CÁLCULO INTEGRAL HORAS TEÓRICAS UNIDADES CRÉDITO HORAS PRÁCTICAS CODIGO (COMPUTACION) (SISTEMAS) CALCULO DIFERENCIAL III

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1 CÁLCULO INTEGRAL CODIGO HORAS TEÓRICAS HORAS PRÁCTICAS UNIDADES CRÉDITO SEMESTRE PRE REQUISITO (COMPUTACION) (SISTEMAS) III CALCULO DIFERENCIAL ELABORADO POR REVISADO POR APROBADO POR Ing. Inés K. Sánchez O., MSc, MGS Daviglem Valera 1

2 JUSTIFICACIÓN Uno de los conceptos fundamentales del cálculo es la integral, el cual abarca dos grandes temas: la integral indefinida como proceso inverso a la diferenciación, y la integral definida (área bajo la curva) la cual se convierte en la mejor herramienta para resolver problemas de aplicaciones geométrica y mecánica.las integrales son herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en la infraestructura científica tecnológica. Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Sin embargo, la idea de la integral indefinida supone un paso más en el camino de la abstracción emprendido por las matemáticas modernas. Con ella, la integral dejó de referirse únicamente a un modo de determinar las áreas que forman curvas y rectas para asumir la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático. Los conceptos fundamentales del cálculo integral para la deducción de ecuaciones que gobiernan sistemas básicos de ingeniería y su aplicación a la solución de problemas prácticos, proporcionar las bases matemáticas más solidas al individuo, mediante las cuales puede analizar cualitativa y cuantitativamente los diferentes fenómenos que se le presenten en su entorno cotidiano y profesional. Por lo antes expuesto, queda definida la importancia de su inclusión de ésta unidad curricular en el pensum de estudio de la Facultad de Ingeniería. El presente programa está estructurado en cuatro unidades: UNIDAD I : INTEGRAL INDEFINIDA UNIDAD II : TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN UNIDAD III: INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS UNIDAD IV: CÁLCULO DE LA LONGITUD DE ARCO Y DE VOLUMEN Conceptual Procedimental Actitudinal GENERALES Analizar cualitativa y cuantitativamente los diferentes fenómenos que se presentan en el entorno cotidiano y profesional, basado en conceptos, teoremas, propiedades y principios lógico-deductivos básicos del cálculo integral, evaluando las aplicaciones geométricas como mecanismo de resolución. Utilizar el cálculo integral como herramienta para la resolución de problemas de área y volumen de funciones, en la resolución de modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos, abarcando la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales, debatiendo la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos y analíticos, y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Valorar el desarrollo de propuestas innovadoras en la solución de problemas partiendo de métodos matemáticos establecidos, a través de conceptos, teoremas y principios asociados al cálculo integral, creando un sentido crítico de lo verdadero y asumiendo una postura responsable. los 2

3 UNIDAD I: INTEGRAL INDEFINIDA OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LOS TEOREMAS DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LAS PRIMITIVAS DE FUNCIONES SIMPLES O COMPUESTAS DE FORMA INMEDIATA EN MUCHAS SITUACIONES PRÁCTICAS Reconocer el proceso de Integración como un método para calcular las funciones primitivas y como proceso inverso al de la diferenciación Reconocer los diferentes teoremas de integración asociados a cada tipo de función que conforma el integrando Determinar la primitiva de una función dada asociada a un contexto práctico, aplicando los teoremas básicos de integración. 1. INTEGRAL INDEFINIDA Definición y notación de Antiderivada o Función Primitiva Teorema de la Función constante Teorema de la Constante por Función Teorema de la Suma algebraica de funciones. Teorema de la Función Potencia con exponente entero, positivo, negativo, fraccionario. Teorema de la Función Exponencial. Teorema de las Funciones Trigonométricas: seno, coseno y tangente Teorema de las Funciones Inversas Trigonométricas Teorema de las Funciones Racionales. DE 20 3

4 UNIDAD II: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN OBJETIVO TERMINAL: DETERMINAR LA FUNCIÓN PRIMITIVA O LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN, SELECCIONANDO LA TÉCNICA ADECUADA Y APLICANDO LOS CRITERIOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN, EN LA BÚSQUEDA DEL MODELO QUE REPRESENTA EL COMPORTAMIENTO DEL FENÓMENO ESTUDIADO. DE 1.1. Determinar el procedimiento del cambio de variable que permiten transformar una integral de una función compuesta en otra más sencilla, resoluble a través de algún teorema de integración. 1. INTEGRACIÓN POR SUSTI- TUTUCIÓN CAMBIO DE VARIABLE Definición del método Cambio de los límites de integración Participación activa 1.2. Analizar el método de integración por partes, incluyendo integración recursiva en la búsqueda de la función primitiva. 2. INTEGRACIÓN POR PARTES. Definición del método Describir el método de integración por sustitución trigonométrica, en la búsqueda de la función primitiva de funciones algebraicas. 3. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. Definición del método para los tres casos 4

5 1.4. Describir el método de fracciones parciales, en la búsqueda de la función primitiva de funciones racionales. 4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES FARCIALES. Definición del método DE 1.5. Describir el método de integración de producto de Potencias de funciones Trigonométricas, en la búsqueda de la función primitiva. 5. INTEGRACIÓN DE PRODUCTO DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Definición de los 9 casos incluyendo cuando es par o impar los exponentes 5

6 UNIDAD III: INTEGRAL DEFINIDA Y EL CÁLCULO DE ÁREAS OBJETIVO TERMINAL: DETERMINAR EL ÁREA BAJO DE UNA REGIÓN PLANA BAJO UNA CURVA O ENTRE DOS CURVAS, UTILIZADO LOS CONCEPTOS Y PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS, EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA GEOMETRÍA Y EN LA MODELACIÓN DE FENÓMENOS DE LAS CIENCIAS BÁSICAS Y DE LA INGENIERÍA Analizar la notación sigma y sus teoremas asociados, a fin de valorar el área de una función en el plano cartesiano Aplicar la notación sigma para aproximar el área de una región plana. 1.3 Definir los teoremas y propiedades de la Integral definida, a partir de la Suma de Riemann y la notación sigma. 1. ÁREA BAJO UNA CURVA Definición de la notación sigma. Teoremas sobre el uso de la notación sigma. Área bajo notación sigma. Definición de integral definida sobre la base de la Suma de Riemann. Los dos teoremas fundamentales del Cálculo. Cálculo de integrales definidas DE Determinar la primitiva de una función, evaluando su comportamiento en un intervalo cerrado y en relación a los teoremas fundamentales del cálculo. 6

7 2.1. Definir geométricamente el área de una región plana, mediante la base de la integral definida Determinar el área de una región plana, considerando elementos rectangulares verticales y horizontales de área Determinar el área de una región plana entre dos curvas, considerando elementos rectangulares verticales y horizontales de área. 2. CÁLCULO DE ÁREA Definición geométrica de área de una región plana. Cálculo del área de una región plana, considerando elementos rectangulares verticales y horizontales de área. Cálculo del área de una región plana entre dos curvas, considerando elementos rectangulares verticales y horizontales de área. DE 10 7

8 UNIDAD IV: CÁLCULO DE LA LONGITUD DE ARCO Y DE VOLUMEN OBJETIVO TERMINAL: DETERMINAR LONGITUDES DE CURVAS EN EL SISTEMA CARTESIANO Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN, UTILIZANDO LOS CONCEPTOS Y LOS TEOREMAS DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS, EN BÚSQUEDA DE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROPIOS DE LA INGENIERÍA CON UNA POSTURA CRÍTICA DE ANÁLISIS PARA APLICAR CONOCIMIENTOS SOBRE LOS DIVERSOS OBJETOS DE ESTUDIO. DE 1.1. Definir geométricamente la longitud de arco de una curva en el sistema cartesiano. 1.2 Definir la longitud de arco en coordenadas cartesianas, mediante la integral definida. 1. CÁLCULO LA LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA Definición geométrica de la longitud de arco de una curva en el sistema cartesiano. Definición de longitud de arco en coordenadas cartesianas, mediante la integral definida Determinar la longitud de arco de una curva suave, mediante la integral definida y los teoremas de integración Definir geométricamente la superficie de revolución Definir el área de una superficie de revolución, usando la integral definida Determinar el área de una superficie de revolución, usando la integral definida. 2. CÁLCULO EL ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLU- CIÓN. Definición geométrica de la superficie de revolución. Definición del área de una superficie de revolución, usando la integral definida 15 8

9 3.1. Definir las diferentes metodologías para el cálculo de volumen, usando el método de rebanado y aplicando el concepto de la integral definida Calcular de volumen de un sólido de revolución, usando las diferentes metodologías, considerando los elementos rectangulares de área perpendiculares al eje de revolución (método de rebanado, de los discos y arandelas). 3. CÁLCULO DE VOLUMEN Cálculo de volumen de tipos particulares de sólidos de revolución usando el método de rebanado. Cálculo de volumen de tipos particulares de sólidos de revolución, usando el método de los discos. Cálculo de volumen de tipos particulares de sólidos de revolución usando el método de las arandelas o del anillo. Cálculo de volumen de tipos particulares de sólidos de revolución usando el método de las capas cilíndricas. DE Calcular de volumen de un sólido de revolución, usando la metodología de las capas cilíndricas, considerando los elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución. 9

10 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 3 LARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Cálculo I. McGraw-Hill Latinoamericana Editores. México p LARSON, RONALD; HOSTETLER, ROBERT Y EDWARDS, BRUCE. Cálculo I. McGraw-Hill Latinoamericana Editores p LEITHOLD, LOUIS. El Cálculo 7. Editorial Harla. México p PURCELL, VARBERG DALE; EDWIN J. Y RIGDON, STEVEN. Cálculo. Pearson Prentice Hall. México p STEWART, JAMES. Cálculo: Trascendentes Tempranas. Thomson Editores p