Programación Lineal y Optimización Tercer Examen Parcial Respuesta: :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011

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1 Programación Lineal y Optimización Tercer Examen Parcial Respuesta: : Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011 Matrícula: Nombre: 1 (30 puntos) La compañía Xeroch vende copiadoras. Uno de los factores de venta más importante es que la compañía ofrezca un servicio técnico rápido. La compañía vende copiadoras en seis ciudades C 1 a C 6. La siguiente tabla proyecta las ventas anuales por ciudad con y sin representate técnico a una distancia menor que 150 millas. Ventas Representante? C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 sí no Producir cada copiadora tiene un costo de 500 dólares y se vende en 1,000 dólares. El costo anual por un representante de servicio es de 80,000 dólares. La compañía debe decidir en cuáles de las ciudades debe contratar un representante técnico; y ofrecer en el proceso de venta en cada ciudad el hecho de que se tiene o no un representante técnico. Las distancias entre las ciudades están dadas por la siguiente tabla. Hacia De C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C C C C C C Determine un plan de mínimo costo que le permita a la compañía maximizar sus ganancias anuales. Variables de decisión Como las decisiones que debe tomar la compañía son en qué ciudades debe contratar un representante técnico, entonces definimos las variables de decisión acorde con ello: { 1 si se contrata un represntante para la ciudad i x i = 0 otro caso En lo siguiente diremos que la ciudad i está cubierta si existe un representante técnico a una distancia menor o igual que 150 millas. Con este concepto definiremos unas variables de decisión auxiliares { 1 si la ciudad i está cubierta y i = 0 si no n i = el número de copiadoras vendidas en la ciudad i Como el objetivo de la empresa es maximizar las ganancias, entonces el objetivo es maximizar g donde g = ventas costos = ) i ventas ciudad i (costos producción + costos representación = ( 6 i=1 1, 000 n 6 i i=1 500 n i + ) 6 i=1 80, 000 x i = 6 i=1 (500 n i 80, 000 x i )

2 TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo Número de copiadoras vendidas por ciudad. Sea A i el número de copiadoras a ser vendido cuando la ciudad i no está cubierta y B i el correspondiente cuando la ciudad sí lo está. Estos son datos tomados de la primera tabla. Por tanto, Cobertura por ciudad. De los datos de la tabla de distancia observamos que: n i = A i (1 y i ) + B i y i para i = 1, 2,..., 6 C 1 se cubre con un representante técnico en C 1, o en C 2, o en C 3, o en C 5. Así: Si x 1 + x 2 + x 3 + x 5 1, entonces y 1 = 1. Y por el contrario, si x 1 + x 2 + x 3 + x 5 0, entonces y 1 = 0 Similarmente: Si x 1 + x 2 + x 3 + x 5 1, entonces y 2 = 1. Y por el contrario, si x 1 + x 2 + x 3 + x 5 0, entonces y 2 = 0. Similarmente: Si x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 1, entonces y 3 = 1. Y por el contrario, si x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 0, entonces y 3 = 0. Similarmente: Si x 1 + x 3 + x 4 1, entonces y 4 = 1. Y por el contrario, si x 1 + x 3 + x 4 0, entonces y 4 = 0. Similarmente: Si x 1 + x 2 + x 3 + x 5 1, entonces y 5 = 1. Y por el contrario, si x 1 + x 2 + x 3 + x 5 0, entonces y 5 = 0. Similarmente: Si x 6 1, entonces y 6 = 1. Y por el contrario, si x 6 0, entonces y 6 = 0. Naturales x i y y i son binarias para i = 1, 2,..., 6 6 (20 puntos)una empresa dispone de 50 unidades de capital mensualmente para la adquisición de materia prima y para la remuneración de la mano de obra. Si x es el número de unidades de capital empleadas para pagar la mano de obra y y es el número de unidades de capital empleadas para pagar la materia prima la función de producción mensual es : P (x, y) = 16 y + 5 x y Determine la cantidad de unidades de capital destinadas al pago de mano de obra que proporciona una producción máxima. Variables de decisión x el total de unidades de capital destinadas a mano de obra mensulales y el total de unidades de capital destinadas a materia prima mensuales Maximizar la producción mensual P (x, y) = 16 y + 5 x y Utilizar no más del capital mensual x + y 50 Naturales: x, y 0. Codificación En LINGO: max=-16*y+5*x*y; x+y = 50; Objective value: Variable Value Y X 26.6 Interpretación El plan financiero de mayo producción consiste en disponer de 26.6 unidades de capital para el pago de mano de obra y de 23.4 unidades de capital para el pago de materia prima.

3 TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo (30 puntos)una compañía considera la apertura de almacenes en 6 ciudades: C 1 a C 6. Desde los almacenes enviará un producto específico hacia las tres regiones en las cuales ha dividido el país. Cada almacen puede enviar hasta 100 unidades del producto. El costo semanal para mantener el almacen en la ciudad 1 es de 4,000 dólares, en la ciudad 2 es de 5,000 dólares, en la ciudad 3 es de 3,000 dólares, en la ciudad 4 es de 2,000 dólares, en la ciudad 5 es de 3,500 dólares, y en la ciudad 6 es de 4,000 dólares. Semanalmente, la región 1 del país requiere 100 unidades del producto, la región 2 del país requiere 120 unidades del producto y la región 3 del país requiere 140 unidades del producto. En la siguiente tabla se muestran los costos de envios unitarios desde cada ciudad a cada una de las regiones del país. Hacia De Región 1 Región 2 Región 3 C C C C C C Se desea satisfacer las demandas semanales a un costo mínimo y la campañía requiere de un plan de apertura de los almancenes así como de determinar las cantidades de productos de esos almacenes a las regiones del país. Adicionalmente, la compañía impone las siguientes restricciones. Si se abre un almancen en la ciudad C 1 debe abrir otro en C 2. Debe abrir por lo menos un almacen en las ciudades C 2, C 4 y C 6. variables de decisión Notemos que la compañía debe tomar dos decisiones que están relacionadas: en qué ciudad debe abrir un almacen y cómo debe enviar los productos desde sus almacénes a las regiones del país. Esto nos define las variables de decisión: { 1 si abre almacen en la ciudad i x i = 0 otro caso y i,j = el número de productos enviados desde la ciudad i a la región j El objetivo de la compañía es minimizar los costos. Los costos son de dos tipos: Por apertura de sus almacenes y por envio de los productos. Si C es el costo total, la compañía pretende minimizar C donde C = costo total = costo apertura + costo envio = 6 i=1 a i x i i=1 j=1 c i,j y i,j donde a i es el costo por apertura del almacen en la ciudad i dado en el texto, y c i,j es el costo de enviar un artículo desde el almancen de la ciudad i a la región de país j dado por la tabla. Satisfacer las demandas por región del país Productos enviados a la región 1 del país: y 1,1 + y 2,1 + y 3,1 + y 4,1 + y 5,1 + y 6,1 100 Productos enviados a la región 2 del país: y 1,2 + y 2,2 + y 3,2 + y 4,2 + y 5,2 + y 6,2 120 Productos enviados a la región 3 del país: y 1,3 + y 2,3 + y 3,3 + y 4,3 + y 5,3 + y 6,3 140 No exceder las capacidades instaladas

4 TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo Para cada almancen i (i = 1, 2,..., 6): y i,1 + y i,2 + y i,3 100 x i Si se abre un almacen en C 1, entonces debe abrirse otro en C 2 : x 2 x 1 Debe abrirse al menos un almance en C 2, C 4 y C 6 : x 2 + x 4 + x 6 1. Naturales x i son binarias para i = 1,..., 6 y y i,j son enteras no negativas para i = 1,..., 6 y j = 1, 2, 3. 5 (20 puntos)para determinar los máximos y mínimos de una función f(x 1, x 2, x 3 ) sujeta a las restricciones x i 0 y 2 x 1 + x 2 + x 3 30, se aplicaron las condiciones KKT a la función y se determinaron los siguientes puntos críticos: F = +f + 4 λ i (g i + s 2 i ) i=1 x 1 x 2 x 3 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 f(x 1, x 2, x 3 ) Determine en cuál punto alcanza el máximo y cuál el mínimo. Indique su razonamiento y sus cálculos. Incluimos en las tablas la sustitución de los puntos en cada una de las restricciones: x 1 x 2 x 3 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 g 1 g 2 g 3 g 4 f(x 1, x 2, x 3 ) De esta tabla eliminamos los renglones que no cumplen las restricciones g i 0 y también eliminamos aquéllos donde aparecen multiplicadores positivos y negativos: x 1 x 2 x 3 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 g 1 g 2 g 3 g 4 f(x 1, x 2, x 3 ) Para hacer el análisis de los puntos usamos como referencia los valores de f y los signos de los multiplicadores de Lagrange: El punto P (x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0) corresponde a un mínimo. El punto Q(x 1 = 15, x 2 = 0, x 3 = 0) corresponde a un máximo.

5 TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo (20 puntos)para determinar los máximos y mínimos de una función f(x 1, x 2, x 3 ) sujeta a la restricción x x 2 + x 1 x x 3 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 4 se aplicó la técnica de los multiplicadores y se obtuvo x 3 + λ x 2 + λ 1 + x 2 + x x 3 + λ x 1 + λ 3 + x 1 + x 3 H F = x 2 + λ 2 + x 1 + λ x 1 + x x 2 + x x 1 + x x 1 + x 2 0 También se determinaron los siguientes puntos críticos: x 1 x 2 x 3 λ Determine en cuál punto alcanza el máximo y cuál el mínimo. Indique su razonamiento y sus cálculos. En nuestro problema el número de variables es n = 3 impar y el número de restricciones es m = 1 también es impar.. Por consiguiente, para hacer el análisis de cada punto crítico se debe calcular hasta el determinante de la hessiana orlada n m = 2: P i x 1 x 2 x 3 λ De los criterios de optimización concluimos que el punto P 1 corresponde a un punto máximo (pues n es impar y los determinantes i se alternan en signo iniciando en negativo), mientras que el punto P 2 corresponde a un punto crítico mínimo (pues m es impar y los determinantes i son todos negativos). 4 (20 puntos) Un fabricante vende dos productos a granel. El producto A que se vende en 3 unidades monetarias el kilogramo y el producto B que se vende en 2. El costo total por fabricar x kilogramos de A y y kilogramos de B está dado por la función: C = 2 x y 2 Suponga que sea desea minimizar sus costos totales, con la condición de que los ingresos obtenidos de venta sean de al menos 30 unidades monetarias. Indique en orden la cantidad de kilogramos del producto A y del producto B que debe producir para lograr su meta. Variables de decisión x el total de kilogramos del producto A a fabricar. y el total de kilogramos del producto B a fabricar. Minimizar los costos productivos del plan: C = 2 x y 2 Ingresos de venta por los menos de 30 unidades monetarias: 3 x + 2 y 30 Naturales: x, y 0. Codificación En LINGO: min=2*x*x+3*y*y; 3*x+2*y >= 30;

6 TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo Objective value: Variable Value X Y Interpretación El plan productivo de mínimo costo corresponderá a producir kilogramos de A y kilogramos de B.