Introducción. Contacto. Contenidos del programa. Instrumentos Matemáticos ( ) 1

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1 Instrumentos Matemáticos ( ) 1 Introducción Contacto. Sara Cuenda Cuenda Despacho sara.cuenda@uam.es Preguntar dudas de la asignatura. Solicitar tutorías personalizadas. Contenidos del programa. 1. Matemáticas financieras. 1.1 Capitales financieros. 1.2 Rentas financieras. 1.3 Valoración de inversiones. 2. Funciones de una variable. 2.1 Conceptos básicos. 2.2 Límite y continuidad. 2.3 Funciones elementales. 2.4 Derivabilidad. Propiedades de funciones derivables. 2.5 Derivadas de orden superior. 2.6 Aplicaciones del cálculo diferencial. 3. La integral de Riemman. 3.1 Integral indefinida de Riemman. Regla de Barrow. 3.2 Primitivas y cálculo de primitivas. 3.3 Aplicaciones. 4. Integrales impropias. 4.1 Integrales en intervalo no acotado. 4.2 Integrales de funciones no acotadas.

2 2 Sara Cuenda Bibliografía. [1] Matemáticas para Administración y Economía, Eaeussler/Paul/Wood, Prentice-Hall, 12 a edición, [2] Curso de apoyo de Matemáticas para Economía y Empresa, Dept. Análisis Económico: Ec. Cuantitativa, UAM. [3] Curso de Matemática Financiera, Miner, McGraw-Hill, Resultados de aprendizaje. Reconocer las progresiones aritméticas y geométricas, sus características y diferencias. Conocer los fundamentos del cálculo financiero en sus distintas modalidades de capitalización. Conocer y manejar con destreza los instrumentos matemáticos adecuados para la valoración de las rentas financieras. Reconocer las funciones derivables y el alcance de sus propiedades. Entender en el contexto de los problemas económicos la relación entre tasas de cambio y derivadas primeras y segundas. Calcular primitivas de funciones de una variable utilizando las técnicas básicas. Identificar las diferentes integrales impropias y su comportamiento. Evaluación de la asignatura. Evaluación continua (EC): Se tendrá en cuenta la asistencia a clase. Notas de cuestionarios en la plataforma Examen (EX): Distinto de los años anteriores. Necesario (no suficiente) tener conocimientos mínimos de cada parte para poder aprobar. Nota final de la asignatura (NF): { máx(ex, 0.7EX + 0.3EC) si EX 4 NF = EX si EX < 4

3 Instrumentos Matemáticos ( ) 3 Ejemplo 0.1 Calcula cuál tendría que haber sido como mínimo la nota de evaluación continua de un alumno para que pueda aprobar si en el examen final hubiera sacado: a) Un 4. b) Un 5.5. a) Un 3.5.

4 4 Sara Cuenda 1. Matemáticas financieras Capitales financieros Operación financiera Definición: En una operación financiera, un acreedor realiza una prestación (que puede ser única o múltiple) a un deudor, quien realizará una contraprestación al cabo de un tiempo o plazo, y que también puede ser única o múltiple. Ejercicio 1.1 Supongamos que le pedimos un préstamo al banco de 2000e, y dentro de 6 meses tendremos que pagarle 2100e. Cuál es la prestación? Cuál es la contraprestación? Y el plazo de la operación? Definición: El gráfico de flujos nos ayuda a visualizar la prestación y la contraprestación de una operación financiera. Ejemplo 1.1 En el ejercicio anterior, el gráfico de flujos sería el siguiente: Desde el punto de vista de quién se ha hecho el gráfico de flujos? Por qué? Ley financiera. Definición: Una Ley financiera es un acuerdo entre partes que intervienen en una operación financiera para decidir la equivalencia de capitales en el tiempo. La ley financiera nos permite: Capitalizar o diferir cuando determinamos C t en función de C 0.

5 Instrumentos Matemáticos ( ) 5 Descontar o actualizar cuando calculamos C 0 en función de C t. Cómo es esta equivalencia de capitales? En el caso del préstamo del banco: Nosotros, que ahora tenemos una falta de liquidez que necesitamos, le compramos 2000e al banco hoy y le pagaremos 2100e dentro de 6 meses. El banco, que tiene exceso de liquidez o puede conseguir dinero ahora más barato de lo que lo vende, hace la transacción porque puede obtener un beneficio con ella. Los dos capitales son equivalentes en instantes distintos de tiempo: estamos comprando 2000e ahora mediante un pago de 2100e dentro de 6 meses. Pero podríamos pensar en una barra de pan por 50 céntimos. Los 50 céntimos de ahora son equivalentes a la barra de pan de ahora de la misma manera que los 2000e de ahora son equivalentes a los 2100e de dentro de 6 meses. Las leyes financieras que vamos a usar en el curso son: Leyes de capitalización: Capitalización simple Capitalización compuesta Leyes de descuento: Descuento simple racional Descuento simple comercial Descuento compuesto

6 6 Sara Cuenda Operaciones con una prestación y una contraprestación Algunas operaciones de este tipo son: Préstamos de un prestamista o acreedor a un prestatario o deudor. Depósitos bancarios, donde nosotros somos los acreedores y el banco es el deudor. Otras oportunidades de negocio e inversiones sin una rentabilidad predefinida. Definición: En estas operaciones, dado el capital inicial o principal C 0 y el capital final C t o montante al cabo de un tiempo t, se definen: Los intereses (o el interés, pero ojo, no confundir con el tipo de interés que veremos luego!) como I = C t C 0 (en euros), por lo que C t = C 0 + I. La rentabilidad de la operación como R = por lo que C t = La relación entre los intereses y la rentabilidad es, por tanto, I = C 0 R. El tipo de interés es la rentabilidad por unidad de tiempo, o la tasa temporal de la rentabilidad, r = R t. Ejercicio 1.2 En el ejercicio anterior, calcula: Los intereses. La rentabilidad de la transacción. El tipo de interés semestral, mensual y anual. El tipo de interés tiene que tener asociado, aunque sea de forma implícita, un plazo.

7 Instrumentos Matemáticos ( ) 7 La rentabilidad, al igual que los intereses, se refieren a la operación completa, y lo único que interviene en su cálculo son los capitales inicial y final. Los intereses son la variación que existe entre los capitales inicial y final, y la rentabilidad es una variación relativa Capitalización simple: Valor final de un capital. Definición: La capitalización simple se define por una ley financiera de la forma C t = C 0 + C 0 rt = C 0 (1 + rt). Los intereses siempre son sumados, para cualquier t. Los intereses son lineales en el tiempo. El capital final es una función afín respecto a t. Ejercicio 1.3 Tenemos una inversión al 3 % anual simple. Cuánto tiempo tiene que pasar para que doblemos nuestra inversión? Y para que la tripliquemos? Ejercicio 1.4 La cuenta de ahorro del banco Bebo Bank nos ofrece un 3 % anual simple, mientras que la cuenta azul turquesa del banco OMG nos ofrece un 0.5 % mensual simple. Cuál de los dos bancos nos ofrece mayor rentabilidad para nuestros ahorros? Ejercicio 1.5 Le pedimos prestado a nuestra tía Adela 1000e, que nos da a condición de imponer unos intereses del 3 % anuales. Calcula cuánto tendremos que pagarle si le devolvemos el préstamo: en 1 mes en 1 semana en 10 días

8 8 Sara Cuenda Definición: Para lidiar con plazos de días, se puede utilizar: El año natural, donde 1 año = 365 días. El año comercial, donde 1 mes = 30 días y 1 año = 360 días. Ejercicio 1.6 Qué calendario nos interesa más usar si devolvemos el préstamo en 10 días? Descuento simple: Valor actual de un capital. Existen dos tipos de descuento simple: descuento simple racional. descuento comercial. Definición: El descuento simple racional es el que se corresponde con la capitalización simple. C 0 = C t 1 + rt. Ejercicio 1.7 Mi hermana Paloma quiere regalarle a su marido un equipo completo de snowboard para su cumpleaños, que es dentro de 4 meses. Para ello, ha decidido colocar una cantidad en una cuenta cuyo interés es del 12 % anual simple. Calcule qué capital debe invertir hoy Paloma para que dentro de cuatro meses haya en la cuenta los 612e que le va a costar el equipo. Definición: El descuento comercial se define por la ley financiera C 0 = C t (1 dt). Este descuento se utiliza en las letras de cambio: Supongamos que la empresa X le vende a la empresa Y productos por un valor C t a pagar en 90 días en año comercial (es el plazo habitual, pero puede haber otros). La empresa X puede extender contra la empresa Y una letra por valor C t con vencimiento en 90 días. Esta letra no es más que una promesa de la empresa Y de pagar a X la cantidad C t en 90 días.

9 Instrumentos Matemáticos ( ) 9 Según la jerga financiera, X es el librador de la letra e Y es el librado. Si la empresa X necesita liquidez antes del vencimiento, puede ir a un banco a descontar la letra de cambio al tipo de descuento d, y recibe el líquido C 0 = C t (1 dt). El banco se convierte en el tenedor de la letra y, si no le paga la empresa Y en 90 días, entonces le pagará X. Ejercicio 1.8 Calcula el líquido que recibe la empresa Disfrutas & Verduras, al descontar una letra, girada contra El Corte Húngaro, que vence en 60 días. El banco le aplica un descuento del 10 % anual. Cuál es el líquido que recibe la empresa D&V? El descuento racional y comercial dan valores distintos para el mismo tipo de interés. De hecho, siempre se da que 1 rt < rt. El descuento comercial tiene un tipo equivalente en descuento racional, que debe 1 verificar 1 dt = 1 + rt. Por tanto, el tipo de interés equivalente al tipo de descuento o el tipo de interés vencido en la operación de descuento es r = Ejercicio 1.9 Calcula el tipo de interés racional aplicado por el banco en el descuento del ejercicio anterior Capitalización y descuento compuestos. La capitalización compuesta, a diferencia de la simple, incluye la capitalización periódica de los intereses. Ejercicio 1.10 En la cuenta azul turquesa del banco OMG nos ofrece un depósito de un mes al 12 % anual, que nos permiten renovar al vencimiento, junto con los intereses, por un máximo de 2 años. Si invertimos 3.000e, calcula el capital final obtenido:

10 10 Sara Cuenda Al cabo de 1 mes: Al cabo de 2 meses: Al cabo de 6 meses: Al cabo de 1 año: Al cabo de 2 años: En el ejercicio anterior, r = 12 % anual, pero la capitalización de los intereses era mensual, y por eso la rentabilidad de cada mes era r/12 = 1 %. Los exponentes que hemos usado nos dan el número de periodos de capitalización que hay en cada plazo completo de inversión. Definción: La ley financiera que define la capitalización compuesta es donde: C t = C 0 ( 1 + r n) nt, r es el tipo de interés nominal anual que se aplica en cada periodo. n es el número de periodos de capitalización que caben en 1 año (el fraccionamiento de los intereses). t es el plazo de la inversión, en años. Definición: Cuando el tipo de intereś es anual (lo más normal) y los periodos de capitalización son anuales, decimos que la capitalización es entera. Cuando el tipo es anual pero los periodos de capitalización son fracciones de año (meses, bimestres, trimestres, etc), se dice que la capitalización es fraccionada.

11 Instrumentos Matemáticos ( ) 11 Observación: Si r o t no están expresadas en años, es necesario pasarlos a años antes de aplicar la fórmula. Existe otra fórmula más genérica: C t = C 0 (1 + r t) t/ t, pero es necesario homogeneizar primero las unidades de r, t y t para usarla correctamente. Definción: Utilizando la notación anterior, la ley financiera que define el descuento compuesto es ( C 0 = C t 1 + n) r nt. Nótese que la expresión es la correspondiente de despejar C 0 de la expresión de la capitalización compuesta. También puede ser entera o fraccionada. En general, con cualquiera de las dos fórmulas, siempre podremos despejar una de las variables (C t, C 0, r, n, t) en función de las demás. Ejercicio 1.11 Escribe las expresiones para calcular el tipo de interés r, el fraccionamiento n y el tiempo t en función de las demás variables. Ejercicio 1.12 Calcula el montante a los 12 meses del ejercicio 10 si, en lugar de mensual, el periodo de capitalización es: Bimestral: Trimestral: Cuatrimestral:

12 12 Sara Cuenda Semestral: Diario: Anual: Ejercicio 1.13 Cuál es la rentabilidad anual de cada una de las operaciones anteriores? Qué puedes deducir de ello? Capitalización compuesta: Tasa nominal y equivalente. Definición: La tasa anual equivalente o TAE es la rentabilidad anual que tiene una inversión financiera con capitalización fraccionada de intereses. Definción: El tipo de interés de cada periodo de capitalización se llama tipo de interés nominal o TIN. Definción: Un tipo de interés se dice que es efectivo cuando nos da la rentabilidad real de la operación. El TAE se llama equivalente porque en un año genera el mismo beneficio que el TIN capitalizando varias veces en un año. Para el cálculo del TAE sólo es necesario conocer el TIN y el periodo de capitalización. El TAE permite comparar objetivamente inversiones con distintos TIN y periodos de capitalización. El TAE es un tipo de interés efectivo, mientras que el TIN no.

13 Instrumentos Matemáticos ( ) 13 Ejercicio 1.14 Utilizando los cálculos del ejercicio anterior, encuentra la fórmula que calcula el TAE para una inversión del 12 % nominal anual con capitalización de intereses: Mensual: Bimestral: Trimestral: Cuatrimestral: Semestral: Diario: La fórmula para el cálculo del TAE, dado el TIN anual, es: donde r es el TIN anual, TAE = n es el fraccionamiento de los intereses. Ejercicio 1.15 He recibido un premio de e que ingresaré en un depósito bancario. El banco San Fernando me ofrece un depósito al 5 % nominal anual y capitalización de intereses trimestral. El banco Sanostra me ofrece un depósito también al 5 % nominal anual y capitalización semestral de intereses. Cuál de ellos me dará mayor rentabilidad para mis ahorros? Calcula el TAE asociado a cada depósito para comprobarlo.

14 14 Sara Cuenda Ejercicio 1.16 El banco Sanostra ha cambiado su oferta de depósitos y, para ser más competitivo, ha decidido ofrecer un depósito al 6 % nominal anual, manteniendo la capitalización semestral de intereses. Cuál de los dos depósitos me dará ahora mayor rentabilidad? Definición: Existen otras tasas equivalentes, como La Tasa Semestral Equivalente, o TSE, que es la rentabilidad semestral de una inversión con capitalización fraccionada de intereses (fraccionada respecto al semestre, claro). La Tasa Trimestral Equivalente, o TTE, que es la rentabilidad trimestral de una inversión con capitalización fraccionada de intereses. La Tasa Bienal Equivalente, o TBE, que es la rentabilidad bienal (al cabo de 2 años) de una inversión con capitalización fraccionada de intereses (respecto a los dos años). Ejercicio 1.17 Nuestro amigo Santi acaba de ingresar e en una cuenta que tiene un interés del 10 % anual. Calcula el saldo de la cuenta de Santi dentro de 6 años. Calcula la TBE de la cuenta de Santi. Calcula de nuevo el saldo al cabo de 6 años, pero esta vez usando la TBE.

15 Instrumentos Matemáticos ( ) Capitalización continua de intereses. Hemos visto que la capitalización compuesta puede tener distintos periodos de capitalización de intereses, por ejemplo, anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual y diaria. Pero también podríamos seguir disminuyendo el periodo de capitalización: cada hora, cada minuto, cada segundo, cada milésima de segundo... Sabiendo que lím x ( x ) x = e, en el límite cuando el periodo de capitalización tiende a cero, para una inversión de un año tendríamos: ( lím 1 + r n = n n) Y, por tanto, la TAE asociada a un tipo de interés continuo r es: TAE = Las macrotasas, o tasas equivalentes, se pueden entender como simples cambios de variable que dan lugar al mismo montante. Estamos escribiendo lo mismo de otra forma. Lo mismo pasa con la capitalización continua de intereses: es mejor entenderla como otra forma de expresar lo mismo que como infinitas capitalizaciones de 0e Interés compuesto variable. Hasta ahora hemos supuesto un tipo de interés constante en todo el plazo de la operación:

16 16 Sara Cuenda Pero podemos hacer los mismos cálculos usando un tipo de interés diferente en cada tramo: En este caso, para calcular el capital al final de la operación: Calculamos los capitales intermedios al final de cada tramo. Usamos estos capitales intermedios como capitales iniciales del siguiente tramo. Ejercicio 1.18 El banco Molocos ofrece un depósito anual para nuevos clientes con las siguientes características: un 2 % anual los tres primeros meses, un 3 % los cuatro siguientes y un 4 % los cinco siguientes. Calcula el montante final resultado de invertir 5.000e en dicho depósito. Ejercicio 1.19 meses: Calcula el capital que tendría acumulado al final de los siete primeros Partiendo de los 5.000e iniciales. Partiendo del montante final calculado en el ejercicio anterior.

17 Instrumentos Matemáticos ( ) Rentas financieras Series aritmética y geométrica. Definición: Una sucesión numérica no es más que un conjunto ordenado de números, donde existe un primer valor (a 1 ), seguido de un segundo (a 2 ), un tercero (a 3 ), y así. El orden se refiere a que se colocan en un orden, no que estén ordenados de menor a mayor (ni de mayor a menor). Las sucesiones no tienen por qué ser crecientes ni decrecientes. A veces, por comodidad, se elige a 0 como primer elemento de la sucesión. Ejemplo 1.2 Los siguientes conjuntos forman sucesiones numéricas: Los números enteros: 1, 0, 1, 2, 3,..., o también 1, 2, 3, 4, 5,..., o eligiendo el primer elemento que queramos. Los números 1, 1 2, 1 3,... Definición: Una sucesión aritmética es una sucesión cuyos elementos están formados sumándole una cierta constante al elemento anterior: a n = a n 1 + C Ejercicio 1.20 Encuentra la constante que define las siguientes sucesiones aritméticas: 1, 2, 3,... 7, 10, 14, , 94, 88, 82, , 105, 110, 115,...

18 18 Sara Cuenda Las sucesiones aritméticas son crecientes si la constante C es positiva y decrecientes si C es negativa. Si el primer término de la sucesión es a 0, entonces el término n-ésimo de la sucesión aritmética es a n = a 0 + nc (si empieza en a 1, entonces es a n = a 1 + (n 1)C). Una sucesión aritmética siempre se puede asociar con los montantes de una inversión a interés simple, para tiempos equiespaciados. El primer término de la sucesión sería el valor inicial, C 0. La constante que define la sucesión aritmética serían los intereses de cada periodo, I = C 0 r, donde el tipo de interés r tendría que estar en las unidades de t. Ejercicio 1.21 Escribe la sucesión correspondiente a los valores del montante, mes a mes, para una inversión de 1000e al 12 % anual simple. Ejercicio 1.22 Encuentra la inversión inicial y el tipo de interés anual simple correspondientes a la sucesión mensual de montantes 1200e, 1206e, 1212e,... Definición: Una sucesión geométrica es una sucesión cuyos elementos están formados al multiplicar por una cierta constante positiva el elemento anterior: a n = a n 1 C

19 Instrumentos Matemáticos ( ) 19 Ejercicio 1.23 Encuentra la constante que define las siguientes sucesiones geométricas, y encuentra el siguiente elemento: 2, 2, 2,... 4, 6, 9, , 90, 81, , 120, 144,... Las sucesiones geométricas son crecientes si la constante C es mayor que 1, decrecientes si C < 1 y constantes si C = 1. Si el primer término de la sucesión es a 0, entonces el término n-ésimo de la sucesión aritmética es a n = a 0 C n (si empieza en a 1, entonces es a n = a 1 C n 1 ). Una sucesión geométrica siempre se puede asociar con los montantes de una inversión a interés compuesto, para tiempos equiespaciados. El primer término de la sucesión sería el valor inicial, C 0. La constante multiplicativa que define la sucesión geométrica sería (1 + R), donde R sería la rentabilidad de cada periodo. Ejercicio 1.24 El banco Sanostra ha obtenido los siguientes beneficios en los últimos 3 años: hace 2 años hace 1 año este año 10Me 20Me 30Me Indica cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera y cuál es falsa:

20 20 Sara Cuenda La evolución de los beneficios es claramente favorable, ya que los beneficios crecen a ritmo constante. Hay una clara evolución desfavorable de los beneficios, ya que el ritmo de crecimiento de los beneficios se reduce drásticamente. Ejercicio 1.25 Cuáles tendrían que haber sido los beneficios del banco Sanostra este año para que la variación relativa de los beneficios hubiese sido constante? Y los del año que viene? Y el siguiente? Definición: Una serie es una sucesión formada por sumas parciales de los elementos de otra sucesión a n, de manera que: S n = a k. k n Si los elementos de a n son positivos, la serie S n es creciente. Se dice que la serie S n converge al valor S, S n S, cuando lím n S n = S. Una condición necesaria para que una serie converja es que lím n a n = 0. Esta condición no es suficiente! Por ejemplo, la suma no converge, 4 aunque 1 n 0. Definición: La serie geométrica es la suma de los elementos de la sucesión geométrica. Ejercicio 1.26 Nuestro primo Damián acaba de cumplir 40 años y, previniendo posibles problemas en su pensión estatal cuando se jubile, ha contratado un plan de pensiones privado, consistente en un depósito a 25 años con un TAE del 3 %, y en el que hará aportaciones anuales de 1000e.

21 Instrumentos Matemáticos ( ) 21 Calcula el valor final que tendrá dentro de 25 años la primera aportación, que ha hecho hoy. Calcula el valor final que tendrá la segunda aportación, que realiza dentro de 1 año. Ejercicio 1.27 Calcula el valor de la serie geométrica S n = 1 + x + x x n. Para ello: Escribe la expresión de xs n. Resta las dos expresiones: S n xs n. Despeja el valor de S n. Ejercicio 1.28 Utiliza el resultado del ejercicio anterior para calcular el valor de la serie geométrica S n = x + x x n. Ejercicio 1.29 Utiliza el resultado del ejercicio anterior para calcular el valor final de la pensión de nuestro primo Damián.

22 22 Sara Cuenda Definición y tipología. Definición: Una renta es una sucesión de capitales, cada uno de los cuales tiene su propio vencimiento. Definición: Cada capital que conforma la renta se le denomina término. Si sabemos valorar un capital, sabremos valorar rentas, que están compuestas de capitales. Nosotros nos ocuparemos en este curso de rentas constantes, es decir, rentas con términos constantes. Definición: Según el vencimiento de los términos de una renta, ésta puede ser: Postpagable, cuando los capitales vencen al final de cada periodo de la renta. Prepagable, cuando los capitales vencen al principio de cada periodo. Definición: Según la duración de las rentas, éstas pueden ser: Temporales, cuando el número de términos de la renta es finito. Indefinidas o perpetuas, cuando tienen un número infinito de términos. Definición: Según la periodicidad del vencimiento las rentas pueden ser: Enteras, cuando el periodo del vencimiento coincide con el periodo con el que se capitalización de intereses. Periódicas, cuando el periodo de los términos de la renta es mayor que el periodo de capitalización de intereses.

23 Instrumentos Matemáticos ( ) 23 Fraccionadas, cuando es al contrario, y el periodo de los términos de la renta es menor que el periodo de capitalización de intereses. Definición: Según el momento de valoración de las rentas, éstas pueden ser: Inmediatas, cuando la renta comienza en el momento actual (ya sea prepagable, en cuyo caso hoy se produciría el vencimiento del primer término, o postpagable, en cuyo caso habría que esperar hasta el final del periodo para el primer vencimiento). Diferidas, cuando a la renta le queda un tiempo para empezar en el momento de ser valorada. Anticipadas, cuando la renta ya ha comenzado respecto al momento de su valoración. Ejercicio 1.30 Clasifica las siguientes rentas: Una renta trimestral, a pagar durante 2 años, con capitalización trimestral de interes al 6 % TIN anual, cuyo primer pago se realiza dentro de tres meses. Una renta mensual, a pagar durante 1 año, con capitalización anual de intereses al 3 % TAE y cuyo primer pago se realiza hoy. Una renta anual, a pagar indefinidamente, con capitalización trimestral de intereses al 4 % trimestral efectivo, cuyo primer pago fue hace 2 años.