TEOREMAS DE FUNCIONES DERIVABLES 1. Teorema de Rolle

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1 Cálculo _Comisión Año 6 TEOREMAS DE FUNCIONES DERIVABLES Una de las propiedades que poseen las funciones derivables y continuas en intervalos cerrados, expresa que al dibujar la curva de una de ellas y al trazar la recta que une los extremos de la curva, es posible hallar un punto del interior del intervalo donde la tangente al gráfico es paralela a dicha recta Se presentan a continuación dos teoremas sobre esta cuestión En primer lugar, el Teorema de Rolle y luego el Teorema del Valor medio, que es una generalización del primero Teorema de Rolle Sea una función f definida en un conjunto D de números reales Si f es continua en el intervalo D [a ; b], derivable en el intervalo (a ; b) y f(a) f(b), entonces existe al menos un valor c interior a (a ; b), tal que c ) El teorema asegura que por lo menos en algún punto interior al intervalo (a ; b) la derivada de la función será nula, siempre y cuando se cumplan las tres condiciones (hipótesis) establecidas: ) la continuidad en el intervalo cerrado (obliga a que existan las imágenes en los extremos a y b), ) la función debe admitir derivada en todo punto interior y 3) ser iguales las imágenes en los extremos a y b Ejemplo : la función f ( x 3 x 3 definida en D [ ; 3] cumple con el teorema de Rolle? Probamos si las hipótesis se cumplen: ) la función es continua en D, por ser una función polinómica (al estudiar continuidad, se demostró que todas las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio); por lo tanto, se cumple ) por la misma razón (ser una función polinómica) es derivable en todo su dominio (excepto en los extremos y 3, porque no se puede asegurar la derivabilidad en el extremo de un intervalo cerrado); por lo tanto, se cumple 3) la imagen f() y la imagen f(3), por lo que son iguales y se cumple la hipótesis Entonces, se puede afirmar que existirá por lo menos un valor c, interior a [ ; 3], donde c ) se podrá saber el valor de c? en ocasiones es posible, cuando la ecuación que resulta se puede resolver en forma analítica En este ejemplo: 3x 6 x y 3c 6c Igualamos a cero ésta expresión y se obtiene la ecuación 3c 6c 3c( c ), cuyas soluciones son: c y c El primer valor se descarta, por ser un extremo del intervalo y el que corresponde es el segundo valor, por ser interior al intervalo Por lo tanto, en x, la derivada de la función es cero Interpretación gráfica del teorema Uniendo los puntos A f(a) y B f(b), se obtiene una recta S, secante al gráfico de f y paralela al eje x (dado que f(a) f(b)) El teorema asegura que será posible encontrar por lo menos un punto sobre el gráfico de f donde la recta tangente, sea paralela a la recta S secante (recordemos que la derivada en el punto representa a la pendiente de una recta tangente a la curva) Apunte elaborado por la Mgter Prof Adriana Duarte Guía teórica Teoremas de funciones derivables

2 Cálculo _Comisión Año 6 En el ejemplo dado, se obtiene que la recta tangente al gráfico de f en el valor c, es horizontal (pendiente cero) Ejemplo : Probar si el teorema de Rolle se verifica para la función 3 f ( x, en [-;] la función f es una función potencia y continua en todo valor del intervalo, también f(-) f (); sin embargo, f no es derivable en x (porqué?) Como una de las hipótesis no se cumple, no se verifica el teorema (o sea, no existe ningún valor del interior del intervalo donde ) En el gráfico se observa: Recordemos que la existencia de un pico en el gráfico de una función es una consecuencia de la no existencia de la derivada en ese punto (porque las derivadas laterales son diferentes) Aplicación: Con el Teorema de Rolle, podemos investigar cuántos ceros tiene una función y f(, continua en [a;b] y derivable en (a;b) En efecto, un caso especial es cuando f(a) f(b) La ecuación f(, tiene así dos soluciones: x a y x b, entonces existe al menos un valor c, con a<c<b, donde la ecuación tiene al menos una solución en x c (dicho de otra forma, c es un cero de la derivada de f) Guía teórica Teoremas de funciones derivables

3 Cálculo _Comisión Año 6 Esto se puede generalizar aún más diciendo: Si f( tiene n soluciones en [a;b], entonces la ecuación tiene al menos (n-) soluciones en (a;b) O bien, conociendo la cantidad de ceros de la derivada se puede saber la cantidad de ceros de la función Por ejemplo, si f( tiene 5 soluciones, la ecuación tiene al menos 4 soluciones O sea, si la derivada de una función tiene 4 soluciones en el interior del intervalo, la función tendrá 5 soluciones en el mismo intervalo 3 Ejemplo 3: Probar que la función f ( x + 4x+ tiene exactamente una solución la derivada de f es 3x + 4 3x + 4, x R Como esa ecuación no tiene soluciones, se tiene que la cantidad de soluciones n -, de donde n ; queda probado que f tiene una única solución Se observa en el gráfico: Ejercicio 4: Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación sen x, en [; π ] Teorema del Valor Medio (del Cálculo Diferencial) Como dijimos, es una versión más general del Teorema de Rolle, en la cual no se exige la igualdad de los valores de la función en los extremos del intervalo Si f es una función continua en el intervalo D [a ; b] y derivable en el intervalo (a;b), entonces existe al menos un valor c interior a (a;b), tal que b a Demostración: Si llamamos S a la recta secante que pasa por los puntos (a; f(a)) y (b; f(b)), su ecuación (puntopendiente) es: S : y ( x a), por ser una función lineal, es continua y derivable en el b a intervalo y su derivada es y ( [] b a Guía teórica Teoremas de funciones derivables 3

4 Cálculo _Comisión Año 6 Por otra parte, para cualquier valor x de [a;b] existe una diferencia entre el valor que toma la función y el valor que toma la recta S Esa diferencia es una función que mide la distancia entre las dos funciones y se puede designar como D( f( y(, que a su vez es una función continua en [a;b] (por ser diferencia de dos funciones continuas), es derivable en (a;b) (por ser diferencia de dos funciones derivables) Además, analizando en los extremos, resulta: D(a) f(a) y(a) ; D(b) f(b) y(b) Es decir, la función D satisface las hipótesis del Teorema de Rolle y en consecuencia, existe al menos un valor c, interior a (a;b) / D ( [] La derivada de la función D es D ( y (, evaluada en c es: D ( y ( Teniendo en cuenta [] y [], queda El teorema b a b a queda así demostrado Interpretación gráfica del teorema De igual modo que en el teorema anterior, éste asegura que será posible encontrar por lo menos un punto sobre el gráfico de f donde la recta tangente, sea paralela a la recta S secante (recordemos que la derivada en el punto representa a la pendiente de una recta tangente a la curva) Ejemplo 5: a) Analizar si para la función [;] 3 f ( x, se verifica el Teorema del Valor medio en el intervalo º hipótesis) la función es continua en el intervalo [;], dado que en los extremos y en todo punto interior se cumple lím f ( f ( p) ; se cumple x p º hipótesis) Se tiene que la derivada de f es Claramente se ve que no existe la 3 3 x derivada en x, pero el teorema exige que se derivable en el intervalo abierto (;); se cumple Y además f ( ) f (), entonces, al verificarse las hipótesis también se verificará la tesis b) Si es posible, encontrar el valor interior a [;], donde la derivada es igual al cociente entre la diferencia de imágenes y la diferencia de los extremos del intervalo Guía teórica Teoremas de funciones derivables 4

5 Cálculo _Comisión Año 6 Para hallar el o los valores interiores, se evalúa la derivada en c: Por otro 3 3 c lado, se tiene que : Se obtiene así la ecuación:, cuya solución es: 3 b a 3 c c 8 7 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en (c; f( ) la pendiente de la recta es m y la ecuación es: y f ( m ( x O sea: y ( x ) + x Representación gráfica: Ejemplo 6: Un automovilista entra a la autopista y recibe un talón marcado a las :5 pm Sesenta kilómetros más adelante, cuando pasa por el peaje a las :5 pm, recibe una multa, porqué? La velocidad máxima permitida es de 55 km/h Una de las aplicaciones de la derivada es la velocidad instantánea de un móvil Se define la velocidad como la derivada de la función posición con respecto al tiempo (variable independiente): Si s f ( t) v( t) s ( t) ds dt Entre la :5 pm y las :5 pm hay una variación de hora Considerando que t y t, S() y S() 6 En el intervalo [;], se tiene el cociente: S() S() 6 6km / h t() t() Por el Teorema del Valor medio, existe por lo menos un punto (un valor c de la variable tiempo) donde ese cociente será igual a la derivada de la función (la velocidad) Según el valor hallado, en algún instante el automóvil tuvo una velocidad instantánea de 6 km/h, superando así la velocidad máxima permitida Por lo tanto, la multa está bien aplicada Guía teórica Teoremas de funciones derivables 5

6 Cálculo _Comisión Año 6 Consecuencias del Teorema del Valor medio ) Si f es una función derivable en un intervalo I y en todos los puntos del mismo la derivada de f es nula, entonces la función es una función constante en I En efecto: Si se toman dos valores diferentes x y x del intervalo I, y la función cumple con las f ( x ) condiciones del teorema del valor medio, se tiene que f ( x ), x x por lo que la función es constante (dado que x y x pueden ser cualquier par de valores del intervalo I) Dicho de otra forma, si la derivada de una función es siempre cero para todo valor del intervalo, la función debe ser únicamente una función constante ) Si dos funciones diferentes tienen igual derivada en cada punto de un intervalo I, entonces dichas funciones difieren en una constante Esto es: cuando las derivadas de dos funciones son iguales, la diferencia que hay entre las dos funciones es una función constante En símbolos: Si f f g + c f g c Teorema generalizado del Valor medio Sean dos funciones f y g Si ambas son continuas en [a;b], derivables en (a;b) y x ( a; b): (, entonces c ( a; b) / ( b) a) Este teorema no tiene una aplicación práctica directa, pero si es utilizado para demostrar la siguiente propiedad Ejemplo 7: Analizar si el teorema generalizado del Valor medio se cumple para las funciones g ( x en el intervalo [;4] f ( x y En primer lugar, ambas funciones son continuas en [;4] Además:, por lo x que f es derivable en (;4) y ( x, siendo g derivable en (;4) y ( en todo valor x del intervalo (; 4) Entonces se cumple que existe por lo menos un valor c del interior de (; 4), donde: f (4) f () ( 4) ) 6 5 Por lo que: c c ( 5 4) 3 El teorema se cumple ( c 5 Guía teórica Teoremas de funciones derivables 6

7 Cálculo _Comisión Año 6 Teorema de L Hopital También conocido como Regla de L Hopital, o Regla de L Hospital º parte: Sean f y g funciones derivables en un intervalo I (a; b) y x ( a; b): ( y f y g f ( infinitésimos en a por derecha, si existe el lím, entonces existe el lím y ambos + + x a ( x a límites son iguales La segunda parte del teorema, considera un intervalo I (d; a) y plantea los límites por izquierda a a º parte: Sean f y g funciones derivables en un intervalo I (d; a) y x ( d; a): ( y f y g f ( infinitésimos en a por izquierda, si existe el lím, entonces existe el lím y ambos x a ( límites son iguales Por último: Si los límites por derecha e izquierda a a resultan iguales, entonces existe el límite y el teorema se f ( representa: lím lím L x a x a ( La aplicación del teorema permite resolver límites indeterminados, dado que por ser f y g infinitésimos en a, el límite resulta una indeterminación del tipo / Por otra parte, en caso de que el cociente de las derivadas de cada función vuelva a ser una indeterminación, se puede aplicar el teorema nuevamente, siguiendo así hasta que la indeterminación desaparece Se ilustra la aplicación del teorema con casos particulares, según los diferentes casos de indeterminación de límites presentados: / ; / ; ; La demostración de este teorema escapa a las exigencias de este curso No obstante, se puede encontrar en cualquier libro de texto recomendado en la bibliografía de la asignatura Guía teórica Teoremas de funciones derivables 7

8 Cálculo _Comisión Año 6 º caso) Indeterminación del tipo / Encontrar x + x lím x + 5x 6 x + º caso) Indeterminación del tipo / Encontrar Ln x lím x ctg x 3º caso) Indeterminación del tipo Se presenta este caso cuando se trata del límite del producto entre las funciones f y g, siendo una de ellas un infinitésimo en a y la otra un infinito en a: lím f ( [ f ( ] lím, o bien lím [ f ( ] lím f ( Con esta modificación el límite se transforma en el º caso Encontrar lím [ x Ln x] x 4º caso) Indeterminación del tipo Se presenta este caso cuando se trata del límite de una diferencia entre las funciones f y g, ambas infinitas en a Lo primero que se realiza es la transformación de la diferencia en un cociente, para poder así aplicar la regla de L Hopital: Guía teórica Teoremas de funciones derivables 8

9 Cálculo _Comisión Año 6 f ( lím f ( Con esta modificación el límite se transforma en el º caso [ f ( ] lím Encontrar lím x x Ln x 5º caso) Indeterminaciones del tipo ; o Se presentan estos casos cuando se trata del límite de una función potencial-exponencial Es decir: g ( lím f ( g ( Antes de aplicar la regla de L Hopital, se supone que el límite existe y es L: L lím f ( Luego, se aplica logaritmos a ambos miembros de la igualdad: g ( ln L ln lím f ( lím ln f ( En el segundo miembro el límite es una indeterminación del tipo Suponiendo que dicho límite de cómo resultado un número A, se tiene: A ln L A L e, que es el límite buscado, ya visto en el 3º caso Ejemplo 8: Encontrar lím x x sen( Es una indeterminación del tipo Se supone que existe el límite: Aplicando logaritmos a ambos miembros: L lím x x sen( Guía teórica Teoremas de funciones derivables 9

10 Cálculo _Comisión Año 6 ln L ln lím f ( g ( sen x lím lím x x cos x x ln lím x x sen( lím sen( ln x lím x x ln x sen x lím x x cos x sen x sen xcos x, entonces ln L L e cos x x sen x Guía teórica Teoremas de funciones derivables