr todos los polinomios f () + +, de grdo menor o igul que dos, si y sólo si l fórmul es ect pr ls funciones polinómics ásics de grdo menor o igul que dos,,. Luego pr determinr los coeficientes A, B y C st resolver el sistem linel + + d A B C + d B C + d B C es decir, deemos resolver el sistem linel de tres ecuciones en ls tres incógnits A, B, C:

33 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6 A + B+ C B+ C + B C L solución de este sistem es A 6, B 6 y C 6. Así que l fórmul otenid es fd f f f () ( ) + () que es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que dos. Como ejercicio verifique si est fórmul es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que tres. Es ect est fórmul pr todos los polinomios de grdo menor o igul que cutro? Si usmos el cmio de vrile ( ) t+, otenemos ( ) () ( ) ( ) fd f t+ dt f + f 6 ( ) f() f + f () ( ) + f () que coincide con l regl simple de Simpson plicd l función f en el intervlo [, ]. El método ilustrdo en los ejemplos nteriores pr encontrr fórmuls de integrción numéric se conoce como método de los coeficientes indetermindos. 6. MÉTODO DE CUADRATURA GAUSSIANA En ls fórmuls de integrción numéric o de cudrtur estudids hst quí pr proimr el vlor de

34 6 MÉTODOS NUMÉRICOS I fd () se h usdo siempre un prtición regulr < < < n,, es decir, los puntos,,..., n se hn ddo igulmente espcidos. Si se quit est condición, pueden diseñrse fórmuls de integrción numéric más preciss escogiendo decudmente los puntos,,..., n. Un de ests fórmuls es l cudrtur Gussin, que se puede presentr en los siguientes términos:... del intervlo [ ] L cudrtur Gussin consiste en otener los vlores de los puntos,,..., n en el intervlo [, ] (podemos trjr en [, ] en vez de trjr en [, ] y luego usr un cmio de vrile como se hizo en l sección nterior) y los coeficientes A, A,..., tles que l fórmul An fd () Af j ( j) n j!#"# $ FORMULA (.) se ect pr todos los polinomios de grdo tn lto como se posile. Est ide se dee Crl Friedrich Guss (777-8). Este proceso involucr l determinción de n incógnits, A, A,..., An y,,..., n, donde, en principio,,,..., n sólo están restringidos que l función f esté definid en,,...,,,...,,. y [ ] n n Los coeficientes A j y los puntos son determindos de modo que el error,,..., n () f f( ) d A f( ) E n j j j pr todos los polinomios f () de grdo tn lto como se posile. n (.) Pr derivr ecuciones que permitn otener los coeficientes A, A,..., An y los puntos,,..., n, notemos, como en el cso del método de los coeficientes m indetermindos, que si f () , entonces m

35 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6 E n m () f En ( m ) n m m ( m ) d A j ( + j + j m j ) + n d!### " m E n E n A j + d A j j + d j j j ### $!### "### $!###" () E ( ) E n ( ) n m m d A j j j!###"#### $ E n m m () + E n ( ) + En ( ) men ( ) n j n n A j j +... ### $ Por consiguiente: El error En( m m ) i de grdo menor o igul que m si y sólo si E ( ) pr todo i,,,..., m... pr todos los polinomios. n Volviendo l tem de cómo determinr los coeficientes A j, j,,..., n, y los puntos de l prtición j, j,,..., n, tenemos los siguientes csos prticulres: CASO : n. En este cso () f f( ) d Ajf( j) E j () Af ( ) fd Así que queremos encontrr A y tles que E() f pr todos los polinomios f () de grdo tn lto como se posile. Como hy dos incógnits por determinr, considerremos l menos dos ecuciones, un pr f () y otr pr f (), lo que nos llev d A y d A es decir, result el siguiente sistem no-linel de dos ecuciones en ls dos incógnits A y : A A

36 66 MÉTODOS NUMÉRICOS Como l únic solución de este sistem es A y, entonces l fórmul otenid es () f() f d que es llmd regl del punto medio, y es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que uno, como l regl de los Trpecios. (Verifique que l regl del punto medio no es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que dos!). CASO : n. En este cso () ( ) j ( j) E f f d A f j () ( ) ( ) fd Af Af Así que, est vez, deemos encontrr A, A, y tles que E() f pr todos los polinomios f () de grdo tn lto como se posile. Considermos entonces cutro ecuciones, un pr cd un de ls funciones polinómics ásics de grdo menor o igul que tres i, i,,,, con lo que otenemos es decir, d A A d A A d A A d A A A + A A+ A A + A A + A

37 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 67 Este sistem resultnte es no-linel de cutro ecuciones con cutro incógnits, y se puede verificr que l solución de este sistem es A que l fórmul otenid es fd f f + () A,,, sí que es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que tres, como en l regl de Simpson. (Verifique que l fórmul nterior no es ect pr todos los polinomios de grdo cutro). En generl, pr n tenemos, como y mencionmos ntes, n incógnits A, A,..., An, i,,..., n, y queremos que En ( ) pr i,,..., n, lo que nos conduce l siguiente sistem no-linel de n ecuciones con n incógnits n A j i i+ i j d i j +, i,,..., n i n,,,..., i + L solución de estos sistems se ve que no es fácil, y precismente por l dificultd que se present l trjr con estos sistems no-lineles, hy otr teorí más generl, pero que no presentremos quí. En dich teorí se puede demostrr que el error En () f viene ddo por n+ ( n n! f ) () ξ pr lgún (, ) ξ. E n () f ( ) ( n+ )( n) [ ] ( n)!! L TABLA. siguiente, muestr los vlores de los puntos,,..., n y los vlores de los coeficientes A, A,..., An, correspondientes los vlores de n,,,, pr l fórmul de cudrtur llmd de Guss-Legendre f() d A jf( j) n j n Coeficientes A, j,..., n j Nodos, j,..., n j Error de fórmul

38 68 MÉTODOS NUMÉRICOS A f () ξ A A f ( ) () ξ A A A f ( 6) () ξ A A A A f ( 8) () ξ A A A A A f ( ) () ξ TABLA. Si se dese consultr l teorí sore Cudrtur Gussin se puede ver Kincid, 97, págins 6-6. Ejemplo. Use el método de cudrtur Gussin con n y n pr estimr sen d Solución: Pr usr los dtos de l TABLA., primero hcemos el cmio de vrile con el cul λ : [ ],, t λ() t + ( t+ ) ( t+ ) 6 sen d sen ( t ) dt 6 + 6

39 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 69 i) Si n, entonces sen d sen + sen ( ) + ( ) Compre este resultdo con el otenido usndo l regl de Simpson. ii) Si n, entonces sen d sen El vlor ecto de l integrl dd es ( ) sen ( ) sen ( ) TALLER. sen d ) Use ls regls de los Trpecios, Simpson y Simpson 8 con seis suintervlos pr otener vlores proimdos de cd un de ls siguientes integrles i) e d ii) ln d iii) e d iv) e d

40 7 MÉTODOS NUMÉRICOS v) ln + d vi) sen d vii) sen d viii) sen( ) d ) Pr cd uno de los vlores otenidos en ) encuentre cots pr el error en l proimción clculd y estime, prtir de ess cots, con cuánts cifrs decimles ects proim dicho vlor l vlor ecto. Desprecie los errores de redondeo. 8.. Si fd () y nos dn l tl siguiente f( ) 8 6 Emplee l regl de Simpson pr estimr ( ) f.7.. L siguiente tl muestr vlores proimdos de un función f y los correspondientes errores de redondeo ~ f () Error en f () Use todos los dtos de l tl nterior y l regl de Simpson pr proimr 6. el vlor de () 8. fd, y clcule el error de redondeo totl l plicr dich regl.. ) Determine el menor número de suintervlos N necesrios pr otener un proimción de. ln d, con un precisión de por lo menos cinco cifrs decimles ects, usndo l regl de los Trpecios y l regl de Simpson.

41 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7 Clcule l proimción correspondiente, en cd cso. Desprecie los errores de redondeo. ) Respond l pregunt plnted en ) pr cd un de ls integrles en el prolem. ).. ) Utilice el método de los coeficientes indetermindos pr generr un fórmul de integrción numéric del tipo fd () Af j ( j) n j que se ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que cutro. ) Verifique que l fórmul otenid en ) es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que cinco, y que no es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que seis. c) Aproime ln por medio de l fórmul otenid en ). Cuál es el error que se comete en l proimción? Not: ln d. 6. Use l regl de Simpson estimr + + d. con N 6 y un cmio decudo de vrile pr 7. Use ls regls de los Trpecios y Simpson con N pr proimr l curt prte de l longitud de l elipse y +. Concluy, prtir de ls cots teórics pr el error totl, cuál es l clidd de l proimción otenid en cd cso.

42 7 MÉTODOS NUMÉRICOS 8. Use el método de Romerg con N pr proimr cd un de ls integrles del ejercicio. ). 9. Use el método de cudrtur Gussin con n y n pr proimr cd un de ls integrles del ejercicio. ).. Encuentre un fórmul de cudrtur del tipo indicdo f () d c f( j ) j!#"#$ fórmul que se ect pr todos los polinomios cudráticos. Ests fórmuls son conocids como fórmuls de cudrtur de Cheyshev.. ) Encuentre un fórmul del tipo f () d A jf( j ) n j!#"#$ fórmul con n que se ect pr todos los polinomios f () de grdo menor o igul que tres. ) Repit con n, hciendo l fórmul ect pr todos los polinomios f () de grdo menor o igul que cinco.. Determine los coeficientes A, A y A que hcen que l fórmul () d A f() + A f() A f() f!# ### " + #### $ fórmul se ect pr todos los polinomio de grdo menor o igul que tres.. ) Verifique que l siguiente fórmul de cudrtur Gussin es ect pr todos los polinomios de grdo menor o igul que cinco.

43 Cpítulo. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7 f 8 + f 9 9 9!# #### "##### $ () d f + f() fórmul ) Muestre cómo puede ser usd l fórmul dd en ) pr clculr () plique este resultdo pr evlur cd un de ls siguientes integrles fd, y i) d sen d