El Corolario 1 del Teorema de Thales, puede reformularse diciendo: MBN

Transcripción

1 Estos triángulos resultan semejantes puesto que: y la razón de proporcionalidad es: r 3 El orolario 1 del Teorema de Thales, puede reformularse diciendo: Toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos lados o sus prolongaciones, un triángulo semejante al primero. N N En la figura tenemos: semejante a MN M M Ejemplo 2: y Sean dos triángulos 1 construidos de forma que ' 2 1 ', como los lados y son 2 paralelos, resultan los ángulos iguales, o sea ' ; ' ; ' Supongamos que 4 cm y 6 cm. uánto mide ' '?. 4 Por los datos, ' 2 cm, por lo tanto: 2, por semejanza de los triángulos ' 2 ' ' ' , en consecuencia: ' ' 6 3. ' ' 2 2 Respuesta: ' ' 3cm El teorema de Thales y la semejanza de triángulos nos permiten resolver de manera sencilla algunas situaciones problemáticas: Ejemplo 3: ada la siguiente figura, calcular la altura del árbol utilizando una varilla de 40 cm de longitud. Se conoce que la sombra de la varilla es de 1m y la sombra del árbol es de 6 m. h 0.4 m 6 m 1 m Solución omo muestra la figura, nos queda determinado dos triángulos semejantes, por lo tanto: h 6 h 2. 4 m

2 4.7.1 riterios de semejanza de triángulos continuación daremos las condiciones necesarias y suficientes para saber si dos triángulos son semejantes. os triángulos son semejantes cuando: 1) tienen respectivamente proporcionales dos lados e igual el ángulo comprendido; 2) tienen respectivamente proporcionales los tres lados; 3) tienen respectivamente iguales dos ángulos; 4) tienen respectivamente proporcionales dos lados e igual el ángulo opuesto al mayor de ellos. Nota: a) os triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes. b) os triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual. c) os triángulos isósceles que tienen un ángulo igual son semejantes. Ejemplo 1: ada la siguiente figura, calcular el perímetro del trapecio EF, conociendo los lados del triángulo y el segmento F. a 8 cm, b 5cm, c 6cm, F 2cm E F Solución Recordando que el perímetro de un cuadrilátero es la suma de los lados, se deben calcular los lados F,E y EF. F F F 4 cm (1) Los triángulos y EF son semejantes, ya que los lados y EF son paralelos, por lo tanto los lados homólogos son proporcionales: EF F EF EF 8. EF cm (2) 6 3 E F E E E El perímetro es: 8 10 perímetro(ef ) EF F E perímetro( EF ) 18 cm

3 4.8 Práctico : Tópicos de Triángulos Ejercicio 1: Hallar el complemento y el suplemento del ángulo 47º Ejercicio 2: Hallar el suplemento del ángulo105º 49 5 Ejercicio 3: Se sabe que 4ˆ 132º y r 1 // r 2, encontrar los otros 7 ángulos. r 1 r 2 Ejercicio 4: Sea 32º 7, 121º 45 56, 85º Obtener 1) 2) 3) 4) 2 5) : 5 6) 2 : 5 Ejercicio 5: ompletar la siguiente tabla 3 : 4 126º º º º Ejercicio 6: Hallar un ángulo sabiendo que es igual a los tres séptimos de su suplementario. Ejercicio 7: Un grifo llena 5/12 de un depósito en 1 hora. uánto tardará en llenar el depósito completo?. Ejercicio 8: Un grifo tarda 2 horas en llenar 7 depósitos iguales. uánto tardará en llenar un depósito?. Ejercicio 9: Explicar por qué los ángulos del mismo nombre son iguales 99

4 Ejercicio 10: uánto miden los ángulos en un triángulo equilátero? Ejercicio 11: Si en un triángulo isósceles, uno de los ángulos iguales mide cuánto valen los otros dos ángulos?. Ejercicio 12: Hallar las medidas de los ángulos y. Ejercicio 13: e acuerdo con la figura de análisis, completar el cuadro siguiente. Â ˆ Ĉ ˆ ˆ ˆ 32º 46º 20º 25 53º 145º 95º 120º 5 145º 16 Ejercicio 14: alcular los ángulos numerados: 100

5 a) b) r 1 //r 2 r 1 r 2 Ejercicio 15: a) ibujar un triángulo acutángulo. b) Marcar las alturas, bisectrices y medianas. Ejercicio 16: a) ibujar un triángulo obtusángulo. b) Marcar las alturas, bisectrices y medianas. Ejercicio 17: a) ibujar un triángulo rectángulo. b) Marcar las alturas, bisectrices y medianas Ejercicio 18: ado el triángulo rectángulo en y sabiendo que el ángulo con vértice en mide 40 30, calcular la medida de los ángulos y indicados en la figura. Justifica la respuesta. 40º30 Ejercicio 19:Si un lado de un triángulo equilátero mide 8 cm, calcular la medida de la altura y el área. Ejercicio 20: ado el segmento de 7.5 cm, hallar un punto a) perteneciente al segmento tal que verifique la relación b) perteneciente a la recta que contiene a, exterior al segmento dado y que verifique c) alcular la longitud del segmento para el item a) y para el b). Ejercicio 21: Siendo y segmentos consecutivos y tales que

6 a) Hallar ; ; 3 14 b) Hallar los segmentos cuyas razones son ; 11 8 Ejercicio 22: ado un segmento, hallar un punto P de la recta que contiene al, tal P 2 que se verifique la relación: P 5 Ejercicio 23: ados los segmentos a = 3 cm, b = 4 cm y c = 5.5 cm. a Encontrar geométricamente y analíticamente el segmento x tal que b Ejercicio 24: Las dimensiones de un rectángulo son 3 cm y 4 cm. uáles de los siguientes rectángulos son semejantes a él?. uando lo sean, establecer la razón de semejanza: a) 45 cm y 60 cm b) 18 cm y 32 cm c) 30 m y 40 m Ejercicio 25: ado un segmento ; dividirlo en 3 segmentos proporcionales a los números 2, 3 y 5. x c Ejercicio 26: m 12 cm 9 cm p ' ' x 1 y ' ' x 1 a) alcular x b) alcular ' ' y ' ' t 1 t 2 q Ejercicio 27: Siendo a // b // c E Escribir cuatro de las proporciones posibles con segmentos incluidos en t y t' F a t b c G t 102

7 Ejercicio 28: Se sabe que: 7, 5 m, ' ' 2, 5 m alcular los valores de los segmentos: ' ', y. 3m, ' ' 5 m a b c d Ejercicio 29: En el trapecio E F EF E x 1m E 2x 3 m F 11m F 6 m alcular el segmento Ejercicio 30: a) emostrar que los triángulos y son semejantes y son también semejantes al triángulo que es rectángulo en. b) Sabiendo que 15 m 25 m h 20 m alcular los segmentos y 103

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