Integración de funciones de una variable real

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1 Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross figurs plns sí como volúmenes y longitudes de curvs. En prticulr obtuvo l primer proximción rzonblemente buen del número π inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulres en un círculo de rdio 1. Por otr prte el Cálculo Diferencil, que estudimos en el tem nterior, fue credo por Newton y Leibniz en el siglo XVII como un potente herrmient pr estudir el movimiento de los cuerpos (si x(t) represent l posición de un objeto dependiendo del tiempo entonces x (t) represent su velocidd y x (t) su celerción) y motivdo tmbién por el problem de ls tngentes: dd un curv, cómo se puede clculr su tngente en un punto? A primer vist el Cálculo Integrl y el Diferencil precen no tener nd en común: cd uno tiene su propi metodologí y se plicn pr resolver problems diferentes. Hicieron flt dos genios de l tll de Newton y Leibniz pr descubrir que en relidd l derivción y l integrción son operciones inverss (vése el Teorem Fundmentl del Cálculo) L integrl definid Dd f : [, b] R R un función continu y positiv queremos definir f(x)dx como el áre comprendid entre l gráfic de l función, el eje horizontl y ls rects x = y x = b. 1

2 2 CAPíTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL b L ide es dividir el intervlo [, b] en pequeños subintervlos y proximr el áre bjo l curv por l sum de ls áres de rectángulos. Vmos precisr un poco más ests nociones. Definición Sen, b R con < b. Llmmos prtición del intervlo [, b] tod colección finit de puntos de [, b] P = {x 0, x 1, x 2,... x n } con = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Los intervlos I k = [x k 1, x k ], k = 1, 2,...n, se llmn subintervlos de l prtición P. Si llmmos k = x k x k 1 l mplitud del subintervlo I k se define l norm de l prtición P como el máximo de los k, 1 k n. Definición Dd un prtición P del intervlo [, b] se definen ls sums de Riemnn de l función f socids l prtición P como SR(f, P ) = n f(c k )(x k x k 1 ), k=1 donde c k es un punto rbitrrio del intervlo [x k 1, x k ]. c 1 c 2 c 3 c 4 Definición Si {P n } n N es un sucesión de prticiones del intervlo [, b] tles que P n 0 cundo n y f es un función continu en [, b] se define f(x)dx := lím n SR(f, P n). (5.2.1)

3 5.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 3 Se puede demostrr que cundo f es continu en [, b] el límite nterior existe y es independiente de los puntos c k elegidos en ls sums de Riemnn. Cundo P n es un prtición del intervlo [, b] en n subintervlos igules, es decir, x k = + k(b )/n, k = 0, 1,, n, y tommos c k = x k, k = 1, 2,, n, entonces (5.2.1) conduce l fórmul b lím n n n k=1 ( f + ) k(b ) = n f(x)dx. (5.2.2) Un fórmul nálog se obtiene si tommos c k = x k 1, 1 k n. En ese cso, se obtiene n 1 b lím n n k=0 ( f + ) k(b ) = n f(x)dx. (5.2.3) Proposición (Propieddes de l integrl de Riemnn). Sen f, g : [, b] R funciones continus en [, b]. Se cumplen ls siguientes propieddes: 1. (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx. 2. Si λ R, entonces (λf(x))dx = λ 3. Si f(x) g(x), x [, b], entonces 4. f(x) dx f(x) dx. 5. Si < c < b, entonces f(x)dx = c f(x)dx. f(x)dx f(x)dx Teorem Fundmentl del Cálculo c g(x)dx. f(x)dx. Teorem (Teorem del vlor medio del cálculo integrl). Se f : [, b] R un función continu. Entonces existe un punto c [, b] tl que f(x) dx = f(c) (b ). (5.3.1)

4 4 CAPíTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL f(c) c b El Teorem del vlor medio integrl dmite un interpretción geométric sencill: si f : [, b] R es un función positiv y continu, entonces el áre del recinto limitdo por l curv y = f(x), el eje OX y ls rects x = y x = b es igul l áre de un rectángulo que tiene bse b y cuy ltur viene dd por el vlor de l función f en un cierto punto c [, b]. El Teorem Fundmentl del Cálculo, que presentmos continución, nos dice que los conceptos de derivd y de integrl definidos independientemente el uno del otro, resultn estr íntimmente relciondos. En efecto, hblndo sin much precisión l derivción y l integrción son operciones inverss, como l sum y l rest o el producto y l división. Teorem (Teorem Fundmentl del Cálculo). Se f : [, b] R un función continu en [, b]. Se consider l función F : [, b] R definid por F (x) = x f(t) dt, x [, b]. Entonces se stisfce que F es derivble en [, b] y demás F (x) = f(x), x [, b]. Consecuenci del Teorem Fundmentl del Cálculo es l Regl de Brrow que nos proporcion un método práctico pr el cálculo de integrles. Corolrio (Regl de Brrow). Si f : [, b] R es un función continu en [, b] y G : [, b] R es un primitiv culquier de f en [, b] (es decir, G (x) = f(x), x [, b]), entonces f(x) dx = G(b) G() = [G(x)] b 5.4. Técnics elementles de integrción L regl de Brrow nos permite obtener un vlor de f(x)dx conocid un primitiv F (x) de f(x). Por ello es importnte disponer de métodos que nos permitn obtener un primitiv de un función dd f(x).

5 5.4. TÉCNICAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN 5 Proposición (Integrles inmedits). ) [f(x)] n dx = [f(x)]n+1 n C, si n 1. b) dx = ln f(x) + C. f(x) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) f(x) dx = f(x) ln e f(x) dx = e f(x) + C. + C. ( > 0, 1). sen[f(x)] dx = cos[f(x)] + C. cos[f(x)] dx = sen[f(x)] + C. (1 + tg 2 [f(x)]) dx = ( 1 + cotg 2 [f(x)] ) dx = dx = rsen [f(x)] + C. 1 [f(x)] 2 dx = rtg (f(x)) + C. 1 + [f(x)] 2 sh [f(x)] dx = ch [f(x)] + C. ch [f(x)] dx = sh [f(x)] + C. ch 2 = tgh[f(x)] + C. [f(x)] cos 2 dx = tg[f(x)] + C. [f(x)] sen 2 dx = cotg(f(x)) + C. [f(x)]

6 6 CAPíTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL f(x) n) dx = rgsh [f(x)] + C = ln + [f(x)] C. 1 + [f(x)] 2 ñ) f(x) [f(x)] 2 1 dx = rgch [f(x)] + C = ln + [f(x)] C. o) 1 [f(x)] 2 dx = rgth (f(x)) + C = 1 2 ln 1 + f(x) 1 f(x) + C Integrción por cmbio de vrible L fórmul de integrción por cmbio de vrible se bs en l regl de l cden. Si F (x) es un primitiv de l función f(x) y g(x) es un función derivble, plicndo l regl de l cden se obtiene que y plicndo l Regl de Brrow se sigue que d[f (g(x))] = F (g(x))g (x)dx = f(g(x))g (x)dx, f(g(x))g (x)dx = d[f (g(x))]dx = F (g(b)) F (g()) Integrción por prtes L fórmul de integrción por prtes se bs en l regl de derivción de un producto. Si u, v son derivbles entonces d(u v) = u dv + v du. Integrndo en mbos miembros y despejndo se obtiene l fórmul de integrción por prtes u dv = u v v du. Obvimente est fórmul tiene interés práctico si l integrl del segundo miembro result más sencill o del mismo tipo que l integrl dd.

7 5.5. INTEGRALES IMPROPIAS Integrles impropis Integrles en intervlos no cotdos. Integrles impropis de primer especie 1) Se un número fijo y supongmos que l función f es integrble en [, t] pr todo t >. Entonces se define l integrl impropi + f(x) dx := lím t + t f(x) dx, en cso de que este límite exist y entonces decimos que l integrl impropi es convergente. 2) Análogmente, se b un número fijo y supongmos que l función f es integrble en [t, b] pr todo t < b. Entonces se define l integrl impropi f(x) dx := lím t t f(x) dx, en cso de que este límite exist y entonces decimos que l integrl impropi es convergente. 3) Si ls dos integrles impropis f(x) dx y + f(x) dx (5.5.1) convergen pr un mismo vlor de R, entonces se define l integrl impropi + f(x) dx := f(x) dx + + f(x) dx. Por el contrrio, si no existe ningún vlor de R pr el cul ls dos integrles (5.5.1) sen convergentes, se dice que l integrl impropi es divergente. + f(x) dx Integrles de funciones no cotds. Integrles impropis de segund especie 1) Si f no está cotd en [, b], pero es continu pr todo t con < t b, entonces f(x) dx := lím t + t f(x) dx, en cso de que este límite exist y entonces decimos que l integrl impropi es convergente.

8 8 CAPíTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 2) De mner nálog, si f no está cotd en [, b], pero es continu pr todo t con t < b, se define f(x) dx := lím t b t f(x) dx en cso de que este límite exist y entonces decimos que l integrl impropi es convergente. 3) Finlmente considermos el cso en que l función f no está cotd en [, b], pero es continu pr todo t [, c) (c, b]. Si ls dos integrles impropis c son convergentes, entonces se define f(x) dx f(x) dx := c y c f(x) dx + f(x) dx (5.5.2) c f(x) dx. Por el contrrio, si lgun de ls integrles (5.5.2) es divergente, entonces se dice que l integrl impropi f(x) dx es divergente Integrles impropis de tercer especie Se trt de integrles definids en un intervlo no cotdo y en ls que demás l función que integrmos tmpoco está cotd, pero es continu slvo en un número finito de puntos. El estudio de un integrl impropi de tercer especie se reduce, por l ditividd respecto l intervlo de integrción, estudir por seprdo un o dos integrles de primer especie y un o vris de segund especie. Si tods ls integrles que figurn en l descomposición en sumndos de l integrl originl son convergentes diremos que l integrl es convergente. Si l menos un es divergente l integrl dd es divergente Alguns plicciones de l integrl de Riemnn Áre de un región pln Áre encerrd por dos curvs dds en form explícit Si f y g son funciones continus en [, b], entonces el áre de l región pln limitd por ls curvs y = f(x), y = g(x) y ls rects verticles x = y x = b viene dd por A = f(x) g(x) dx.

9 5.6. ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 9 g b f Pr clculr est integrl hemos de determinr en qué regiones se stisfcef(x) g(x) y en cuáles f(x) < g(x). Los puntos de seprción de dichs regiones vienen ddos por ls soluciones de l ecución f(x) = g(x) en el intervlo [, b] Longitud de un rco de curv Se l curv y = f(x), donde f es un función de clse 1 en [, b], y consideremos un prtición = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, donde x i = + i h, i = 0, 1,..., n, h = (b )/n. f x 1 x 2 x 3 b L longitud de l curv es el límite de ls longitudes de ls poligonles que interpoln l gráfic de f en los puntos de l prtición. Aplicndo el teorem de Pitágors se deduce que L = lím n k=1 n h 2 + (f(x k ) f(x k 1 )) 2. Aplicndo el Teorem del Vlor Medio se sigue que existen puntos intermedios y k [x k 1, x k ] k = 1, 2,... n tles que f(x k ) f(x k 1 ) = f (y k )(x k x k 1 ) = f (y k )h.

10 10 CAPíTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Por tnto L = lím n k=1 n h 1 + f (y k ) 2. En este último límite precen sums de Riemmn de l función 1 + 2, por lo que l longitud de l curv entre los puntos de coordends (, f()) y (b, f(b)) se puede expresr finlmente como L = 1 + () 2 dx.

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